Урок по теме: "Решение задач на смеси, растворы и сплавы"
Ансокова Татьяна
Адальбиевна учитель
математики
Тип урока: обобщающий
урок, систематизация изученного материала.
Цели урока:
·
Прорешать задачи на смеси, растворы и сплавы различными
способами
·
Развивать логическое мышление учащихся, устную и письменную речь
·
Развивать интерес к предмету, внимание, воспитывать аккуратность
и самостоятельность
ХОД УРОКА
I. Оргмомент
Человеку часто приходится смешивать различные жидкости, порошки,
вещества или разбавлять что-либо водой. Текстовые задачи на смеси, сплавы и
растворы входят в различные сборники заданий по математике ОГЭ и ЕГЭ.
II. Актуализация опорных знаний
Если два сплава ( раствора) соединяют в один «новый» сплав
(раствор), то сохраняется объём (V = V1 +
V2) и масса (m = m1 +
m2). Это свойство называют законом
сохранения объёма и массы.
Пример: Если сплав содержит
золото и медь в отношении 5 : 9, то в этом сплаве 5/14 от массы сплава
составляет золото, а 9/14 – масса меди.
Абсолютное содержание вещества в смеси –
это количество вещества, выраженное в единицах измерения (литр, грамм и др.)
Относительное содержание вещества в смеси – это
отношение абсолютного содержания к общей массе ( объёму) смеси.
Относительное содержание называют концентрацией или процентным
содержанием.
Сумма концентраций всех компонентов смеси равна 1.
Например, если раствор содержит 30% кислоты, то чистая кислота занимает в этом
растворе 0,3 всего объёма. Значит концентрация кислоты в растворе 0,3.
III. Закрепление материала решением задач
Задача 1. Смешивают
200г 80%-го раствора соли и 700 г 20%-го раствора той же соли. Сколько соли в
полученном растворе?
Решение: В первом растворе 0,8 * 200
= 160г соли, во втором 0,2 * 700 = 140 г. Значит в полученном растворе 160 +
140 = 300 г соли.
Задача 2. Какой
раствор получится при смешивании 300г 50% раствора соли и раствора, в котором
150 г соли составляют 25%?
Решение: В первом растворе 0,5 * 300
= 150 г соли, во втором растворе 150г соли составляют 25%. Значит всего второго
.раствора 150 : 0,25 = 600 г. В двух растворах вместе 300 + 600 = 900 г,
а соли в них 150 + 150 = 300 г. Концентрация смеси составляет 300 : 900 * 100%
= 30%.
Задача 3. Имеются
сплавы золота и платины. В одном эти металлы находятся в соотношении 3:5, а в
другом 5:7. Сколько нужно взять от каждого сплава, чтобы получить 1 кг нового
сплава, в котором соотношение золота и платины было бы 6 : 9?
Решение: Пусть масса первого сплава
составляла х кг, масса второго сплава – у кг. Тогда х + у = 1 (1)масса нового
сплава.
Золота в этом сплаве выражено уравнением: 3/8х + 5/12у = 6/15 * 1(2),
платина 5/8х + 7/12у = 9/15 * 1(3).
Решая, например, систему, состоящую из уравнений (1) и (3), получаем, что х =
2/3 кг у = 1/3 кг
Задача 4. Имеются
два сплава золота с серебром. Один сплав содержит 20% золота, а второй 70%
золота. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получилось 100г , содержащего
40% золота?
Решение: Пусть первого сплава нужно
взять х г, а второго = – у г. Тогда х + у = 100 и 0,2х + 0,7у = 0,4 *
100.
Решая полученную систему, получим х = 60г у = 40 г
Задача 5. Смешали 20% соляной раствор с
70% раствором и получили 500г 30% раствора. Сколько граммов каждого раствора
надо было взять?
Решение: Обозначим массу первого
раствора за х г , тогда масса второго (500 – х) г. Соль в этом растворе
составляет 0,2х + 0,7(500 – х) = 500 * 0,3.
Решая уравнение, получим х = 400 г. Значит второго раствора надо взять 100 г.
Задача 6. Имеется
лом стали двух сортов с содержанием никеля 5% и 40%. Сколько нужно взять
металла каждого из этих сортов, чтобы получить 140 т стали с содержанием 30%
никеля?
Используем графики: приравняем площади равновеликих
прямоугольников:
10х = 25 * (140 – х)
х = 100
140 – 100 = 40
Ответ: 100т и 40т
Задача 7. Имеется
два кислотных раствора : один 10%, другой 40%. Взяли 1л первого и 2л второго и
образовали новый раствор. Какова концентрация кислоты в новом растворе?
Решение: В первом растворе 0,1 * 1л
= 0,1л «чистой» кислоты, во втором 0,4 * 2л = 0,8л «чистой» кислоты. Новый
раствор объёмом 1л + 2л = 3л содержит 0,1 + 0,8 = 0,9л «чистой» кислоты. Значит
концентрация кислоты в новом растворе равна 0,9:3 = 0,3 или 30%.
Задача 8. Имеется
руда из двух пластов с содержанием цинка 6% и 12%. Сколько руды с меньшим
содержанием цинка надо взять, чтобы получить при смешивании с рудой с
большим содержанием 40т руды содержанием 9% цинка?
Решение: Пусть руды с меньшим
содержанием цинка надо взять х т Она будет содержать 0,06х т цинка. Тогда
руды с большим содержанием цинка надо взять (40 – х)т и она будет содержать
0,12(40 – х) т цинка Так как 40т руды будут содержать 40 * 0,09 = 3,6т цинка,
то получим уравнение: 0,06х + 0,12(40 – х) = 3,6; откуда х = 20.
Ответ: 20
т руды с 6% содержанием цинка.
Задача 9. Старинный способ решения задач на смешивание двух
веществ
У некоторого человека были на продажу масла двух сортов: одно ценою
10 гривен за ведро, другое же 6 гривен за ведро. Захотелось ему сделать из этих
масел, смешав их, масло ценою 7 гривен за ведро. Какие части этих масел нужно
взять, чтобы получить ведро масла ценою 7 гривен?
Решение:
Из схемы делаем вывод, что дешевого масла надо взять втрое
больше, чем дорогого, т.е. для получения одного ведра ценою 7 гривен, нужно
взять дорогого масла 1/4 ведра, а дешевого 3/4 ведра.
Задача 10. Способ Л. Ф.
Магницкого для трёх веществ
Некто имеет чай трёх сортов – цейлонский по 5 гривен за фунт,
индийский по 8 гривен за фунт и китайский по 12 гривен за фунт. В каких долях
надо смешать эти сорта, чтобы получить чай стоимостью 6 гривен за фунт?
Решение:
Взять 6 + 2 = 8 частей чая ценой 5 гривен за фунт и по одной
части ценой 8 гривен и 12 гривен за один фунт. Возьмем 8/10 фунта чая ценой по
5 гривен за фунт и по 1/10 фунта чая ценой 8 и 12 гривен за фунт, то получим 1
фунт чая ценное 8/10 * 5 + 1/10 * 8 + 1/10 * 12 = 6 гривен.
Задача 11. Сплавили два слитка золота 50
г 595 пробы и 150 г 375 пробы. Определить пробу слитка.
Решение:
Пусть проба сплава равна х. Составим диагональную схему:
375
(150г)
х – 595
Получаем: (375 – х) : (х – 595) = 50 : 150
1125 – 3х = х = 595
х = 430
Ответ: сплав 430 пробы.
«Правило креста»
При решении задач на смешивание растворов различных концентраций
используется «правило креста». В точке пересечения двух прямых обозначают
концентрация смеси. У концов этих прямых слева от точки пересечения указывают
концентрации составных частей смеси, а справа – разности концентраций смеси и
её составных частей.
Например, для приготовления 30 г 80%-го раствора кислоты
требуется взять 20 г 90%-го и 10 г 60%-го растворов кислоты.
Задача 12. От двух кусков сплава массами
3 и 2 кг с концентрацией меди 0,6 и 0,8 отрезали по куску равной массы. Каждый
из отрезанных кусков сплавлен с остатком другого куска, после чего концентрация
меди в обоих сплавах стала одинаковой. Какова масса каждого из отрезанных
кусков?
Решение: Обозначим массу отрезанных
кусков за х. Так как в обоих сплавах концентрация меди после двух операций
стала одинаковой, то массы сплавов и массы меди в этих сплавах пропорциональны.
Первоначально массы меди в сплавах равны 3 * 0,6 = 1,8 кг и 2 * 0,8 = 1,6кг.
После того, как отрезали куски массой х кг, содержание меди стало 0,6 * (3 – х)
и 0,8 * (2 – х), а после сплавления 0,6 * (3 – х) + 0,8х и 0,8 * (2
– х) + 0,6х
х
= 1,2
Ответ: 1,2 кг
Задача 13. Латунь – сплав меди и
цинка. Кусок латуни содержит на 11 кг больше, чем цинка. Этот кусок латуни
сплавили с 12 кг меди и получили латунь, в котором 75% меди. Сколько кг меди
было в куске латуни первоначально?
Решение: Обозначим искомую величину
за х. Тогда масса первоначального куска латуни 2х – 11А его содержание меди
Составляет процентов.
Поскольку «медность» куска меди составляет 100%, то по правилу квадрата
получаем:
Задача 14. В бидон налили 4 л молока
3%-й жирности и 6 л молока 6%-й жирности. Сколько % составляет жирность молока
в бидоне?
Решение: Обозначим искомую величину
за х. По правилу квадрата получим: и составим пропорцию:
IV. Самостоятельная работа
1. Сплавили 2кг цинка и меди , содержащего 20% цинка и 6 кг
сплава цинка и меди, содержащего 40% цинка. Найдите процентную концентрацию
меди в получившемся сплаве. (Ответ: 65% меди в новом сплаве)
2. Для приготовления маринада необходим 2%-й раствор уксуса.
Сколько надо добавить воды в 100 г 9%-го уксуса, чтобы получить раствор для
маринада? (Ответ: 350г воды)
V. Домашнее задание
Морская вода содержит 5% соли по массе. Сколько пресной воды
нужно добавить к 30 кг морской воды, чтобы концентрация соли составляла 1,5%?
Используемая литература:
1.
Сборники подготовки к ЕГЭ, 2014 и 2015 год
2. Справочник по элементарной математике под редакцией П.Ф. Фильчакова,
«Наукова Думка», Киев, 1972 год
3. Г.Г.Мамонтова «Математика. Подготовка к ЕГЭ», Москва «Новое знание», 2013 г.
.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.