Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / "Удивительный мир флексагонов".Окружная научная конференция

"Удивительный мир флексагонов".Окружная научная конференция


  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

hello_html_558017e0.gifhello_html_md04703.gifhello_html_m1089a2c3.gifhello_html_521d1d99.gifhello_html_m97279a8.gifhello_html_7ccaa051.gifhello_html_58d53235.gifhello_html_7ccaa051.gifhello_html_6617f579.gifhello_html_7ccaa051.gifhello_html_4393f451.gifhello_html_m44f4a3a5.gifhello_html_a008091.gifhello_html_a008091.gifhello_html_a008091.gifhello_html_a008091.gifhello_html_m1d5f4cf5.gifhello_html_m1d5f4cf5.gifhello_html_m1d5f4cf5.gifhello_html_m1d5f4cf5.gifhello_html_m1d5f4cf5.gifОКРУЖНАЯ НАУЧНАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ УЧАЩИХСЯ







СЕКЦИЯ "Математика"



УДИВИТЕЛЬНЫЙ МИР ФЛЕКСАГОНОВ



Авторы:

Королёва Снежана,

Успенская Анна,

учащиеся 7Б класса

ГБОУ СОШ п.г.т. Мирный

Научный руководитель:

Пелеганчук И.Г.,

учитель математики

ГБОУ СОШ п.г.т. Мирный








Красный Яр, 2015 г.

Оглавление.

  • Введение. 1

Глава I. Удивительный мир флексагонов. 2

I.1. История возникновения флексагонов. 3

I.2. Виды флексагонов. 3

2.1. Плоские сгибаемые многоугольники.

а) Тетрафлексагоны. 3

б) Гексафлексагоны. 3

2.2. Объёмные сгибаемые многогранники.

а) Кольцевые флексагоны. 3 б) Объёмный тетрафлексагон. 3

в) Йошимото куб. 3

Глава II. 4

II.1. Исследование флексагонов... 5

II.2. Применение флексагонов. 6

Заключение. 4

Список литературы. 4

Приложения. 4
















Введение


Предмет математики настолько серьезен, что нужно не упускать случая, делать его немного занимательным.

Паскаль.


Все мы любим занимательную математику. Элемент игры, который делает математику интересной, может быть представлен в виде головоломки, ребуса, шарады, фокуса, парадокса и т. д. Решая нестандартные математические задачи, человек испытывает радость приобщения к творческому мышлению, интуитивно ощущает красоту и величие математики. Помогая людям постичь дух истинной математики, нестандартные задачи развивают наблюдательность, умение логически мыслить, пробуждают веру в свои силы и драгоценную способность к восприятию прекрасного.

Математика – предмет очень важный и очень сложный. Большинство школьников испытывает затруднения при его изучении. Мы провели экспресс – диагностику с целью выяснения отношения учащихся к урокам математики. Результаты показали, что многие ребята считают этот предмет скучным и неинтересным.

Актуальность. Знакомство с флексагонами позволит по – новому взглянуть на мир математики и внести разнообразие в привычные окружающие нас предметы быта и интерьера, а также способствует развитию пространственного воображения.

Испытывая большой интерес к занимательной математике, нам захотелось познакомиться с математическими объектами, не рассматриваемыми в школьном курсе, но загадочными, увлекательными и имеющими практическое применение. На математических Интернет-сайтах наше внимание привлекли флексагоны и флексоры, им мы и решили посвятить свой проект.

Флексагоны способствуют развитию пространственного воображения и имеют практическое применение. Анализ структуры флексатонов очень трудоемок, статьи о них можно встретить даже в специализированных журналах, например таких, как «Наука и жизнь», «Квант». Всегда интересно встретить что-то необычное, будь то предметы интерьера или даже стенды с рекламой. Такие вещи привлекают внимание, и если они сделаны качественно, то поднимают настроение и радуют глаз. К таким предметам и относятся флексатоны. Вначале может показаться, что это всего лишь игрушки, но они таят в себе много загадок и головоломок. Флексатоны нашли широкое применение во многих отраслях: например, в химии – некоторые молекулы закручены в форме флексатонов, в математике - лента Мёбиуса, Тор (тороид), в предметах интерьера – лампах, подушках, мебели, среди подарочных товаров: в виде открыток и игрушек.

Что же это такое - флексагон? Какие тайны связаны с ним? Как его построить? Где взять чертёж?

Таким образом, объектом нашего исследования являются флексагоны, а предметом история возникновения, математическая теория, способы конструирования, применение.

Гипотеза. Флексагоны - это не просто игрушка или обычное оригами, а занимательная математическая головоломка.

Так появилась цель работы: изучить мир флексагонов.

Задачи исследования:

  • познакомиться со специальной литературой, раскрыть содержание понятия «флексагон», «флексор»;

  • найти инфомацию по построению флексагонов и флексоров;

  • создать модели простейших флексагонов, флексоров;

  • выявить области применения флексагонов в жизни человека;

  • пробудить интерес школьников к математике, продемонстрировав на примере данной работы, что эта точная наука удивительна, необычна и занимательна.

Методы исследования: анкетирование, обработка результатов диагностики, сбор информации, анализ периодической и научной литературы, точные расчёты при построении, создание наглядных моделей и конкретизация имеющегося материала.






Глава I

Удивительный мир флексагонов


I.1. История возникновения флексагонов.

"Геометрия является самым могущественным

средством для изощрения наших умственных

способностей и дает нам возможность

правильно мыслить и рассуждать"

Галилео Галилей.


Интересный факт: как и многие удивительные вещи в мире, флексагоны были открыты по чистой случайности. Придумать флексагоны помогло одно обстоятельство - различие в формате английских и американских блокнотов. Американский «официальный» лист короче привычного международного А4 на 18 мм. Если бы не эта разница, возможно, мы бы до сих пор не знали о флексагонах — увлекательной игрушке, головоломке и интересной математической модели, открытой в первой половине XX века


В конце 1939 года Артур Х. Стоун (рис.1), двадцатитрехлетний аспирант из Англии, изучавший математику в Принстонском университете (США) (рис. 2),


Arthur StoneF:\Флексагоны\PrincetonHighSchool_Front.jpg

Рис.1. Артур Х. Стоун Рис. 2. Принстонский университет,

штат Нью Джерси.


обрезая листы американского блокнота, решил немного развлечься. Он принялся складывать из отрезанных полосок бумаги различные фигуры. Одна из сделанных им фигур оказалась особенно интересной. Перегнув полоску бумаги в трёх местах и соединив концы, он получил правильный шестиугольник. Взяв этот шестиугольник за два смежных треугольника, Стоун подогнул противоположный угол вниз так, что его вершина совпала с центром фигуры. При этом Стоун обратил внимание на то, что, когда шестиугольник раскрывался словно бутон, видимой становилась совсем другая поверхность. flex_36_1.gifhex01-1.gif

Если бы обе стороны исходного шестиугольника были разного цвета, то после перегибания видимая поверхность изменила бы свою окраску. Так был открыт самый первый флексагон с тремя поверхностями. Поразмыслив над ним ночь, Стоун наутро убедился в правильности своих чисто умозрительных заключений: оказалось, можно построить и более сложный шестиугольник с шестью поверхностями вместо трех. Почувствовав, что за загадочной фигурой скрывается интересная математическая теория, Стоун продемонстрировал свою поделку друзьям. Среди них были физик Ричард Фейнман, математик Брайан Таккерман и Джон Тьюки. Друзья назвали изобретенную Стоуном фигуру флексагоном (от английского to flex – складываться, сгибаться, гнуться). В шутку они назвали себя «Флексагонным комитетом» и взялись за изучение математических основ «флексологии» (рис.3).

RichardFeynman-PaineMansionWoods1984 copyrightTamikoThiel bw.jpgTukey.jpghello_html_m6badfa7c.jpg


Рис. 3. «Флексагонный комитет». Слева направо: Ричард Филлипс Фейнман, Джон Уайлдер Тьюки, Брайан Таккерман,

Так что же это такое?!

Флексагоны - это многоугольники, сложенные из полосок бумаги прямоугольной или более сложной, изогнутой формы, которые обладают удивительным свойством: при перегибании флексагонов их наружные поверхности прячутся внутрь, а раннее скрываемые поверхности неожиданно выходят наружу.

Комитет обнаружил, что, удлиняя цепочку треугольников, можно делать флексагоны с 9, 12, 15 и даже большим числом поверхностей. Таккерман ухитрился даже изготовить действующую модель флексагона с 48 поверхностями! Он также обнаружил, что из зигзагообразной полоски бумаги можно сложить тетрагексафлексагон (с четырьмя поверхностями) и пентагексафлексагон (с пятью поверхностями). Существует три различных гексагексафлексагона: первый складывают из прямой полоски бумаги, второй - из полоски, предварительно сложенной в виде шестиугольника, и третий - из полоски, форма которой напоминает лист клевера.

Артур Стоун и его друзья придумали:

4 вида гептагексафлексагонов (7 поверхностей),

12 видов октагексафлексагонов (8 поверхностей),

27 видов эннагексафлексагонов (9 поверхностей)

и 82 вида декагексафлексагонов (10 поверхностей).

Поверхностей может быть сколько угодно, даже 1 000 000, только такой флексагон будет почти невозможно крутить. И заготовку подобрать под такой флексагон очень сложно, потому что с каждым разом заготовки всё непонятнее.

Полная математическая теория флексагонов была разработана в 1940 году Тьюки и Фейнманом. Помимо всего прочего, теория указывает точный способ построения флексагона с любым числом сторон, причем именно той разновидности, которая требуется. В своем полном виде эта теория так и не была опубликована, хотя отдельные ее части впоследствии были открыты заново другими математиками. Среди энтузиастов "флексологии" следует назвать отца Таккермана - известного физика Луи Таккермана. Таккерман - старший внес существенный вклад в теорию флексагонов, разработав простой, но эффективный способ изображать путь Таккермана в виде дерева.

Рис. 4. Мартин Гарднер

Популярность флексагоны получили после появления в декабрьском номере журнала «Scientific American» за 1956 год первой колонки Мартина Гарднера  (рис. 4) «Mathematical Games», посвящённой гексафлексагонам. В Советском союзе, а впоследствии и в России также занимались изучением флексологии, в периодическом издании «Наука и жизнь» публиковались серии статей, посвящённых загадочным флексагонам. Martin Gardner.jpeg



I.2. Виды флексагонов

Работая над проектом, мы столкнулись с огромным количеством видов флексагонов с очень длинными и пугающими названиями. Но всё оказалось очень просто. Есть всего два вида флексагонов: тетра и гексафлексагоны. Мы в своей работе представим следующие фигуры:

Гексафлексагоныmhtml:file://C:\Users\Школьник\Desktop\ВСЁ%20по%20конф\Флексагоны%20%20Pandia_ru.mht!http://www.pandia.ru/wp-content/uploads/2010/12/wpid-image001_332.gif

(имеют форму шестиугольника)



флексагоны

mhtml:file://C:\Users\Школьник\Desktop\ВСЁ%20по%20конф\Флексагоны%20%20Pandia_ru.mht!http://www.pandia.ru/wp-content/uploads/2010/12/wpid-image002_232.gifТетрафлексагоны

(имеют форму четырёхугольника)







Тритетрафлексагоны

(с тремя поверхностями)



Тригексафлексагоны

(с тремя поверхностями)





Тетратетрафлексагоны

(с четырьмя поверхностями)



Гексагексафлексагоны

(с шестью поверхностями)





Гексатетрафлексагоны

(с шестью поверхностями)






Поверхности флексагона могут состоять из равносторонних или равнобедренных треугольников, квадратов, пятиугольников и т.д. Флексагон заданной формы с заданным количеством плоскостей может быть изготовлен из разных развёрток. Более того, даже одна и та же развёртка может допускать разные варианты сворачивания. Общепринятой системы наименований для флексагонов нет. Мартин Гарднер использовал термины «тетрафлексагон» и «гексафлексагон» для обозначения флексагонов, состоящих из квадратов и треугольников соответственно, причём поверхности тетрафлексагона могли состоять из четырёх или шести квадратов. В результате рождается большое количество новых названий для флексогонов и подчас сложных, чтобы их просто произнести.

Попробуем разобраться в этих пугающих, длинных названиях. Для образования названий того или иного флексагона применяется заимствованная из органической химии международная система, в основу которой, как известно, положены принципы теории химического строения А. М. Бутлерова. Слово содержит впереди — числительное, показывающее, сколько плоскостей имеет данный флексагон, на втором месте — числительное, определяющее форму флексагона, и в заключение — известное уже слово, обозначающее, что все это гнется и складывается.

Приведём несколько примеров приставок, образуемых из корней греческих числительных, применяемых для обозначений ациклических соединений по правилам номенклатуры органических соединений.

1—моно-, 2—ди или би-, 3—три-, 4—тетра-, 5—пента-, 6—гекса-,

7—гепта-, 8—окта - и т.д.

2.1. Плоские сгибаемые многоугольники

2. 1. 1. Тетрафлексагоны

Простейший тетрафлексагон (флексагон с квадратными поверхностями) — тритетрафлексагон, имеющий три поверхности. В любой момент видимыми являются лишь две из трёх поверхностей. Более сложные гексатетрафлексагон и декатетрафлексагон собираются из крестообразной развёртки без использования клея. Тетрафлексагоны с числом плоскостей 4n + 2 также можно изготавливать из квадратных рамок. Из зигзагообразных полосок бумаги можно изготовить тетратетрафлексагон и другие тетрафлексагоны с числом плоскостей, кратным 4.C:\Users\User\AppData\Local\Microsoft\Windows\Temporary Internet Files\Content.Word\DSCN4911.jpg

hello_html_406eb21f.jpg

2. 1. 2. Гексафлексагоны

Гексафлексагон — это флексагон, имеющий форму правильного шестиугольника. Каждая поверхность флексагона состоит из шести треугольных секторов.

Существует множество гексафлексагонов, различающихся по числу поверхностей. Известны гексафлексагоны с тремя, четырьмя, пятью, шестью, семью, девятью, двенадцатью, пятнадцатью, сорока восемью плоскостями; количество плоскостей ограничено лишь тем, что бумага имеет ненулевую толщину.

2. 2. Объёмные сгибаемые многогранники

2. 2. 1. Кольцевые флексагоны

Если флексагоны – это изгибаемые многоугольники, то кольцевой флексагон (Флексор) представляет собой семейство изгибаемых многогранников, собранный из «кольца» многоугольников. Для наименования кольцевых флексагонов может быть использована приставка «цирко», например, пентациркодекафлексагон - кольцевой флексагон с пятью плоскостями, состоящими из десяти многоугольников (пятиугольников) каждая; тригемициркогексафлексагон - флексагон с тремя поверхностями, каждая из которых представляет собой кольцо (цирко) из половинок (геми) правильных шестиугольников (гекса).Игрушка Мастер-класс Бумагопластика Оригами Флексагон - игрушка трансформер за 5 минут МК Бумага фото 16

Флексоры представляют собой семейство изгибаемых многогранников с 2n вершинами, 6n ребрами (из которых 2n сдвоенных) и 4n треугольными гранями; где n = 6, 8 или любому большему целому числу. Гранями служат грани n тетраэдров, соединенных между собой по парам противоположных ребер, так что получается фигура вроде кольца. Внешне флексоры выглядят привлекательнее, чем флексагоны, но математический интерес вызывает только кольцо из 8 тетраэдров, которое по-другому называют магическим. Математик Ройал В. Хит на заготовке для кольца из 8 тетраэдров расставил числа от 1 до 32 следующим образом: F:\Флексагон\фото\флексор.jpg


2флекс.bmp

По этой заготовке изготавливается флексор. Он состоит из восьми тетраэдров. При вращении флексора, получаем четыре различные комбинации чисел с одним и тем же результатом:

1) 1+16+25+24+2+15+26+23=132; 2) 28+22+3+13+27+21+4+14=132;

hello_html_1b1c7581.jpghello_html_3c802c6b.jpg


3) 7+9+32+18+8+10+31+17=132; 4) 19+6+11+29+20+5+12+30=132;

hello_html_m36123748.pnghello_html_m33e129c7.png


Кроме этого, числа расположены так, что четыре грани каждого тетраэдра в сумме дают 66:

1) 1 + 30 + 7 + 28 = 66;

2) 12 + 17 + 14 + 23 = 66;

3) 31 + 4 + 26 + 5 = 66;

4) 21 + 15 + 20 + 10 = 66;

5) 2 + 29 + 8 + 27 = 66;

6) 11 + 18 + 13 + 24 = 66;

7) 32 + 3 + 25 + 6 = 66;

8) 22 + 16 + 19 + 9 = 66.

А также сумма граней при повороте по спирали равна132:

1) 1 + 22 + 32 + 11 + 2 + 21 + 31 + 12 = 132;

2) 25 + 13 + 8 + 20 + 26 + 14 + 7 + 19 = 132;

3) 24 + 6 + 9 + 28 + 23 + 5 + 10 + 27 = 132;

4) 16 + 30 + 17 + 4 + 15 + 29 + 18 +3 = 132;

5) 25 + 11 + 8 + 21 + 26 + 12 + 7 + 22 = 132;

6) 16 + 28 + 17 + 5 + 15 + 27 + 18 + 6 = 132;

7) 1 + 19 + 32 + 13 + 2 + 20 + 31 + 14 = 132;

8) 24 + 3 + 9 + 30 + 23 + 4 + 10 + 29 = 132.


2. 2. 2. Объемный тетрафлексагон

Объединив принципы тетрафлексагонов и флексоров, был создан объемный тетрафлексагон.
Чтобы многогранник мог изгибаться, нужно выбрать тела, одинаковые со всех сторон (Платоновы тела). Выберем кубы, т.к. их удобнее взаимно прикреплять друг к другу, чем все остальные правильные многоугольники.
Scoda3.jpghello_html_m5e53287.jpghello_html_1c02215d.pnghello_html_m1fe533df.png





Пусть число кубов будет 8, т.к. тогда 4 куба смогут менять свое положение относительно двух других, что не получится при любом меньшем числе. Для цикличного проворачивания нужно так расположить шарниры, чтобы по окончании полного цикла поворота фигура могла начать этот цикл сначала, а не только повторять его в обратном порядке.
Можно по-разному расположить 8 кубов симметрично центра всей фигуры:

http://kak.znate.ru/pars_docs/refs/45/44532/44532_html_m312ffb3e.pnghttp://kak.znate.ru/pars_docs/refs/45/44532/44532_html_4165455.pnghttp://kak.znate.ru/pars_docs/refs/45/44532/44532_html_33c34952.png


Будет лучше так расположить клапаны, чтобы эти два вида были этапом цикла изгибаний. Этого удалось добиться, расположив клапаны симметрично так, чтобы были соединены боковые, верхние и нижние кубы:

2. 2. 3. Йошимото куб

Куб Йошимото - это многогранный механический пазл, изобретенный в 1971 году японцем Naoki Yoshimoto (Наоки Йошимото). Йошимото куб сделан из нескольких взаимосвязанных частей. Этот куб может складываться и раскладываться, приобретая причудливые формы. Куб Йошимото можно сложить в ромбические звездообразные додекаэдры, а из них создать два одинаковых куба, которые собираются в один куб такого же размера. Оригами йошимото куб схема распечатать - Оригами

Этот куб может перекладываться как кубик-календарь,  снова и снова.
 
Наоки Йошимото искал способ разделить куб на одинаковые части в трехмерном пространстве. В результате были получены два своеобразных многогранных тела, состоящих из восьми взаимосвязанных кубиков, которые могут быть открыты в нескольких направлениях.Оригами йошимото куб схема распечатать - Оригами

Эту новинку художник показал публике на персональной выставке в 1972 году, а в 1982 году куб Йошимото занял место в музее современных искусств в Нью-Йорке (рис.5)  как образец художественного воплощения математической модели.

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8b/MoMa_NY_USA_1.jpg/220px-MoMa_NY_USA_1.jpg




Рис. 5. Музей современных искусств в Нью-Йорке




Глава II

Исследование флексагонов

II. 1. Наблюдения за свойствами флексагонов

Рис.6

Теперь попробуем разобраться в схемах и инструкциях сборки флексагонов. На это ушла уйма времени, куча бумаги, и, конечно же, терпения. Не всё получалось сразу: то инструкции непонятные, то размеры неправильные, а то прежде чем построить равносторонний треугольник или квадрат, нужно в геометрию заглянуть. Пришлось серьёзно потрудиться, чуть ошибся и начинай заново. Поэтапную сборку наших моделей мы подробно отразили в приложении. путь так.jpg http://royallib.ru/zip_emu/br/198/198878/_03.jpg

рис.7

Когда фигура готова, необходимо научиться раскрывать все её поверхности. Чтобы "открыть" гексафлексагон, его нужно одной рукой взять за два соседних треугольника, примыкающих к какой-нибудь вершине фигуры, а другой рукой потянуть за свободный край двух противоположных треугольников. При открывании флексагон выворачивается наизнанку, и наружу выходит поверхность, которая ранее скрывалась внутри (рис. 6).

Если в моделях с 3-мя, 4-мя, 5-ю поверхностями отыскать каждую поверхность не составило большого труда, то начиная с гексагексафлексагона, появились трудности. Флексагон можно было вращать до бесконечности, но увидеть пятую, шестую и т.д. поверхности так и не удавалось! И снова на помощь пришли статьи из журналов. Разобраться помогла схема, разработанная Таккерманом для гексагексафлексагона. Им был найден простейший способ выявления всех поверхностей любого флексагона: держа флексагон за какой-нибудь угол, следует открывать фигуру до тех пор, пока она «открывается», а затем переходить к следующему углу. Этот метод так и называется «путь Таккермана» (рис.7). Он позволяет увидеть все шесть разворотов гексагексафлексагона за один цикл из 12 сгибаний. Стрелки указывают, в каком порядке становятся видимыми поверхности флексагона. Если модель перевернуть, то путь Таккермана будет изображаться той же схемой, но направление её обхода будет противоположным.

Чтобы развернуть тетрафлексагон, нужно перегнуть его по вертикальной или горизонтальной оси и вывернуть с места перегиба (рис.8).


hello_html_m14addc11.png

Рис.8. Разворачивание тетрафлексагона


  1. Попробуем провести сравнение гексафлексагонов и тетрафлексогонов:


Общее:

Изгибаясь, показывают поверхности, ранее спрятанные внутри.

Отличия:

Тетрафлексогоны

Гексафлексагоны

  1. В сложенном виде‒ прямоугольник

  1. В сложенном виде ‒многоугольники

  1. Сгибаются на основе двойного шарнирного соединения

2. Проворачиваются по прямым, обозначенным при их изготовлении


4) И после нахождения всех поверхностей, работу над флексагонами нельзя было назвать законченной. Впереди предстоял большой творческий процесс. Чтобы вращение флексагона доставило ещё больше эмоций и удовольствия, каждую поверхность флексагона нужно было раскрасить.

Геометрический узор, который нарисован на одном развороте флексагона, появляется на двух других разворотах, каждый раз принимая иной вид.

http://royallib.ru/zip_emu/br/198/198878/_06.jpg

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2f/Hexahexaflexagon_-_two_sides_-_01.jpg/220px-Hexahexaflexagon_-_two_sides_-_01.jpg

5) Пора попробовать ответить на вопрос, что же всё-таки такое

флексагон - игрушка, оригами или математическая головоломка? Сначала обратимся за помощью к словарю:

Игрушка — предмет, предназначенный для игры. Воссоздавая реальные и воображаемые предметы, образы, игрушка служит целям умственного, нравственного, эстетического и физического воспитания. Игрушка помогает ребёнку познавать окружающий мир, приучает его к целенаправленной, осмысленной деятельности, способствует развитию мышления, памятиречиэмоций. Игрушка широко используется в учебно-воспитательной работе с детьми, в частности для развития детского, технического и художественного творчества

Головоломка — непростая задача, для решения которой, как правило, требуется сообразительность, а не специальные знания высокого уровня.

Орига́ми (яп. 折り紙, букв.: «сложенная бумага») — вид декоративно-прикладного искусства; древнее искусство складывания фигурок из бумаги. Классическое оригами складывается из квадратного листа бумаги и предписывает использование одного листа бумаги без применения клея и ножниц.

Для того чтобы ответить на поставленный вопрос, попробуем сами немного окунуться в искусство оригами (тоже довольно увлекательное занятие). Мы создали две фигуры - оригами: деда Мороза и звезду-трансформер. Понятно, что фигурка деда Мороза так же требует внимательного складывания листа бумаги по инструкции, но на этом процесс творчества заканчивается. А вот оригами -трансформеры очень близки к нашим флексогонам, они, перегибаясь, неожиданно создают новый вид, новую фигуру, но и здесь полёт фантазии заканчивается.

Прочитав специальную литературу, изучив природу флексагонов и флексоров, изготовив их, можно сделать вывод: в их основе лежит чистая геометрия. Нельзя флексагоны и флексоры воспринимать как обычное оригами. Это выходит далеко за рамки привычного для нас «бумаголомания» и является геометрией. Этим вопросом занимались несколько известных математиков, поэтому флексагоны и флексоры – это, с одной стороны, занимательная математика, а с другой, доказательство того, что существуют многогранники, обладающие способностью изгибаться и ломаться.

Вспоминая всё, что мы узнали про флексагоны, можно сделать вывод, что это всё-таки занимательная геометрическая головоломка.





II. 2. Применение флексагонов

Флексагоны и флексоры применяются как средство математического развития дошкольников и школьников младших классов. Это один из перспективных подходов к математическому развитию ребенка. Являясь ориентацией на математическое моделирование, с помощью которого дети активно овладевают построением и использованием разного рода предметных, графических и мысленных моделей. Флексагоны, как средство математического моделирования, способствуют развитию мелкой моторики, пространственному воображению, памяти, вниманию, терпению и многому другому.

Флексор можно использовать в качестве фоторамки. На все треугольники одной поверхности приклеиваются фотографии (например, учеников класса). Такой фоторамке не требуется специальная подставка.

Необычно применение флексагона в качестве шпаргалки. Написав на его сторонах формулы или правила, можно вывернуть флексагон обычными раскрашенными сторонами наружу.

Флексагоны и флексоры можно применять на уроках математики, если на их сторонах написать числа и знаки «+»,«-»,«×»,«:». Выворачивая флексагон, можно числа складывать, вычитать, умножать и делить. Правда, при вычитании может получиться отрицательное число, а при делении – не всегда получится целое.

Флексагоны и флексоры можно подарить друзьям в качестве сувенира или во время проведения праздника научить их делать эти геометрические игрушки.

Флексоры и простейшие флексагоны, раскрашенные в разные цвета или сделанные из фольги, можно использовать в качестве елочных украшений или для обычного оформления праздника.

Тетратетрафлексагон можно часто встретить в роли головоломки или рекламного буклета. Это связано с его особым свойством: одну из поверхностей отыскать гораздо сложнее, чем три других.

Широко применяется флексагон и при создании поздравительных открыток – трансформеров. Используя мастер – класс, выложенный в интернете, мы создали свои открытки. (см. Приложение)

Большое применение объёмный многогранник может найти в дизайнерском искусстве, так как цикл перегибаний интересен при создании мебели – трансформера: диванов, кресел, стульев и других предметов.


Заключение

Закончена работа над исследовательским проектом. Пройден трудный, но интересный путь:

  • мы познакомились с понятиями «флексагон» и «флексор»;

  • изучили вопрос о происхождении флексагонов;

  • нашли информацию и подробно изучили инструкции по конструированию отдельных видов флексагонов;

  • изготовили разнообразные модели флексагонов;

  • подготовили комплект развёрток флексагонов, по которым можно изготовить аналогичные модели;

  • провели три мастер – класса в параллели 7 –ых классов с целью знакомства с удивительными и загадочными флексагонами;

  • выявили области практического применения флексагонов в жизни человека.

Оглядываясь назад, можно с уверенностью сказать, что намеченные задачи выполнены, цель – изучение мира флексагонов – выполнена.

Наша работа предназначена тем, кто любит необычную и занимательную математику. Также работа может быть использована на уроках математики: при изучении свойств треугольников, шестиугольников, тетраэдров или на занятиях математического кружка.

В мире существует много неоткрытых загадочных вещей, которым ещё предстоит удивить нас своими замечательными свойствами.

















































Список литературы

1. Гарднер М. Математические головоломки и развлечения. - М.: Мир, 1971, С. 235.

2. Панов А. А. Флексагоны, флексоры, флексманы. //Квант. 1989. №1. С.10 -14.

3. Залгаллер В. Непрерывно изгибаемый многогранник. // Квант. 1978. № 9. С. 13 - 19.\

4. Болл У., Коксетер Г. Математические эссе и развлечения. - М.: Мир, 1986, С. 471.

  1. Долбинин Н.П. Жесткость выпуклых многогранников. / Квант, №5, 1988. с.6-15.

  2. Гексафлексагоны // http://www.еvrika-clab.net (26.02.03)

  3. История создания флексагонов // http://www.еvrika-clab.net (26.02.03)

  4. Википедия. Свободная энциклопедия [Электронный ресурс]. - Режим доступа - http://ru.wikipedia.org/wiki/Флексагон. 19.03.2013

  5. www.myspace.com/flexagoncommittee (портреты членов флексагонного комитета.









Приложение №1

Построение тригексафлексагона

Первый построенный Стоуном флексагон был назван тригексафлексагоном, так как у него были три поверхности. Его можно сконструировать за 4 шага.hello_html_m31828336.gif

1 шаг. Тригексафлексагон складывают из полоски бумаги, предварительно размеченной на 10 равносторонних треугольников.

hello_html_m5db2090c.png

2 шаг. Полоску перегибают по линии ab (а) и переворачивают (б).hello_html_m54cc5aca.jpg

http://royallib.ru/zip_emu/br/198/198878/_02.jpghello_html_6a3861b9.gifhello_html_c62c459.jpg

3 шаг. Перегнув полоску еще раз по линии cd, расположим ее концы так, чтобы предпоследний треугольник оказался наложенным на первый (в).

4 шаг. Последний треугольник нужно подогнуть вниз и прикрепить к оборотной стороне первого треугольника (г). Развертку трифлексагона нужно перечертить и вырезать из полоски достаточно плотной бумаги шириной около 3-4 см, а можно изобразить на компьютере и распечатать.

Результат: hello_html_m31828336.gif


Приложение №2

Построение гексагексафлексагона

Вторая не менее изящная модель Стоуна получила название гексагексафлексагона (первое «гекса» — шесть — также означает число поверхностей этой модели).
Конструирование гексагексафлексагона можно разбить на 4 шага.hello_html_m233a6c43.jpg

1 шаг. Берут полоску бумаги (великолепным материалом для изготовления гексагексафлексагонов может служить лента для кассовых аппаратов), разделенную на 19 равносторонних треугольников.

2 шаг. В треугольники с одной стороны нужно вписать в указанном на рис1 (а) порядке цифры 1, 2, 3.
Девятнадцатый (последний) треугольник остается незаполненным.
Треугольники на обратной стороне следует в соответствии со схемой пронумеровать цифрами 4, 5, 6.

3 шаг. После этого полоску складывают так, чтобы треугольники на ее обратной стороне, имеющие одинаковые цифры, оказались наложенными друг на друга — 4 на 4, 5 на 5, 6 на 6. В результате у нас получится заготовка, показанная на рис. 1(б).

4 шаг. Далее с этой полоской работаем по схеме сборки тригексафлексагона. Склеенными окажутся непронумерованные стороны двух треугольников.

Проделать все эти операции намного легче, чем описать. Вместо цифр треугольники можно раскрасить в различные цвета (каждой цифре должен соответствовать только один цвет) или нарисовать на них какую-нибудь геометрическую фигуру. Перегибая гексагексафлексагон, можно увидеть все шесть его разворотов.



Рис. 2

Рис. 1



hello_html_25c891fe.jpg hello_html_4501fbb8.jpg hello_html_m34a02bc4.jpg



hello_html_m5426660a.jpg

Результат: hello_html_m73579e7.jpg

Приложение №3

Построение тритетрафлексагона

Как ни странно, квадратные тетрафлексагоны, которые выглядят куда проще шестиугольных собратьев, оказались куда более загадочными с точки зрения математики. Все тайны четырехугольных головоломок «Флексагонному комитету» разгадать так и не удалось. Простейший представитель этого семейства — тритетрафлексагон — можно легко сложить из полоски бумаги, состоящей из шести квадратов.hello_html_79ae4dbf.jpg

Тритетрафлексагон можно собрать за 6 шагов.1 шаг.

Подготовить изображенную ниже фигуру из бумаги (можно изобразить на компьютере и распечатать). Прогнуть каждую линию, разделяющую полоску на квадраты, в обе стороны, чтобы будущий флексагон легко разворачивался.



2 шаг.

Пронумеровать с одной стороны или сделать его цветным:

1

1

2

2

3

3

hello_html_176e8609.gif

3 шаг.

Перевернуть заготовку слева направо и пронумеровать с другой стороны: 3

3

2

2

1

1

hello_html_2a4cc8ee.gif

4 шаг.

Левую часть согнуть назад

1

1

2

2

3

3

2



5 шаг.

Правую часть согнуть вперед (тройку
наложить на тройку)

2

2

3

3

2


6 шаг. Наклеить

прозрачную ленту

2

2

2

2

Результат:




hello_html_176e8609.gif






hello_html_79ae4dbf.jpg



Приложение №4

Построение тетратетрафлексагона

Тетратетрафлексагон можно собрать за 9 шагов.

1 шаг.

Подготовить изображенную ниже фигуру из бумаги (можно изобразить на компьютере и распечатать). Прогнуть каждую линию, разделяющую полоску на квадраты, в обе стороны, чтобы будущий флексагон легко разворачивался:




2 шаг.

Пронумеровать с одной стороны:

1

1

2

3

3

2

1

1

1

1

2

3

hello_html_m8000245.jpg

3 шаг.

Перевернуть заготовку слева направо и пронумеровать с другой стороны или сделать цветной:

4

4

3

2

2

3

4

4

4

4

3

2

hello_html_m66338d89.gif

4 шаг. Снова перевернуть заготовку слева направо и сделать такой разрез:

1

1

2

3

3

2

1

1

1

1

2

3

hello_html_m78997739.gif


5 шаг.

Вырезанную часть согнуть по пунктирной линии и отвернуть назад влево:

1

1

2

3

3

2

1

1

1

1

2

3


6 шаг.

Правую часть согнуть назад:

1

1

2

3

3

1

1

1

2

3

3

hello_html_1a8405dd.gif
7 шаг.
Правую часть согнуть назад:

1

1

2

3

1

1

2

3

2

hello_html_285574c1.gif

8 шаг. Левую часть согнуть вперед (тройку наложить на тройку):


1

1

3

1

1

3

1

hello_html_4ba82f9e.jpg



9 шаг. Наклеить прозрачную ленту:


1

1

1

1

1

1

Результат:

hello_html_6846aaeb.jpg


Приложение №5

Построение гексатетрафлексагона

Процесс сборки гексатетрафлексагона можно разбить на 13 шагов.

ШАГ 1

Подготовить изображенную ниже фигуру из бумаги (можно изобразить на компьютере и распечатать). Прогнуть каждую линию, разделяющую полоску на квадраты, в обе стороны, чтобы будущий флексагон легко разворачивался:



ШАГ 2

Пронумеровать с одной стороны:

4

5

6

6

4

3

3

4

6

6

5

4

hello_html_55d3898b.jpg

ШАГ 3

Перевернуть заготовку слева направо и пронумеровать с другой стороны:

5

2

1

3

1

2

2

1

3

1

2

5

hello_html_2be1d894.jpg


ШАГ 4

Снова перевернуть заготовку слева направо и сделать такой разрез:

4

5

6

6

4

3

3

4

6

6

5

4


ШАГ 5

Левую часть согнуть вперед (шесть наложить на шесть):

4

5

6

6

4

3

3

4

6

6

5

4


ШАГ 6

Верхнюю часть согнуть вперед (четверку совместить с четверкой):


3

1

2

2

3

3

4

6

6

5

4

hello_html_736eacd6.jpg


ШАГ 7

Нижнюю часть согнуть назад:



3

6

6

5





hello_html_4021fafa.jpg

ШАГ 8

Закрашенную часть согнуть назад:

3

6

6

5


2

1

3

2

hello_html_694053ce.jpg

ШАГ 9

Закрашенную часть согнуть назад:

3

6

6

5


2

1

3

hello_html_5de99f72.jpg

ШАГ 10

Закрашенную часть согнуть вперед (наложить шестерку на шестерку):

3

6

6

5


2


hello_html_3ecf7544.jpg

ШАГ 11

Закрашенную часть согнуть вперед (наложить пятерку на пятерку):

1

5

5


2


hello_html_m10d6679b.png
ШАГ 12

Закрашенный квадрат завернуть под расположенный за ним квадрат:

2


2

3

hello_html_5ca22067.png

В итоге тройки окажутся наложенными друг на друга, и расположенная за закрашенным квадратом двойка окажется наверху:

2


2


Результат: hello_html_m4003a0a7.jpg

ШАГ 13

Наклеить прозрачную ленту на левый верхний квадрат, как

показано на рисунке, завернуть ее и наклеить на обратную сторону:

2


2



2


2





Приложение №6

Построение флексора.

Для изготовления флексора вырежем начальную развертку:
http://kak.znate.ru/pars_docs/refs/45/44532/44532_html_288e8ae8.png

Или такую:

Игрушка Мастер-класс Бумагопластика Оригами Флексагон - игрушка трансформер за 5 минут МК Бумага фото 6

Затем сгибаем её по линиям и приклеиваем клапаны в соответствии с обозначениями.


Результат:
Игрушка Мастер-класс Бумагопластика Оригами Флексагон - игрушка трансформер за 5 минут МК Бумага фото 1







Советы

  1. Прежде чем приступать к изготовлению флексагона, полезно несколько раз перегнуть в обе стороны его развертку по всем линиям сгиба. Это намного облегчает последующие манипуляции с флексагонами.

  2. Для более долговечных моделей, нужно вырезать треугольники из картона или металла и соединить их липкой лентой или же наклеить на длинную полоску ткани. Между треугольниками остаются небольшие зазоры, что позволяет легко сгибать флексагоны.

  3. Флексагоны лучше делать цветными.
    Существует множество способов раскраски флексагонов, которые приводят к интересным головоломкам и самым неожиданным зрительным эффектам.


Приложение №7

Наши творческие работы

hello_html_6fe43047.jpghello_html_170255a0.jpghello_html_7f103ef1.jpghello_html_m4c9f7632.jpghello_html_59905352.jpghello_html_1079a15f.jpgScoda3.jpg

Приложение №8

Анкета

Анкетирование было проведено среди учащихся 7 –ых классов.

Всего в анкетировании приняли участие 56 человек.

Вопрос 1. Любите ли вы уроки математики?

1.«ДА» – 67%

2.«НЕТ» - 33%

Вопрос 2. Интересна ли вам занимательная математика?

1.«ДА» - 82%

2.«НЕТ» - 18%

Вопрос 3. Хотелось бы вам, чтобы на уроках учителя использовали элементы занимательной математики?

1.«ДА» - 100%

2.«НЕТ» - 0%


Автор
Дата добавления 23.01.2016
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров1163
Номер материала ДВ-371425
Получить свидетельство о публикации

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх