Урок математики в 11 классе по теме "Понятие логарифма"

Урок алгебры и начала анализа 11 –й класс

Тема: «Понятие логарифма»

Цели: 1. Повторить свойства показательной функции, ввести понятия логарифма.

2. Развивать логическое мышление, вычислительные навыки, познавательный интерес.

3. Воспитывать трудолюбие.

Оборудование: компьютер, презентация, таблицы логарифмов, индивидуальные карточки-тесты для домашнего задания.

Тип урока: усвоение новых знаний.

Ход урока

I.                  Организационный момент (0,5 минут)

II.               Актуализация опорных знаний (7,5 минут)

Устный опрос с помощью компьютера.

Слайд 1.

1)    Дать определение показательной функции.

2)    Какие из данных функций являются показательными:

а) y=2^x

б) y=x²

в) y=(¾3)^x

г) y= (Ö2)^x

д) y=(x-2)³

е) y=Π^x

ж) y=3^-x

3)                При каких условиях показательная функция является возрастной (убывающей)?

4)                Определить какой является функция – возрастающей или убывающей?

y=5^x

y= (2/3)^x

y= (Ö2)^x

y=Π^x

y= 49^-2/3

5)                Схематически изобразить графики функций, когда a›o, когда 0‹a‹1.

6)                Дана функция y=8^x b и значение аргумента x: 2; 4; -6; -1/8; 0,04; -1/9; 7. Выберите значения x, при котором 8^x›1

7)                При каком значении а график функции y=a^x проходит через точку М (1;2)?

8)                Решить уравнения: а) 5^x=32 б) 10^x = 10000 в) (1/7)^x=49

9)                Назвать важные процессы в природе, которые описываются показательной функцией. Предполагаемые ответы – радиоактивный распад, разложение одноклеточных организмов и др.-

III.            Изучение нового материала.

1.       Постановка проблемы. Определение логарифма (5 минут)

Слайд 2.

Учитель: Подробнее остановимся на процессе радиоактивного распада, который описывается законом M=M_p·a^t, где M_p, М – начальная и конечная массы радиоактивного вещества, а- постоянная распада, t – время распада.

Для различных наук (археология, геология, биология и др.) важную роль играет время распада. Как его найти? A^t = M/ M_p·t-?

Как решить это уравнение?

(Дети: Для того, чтобы решить уравнение относительно t, нужно ввести новый математический символ.

Учитель: Верно. Функция y=a^t – показательная. Известно, что она принимает только положительные значения на своей области определения, причем каждое значение соответствует единственному аргументу, то есть для a^t=b, где b›0, этот показатель t – единственный. Этот показатель может быть найден для каждого b›0. Называют его логарифмом числа b по основании a.

Записывают: t=log_a b. Для нашей задачи t= log_a (М/М_о).

На этом уравнении основан метод датировки археологических находок (древних городищ, ископаемых останков животных). Определение возраста минералов по количеству содержания в них радиоактивных веществ).

2.     Самостоятельная работа с учебником (15 минут)

Учитель: Рассмотрим графическое решение в одной системе координат уравнений 2^x=4; 2^x=8; 2^x=6/

Работаем с рисунками 204, 205.

- Сколько корней имеют эти уравнения? (один)

- Какие это корни? (Предполагаемые ответы 2;3)

- Первые два уравнения решаются легко. Что можно сказать о корне третьего уравнения? (Ответ: По рисунку видно, что 2‹x‹3).

- Положительное или отрицательное это число?

- Между какими числами расположено?

- Как его записать? (ответы детей) (опять с помощью log).

Думая над этой ситуацией математики ввели символ log и с его помощью записывали корень уравнения 2^x=6. Читают: «логарифм шести по основанию 2».

Вопрос обучающимся: при каких значениях числа  уравнение x=log₂ будет иметь решение?

(В случае затруднения этот вопрос сформулировать другими словами: может ли число b=0, b‹0. Вернемся к графическому решению. Существуют ли точки пересенчения? (Ответ: нет). Значит b›0.

Какой можно сделать вывод? Предполагаемый ответ.

Вывод: Так можно рассуждать о любом уравнении вида a^x=b, где a›0, b›0. a≠1. Единственный корень записывают так: x= log_ab. Представить обучающимся самостоятельно сформулировать определение логарифма (1-2 ученика выслушать).

Если определение дано неточно, прочитать по учебнику, разобрать его в случае, если не все поняли. В записи log_ab числа a называют основание логарифма а число b – подлогарифмическим выражением.

3.     На экране компьютера примеры: (устно)

Слайд 3.

log₂8 = 3, так как 2³ = 8

log₃ (1/27)=- так как (3^-3 = 1/27)

log_1/5 25 = -2, так как ((1/5)^- = 25

log₄^2=1/2, так как (4^1/2=2)

Учитель: Логарифм по основанию 10 принято называть десятичным логарифмом, записывают lg. Привести пример.

Показать таблицу логарифмов.

Слайд 4

Найти

log₅5=          вывод  log_a a=1

log₂2 =

log₃3⁴=4            вывод    log_a a^с=c

log₅5^-2/3 = -

 

log₃1=0      вывод   log_a 1=0

log₈1=0

4.     Определение логарифма можно написать так

A ^logab=b, где a›0, a≠1,  b›0.

IV.            Закрепление (15 минут).

1.     На доске по очереди решают , комментируя решение

№41,3 – 41,6 (б)

№41,7 – 41,9 (б,г)

Слайд 5

2.     А что нам предлагает ЕГЭ по единой теме?

Вычислите:

а) 7·5^log₅ ²

б)3 ^log₃ ⁷

в) 60/6 ^log₆ ⁵

г) 18/3 ^log₃ ²

V.               Подведение итогов урока. Рефлексия (1,5 минут)

Выставление оценок.

Слайд 6.

Продолжите фразу:

«Сегодня на уроке я научилась……»

«Сегодня на уроке я узнала….»

«Сегодня на уроке я повторила…..»

«Сегодня на уроке я закрепила….»

VI.            Домашнее задание: раздаю индивидуальные карточки-тесты (0,5 минут)

Знакомство с логарифмом не заканчивается, на следующих уроках мы продолжим работу над определением логарифма, познакомимся с графиком логарифмической функции, свойствами, будем решать уравнения, неравенства. Уравнения, неравенства есть в материалах ЕГЭ. Урок хочу закончить словами французского ученого Лапласа: «Логарифмы сократили вычисления, удлиняя жизнь». Желаю, чтобы знакомство  с логарифмами и вам помогло в жизни, удлиняя её и добавляя в неё красоту.

Карточки

Домашнее задание

1 уровень сложности

№1(Булычева Анна)

1.                 Вычислить: а) log_1Ö3 27

1)    6; 2) -3) -6: 4) Ö6

2)     

б) log_1Ö2 1/Ö

1)0,1; 2) 5; 3) -5; 4) –

г) log_1/152·5³Ö15

а) 2; б) -2 1/3; в) 2 1/3 г) ³Ö15

2.                 Вычислить: а) 9·6^log ₆ ²

б) 10/2 ^log ₂ ⁵

в)15/5 ^log ₅³

3.            Какое из выражений имеется смысл:

1)    log₄ tg 46⁰

2)    log₄ cos 0

3)    log₂ 0?8

4)    (log₂0,45) 2/3

а)3; б) 2; в) 1; г) 4

§41. Выучить определение логарифма. Доказать, что число log₂6 – иррациональное

1 уровень сложности

№2 Степанова Диана

4.                 Вычислить: а) log_Ö381 Ö3

1.     9; 2) -3) Ö3; 4)-Ö3

б) log₈^-3

1) -2; 2) -4; 3) -3; 4) 0

в) log_1Ö3 1

1) 0; 2) 1; 3) -1; 4) 1/Ö3

г) log_3/2 64/729

1) 6; 2) -6; 3) 1/6; 4) -1/6

2.     Вычислить:

а) 10·3^log ₃ ⁵

б) 12/3 ^log ₃ ⁴

в) 6/8 ^log ₈⁵

§ 41. Как в №1

2 уровень сложности

№3 Сопина Екатерина

а) log₂8

1) -3; 2) 1; 3) 0; 4) 3

б) log₃3⁴

1) 3; 2) -3; 3) 4; 4) -4

в) log₄1

1_ 4; 2) -1; 3) 1; 4) 0

г) log₉81

1) 9; 2) -9; 3) 81; 4) 2

2. Вычислить:

а) 6 ^log ₆ ⁷

б) 80/3 ^log ₃ ⁷

в) 7·5 ^log ₅ ³