Урок -игра по математике "Комбинированые уравнения"

Решение сложных комбинированных уравнений

Тип урока: семинарское занятие.

Цель урока:

закрепить навыки решения сложных уравнений различными методами.

Ход урока:

I Организационный момент:

а) готовность класса к уроку;

б) сообщение цели и задач урока.

ІI Актуализация опорных знаний со слабыми и средними учащимися, работа наиболее подготовленных учащихся по индивидуальным карточкам.

Дать определение уравнения и его корня, равносильности двух уравнений.

Ответ:

Арифметическое выражение, содержащее неизвестную переменную и знаки равенства называют уравнением. Значение переменной, превращающее уравнение в верное равенство, называют корнем уравнения. Два уравнения называют равносильными, если любой корень первого уравнения является корнем второго уравнения и любой корень второго уравнения является корнем первого уравнения.

Дать определение равносильности преобразования уравнения и перечислить основные равносильные преобразования.

Ответ:

Замену одного уравнения другим, равносильным ему уравнением называют равносильным преобразованием уравнения.

Равносильными преобразованиями уравнения являются:

перенос члена уравнения с противоположным знаком из одной части уравнения в другую;

умножение (деление) обеих частей уравнения на отличную от нуля число;

возведение уравнения в нечетную степень;

извлечение корня нечетной степени с обеих частей уравнения:

логарифмирование показательного уравнения;

применение тождеств, т. е равенств, справедливых для любого числа.

Рассказать, какие равносильные преобразования нужно выполнить, чтобы решить следующие уравнения:

hello_html_545069f0.gif;hello_html_187e2cef.gif;hello_html_2c452de4.gif;hello_html_7ec747f3.gif

hello_html_6b1a8e3a.gif

Дайте определение уравнения – следствия и перечислите преобразования, приводящие к уравнению следствия.

Ответ:

Пусть даны два уравнения. Если любой корень первого уравнения является корнем второго уравнения, то второе уравнение называют уравнением- следствием первого.

Замену уравнения другим уравнением, которое является его следствием, называют переходом к уравнению- следствию.

При переходе к уравнению- следствия возможно появление лишних корней, посторонних для исходного уравнения, поэтому проверка полученных корней является обязательной частью решения уравнения.

Преобразованиями, приводящими к уравнению- следствия является:

возведение уравнения в четную степень;

потенцирование логарифмического уравнения;

освобождение уравнения от знаменателя;

приведение подобных членов;

применение формул (тригонометрических, логарифмических и других).

Расскажите, каким способом приводится следующие уравнения к уравнению - следствия:

hello_html_184b3659.gif

hello_html_m1bd99263.gif;

hello_html_4c8c3ed2.gif

hello_html_m53030e6b.gif

hello_html_3eefe3fc.gif

hello_html_m2657a367.gif

hello_html_1e4489c.gif;

hello_html_620deb54.gif

hello_html_mc75cd06.gif

hello_html_458f6588.gif.

Сложные уравнения можно решить, приводя их к системам. Правила перехода от уравнений к равносильным системам:

1.hello_html_mbae9eae.gif

2.hello_html_7207748f.gif

3.hello_html_394301f4.gif

4.hello_html_20c9498a.gif

5.hello_html_7e42c732.gif

6.hello_html_35a569.gif

7.hello_html_m36f51040.gif

М-область существования hello_html_m574c9755.gif

8.hello_html_244015c6.gif

hello_html_4774caad.gif

9.hello_html_739f1342.gif

10.hello_html_1ee5baa9.gif

11. hello_html_5af16dbd.gif

Запишите системы, равносильные уравнениям:

1.hello_html_m2ee589c.gif

2.hello_html_m6c4f5612.gif

3.hello_html_m610ffc0b.gif

4.hello_html_m6c3ea181.gif

5.hello_html_33efdcd9.gif

6.hello_html_3de42d63.gif

7.hello_html_1edf5d0d.gif

8.hello_html_6377d0a9.gif

9.hello_html_m7b9f2c8a.gif

10.hello_html_74fb3e91.gif

11.hello_html_1071531.gif

Решение уравнений с применением формул.

Каким способом можно решить данное уравнение:

hello_html_79afb03a.gif

Очень часто можно встретить уравнение, которое имеет дополнительное условие, например:

hello_html_4c49a87d.gif

Как можно упростить решение такого типа уравнения?

Ответ:

Учитывая, что левая часть уравнения неотрицательное число получаем hello_html_a7ca3d.gif значит, множество решений данного уравнения есть hello_html_581042f8.gif. Левая часть уравнения для любого hello_html_54d172fd.gif есть отрицательное число, значит, рассматривается только одно уравнение hello_html_m74bb3f44.gif. Решается квадратное уравнение, находим hello_html_m5b78f484.gif и выбираем те, которые принадлежат множеству М.

Самыми сложными считаются уравнения с параметром. Дайте определение уравнения с параметром. Давайте рассмотрим несколько таких уравнений с использованием свойств функций:

а)hello_html_45d4e024.gif

hello_html_7f5f5e72.gif имеет ровно три корня.

Ответ:

Для каждого значения a рассмотрим функцию

hello_html_m5fdb5c4e.gif

Она определена на множестве R, четная, поэтому, если hello_html_m1666f245.gif - корень уравнения, то  hello_html_1c028e60.gif - тоже является корнем уравнения.

Уравнение (1) имеет три корня тогда и только тогда, когда оно имеет hello_html_29f5c32.gif и еще два отличных от нуля корня, отличающихся знаками.

hello_html_5e4bdcfd.gifполучаем: hello_html_m240cec63.gif

При hello_html_m632525a.gif уравнение примет вид hello_html_m2ba90a88.gif у уравнения только один корень.

При hello_html_275e6990.gif уравнение имеет вид hello_html_m65108275.gif. Это уравнение имеет три корня hello_html_37e1072f.gif Ответ:3

б) Найти все значения параметра а, при которых уравнение

hello_html_15d6e903.gif. (2)

имеет ровно четыре корня.

Ответ:

Для каждого значения a рассмотрим функцию

hello_html_m3f16f232.gif

Она определена на множестве R, четная.

hello_html_6270be7e.gif

Уравнение (2) имеет четыре корня, если уравнение имеет ровно два положительных корня, т.к. корнями уравнения (2) будут hello_html_7d1ee514.gif . Значит дискриминант уравнения (3) должны быть положительными:

hello_html_24efc91a.gif

в) Для каждого значения параметра a решите уравнение:

hello_html_44bf35de.gif

Ответ:

При hello_html_m632525a.gif уравнение не имеет решений, т.к. hello_html_5977f8e7.gif.

При hello_html_m64b86cb9.gif имеем:

hello_html_m550494d9.gif

hello_html_51a61f7a.gif

hello_html_m5dfe223d.gif

hello_html_m767259b0.gif

Проверяем ОДЗ:

hello_html_m737dc91a.gif

hello_html_1c0a8f7f.gif

hello_html_30a40c73.gif

hello_html_m1d3ce141.gif

hello_html_m6c3d2b6e.gif

Ответ: приhello_html_m26fe9ff.gif уравнение имеет одно решение

г) При каком значении параметра a уравнение не имеет корней:

hello_html_m7e07dae3.gif

Ответ:

hello_html_11f9254d.gif

hello_html_m1a2ac146.gif

hello_html_m7d928772.gifкорень уравнения.

Уравнение не имеет решений, если не выполняется ОДЗ, поэтому

hello_html_22b39dac.gif

hello_html_m7bfbc15d.gif

hello_html_m4d6bbca.gif

III Выполнения тренировочных упражнений на закрепление навыков и умений решать уравнения.

hello_html_m652a4f94.gif

hello_html_m4feebd35.gif;

hello_html_m28569304.gif

ІV Повторение. Решение заданий типа В1- В12 в интерактивном режиме с сайта www.ege.edu.ru Банк заданий типа В.

V Разбор заданий типа С с индивидуальных карточек на доске.

Карточка №1

С1.(В13) hello_html_m3b7309a9.gif

Карточка №2

C1.(B1) hello_html_5ddc4b88.gif

Карточка №3

C1.(B12) hello_html_26ef078a.gif

Карточка №4

C1.(B19) hello_html_63d0fbbe.gif

Карточка №5

С5. Найти все значения a, такие, что уравнение имеет единственное решение:hello_html_802b99e.gif

Карточка №6

С5. Найти все значения a, такие, что уравнение имеет единственное решение:hello_html_m1b32f3e6.gif

Карточка № 7

Найти наибольший корень уравнения:

hello_html_6a973194.gif.

Карточка № 8

Найти значение р, при которых уравнение

hello_html_m63b4f273.gifне имеет решений.

Карточка №9

Решить уравнениеhello_html_647c5e30.gif

VI Домашнее задание:

Решить уравнения с параметром (б, г)

Решить № 4, 6, 9 с карточек.

Вариант 9 со сборника ФИПИ - разобрать В1-В12.

Повторить теорию по темам:

§8 Уравнения-следствия.

§9 Равносильность уравнений системам.

§10 Равносильность уравнений на множествах.

VII Подведение итогов урока.

Литература:

Ф. И. Лысенко, С. Ю. Кулабухова. Математика. Подготовка к ЕГЭ. 2010 г. – Ростов –на Дону: Легион, 2009 г.

С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. решетников, А. В. Шевкин. Алгебра и начала математического анализа – Москва: «Просвещение», 2008 г.

http://mathege.ru:8080/or/ege/Main. Сайт ФИПИ. Открытый сегмент заданий ЕГЭ.

МКОУ «КАРЛОМАРКСОВСКАЯ СОШ»

ОТКРЫТЫЙ УРОК ПО МАТЕМАТИКЕ

«УДИВИТЕЛЬНЫЙ МИР СИММЕТРИИ»

10 КЛАСС

Провела: Муталибова М.А.

                                                              2019 учебный год