Урок на тему «Наибольшее и наименьшее значение функции» (11 класс)

Урок на тему «Наибольшее и наименьшее значение функции»

Цели урока.

Образовательные: дать определение наибольшего и наименьшего значений, выявить, в каких точках области определения функция может иметь наибольшее и наименьшее значение, составить алгоритм отыскания наибольшего и наименьшего значений.

Развивающие: совершенствование умений по применению приемов мышления, овладение содержанием и структурой поисковой работы.

Воспитательные: умение высказывать и аргументировать свою точку зрения, воспитывать работу в команде.

Структура урока.

I. Актуализация знаний.

• Мобилизующее начало
• Фронтальный опрос по теме «Исследование функции на монотонность и экстремумы» с целью актуализации знаний
• Самостоятельная работа по теме «Исследование функции на монотонность и экстремумы» с целью проверки усвоения темы
• Беседа с целью мотивации изучения новой темы, постановка цели и задач урока

II. Формирование новых знаний и способов действия.

• Фронтальная исследовательская работа поискового характера с целью определения, при каком значении аргумента функция может принимать наибольшее или наименьшее значение 

o   Обсуждение результатов исследовательской работы и их обобщение с целью определения того, как аналитическими средствами можно найти точки, в которых функция принимает наибольшее или наименьшее значение.

• Беседа с целью составления алгоритма для отыскания наибольшего и наименьшего значений

III. Применение знаний, умений и навыков.

• Решение задач с целью усвоения алгоритма на материализованном уровне
• Подведение итогов урока, постановка домашнего задания

Ход урока.

I. Актуализация знаний.

• Мобилизующее начало(1 мин.)

o   Фронтальный опрос по теме «Исследование функции на монотонность и экстремумы» с целью актуализации знаний

Здравствуйте.

Давайте с вами вспомним, что мы изучали на протяжении последних уроков? (Экстремумы функции) Какие точки мы назвали точками максимума, минимума? (точкой максимума называется такая точка, в которой функция принимает наибольшее значение в окрестности этой точки. Точкой минимума называется такая точка, в которой функция принимает наименьшее значение в окрестности этой точки).

 И конечно же давайте вспомним алгоритм исследования функции на монотонность и экстремумы:

1.      Найти производную функции f`(x)

2.      Найти стационарные и критические точки: f`(x)=0, f`(x) – не существует.

3.      Отметить стационарные  и критические точки на числовой прямой и определить знаки производной на получившихся промежутках

4.      Записать точки экстремума, опираясь на следующее правило: при переходе через критическую(стационарную) точку производная меняет знак с плюса на минус – точка максимума, производная меняет знак с минуса на плюс – точка минимума.

o   Самостоятельная работа по теме «Исследование функции на монотонность и экстремумы» с целью проверки усвоения темы

Чтобы проверить, как хорошо вы усвоили данную тему, напишем небольшую самостоятельную работу, в которой требуется исследовать функцию на монотонность и экстремумы, а также по графику производной функции определить промежутки возрастания (убывания) и указать точки экстремума.

Самостоятельная работа.

1 вариант

1.Исследовать функцию на монотонность и экстремумы:

2. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (-∞;+ ∞). Укажите точки максимума функции, а также промежутки убывания функции.

2 вариант

1.Исследовать функцию на монотонность и экстремумы:

2. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (-∞;+ ∞). Укажите точки минимума функции, а также промежутки возрастания функции.

• Беседа с целью мотивации изучения новой темы, постановка цели и задач урока

Ребята, посмотрите на график и назовите наибольшее и наименьшее значение функции. ( наибольшее значение = 7, наименьшее значение = -3)

Все правильно. Как видите, определить наибольшее и наименьшее значение функции по ее графику нам не составило труда. Но нам может быть не дан график, а дано аналитическое задание функции, график которой нам будет сложно построить. Нам снова совершенно необходимо найти способ определения наиб. и наим. значения функции не строя график.

Для того, чтобы выяснить, в каких точках области определения функция может принимать наибольшее и наименьшее значение, воспользуемся тем, что мы умеем это делать по графику функции.

Для этого рассмотрим следующие графики:

- Посмотрите на первый график и скажите, в каких точках функция принимает свое наибольшее и наименьшее значение?(наибольшее в точке с, а наименьшее в точке b)

- А чем являются эти точки?(точка с – точка максимума функции, точка b – точка минимума функции)

-  Посмотрите на второй график и скажите, в каких точках функция принимает свое наибольшее и наименьшее значение?(наибольшее в точке d, а наименьшее в точке а)

- А чем являются эти точки?(эти точки – концы области определения функции)

-  Посмотрите на третий график и скажите, в каких точках функция принимает свое наибольшее и наименьшее значение?(наибольшее в точке b, а наименьшее в точке а)

- А чем являются эти точки?(точка b – это точка максимума функции, точка а – граница области определения функции)

- Всё верно. Мы рассмотрели различные примеры функций, заданных графически. Давайте сделаем вывод, в каких точках области определения функция может иметь наибольшее и наименьшее значения. ( в точках экстремума или на концах отрезка, являющимся областью определения функции)

- Как вы думаете, как аналитическими средствами можно найти наибольшее или наименьшее значение функции, опираясь на тот вывод, который мы сделали?(найти значение функции в точках экстремума и на концах отрезка, являющимся областью определения функции)

- Достаточно ли нам знаний, чтобы это сделать?(да, найти значение функции в точке экстремума – значит найти экстремум функции, а это мы уже умеем делать по алгоритму)

- А что значит найти значение функции на концах отрезка, являющимся областью определения функции? (для этого нужно подставить граничные значения области определения в функцию)

- Да, верно! Мы нашли значения функции в точках экстремума и на концах промежутка, как теперь найти наибольшее или наименьшее значение функции? (все полученные значения нужно сравнить: большее число – это будет наибольшее значение функции, меньшее число – наименьшее значение функции)

- Вы правильно рассуждали, давайте теперь составим алгоритм для отыскания наибольшего и наименьшего значения функции:

Алгоритм отыскания наибольшего и наименьшего значения функции:

1. Найти критические (и стационарные) точки функции на области определения функции.
2. Найти значения функции в критических точках и на концах отрезка, являющимся областью определения функции
3. Выбрать из полученных значений наибольшее и наименьшее, если они существуют

Елена Игоревна, мы специально рассмотрели случай, когда обл. опр-я ф-ции отрезок, а случай с интервалом рассмотрим на примере специально подобранной задачи.

o   Решение задач с целью усвоения алгоритма на материализованном уровне.

- Теперь применим этот алгоритм при решении задач. Он перед вами, поэтому при решении задач проговариваем каждый пункт и выполняем четко его шаги.

Задание:

 Найти наибольшее и наименьшее значения функции:   на отрезке [0,2]

Решение:

Если останется время, то решаем аналогичные задания.

o   Подведение итогов урока, постановка домашнего задания

– Сегодня на уроке мы с вами научились находить наибольшее и наименьшее значения функции, составили алгоритм для их отыскания.

Давайте его ещё раз повторим:

1. Найти критические (и стационарные) точки функции на области определения функции.

2.Найти значения функции в критических точках и на концах отрезка, являющимся областью определения функции

3.Выбрать из полученных значений наибольшее и наименьшее, если они существуют

Домашнее задание аналогично тому, что решали на уроке.