Проект урока по теме: Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей.
Тема урока: «Двугранный угол. Перпендикулярность
плоскостей».
Тип урока: урок – лекция.
Учебная задача:
- ввести и отработать
совместно с учениками определение двугранного угла и его характеристику
(линейный угол), по аналогии с плоским углом;
- на основе понятия
двугранного угла ввести определение перпендикулярных плоскостей по аналогии с
перпендикулярными прямыми и «открыть» и доказать совместно с учащимися признак
и свойства перпендикулярных плоскостей.
Диагностируемые
цели:
Ученик:
- знает:
- определения двугранного угла и перпендикулярных плоскостей;
- формулировки
теорем: признака и свойств перпендикулярных плоскостей;
- о существовании двух способов доказательства перпендикулярных плоскостей (по определению и
по признаку перпендикулярных плоскостей);
- умеет:
- строить линейный
угол двугранного угла;
- воспроизводит
доказательство признака и свойств перпендикулярных плоскостей из краткой записи
таблицы.
Метод обучения: метод проблемного изложения.
Формы обучения: фронтальная и индивидуальная.
Средства обучения: канва – таблица, модели.
Урок – лекция
Ход урока:
I
Мотивационно – ориентировочная часть
- Какую фигуру на
плоскости мы называем углом, Ира?
(фигуру, образованную
двумя лучами, исходящими из одной точки)
- Какое ещё понятие
угла вы знаете?
( угол - это фигура,
образованная двумя лучами, исходящими из одной точки, а также часть плоскости,
ограниченная этими лучами)
- Прочитайте плоский
угол.
(<O, <COD)
- Какие виды углов на
плоскости мы изучили?
(острый, прямой,
тупой)
- Переходим к рисунку
с пересекающимися прямыми. Обозначьте на рисунке угол между пересекающимися
прямыми за . Катя, какой ты из углов обозначила?
(наименьший из этих
углов)
- Чему будут равны
остальные три угла?
Ребята обозначают
другие углы:
- Какова же может
быть градусная мера угла между пересекающимися прямыми?
()
- Какой особый случай
пересекающихся прямых мы выделяли?
(перпендикулярные
прямые)
- Какие прямые
называются перпендикулярными?
(две пересекающиеся
прямые называются перпендикулярными, если угол между ними равен )
- С каких фигур мы
начали изучение планиметрии?
(точка, прямая)
Учитель изображает на
доске:
.
- Что будет являться
аналогом точки в пространстве?
( либо точка, либо
прямая)
Учитель изображает на
доске:
.
.
- Что будет являться
аналогом прямой в пространстве?
(прямая или
плоскость)
Учитель изображает на
доске:
- Что будет являться
аналогом луча в пространстве?
(луч)
- Кто с этим не
согласен?
(луч или
полуплоскость)
Учитель изображает на
доске:
.
- Что будет являться
аналогом плоского угла в пространстве?
(угол)
II
Содержательная часть:
- Если два луча
плоского угла переходят в лучи, то в пространстве получим угол, а если один из
лучей плоского угла переходит в луч, а другой в полуплоскость, то что мы
получим?
(угол между прямой и
плоскостью)
- Какой ещё возможен
вариант перехода плоского угла в пространство?
( когда лучи плоского
угла перейдут в две полуплоскости)
Учитель изображает на
доске:
а
- При этом, во что
переходит вершина плоского угла?
(в общую прямую двух
этих полуплоскостей)
- Какой мы тогда
получим объект?
(две полуплоскости, с
общей границей)
- Мы с вами получили
новый математический объект. Какая же цель сегодняшнего урока?
( дать определение,
изучить его свойства)
- Обозначим общую
прямую двух полуплоскостей за AB
- Полученную фигуру
будем называть двугранным углом
- Сформулируем
определение двугранного угла.
Двугранным углом
называется фигура, образованная прямой а и двумя полуплоскостями с общей
границей AB, не принадлежащими одной плоскости.
- Данный двугранный
угол будем обозначать так: <(AB) или <αABβ
- Итак, мы получили,
что одним из аналогов плоского угла является двугранный угол, если аналогами
сторон плоского угла являются полуплоскости, которые мы будем называть гранями.
А аналогом вершины плоского угла является общая граница двух граней, которую
будем называть ребром двугранного угла.
Учитель изображает на
доске:
(по ходу ребята
заполняют таблицу)
- В жизни мы часто
встречаемся с предметами, имеющими форму двугранного угла. Приведите примеры.
( )
- Посмотрим, как
измерить двугранный угол?
- Вспомним, как мы
находили угол между скрещивающимися прямыми?
( сводили задачу к
задаче о нахождении угла между пересекающимися прямыми, находили угол между
пересекающимися прямыми)
- Как находили угол
между прямой и плоскостью?
(как угол между
прямой и проекцией этой прямой на данную плоскость)
- Значит, данную
задачу нужно попытаться свести к задаче о нахождении плоского угла. Это
делается следующим образом:
Отметим на ребре
двугранного угла какую- нибудь точку О и в каждой грани из этой точки проведём
луч, перпендикулярный к ребру. Полученный угол будем называть линейным углом
двугранного угла. Постройте линейный угол двугранного угла у себя в таблице?
Учитель проводит
построение на доске.
- Так как двугранный
угол- это не только фигура в пространстве, образованная двумя полуплоскостями с
общей границей, не принадлежащими одной плоскости, но и часть пространства,
ограниченная этими полуплоскостями. Следовательно, линейный угол- это и часть
пространства, ограниченная лучами OC и OD. Покажем это в таблице.
Учитель демонстрирует
на моделях и изображает на доске.
-От чего зависит
величина двугранного угла?
(От линейного угла)
-А точнее?
(От величины
линейного угла, от его градусной меры)
- Итак, чтобы найти
угол между плоскостями нужно выделить двугранный угол, затем построить линейный
угол двугранного угла, найти его градусную меру.
- Какие же могут быть
виды двугранного угла, Лена?
(острый, прямой,
тупой)
- Мы видим, что виды
плоского и двугранного углов аналогичны. Зафиксируем это в таблице.
- Является ли
построенный нами линейный угол единственным для двугранного угла?
(нет)
- Сколько можно
построить линейных углов?
(бесконечно много)
- Почему?
(т.к. точку О мы
выбирали произвольно, а таких точек на ребре двугранного угла бесконечно много)
- Постройте ещё один
линейный угол.
- Катя, как ты
строила данный угол?
(на ребре выбрала
точку , отличную от точки О. И в каждой грани из этой
точки провела лучи, перпендикулярные к ребру. Получила угол <).
- Сравните углы <COD и <.
(Они равны)
- Почему?
Если у учеников
возникает затруднение, то задаём следующие вопросы:
- Какими общими
свойствами обладают лучи OC и ?
(они лежат в одной
полуплоскости и перпендикулярны к прямой AB)
- Что следует из
этого?
(что луч ОА
параллелен лучу )
- Каково направление
этих лучей?
(они являются
саноправленными)
- Каково
направление лучей OD и ?
(они санопрвленые)
- Почему, Миша?
Спросить слабого
ученика.
(данные лучи лежат в
одной полуплоскости с границей АВ и они параллельны между собой)
- Мы получили, что
стороны углов < COD и < соответственно соноправлены. Что из этого следует?
(< COD
= <)
- Почему?
(т.к. стороны углов
< COD и < соответственно соноправлены значит угол < COD
= <)
- Каким теоретическим
положением вы воспользовались при доказательстве равенства углов?
(терема о углах с
саноправленными сторонами)
- Мы с вами показали,
что линейных углов двугранного угла бесконечно много и все они равны между
собой.
- Решим следующую
задачу : две плоскости α и β пересекаются по прямой MN, в
плоскости β лежит точка A, в плоскости α лежит проекция этой точки.
Обозначим её за С. И дана прямая СВ, перпендикулярная MN.
Докажите, что угол АВС- линейный угол двугранного угла AMNC.
- Как мы можем доказать, что данный угол
является линейным?
( докажем, что
стороны АВ и ВС перпендикулярны MN)
- Из условия задачи
мы знаем, что ВC перпендикулярна MN. Значит надо доказать, что АВ перпендикулярна
MN.
- Посмотрим на
рисунок. АВ – наклонная, ВС- её проекция на плоскость α., прямая СВ,
перпендикулярная MN. Тогда по теореме о трёх перпендикулярах ВС
перпендикулярна MN. Т.е. получили, что <ABC-
линейный угол двугранного угла.
- Мы с вами получили
два способа построения линейного угла двугранного угла. Первый способ
заключается в том, что нужно выбрать на ребре двугранного угла точку с этой
точки восстановить перпендикуляры в обеих гранях. В чём же заключается второй
способ? Он заключается в том, что если нам дана точка в одной грани
двугранного угла, тогда сначала нужно найти или построить проекцию этой точки в
другой грани двугранного угла, из полученной (найденной) точки провести
перпендикуляр к ребру. Из точки пересечения построенного перпендикуляра с
ребром двугранного угла строить перпендикуляр в другой грани.
- Посмотрим на третью
строки таблицы. Что изображено на рисунке с права?
(две плоскости)
- Каково их взаимное
расположение?
(они пересекаются)
- Обозначим их через
α и β. Найдите угол между плоскостями α и β.
У ребят возникнет
затруднение.
- Что является
аналогом двух пересекающихся плоскостей на плоскости?
(пересекающиеся
прямые)
- (спросить слабого
ученика) Сколько плоских углов образуют две пересекающиеся прямые?
(четыре)
- Какой из этих углов
будет являться углом между пересекающимися прямыми?
( наименьший из этих
углов)
- Две пересекающиеся
плоскости образуют четыре двугранных угла.
- Углом между
пересекающимися плоскостями будем считать наименьшим из этих углов.
- Какова же может
быть градусная мера угла между пересекающимися плоскостями?
()
- Отметьте этот угол
на рисунке. Сначала построим линейный угол.
Ребята выполняют
построение в таблице и записывают следующее:
Углом между
пересекающимися плоскостями считают угол,
величина которого не
превосходит величин любых из трех остальных углов.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.