Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

библиотека
материалов



2015


Департамент профессионального образования Томской области Областное государственное бюджетное образовательное учреждение среднего профессионального образования « Асиновский техникум промышленной индустрии и сервиса»







hello_html_9e9a0fb.gif



hello_html_f110e41.jpg







Учебное пособие по элементам высшей математики

Асиновский техникум промышленной индустрии и сервиса. - 2015.







Составитель:

Л.В. Журавлёва, преподаватель математики



Учебное пособие по элементам высшей математики предназначено студентам СПО, обучающимся по профессии 260807 Технология продукции общественного питания







Рассмотрено на заседании методического объединения общеобразовательных дисциплин

Протокол № от .. 2015 г.











Пояснительная записка


Данное учебное пособие по математическому анализу предназначено для студентов по профессии 260807 Технология продукции общественного питания.

Пособие написано в соответствии с требованиями государственных стандартов в области математики для специалистов среднего звена.

Пособие содержит все необходимые определения, формулы, теоремы, входящие в курс математики средних учебных заведений.

Это не только учебное пособие, но и краткое руководство к решению задач по основам высшей математики. Излагаемые в достаточно краткой форме с необходимыми обоснованиями основные положения учебного материала сопровождаются большим количеством задач, приводимых с решениями и для самостоятельной работы.















Содержание

Пояснительная записка……………………………………………3

Глава 1. Последовательности…………………………………….

    1. Определение и свойства последовательностей………....6

    2. Предел числовой последовательности.

Предел функции………………………………………………..7

    1. Непрерывность функции в точке……………………….11

Упражнения…………………………………………………...11

Глава 2. Математический анализ…………………………………

2.1. Определение производной………………………………14.

2.2. Правила вычисления производной……………………..15

Упражнения …………………………………………………..16

2.3. Исследование функции методами

дифференциального исчисления……………………………..17

2.31. Исследование функции на возрастание и убывание..17

2.32. Исследование функции на экстремум………………..18

2.33. Наибольшее и наименьшее значения функции

на отрезке ………………………………………………………20

2.34. Исследование функции на выпуклость, вогнутость

и точки перегиба ……………………………………………….21

2.35. Асимптоты графика функции………………………...24

2.36. Общая схема исследования функции и построения

их графиков……………………………………………………..26

Упражнения……………………………………………………..28

2.4. Неопределенный интеграл…………………………………

2.41. Первообразная функции и неопределенный

интеграл ………………………………………………………..29

2.42. Свойства неопределенного интеграла.

Интеграл от основных элементарных функций………………31.

2.43. Методы интегрирования………………………………33

Упражнения……………………………………………………..37

2.5 Определенный интеграл……………………………………38

2.51. Понятие определенного интеграла,

его геометрический смысл……………………………………..41

2.52. Свойства определенного интеграла.

Формула Ньютона-Лейбница…………………………………..

    1. Вычисление площади плоских фигур…………………42

Упражнения………………………………………………………45

2.6. Производная высшего порядка…………………………….45

Упражнения………………………………………………………46

2.7. Функция нескольких переменных …………………………46

Упражнения………………………………………………………47

Глава 3. Ряды…………………………………………………………

3.1. Числовые ряды. Сходимость рядов………………………..48

3.2. Необходимый признак сходимости.

Гармонический ряд. Геометрический ряд……………………..49

3.3. Ряды с положительными членами………………………....50

3.4. Знакочередующиеся ряды………………………………….52

Упражнения………………………………………………………53

3.5. Степенные ряды…………………………………………….53

Упражнения……………………………………………………...56

Раздел 4. Численное интегрирование.

4.1 Приближенные методы вычисления определенных

интегралов………………………………………………………..56

Упражнения……………………………………………………...60

Список литературы ……………………………………………..61



















Глава 1. Последовательности.

Тема 1.1 Определение и свойства последовательностей.


Множество чисел, каждое их которых снабжено своим номером, называется числовой последовательностью.

Элементы этого числового множества называются членами последовательности: х1, х23,…хn,…

Чаще всего эта последовательность подчиняется какому-нибудь правилу.

Способы задания последовательностей

  1. Аналитический способ задания последовательности.

Задать последовательность аналитически- это значит указать формулу, позволяющую по номеру члена последовательности однозначно определить этот член. Формула, позволяющая вычислить любой член последовательности по его номеру, называется формулой общего члена числовой последовательности.

Например, формулы общего члена

hello_html_m1e919685.gif

задают соответственно следующие числовые последовательности:

hello_html_13449014.gif

  1. Рекуррентный способ задания последовательностей.

Рекуррентный способ задания состоит в том, что задается первый член( или несколько первых членов) последовательности указывается формула вычисления последующих членов последовательности по заданному первому члену( или нескольким членам).


Например, по первому члену и формуле вычисления последующих членов последовательности

a1=1, an+1=an+1 ,nhello_html_7d780935.gif

задается следующая последовательность:

1, 2, 3, 4, …, n-1, n, n+1, …hello_html_m53d4ecad.gif

Последовательности бывают: ограниченные (если последовательность задается конечным числом элементов) и бесконечные ( если последовательность задается бесконечным числом элементов).

Последовательность называется монотонно возрастающей, если для любого натурального n выполнено неравенство

xn+1>xn.


Последовательность называется монотонно убывающей, если для любого натурального n выполнено неравенство

xn+1<xn.

Пример: Доказать, что последовательность, задаваемая формулой общего члена hello_html_m74e9c804.gifвозрастающая.


Решение : Рассмотрим разность

hello_html_m6e66c8d6.gif и проверим выполнение hello_html_m53d4ecad.gifнеравенства hello_html_2c9bb9c4.gif для всех hello_html_m5e73f74f.gif: hello_html_m53d4ecad.gif


hello_html_2e7e0aac.gif

Так как последнее неравенство справедливо для всех hello_html_m374b81e9.gif, то, данная последовательность –возрастающая.


Тема 1.2 Предел числовой последовательности. Предел функции.


Если числовая последовательность монотонна и ограниченна, то она имеет предел.

Число к которому стремится последовательность называют пределом последовательности, и пишут lim xn=a .


Вычисление пределов.

При вычислении пределов могут помочь их арифметические свойства. Пусть для последовательностей xn и yn существуют пределы hello_html_326251c4.gif. Тогда существуют пределы для суммы(разности), произведения и частного этих последовательностей, и справедливы равенства :

hello_html_837bdbc.gif


Однако воспользоваться арифметическими свойствами пределов удается далеко не всегда. Может случиться , что нет предела у одной или обеих последовательностей, но для их арифметических операций предел существует. Во всех подобных случаях говорят о неопределенностях, которые стремятся раскрыть. Существует несколько видов неопределенностей: hello_html_m67b38366.gif

Некоторые приемы раскрытия неопределенностей.

  1. Если в числителе и знаменателе дроби стоят многочлены относительно n , то при вычислении ее предела при nhello_html_m6b7fc4d1.gifhello_html_m74e6612e.gifполезно поделить числитель знаменатель на старшую степень n, присутствующую в многочленах.

Пример. Вычислить предел:

hello_html_3c712e85.gif.

Решение : hello_html_7d20c4b0.gif

Ответ: -1


  1. При вычислении предела отношений двух функций, при hello_html_107a881e.gif, необходимо произвести сокращение числителя и знаменателя дроби на общий множитель.

Пример. Вычислить предел:

hello_html_m49fdfb62.gif.

Решение:

hello_html_339b7c13.gif

Ответ: hello_html_3d024947.gif

  1. Вычисление предела от иррационального выражения иногда можно осуществить переводом иррациональности из числителя в знаменатель или наоборот. Для этого и числитель и знаменатель дроби, стоящей по знаком предела, надо умножить на выражение сопряженное подкоренному.


Пример. Вычислить предел:

hello_html_m73c86d0.gif.

Решение:

hello_html_6113614d.gif

Ответ: 0.

  1. При вычислении пределов выражений, содержащих тригонометрические функции, часто используется предел

hello_html_m1228dfa2.gifhello_html_m53d4ecad.gif

Пример . Вычислить предел:

hello_html_m1b450cf9.gif

Решение :

Преобразуем, числитель дроби по формуле hello_html_6988df04.gif

Тогда получаем

hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_11521efe.gif

Ответ: 0.

  1. Правило Лопиталя :

Предел отношения двух функций равен пределу отношения их производных, если последний существует в указанном смысле.

Пример : Вычислить предел:

hello_html_5a72de78.gif

Решение :

hello_html_484536fa.gif

Ответ: 0.




Тема 1.3 Непрерывность функции в точке.


  • Функция f(x), определенная на промежутке (а;b), называется непрерывной в точке х0hello_html_1b304fd0.gif, если:

  1. существует предел hello_html_m5d26a7c.gif;

  2. этот предел равен значению функции в точке х0, т.е.

hello_html_m7e53d0b5.gif

Пример : Доказать непрерывность функции

f(x)=3х2+5х, в точке х=2.

Решение:

hello_html_75b75a9.gif

С другой стороны , значение функции в точке 2 тоже равно 17. Следовательно, равенство hello_html_5075a956.gif выполняется и данная функция непрерывна в точке х=2 .


  • если hello_html_m52a1d3cb.gif существует, но функция не определена в точке х0, то говорят, что х0- точка устранимого разрыва. В этом случае можно доопределить функцию f(x) «по непрерывности», положив

hello_html_179149e7.gif.

Пример . Доопределить функцию

hello_html_16158968.gif в точке х=2 по непрерывности.

Решение :

точка х=2 не принадлежит области определения данной функции, но

hello_html_m5e5a01e.gif

Доопределяя функцию f(x) в точке х=2 значением, равным, 4, получаем функцию

hello_html_16b2b903.gif

Которая на всей области определения исходной функции совпадает с исходной функцией и будет непрерывной на всей числовой оси.

Ответ: hello_html_6796b0b4.gif=4.



Упражнения:

Вычислить предел:

1

hello_html_69700388.gif

2

hello_html_8fab2cd.gif

hello_html_m53d4ecad.gif3

hello_html_m706809a8.gif


4

hello_html_m38e9cdfa.gif

hello_html_m53d4ecad.gif

5

hello_html_1b2e9423.gif

6

hello_html_md373132.gif

Доопределить функции по непрерывности:


1 hello_html_2756363e.gif в точке х=3.

2 hello_html_64153701.gif в точке х=0.

3 hello_html_3fe03570.gif в точке х=0.

hello_html_m53d4ecad.gif





Глава 2. Математический анализ.


Тема 2.1 Определение производной.


Производной функции у=f(x) называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю ( если этот предел существует):

hello_html_m2502c4be.gif

Нахождение производной функции называется дифференцированием этой функции.

Геометрический смысл производной: производная hello_html_3da8daae.gifесть угловой коэффициент( тангенс угла наклона) касательной, проведенной к кривой hello_html_18a58ebd.gif в точке х0, т.е. hello_html_298d32b1.gif

y= f(x0)+f/(x0)(x-x0)- уравнение касательной.



Механический смысл производной: производная пути по времени hello_html_28bd3345.gif есть скорость точки в момент hello_html_m2c84c7c8.gif

Пример : Написать уравнение касательной функции f(x)= х4+5х2-4 в точке х0=1.

Решение:

1) найдем значение функции в точке х0: f(1)= hello_html_64ead2a0.gif;

2) вычислим производную: f/(x)=4х3+10х;

3) найдем значение производной в точке х0: f/(1)= hello_html_m5a5ea750.gif=14.

Подставляя в формулу уравнения касательной получаем:

у=2+14(х-1)=hello_html_3b6dccc5.gif

Ответ : у= 14х-12.







Тема 2.2 Правила вычисления производной.


  1. производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна такой же сумме производных этих функций, т.е.

hello_html_599d0dc6.gif

  1. Производная произведения двух дифференцируемых функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго, т.е.

hello_html_m61f3c9fd.gif

  1. Производная частного двух дифференцируемых функций может быть найдена по формуле

hello_html_m79491cb6.gif (при условии, что vhello_html_504a29.gif).


Таблица производных


п/п

Функция

у

Производная

у/

п/п

Функция

у

Функция

у/

1

с

0

11

loga u

hello_html_m4ce12bd0.gif

2

х

1

12

sin u

cos u.u/

3

hello_html_c6cd7b9.gif

hello_html_26f7e32c.gif

13

cos u

-sin u.u/

4

hello_html_76fe399b.gif

hello_html_42743e21.gif

14

tg u

hello_html_m4f72c138.gif

5

un

n un-1.u/

15

ctg u

hello_html_m4c8be6ea.gif

6

hello_html_m37378cca.gif

hello_html_m2c4b4466.gif

16

arcsin u

hello_html_2c1a0228.gif

7

hello_html_1a972f87.gif

hello_html_383867bf.gif

17

arccos u

hello_html_1a0abcb4.gif

8

eu

eu.u/

18

arctg u

hello_html_m2a0d3f90.gif

9

au

aulna.u/

19

arcctg u

hello_html_m6ccd6bed.gif

10

ln u

hello_html_m51b2c607.gif

20

kx+b

k

Упражнения:


1 Вычислить производную:

1

1) f(x)= (x+1)100; 2) f(x)= cos(6x+п); 3) f(x)= tg(hello_html_71c2bc96.gif;

4) f(x)= sin6x(x-5) ; 5) f(x)= hello_html_6e4597f0.gif; 6) f(x)= hello_html_3e88e400.gif .


2

  1. f(x)= arcos(hello_html_a225101.gif; 2) f(x)= ln(1+sin3x); 3) f(x)= hello_html_182b3719.gif;

4) f(x)= 43x(1+tgx); 5) f(x)= hello_html_m1af4fb21.gif; 6) f(x)= sin2(cos3x).


3


  1. f(x)= x3+2x-cos3x; 2) f(x)= (x+3)4; 3) f(x)= cosx3;

  1. f(x)= tg6xhello_html_m49244596.gif; 5) f(x)= hello_html_m1d55fc0f.gif; 6) f(x)= ln(6x+5)


4


  1. f(x)= 4x+5coshello_html_66b3e664.gif-arcsin(hello_html_1bfc1af9.gif+hello_html_m495b4df4.gif); 2) f(x)= log3(2-5x);

3) f(x)= 4x+5arctg(hello_html_6b39c283.gif);4) f(x)= hello_html_c2515c7.gif;

5) f(x)= hello_html_m346b756d.gif; 6) f(x)= hello_html_m75a1be1.gif


5

1) f(x)= hello_html_2d3506b2.gif; 2) f(x)= ln2(x+2); 3) f(x)= arcctg(hello_html_20508a36.gifhello_html_m53d4ecad.gif;


4) f(x)= cos2x(5x-3)3; 5) f(x)= hello_html_fdb4ee0.gif; 6) f(x)=hello_html_mc658cc9.gif.


2 Написать уравнение касательной:

  1. у= -2х2+4х-4, в точке х=3 ; 2) у=hello_html_m20c44583.gif в точке х=2;

3 Дана кривая у=х2-2х. Составить уравнение касательных в точках пересечения ее с прямой 3х+у-2=0.


Тема 2.3 Исследование функции методами дифференциального исчисления

2.31 Исследование функций на возрастание и убывание

Теорема (достаточное условие возрастания функции) Если производная дифференцируемой функции положительна внутри некоторого промежутка Х, то она возрастает на этом промежутке.

Теорема (достаточное условие убывания функции) Если производная дифференцируемой функции отрицательна внутри некоторого промежутка Х, то она убывает на этом промежутке.

hello_html_m1fb2d3d3.gif у у

hello_html_m1fb2d3d3.gifhello_html_7dedaad1.gifhello_html_m77548848.gifhello_html_72640cc.gifhello_html_23e3cbb5.gifhello_html_5315655e.gif

hello_html_m7cf8316e.gif

hello_html_28da94f9.gif

hello_html_711d87e4.gifhello_html_711d87e4.gif

hello_html_7931e6c8.gif

hello_html_m4213758c.gif х hello_html_2e28ff68.gif

0hello_html_m67ea707a.gifhello_html_69492bfb.gif х1 х2 0х1 х2

а)Рис.1b)

Если касательные к кривой в некотором промежутке направлены под острыми углами к оси абсцисс(рис.1.а), то функция возрастает, если под тупыми (рис. 1.b), то убывает.

Пример . Найти промежутки монотонности функции

у= x2-4x+3.

Решение :

у/=2х-4.

y/>0 при 2х-4>0 ; y/<0 при 2x-4<0;

2x>4 ; 2x<4;

x>2 . x<2.

Получаем, что функция возрастает на (2;+∞), а убывает на (-∞;2).




    1. Исследование функции на экстремум.

Определение 1. Точка х0 называется точкой максимума функции f(x), если в некоторой окрестности точки х0выполняется неравенство f(x) ≤ f(x0).

О

Значения функции в точках х0 и х1 называются соответственно максимумом и минимумом функции. Максимум и минимум функции объединяются общим названием

пределение 2. Точка х0 называется точкой минимума функции f(x), если в некоторой окрестности точки х0 выполняется неравенство f(x) ≥ f(x1).

hello_html_724755aa.gifhello_html_7756f144.gifу

f(x0)

hello_html_3ed7a5ae.gif

hello_html_m71327c4d.giff(x2)

hello_html_77de3b61.giff(x1)


0hello_html_m67ea707a.gif х0 х1 х2 х

Рис.2

названием экстремума функции. Экстремум функции часто называют локальным экстремумом.

В точках локального экстремума дифференцируемой функции ее производная равна нулю.

Поэтому необходимое условие экстремума может быть сформулировано следующим образом.

Для того, чтобы функция у= f(x)имела экстремум в точке х0, необходимо, чтобы ее производная в этой точке равнялась нулю

( f / (х)=0) или не существовала.

Точки, в которых производная равна нулю или не существует, называются критическими.

Таким образом, если в какой- либо точке имеется экстремум, то эта точка критическая. Очень важно, однако, заметить, что обратное утверждение неверно. Критическая точка вовсе не обязательно является точкой экстремума.


Схема исследования функции у= f(x) на экстремум.

10. Найти производную у/= f /(x).

20. Найти критические точки функции, в которых производная

f /(x) =0 или не существует.

30. Исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки и сделать вывод о наличии экстремумов функции.

40. Найти экстремумы ( экстремальные значения) функции.


Пример . Исследовать на экстремум функцию

у=х(х-1)3.

Решение :

  1. Производная. у/=1.(х-1)3+3х.(х-1)2=(х-1)2.(х-1+3х)=(х-1)2.(4х-1).

  2. Приравнивая производную к нулю, находим критические точки функции: (х-1)2.(4х-1)=0

(х-1)2=0 или 4х-1=0

х-1=0 4х=1

х1=0 х2=hello_html_50c7c0d7.gif.

  1. Нанесем критические точки на числовую прямую.

уhello_html_3c4979ea.gif/

hello_html_m5fd5c278.gif + + х

hello_html_m3f2aa909.gifhello_html_5ba5f9bc.gifhello_html_5ba5f9bc.gif у hello_html_50c7c0d7.gif 1

Для определения знака производной слева и справа от критической точки х=hello_html_50c7c0d7.gifвыберем, например, значения х=0 и х=0,5 и найдем f/(0)=-1 <0 и f/(0.5)= hello_html_50c7c0d7.gif>0; следовательно, f/(x)<0 при всех х< hello_html_50c7c0d7.gif и f/(х)>0 на интервале (hello_html_50c7c0d7.gif;1).

Аналогично устанавливаем, что f/(x)>0 и на интервале (1;∞).

Согласно условию х=hello_html_50c7c0d7.gif- точка минимума. В точке х=1 экстремума нет.

  1. Находим значение функции fmin(hello_html_50c7c0d7.gif)=hello_html_50c7c0d7.gif(hello_html_50c7c0d7.gif-1)3=-hello_html_m635a4e32.gif.



    1. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.

Если функция у=f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то она принимает на нем наибольшее и наименьшее значения. Наименьшее и наибольшее значение функции может достигаться как в точках экстремума так и в точках на концах отрезка. Так, на рисунке, наибольшее значение функции на конце отрезка х=b, а наименьшее- в точке минимума х1.

yhello_html_m1a57141b.gifhello_html_m76a55ce4.gifhello_html_d8609c4.gif

Для отыскания наибольшего и наименьшего значений на отрезке рекомендуется пользоваться следующей схемой:

10. Найти производную f /(x).

20. Найти критические точки функции, в которых производная равна нулю или не существует.

30. Найти значения функции в критических точках и на концах



hello_html_3ed7a5ae.gif



hello_html_77de3b61.gif


hello_html_3c0018f9.gif 0 a x1b x


Рис.3

отрезка и выбрать из них наибольшее fmax и наименьшее fmin.

Пример: Найти наибольшее и наименьшее значения функции

у=(х-2)2.е на отрезке [0;5].

Решение :

10. f/(x) = 2(x-2).e-x-(x-2)2.e-x= -e-x.(x-2)(x-2-2)=-e-x.(x-2)(x-4).

20. f/(x) =0, -e-x.(x-2)(x-4)=0


-e-x=0 или х-2=0 или х-4=0

нет решения х1=2 х2=4

30. значения функции в критических точках f(2)=0, f(4)=hello_html_297ca594.gif и на концах отрезка f(0)=4 и f(5)=hello_html_52c49d58.gif. Итак, fmax=f(0)=4, fmin(2)=0.

2.34. Исследование функции на выпуклость, вогнутость и точки перегиба.

Нахождение экстремумов во многом определяет структуру графика функции. Определим теперь другие « узловые» точки функции, которые также следует найти, чтобы качественно построить график.

hello_html_5cde7c02.gifhello_html_5cde7c02.gifhello_html_5cde7c02.gifhello_html_3d407bcf.gifhello_html_66f0ce99.gifу у у

hello_html_bd861ca.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m75498e95.gif


hello_html_4cbb7abc.gifhello_html_40862967.gif

hello_html_m2a7690f7.gif

hello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m4919fae.gifhello_html_7b2dcded.gif

hello_html_m2a7690f7.gif

hello_html_m5ee0d1.gif


hello_html_m1efacbb4.gifhello_html_m1efacbb4.gifhello_html_38d8ff39.gif 0 х1 х2 х3 х4 х5 х 0 х 0 х


а) б) в)

Рис.4

рассмотрим функцию, график которой изображен на рис.4а. эта функция возрастает на всей числовой оси и не имеет экстремумов. Очевидно, однако , ее отличие от функций, изображенных на рис. 4б и 4в. В точках х1, х2, х3, х4, х5 график как бы «перегибается». Поэтому такие точки называются точками перегиба, к строгому определению которых мы переходим.

Прежде всего определим различие поведения функции по разные стороны от точек х1, х2, х3, х4, х5.

Определение 1. Функция называется вогнутой на промежутке Х, если для любых двух значений х1, х2hello_html_m289d78ff.gif Х из этого промежутка выполняется неравенство

hello_html_5a26df69.gif.

График вогнутой функции расположен над касательной в окрестности точки касания рис. 5а.


Определение 2. Функция называется выпуклой на промежутке Х, если для любых двух значений х1, х2hello_html_m289d78ff.gif Х из этого промежутка выполняется неравенство

hello_html_m4e993af6.gif.

График выпуклой функции расположен под касательной в окрестности точки касания рис. 5б.

hello_html_m1fb2d3d3.gifhello_html_m1fb2d3d3.gifhello_html_5cccbfc2.gifhello_html_75de576d.gif y y

hello_html_m345e302.gify=f(x)


hello_html_2e834d77.gifhello_html_3e486cd9.gify=f(x)


hello_html_5b96a3d9.gifhello_html_5b96a3d9.gifα α

hello_html_m65c15e1c.gifhello_html_m46ec5418.gif 0 x 0 x

а б

Рис. 5

Теорема. Если вторая производная дважды дифференцируемой функции положительна ( отрицательна ) внутри некоторого промежутка Х , то функция вогнута (выпукла ) на этом промежутке. Таким образом, получаем, если f//(x)>0 , то функция вогнута, а если f//(x)<0, то функция выпукла.

Определение. Точкой перегиба графика непрерывной функции называется точка, разделяющая интервалы, в которых функция выпукла и вогнута.

Теорема. Если вторая производная f //(x) дважды дифференцируемой функции при переходе через некоторую точку х0 меняет свой знак, то х0 есть точка перегиба ее графика.

hello_html_5ec345b4.gifhello_html_m542a7baa.gifhello_html_451ec279.gif

hello_html_ma600cb.gifhello_html_m2d6b879d.gif

В окрестности точки х1 функция выпукла и график ее лежит ниже касательной проведенной в этой точке. В окрестности точки х2, на которой функция вогнута, картина обратная- функция расположена выше касательной. В

у



hello_html_mdd1e313.gifhello_html_489b6537.gifhello_html_489b6537.gif



hello_html_m5ed5ebee.gif

0 х1 х0 х2 х

Рис.6

точке перегиба х0 касательная разделяет график- он лежит по разные стороны касательной. Следует отметить, что если критическая точка дифференцируемой функции не является точкой экстремума, то она есть точка перегиба.


Схема исследования функции на выпуклость, вогнутость и точки перегиба:

10. Найти вторую производную функции f//(x).

20. Найти точки в которых f//(x)=0 или не существует.

30. Исследовать знак второй производной слева и справа от найденных точек и сделать вывод об интервалах выпуклости, вогнутости и наличии точек перегиба.

40. Найти значения функции в точках перегиба.

Пример. Найти интервалы выпуклости, вогнутости и очки перегиба графика функции у= х.(х-1)3.

Решение :

10. Производная. у/=1.(х-1)3+3х.(х-1)2=(х-1)2.(х-1+3х)=(х-1)2.(4х- 1);

у//= 2(х-1)(4х-1)+ (х-1)2.4=(х-1).(8х-2+4х-4)=(х-1).(12х-6).

20. у//=0, (х-1).(12х-6)=0

х-1=0 или 12х-6=0

hello_html_5b23aa15.gif

30. у//>0 на интервалах hello_html_1059cd9c.gif, следовательно, на этих интервалах

х=1 х=hello_html_m3d4efe4.gif

у// + - +

hello_html_m44bf06b1.gif х

уhello_html_m74b77f28.gifhello_html_m113cfb70.gifhello_html_m74b77f28.gifhello_html_m3d4efe4.gif 1

функция вогнута; у//<0 на интервале (hello_html_1aa926fa.gif, следовательно на этом интервале функция выпукла, а точки х=1 и х= hello_html_m3d4efe4.gifесть точки перегиба.

40. значения функции в точках перегиба f(hello_html_m3d4efe4.gif)=-hello_html_281c995e.gif, f(1)=0.

2.35. Асимптоты графика функции.


До сих пор изучались характерные точки функции. Теперь рассмотрим характерные линии. Важнейшими линиями являются асимптоты.

Определение. Асимптотой графика функции у=f(x) называется прямая, обладающая тем свойством, что расстояние между точкой Р этого графика и данной прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки Р от начала координат.

hello_html_1740c312.gifhello_html_1740c312.gifhello_html_1740c312.gifhello_html_20e0dcd2.gifhello_html_58ef196a.gif у у у

hello_html_m74c29fed.gifhello_html_m30fee96.gif


hello_html_66168788.gif

hello_html_1aa7ea9d.gif



hello_html_db58270.gifhello_html_m507e2a1a.gifhello_html_m22853a16.gif0 х 0 х


hello_html_69492bfb.gifhello_html_66168788.gif х 0 а


а) б) в)

рис. 7

На рис. 7 а изображена вертикальная асимптота, на рис. 7б –горизонтальная асимптота, а на рис. 7в –наклонная.

Очевидно,, этими тремя случаями исчерпываются все возможные расположения асимптот.

1. Пусть функция y= f(x) определена в некоторой окрестности точки х0 и предел этой функции при хhello_html_m6b7fc4d1.gifх0 равен ∞, т.е. . hello_html_1866c4b0.gif. Тогда прямая х=х0 является вертикальной асимптотой графика функции у= f(x).

Очевидно, что прямая х=х0 не может быть вертикальной асимптотой графика функции , если функция непрерывна в точке х0, так как в этом случае hello_html_m17a2e75a.gif . Следовательно, вертикальные асимптоты х=х0 надо искать в точках разрыва функции.

2. Пусть функция определена при достаточно больших х и существует конечный предел функции hello_html_3c4b9e7c.gif. Тогда прямая у=b есть горизонтальная асимптота графика функции у= f(x).

В том случае, если hello_html_25774e63.gif, функция может иметь наклонную асимптоту.

3. Пусть функция определена при достаточно больших х и существуют конечные пределы hello_html_25ddec27.gif , тогда прямая y=kx+b является наклонной асимптотой графика функции у= f(x).

Пример . Найти асимптоты графика функции hello_html_d4d64b3.gif

Решении:

Очевидно, что график функции не имеет ни вертикальных асимптот (нет точек разрыва), ни горизонтальных (hello_html_8b70f2.gif

Найдем наклонную асимптоту.

hello_html_m7b549e2e.gif

Таким образом получаем, наклонная асимптота графика функции имеет вид y= x.

Ответ: у=х.


2.36 Общая схема исследования функций и построения их графиков.

Схема исследования функций:

10.Найти область определения функции.

20. Исследовать функцию на четность – нечетность.

30.Найти вертикальные асимптоты.

40. Исследовать поведение функции в бесконечности, найти горизонтальные или наклонные асимптоты.

50. Найти экстремумы и интервалы монотонности функции.

60. найти интервалы выпуклости и точки перегиба.

70. Найти точки пересечения с осями координат и, возможно, некоторые дополнительные точки уточняющие график.


Пример. Исследовать функцию hello_html_10b04a85.gifи построить ее график.

Решение :

10. Область определения : 1-х2≠0

х2≠1

х≠±1hello_html_1b730b13.gifD(x)=(-∞,-1)hello_html_54bf411.gif

20. Функция четная, так как f(-x)=hello_html_7044ae99.gif график симметричен относительно оси ординат.

30. Вертикальные асимптоты могут пересекать ось абсцисс в точках х=±1. Так как

hello_html_7741d706.gif, то прямые х=1 и х=-1 есть вертикальные асимптоты.

40. Поведение функции в бесконечности.

Вычислим hello_html_m7e7b2088.gif, т.е. прямая у=-1 есть горизонтальная асимптота.

50. Экстремумы и интервалы монотонности.

hello_html_41ea315d.gif

у/=0 , когда числитель равен нулю, т.е. при х=0

у/ не существует в точках , в которых знаменатель обращается в нуль, т.е. при х=±1.

Оhello_html_m28b2fe54.gifднако критической точкой является только точка х=0 (так как значения х=±1hello_html_m53d4ecad.gifне входят в область определения функции). Найдем знаки производной: у/ - +

hello_html_54687d7e.gifhello_html_3528b19f.gifhello_html_3528b19f.gif

hello_html_m6228d09d.gifhello_html_m3d58c7b9.gif у - 1 0 1 х


х=0-точка минимума, f min=f(0)=1- минимум функции.

На интервалах (-∞,-1) и (-1, 0) функция убывает, на интервалах (0, 1) и (1, +∞) функция возрастает.

60. Интервалы выпуклости и точки перегиба.

hello_html_m122e9748.gif

Очевидно, что у//>0 на интервале (-1, 1) и функция вогнута на этом интервале; у//<0 на интервалах (-∞,-1), (1, +∞) и на этих интервалах функция выпукла. Точек перегиба нет, так как 1+3х2=0

2=-1-не имеет смысла.

70. Точки пересечения с осями. f(0)=1, т.е. точка пересечения с осью ординат (0, 1). Уравнение f(x)=0 решений не имеет, следовательно, график функции не пересекает ось абсцисс. График функции изображен на рис. 8




hello_html_71a3741.gifhello_html_m701eb8d6.gifhello_html_4e426733.gifhello_html_4e426733.gif у








hello_html_m6383cca3.gif -1 1 х


hello_html_m3bdb9971.gifhello_html_51711034.gifhello_html_m6907d719.gif -1






Рис.8


Упражнения:



  1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции:


  1. у= 3х2-6х на отрезке [0;3] ;


  1. 2) у=2х3-3х2-36х+10 на отрезке [-5;4].


  1. Вычислить промежутки монотонности функций:


  1. у= х5-5х ; 2) у= х3-3х2-45х+2; 3) у= hello_html_63ac85b1.gif ; 4) у=х3-2х2-7х+4; 5) у= hello_html_3395f672.gif.

  1. Вычислить экстремумы функций:

1) hello_html_m1b9b04b3.gif; 2) у=1+2х2-hello_html_m6cae0208.gif; 3) у= 3х4-4х3; 4) у= hello_html_77b23f18.gif; 5) у= х3-12х2+36х.

  1. Вычислить точки перегиба и интервалы выпуклости функций:


1) у=2х3-3х2+15; 2) у=х3-6х2; 3) у= 2х2+lnx; 4) у= х3-3х2+1; 5) у= х4-6х2+5.


  1. Найти асимптоты графиков функций:

  1. у= hello_html_77b23f18.gif; 2) у= hello_html_63ac85b1.gif ; 3) у= hello_html_m8eb7e10.gif; 4) у= hello_html_m79839e19.gif.



Тема 2.4 Неопределенный интеграл.


Основной задачей дифференциального исчисления является нахождение производной или дифференциала данной функции. Интегральное исчисление решает обратную задачу_ нахождение самой функции по ее производной или дифференциалу.


    1. Первообразная функция и неопределенный интеграл .

Определение. Функция F(x) называется первообразной функцией для функции f(x) на промежутке Х, если в каждой точке х этого промежутка F/(x)=f(x).

Например, hello_html_53881d1c.gif является первообразной для функции f(x)=x2, так как hello_html_7ae34ba0.gif.

hello_html_3d72ea17.gifhello_html_582d3f0a.gify

hello_html_m559f2f12.gif

y =f(x)+c α

hello_html_582d3f0a.gifhello_html_m71327c4d.gifhello_html_2a4858ae.gifhello_html_m46837543.gif

По геометрическому смыслу производной F/(x) есть угловой коэффициент касательной к кривой

у= F(x) в точке с абсциссой х. геометрически найти

hello_html_m559f2f12.gifF/(x)=tg α =f(x)

hello_html_m7a78113d.gifhello_html_5569f2aa.gif y=f(x) α

hello_html_m1154bee0.gifC

hello_html_m5ed5ebee.gif

0 x x


Рис. 9


первообразную для f(x)- значит найти такую кривую y=F(x), что угловой коэффициент касательной к ней в произвольной точке х равен значению f(x) заданной функции в этой точке (см. рис.9).

следует отметить, что для заданной функции f(x) ее первообразная определена неоднозначно. Дифференцируя нетрудно убедиться, что функции hello_html_64e56d1c.gifи вообще hello_html_m3be479ae.gif, где С –некоторое число, являются первообразными для функции f(x)=x2. Аналогично в общем случае, если F(x) – некоторая первообразная для f(x), то, поскольку (F(x)+C)/=F/(x) =f(x), функции вида F(x)+C, где С –произвольное число, также являются первообразными для f(x).

Геометрически это означает, если найдена одна кривая у=F(x), удовлетворяющая условию F/(x)=tg α=f(x), то сдвигая ее вдоль оси ординат, мы вновь получаем кривые, удовлетворяющие указанному условию *( поскольку такой сдвиг не меняет углового коэффициента касательной в точке с абсциссой х) (см.рис.9)




Основное свойство первообразной:

Если F(x) – первообразная для функции f(x) , то выражение вида F(x)+C, где С -произвольное число, задает все возможные первообразные для функции для f(x).


Определение. Совокупность всех первообразных для функции f(x) на промежутке Х называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается hello_html_76cc5456.gif, где hello_html_m5bc1a2f6.gif - знак интеграла, f(x)- подынтегральная функция , f(x)dx - подынтегральное выражение . Таким образом,

hello_html_33a38a4b.gif,

где F(x) – некоторая первообразная для f(x), С- произвольная постоянная.

Операция нахождения неопределенного интеграла от некоторой функции называется интегрированием этой функции.


    1. Свойства неопределенного интеграла. Интегралы от основных элементарных функций.


Основные свойства неопределенного интеграла.

  1. производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е.

hello_html_4d845a29.gif


  1. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е.

hello_html_m5bfa8fed.gif

где k- некоторое число.


  1. Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций, т.е.

hello_html_m61c79cc4.gif

  1. Пусть F(x) некоторая первообразная для функции f(x). Тогда

hello_html_m1da2e23a.gif,

где k и b–некоторые числа, k ≠0.


Таблица интегралов

п/п

функция

интеграл

1

hello_html_m1a8f3016.gif

kx+С

2

hello_html_mf591441.gif

hello_html_43d71d7a.gif

3

hello_html_7efec895.gif

ln|x|+C

4

hello_html_m4e99e21b.gif

hello_html_51ffe6f6.gif

5

hello_html_3aa6ff94.gifdx

ex+C

6

hello_html_m70f7b703.gif

-cos x+C

7

hello_html_m47f26d8d.gif

sin x+C

8

hello_html_4099a038.gif

arcsinhello_html_7fac9627.gif

9

hello_html_571739a5.gif

hello_html_2c3850ec.gif

10

hello_html_5646e8b0.gif

hello_html_76d99456.gif

11

hello_html_3c663c84.gif

hello_html_3a6409fa.gif

12

hello_html_m7978010f.gif

tg x+C

13

hello_html_m5b2ece2a.gif

-ctg x+C

14

hello_html_25ae9316.gif

hello_html_m48ba8d76.gif

15

hello_html_m5b102bf8.gif

hello_html_m1ddbb2d9.gif


    1. Методы интегрирования.


Существуют следующие методы интегрирования:

  • Интегрирование элементарных функций по таблице;

  • Метод замены переменной;

  • Метод интегрирования по частям;

Интегрирование по частям.

Пусть u(x) и v(x) – дифференцируемые функции. Метод интегрирования по частям основан на следующих равенствах:

(u.v)=u/.v+u.v/;

hello_html_25d8a802.gif

или

hello_html_5e8dc0bb.gif.

Например . Вычислить интегралы: а) hello_html_525916c8.gif б) hello_html_m288f59db.gif

Решение:

а) Так как х/=1, а функция cosx при интегрировании обращается в

(-sinx), то данный интеграл можно найти интегрированием по частям, и полагая u(x) =x, v/(x) =cos x

u/(x)=1, v(x)=hello_html_264c531b.gif

Подставляя, получаем:

hello_html_4c8bdb9c.gif

Ответ: hello_html_268339c7.gifhello_html_65df13ce.gif

б) « Препятствием» к нахождению данного интеграла является присутствие сомножителя lnx в записи подынтегральной функции. Устранить его в данном случае можно интегрированием по частям, полагая u= lnx. Тогда dv=xdx.

Так как du=d lnx=hello_html_m7c79940e.gif используем формулу интегрирования по частям; получаем

hello_html_m1b0692ab.gif

Ответ: hello_html_24cd9681.gif

Анализируя разобранные примеры, можно указать следующие типы интегралов, для нахождения которых используется формула интегрирования по частям:

  1. hello_html_4870ab90.gif

  2. hello_html_5812831c.gifhello_html_4697d10a.gif

где a, m, k – действительные числа ( k≠-1), n- целое положительное число.

Для нахождения интегралов из первой группы формулу интегрирования по частям придется применять n раз (при первом применении полагают u= xn , а остальные сомножители подынтегрального выражения задают dv), пока степень n переменной х не станет равной нулю, а сам интеграл – табличным.

Для нахождения интегралов второй группы полагают xkdx=dv ( оставшиеся сомножители подынтегрального выражения задают тогда выражение для u). Отметим, что для нахождения hello_html_7087303a.gif формулу интегрирования по частям придется применять n раз ( пи каждом применении степень функции ln x уменьшается на единицу, пока не станет равной нулю, а сам интеграл – табличным)

Интегрирование простейших рациональных дробей.

Рациональной дробью называют отношение двух многочленов. Например, hello_html_m5ba2b45e.gif рациональная дробь.

Рассмотрим общий подход к интегрированию рациональных дробей. Прежде всего, достаточно рассмотреть лишь правильные дроби, т.е. такие, у которых степень числителя меньше степени знаменателя. В самом деле, если это не так, то, используя алгоритм деления многочленов «углом», известный из школьного курса, мы можем представить исходную дробь в виде суммы многочлена и правильной дроби. Например,

hello_html_m4d8377bd.gif,


hello_html_5baec81c.gif

и т.д. Тогда интеграл от исходной дроби сведется к сумме интегралов от многочлена и правильной дроби.

Если степень знаменателя равна 1 , то искомый интеграл имеет вид hello_html_25ae9316.gif , и для его нахождения достаточно воспользоваться формулой (14).

Пусть степень знаменателя равна 2, т.е. искомым является интеграл вида

hello_html_m5c4904b9.gif

где a, b, c, e, f- действительные числа, а≠0.

При вычисления данного интеграла можно воспользоваться формулой (15) , для этого надо привести исходный интеграл к виду

hello_html_3e8e993a.gif. Его можно привести к этому виду, если сначала выделить полный квадрат в знаменателе подынтегральной функции, а затем использовать соответствующую замену переменной.

Пример. Найти интегралы:

а) hello_html_1a240a36.gif



Решение:

а) Поскольку х2+2х+1=(х+1)2, то используем замену переменной

t= x+1. Тогда dt=dx, x=t-1 u

hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m5e8fc253.gif

Ответ: hello_html_6a1dc729.gif


b) Так как 4х2+4х-3=(2х+1)2-4, то положим t= 2x+1. Тогда hello_html_m1eddf791.gif

hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m1891b5c3.gif

При нахождении первого интеграла воспользуемся формулой (15) при а=1, с=-4. второй интеграл – (10). Теперь имеем

hello_html_79167969.gif

Ответ : hello_html_6ce3571a.gifhello_html_m5542b9ff.gif








Упражнения:


  1. Вычислить неопределенный интеграл:

hello_html_40b1f0da.gif

hello_html_35ab4739.gif

hello_html_m135a9b1b.gif

hello_html_m4d8ba74e.gif

hello_html_m40f7da8a.gif2.

2. Проинтегрировать функции:

hello_html_m44e070da.gifhello_html_4e369802.gif

3. Проинтегрировать по частям


hello_html_m6a8582df.gif 2) hello_html_3e6601b6.gif 3) hello_html_m35547482.gif 4) hello_html_678c1ecc.gif

5) hello_html_m11190df.gif






Тема 2.5 Определенный интеграл.


    1. 2.51 Понятие определенного интеграла,

его геометрический смысл.

Задача о площади криволинейной трапеции.

Пусть на отрезке [a;b] задана неотрицательная функция y=f(x). Требуется найти площадь S криволинейной трапеции, ограниченной кривой y=f(x), прямыми x=a, x=b и осью у=0

(рис. 10).


hello_html_m1d9c57c0.gifhello_html_m146113e7.gifhello_html_738262c.gifhello_html_489b6537.gifhello_html_489b6537.gifhello_html_m7a92d814.gifhello_html_24774fdd.gifhello_html_58a7df26.gifhello_html_16bb5381.gifу y= f(x) y y=f(x) ломаная

hello_html_3ed7a5ae.gifhello_html_738262c.gif

hello_html_28da94f9.gifhello_html_m71327c4d.gifhello_html_m71327c4d.gifhello_html_m24755cba.gifhello_html_m76d516c2.gifhello_html_m261ec6e9.gifhello_html_4b53c7ba.gif

hello_html_711d87e4.gif

S Sл


0hello_html_db58270.gifhello_html_m65c15e1c.gif a b x 0 a b x

Рис.10 рис.11

Наметим общий подход к решению этой задачи. Введем в рассмотрение некоторую ломаную, которая расположена достаточно близко к кривой y= f(x) на [a;b] (рис.11) . фигура под ломаной состоит из трапеций ( прямоугольников) , и ее площадь Sл ( равная сумме площадей этих трапеций) может быть вычислена с использованием известных формул планиметрии. Поскольку ломаная выбрана достаточно близко к кривой y=f(x), то справедливо приближенное равенство SSл. Это равенство оказывается тем более точным, чем ближе расположена ломаная к исходной кривой. Поэтому естественно за искомую площадь S взять предел площади Sл под ломаной в предположении неограниченного приближения ломаной к заданной кривой.

Приведенные рассуждения носят качественный характер. Для того чтобы их можно было использовать на практике, необходимо уточнить в них то, что описывалось нестрого: процедура выбора ломаной и последующий предельный переход. На этом пути мы получим понятие определенного интеграла.

Понятие интегральной суммы.

Пусть на [a;b] задана функция у=f(x). Разобьем отрезок [a;b] на n элементарных отрезков точками x0, x1,…, xn: a=x0<x1<x2<…<xn=b. На каждом отрезке [xi-1,xi] разбиения выберем некоторую точку ξi и положим Δ xi=xi-xi-1, где i=1,2,3,…,n. Сумму вида

hello_html_m30a0901d.gif

будем называть интегральной суммой для функции y=f(x) на [a;b]. Очевидно, что интегральная сумма зависит как от способа разбиения отрезка [a;b] точками x0, x2, …, xn, так и от выбора точек ξ1, ξ2, … ξnна каждом из отрезков разбиения [xi-1, xi], где

i=1, 2, … n.


Геометрический смысл интегральной суммы.

Пусть функция y= f(x) неотрицательна на [a;b] . отдельное слагаемое f(ξi).Δxiинтегральной суммыв этом случае равно Si прямоугольника со сторонами f(ξi) и Δxi, где i=1, 2, … n ( см. рис. 12, где х01= Δx1, х21= Δx2, и т.д.)




hello_html_706336de.gifhello_html_23a0d768.gifhello_html_259f0e95.gif

Другими словами Si – это площадь пд прямой y= f(ξ i) на отрезке [xi-1,xi]. Поэтому вся интегральная сумма равна площади

S=S1+S2++Sn под ломаной, образо-



y y=f(x)





S3


hello_html_1cbd7991.gifhello_html_m30c7c99f.gifhello_html_3bb25517.giff(ξ3)

f(ξ2)




S2



hello_html_1cbd7991.gifhello_html_mdd1e313.gifhello_html_62a6d64e.gif

f(ξ1)



S1

hello_html_1cbd7991.gifhello_html_a2105bd.gifhello_html_59e5f253.gif





0 a=x0 ξ1 x1 ξ2 x2 ξ3 hello_html_m2864f7cc.gif x3 x


Рис.12


ванной на каждом из отрезков [xi-1,xi] прямой y= f(ξ i) параллельной оси абсцисс ( рис. 12)

Понятие определенного интеграла.


Для избранного разбиения отрезка [a;b] на части обозначим через

hello_html_m6b3b8757.gif максимальную из длин отрезков [xi-1,xi], где i=1, 2, … n.

Определение. Пусть предел интегральной суммы при стремлении hello_html_m6b3b8757.gif к нулю существует, конечен и не зависит от способа выбора точек х1, х2,… и точек ξ1, ξ2, … .Тогда этот предел называется определенным интегралом от функции y=f(x) на [a,b], обозначается hello_html_705ddf5f.gif, а сама функция y=f(x) называется интегрируемой на отрезке [a,b], т.е.

hello_html_705ddf5f.gif=hello_html_me02e5c9.gif.

При этом число а называется нижним пределом, число b- его верхним пределом; функция f(x) - подынтегральной функцией, выражение f(x)dx- подынтегральным выражением, а задача о нахождении hello_html_705ddf5f.gif- интегрированием функции f(x) на отрезке [a,b].

Несмотря на сходство в обозначениях и терминологии, определенный и неопределенный интегралы существенно различные понятия: в то время как hello_html_76cc5456.gif- представляет семейство функций, hello_html_705ddf5f.gif- есть определенное число.

Геометрический смысл определенного интеграла.

Понятие определенного интеграла введено таким образом , что в случае, когда функция y=f(x) неотрицательна на отрезке [a,b], где a<b, hello_html_705ddf5f.gif численно равен площади S под кривой y=f(x) на [a,b] (см. рис. 10). Действительно, при стремлении hello_html_m6b3b8757.gif к нулю ломаная (см. рис.12) неограниченно приближается к исходной кривой и площадь под ломаной переходит в площадь под кривой.


    1. 2.52 Свойства определенного интеграла.

Формула Ньютона-Лейбница.


Свойства определенного интеграла:

  1. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е

hello_html_m7f0eb1f.gif=khello_html_705ddf5f.gif,

где k- некоторое число.

  1. Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций, т.е.

hello_html_24731636.gif=hello_html_7531ac65.gifhello_html_m345bf972.gif.

  1. Если отрезок интегрирования разбит на части , то интеграл на всем отрезке равен сумме интегралов для каждой из возникших частей, т.е. при любых а, b, с:

hello_html_3064eb4e.gifhello_html_794db88f.gifhello_html_7574f6cf.gif

Формула Ньютона –Лейбница:

Основная формула интегрального исчисления, традиционно связана с именами И. Ньютона и Г. Лейбница.

Теорема. Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и F(x) –любая первообразная для f(x) на [a,b]. Тогда определенный интеграл от функции f(x) на [a,b] равен приращению первообразной F(x) на этом отрезке, т.е.

hello_html_m19052532.gif

Следует подчеркнуть, что при применении формулы Ньютона- Лейбница можно использовать любую первообразную F(x) для подынтегральной функции f(x).например, имеющую наиболее простой вид при С=0.


Например. Вычислить: а) hello_html_743b2db4.gif


Решение :

а) произвольная первообразная для функции f(x)=х2 имеет вид hello_html_m43104e8f.gif для нахождения интеграла по формуле Ньютона- Лейбница возьмем такую первообразную, у которой С=0. Тогда

hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m7517cd98.gif

Ответ : hello_html_m19e8bb17.gif.

b) первообразную подынтегральной функции найдем, используя формулу (4). Применяя формулу Ньютона- Лейбница получаем

hello_html_m2bd94371.gif

Ответ: hello_html_619ffb9d.gif.


    1. Вычисление площадей плоских фигур.

1 способ 2 способ

уhello_html_m1fb2d3d3.gifhello_html_724755aa.gifhello_html_m63ffc740.gifhello_html_m8667492.gifhello_html_m262ea49d.gifhello_html_m260017b8.gifhello_html_7b2dcded.gifhello_html_7b2dcded.gif y y=f1(x)

hello_html_2bb296b5.gifhello_html_m262ea49d.gifhello_html_489b6537.gifhello_html_m7ac51cf4.gif у=f(x)

hello_html_m7ac51cf4.gif

S

hello_html_711d87e4.gif

hello_html_2d2985a9.gifhello_html_2d2985a9.gify=f(x)

hello_html_m65c15e1c.gifhello_html_m67ea707a.gif х

0 х=а х=b 0 x=a x=b x

f2(x)<f1(x)

hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_1aec55ab.gifhello_html_3d88716.gif

3 способ

hello_html_m1fb2d3d3.gify

hello_html_m562cee35.gify=f(x)

hello_html_36d52a14.gifhello_html_28da94f9.gifhello_html_28da94f9.gifhello_html_m7eaa7d36.gifhello_html_2d2985a9.gifhello_html_2d2985a9.gifhello_html_2d2985a9.gifhello_html_m7eaa7d36.gif y=k

S



hello_html_m67ea707a.gif 0 x=a x=b x

hello_html_m4ba9a397.gif.

Рис.13 Площади плоских фигур


Например . Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями:

а) hello_html_7a3ff2ed.gif, х=0, у=4; б) у= х2-2, у=х.




а)

hello_html_m146113e7.gif

Решение: из чертежа видно , что искомая площадь S криволинейного треугольника ОАВ равна разности двух площадей:

S=SОАВС-SОВС, каждая их которых находиться по геометрическому смыслу интеграла.

у

hello_html_a92c0d5.gifhello_html_1a0b67b0.gifhello_html_3ed7a5ae.gifhello_html_645808b7.gifhello_html_7b2dcded.gifhello_html_m262ea49d.gifhello_html_438e1b6b.gif В у=4

А

х =0 hello_html_7a3ff2ed.gif


hello_html_69492bfb.gif С

О х



    1. найдем пределы интегрирования:hello_html_7a3ff2ed.gifhello_html_1b730b13.gif у12 и у2=4

у12;

х2=4hello_html_mdd48ee0.gif(отрицательный корень не принимаем);

    1. SОАВС=hello_html_702c5f14.gif

SОВС=hello_html_m25668f77.gif.

Окончательно S=hello_html_7e670f99.gif(кв.ед.)

Ответ : S=hello_html_m6cb11123.gifкв.ед.

б) у

hello_html_f09c4ac.gifhello_html_m4ce865da.gif

Решение:

1. найдем пределы интегрирования: у12;

х2-2=хhello_html_1b730b13.gifх2-х-2=0,

D= 1+8=9hello_html_1b730b13.gifх1=2, х2=-1.

На отрезке [-1;2] у1≤у2.

Воспользуемся формулой 2 способа (рис.13):


у12-2 у2hello_html_m70664efb.gif

hello_html_5e52c383.gif

hello_html_438e1b6b.gifhello_html_m5ee0d1.gif-1 0 hello_html_m265ff1b3.gifhello_html_259f0e95.gif

hello_html_2d2985a9.gif 2 х


-2



hello_html_6f8a0f2e.gif

Ответ: S= 4,5 кв.ед.







Упражнения:


  1. Вычислить определенный интеграл:


hello_html_m54229942.gif

hello_html_m24b60036.gif

2.Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями

1) у= 4-х2; у= 0; 2) у= -х2; х+у+2=0; 3) у= х2; ух=8; у=6;

  1. у= hello_html_2e7fd374.gifhello_html_m53d4ecad.gif; у= х ; х=2; 5) у= ех; у=е; у=4.

Тема 2.6 Производная высшего порядка.


До сих пор мы рассматривали производную f/(x) от функции f(x), называемую производной первого порядка. Но производная f/(x) сама является функцией, которая также может иметь производную.

Производной n-го порядка называется производная от производной (n-1)-го порядка.

Обозначение производных: f//(x) –второго порядка (или вторая производная), f///(x)-третьего порядка( или третья производная).

Для обозначения производных более высшего порядка используются арабские или римские цифры, например,

f(4)(x),…, f n (x) или fIV(x) и т.д.

Механический смысл второй производной. Выше было установлено, что если s= s(t) –это закон по которому движется точка, то s/(t) представляет скорость изменения пути в момент t0. следовательно, вторая производная пути по времени s//(t0)=[s/(t0)]/ /(t0) есть скорость изменения скорости или ускорение точки в момент t0.

Пример. Найти производные до n-го порядка включительно от функции у= ln x.

Решение: hello_html_334af428.gif и

т . д.hello_html_m53d4ecad.gifочевидно , что производная n-го порядка hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_30725ec6.gif.

Упражнения :

Найти производные: а) второго порядка: 1) у= sin2x, 2) y= tg x, 3) y= hello_html_m340cca86.gif ;

б) третьего порядка: 1) у= x ln x, 2) y= x sin x;

г) n-го порядка: 1) у= ln x, 2) y= sin x, 3) y= xn, 4) у=ах.



Тема 2.7 Функция нескольких переменных.


В предыдущих параграфах мы изучали функцию одной переменной. Однако многим явлениям присуща многофакторная зависимость. Исследование таких зависимостей потребовало совершенствования математического аппарата, в частности, введения понятия функции нескольких переменных.

Пусть имеется n переменных величин, и каждому набору их значений (х1, х2,…, хn) из некоторого множества Х соответствует одно вполне определенное значение переменной величины z. Тогда говорят, что заданна функция нескольких переменных z= f 1, х2,…, хn ).

Переменные х1, х2,…, хn называются независимыми переменными или аргументами, z- зависимой переменной, а символ f означает закон соответствия. Множество Х называется областью определения функции.

Для простоты ограничимся рассмотрением функций двух переменных z=z(x,y), заметив, что логика всех рассуждений полностью сохраняется для функций любого числа независимых переменных.

Пусть в некоторой точке определена функция z= z(x,y). Если зафиксировать значение одной из переменных, положив, например, у= у0, то z=z(x,y0) окажется уже функцией только от одного переменного х. Для такой функции может существовать производная z/x ( здесь индекс х указывает на переменную, по которой производится дифференцирование). Она называется частной производной от функции z(x,y) по переменной х.

Аналогично можно определить частную производную и по другой независимой переменной z/у.

Вычисление частных производных не представляет труда, поскольку все независимые переменные, кроме той, по которой производится дифференцирование, считаются постоянными.

Например . Вычислить производную функции

z= 3x2+2xy+4y2.

Решение :

z/x= 6x+2y ; z/y= 2x+8y.


Упражнения:


Вычислить частные производные:

1) z=x3y2-2xy3; 2) z= ln(x2+2y3); 3) z= (1+x2)y; 4) z= hello_html_m188b0e7c.gif;

5) z= e3x+5cos9y-ln(x3-y).








Глава 3. Ряды.


Тема 3.1 Числовые ряды. Сходимость рядов.


Определение. Числовым рядом называется бесконечная последовательность чисел и1, и23,…,иn… соединенных знаком сложения:

и12+3+…+иn+…=hello_html_m616c4308.gif

Числа и1, и23,…,иn… называются членами ряда, член иn- общим членом или n-м членом ряда.

Ряд считается заданным, если известен его общий член иn. Например, ряд с общим членом иn=hello_html_m43fc813b.gifимеет вид

hello_html_3848b749.gif

Более сложной является обратная задача: по нескольким первым членам ряда написать общий член.

Пример : Найти в простейшей форме общий член ряда:

а) hello_html_m451bc011.gif б) hello_html_49a48768.gif

Решение : нетрудно убедиться, что для ряда а) общий член hello_html_797667c7.gif , а для ряда б) hello_html_m20ed8016.gif

Рассмотрим суммы конечного числа членов ряда:

S1=u1, S2=u1+u2, …, Sn=u1+u2+u3+…+un.

Сумма n первых членов ряда Snназывается n-й частичной суммой ряда.

Определение :Ряд называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности его частичных сумм, т.е.

hello_html_m17f8ef21.gif

Число S называется суммой ряда. В этом смысле можно записать

hello_html_3bc5b03f.gif

Если конечного предела последовательности частичных сумм не существует, то ряд называется расходящимся.

Пример : Найти сумму ряда

hello_html_m33b638b1.gif

Решение : n-я частичная сумма ряда


Sn=hello_html_m6e3cf890.gif.Учитывая, что

hello_html_4f4c1d34.gif

Отсюда, hello_html_4386d5f0.gif т.е. сумма ряда S =1.

Тема 3.2 Необходимый признак сходимости. Гармонический ряд.

Геометрический ряд.



Теорема ( необходимый признак сходимости). Если ряд сходиться, то предел его общего члена иn hello_html_m53d4ecad.gifпри hello_html_m259b9116.gifравен нулю, т.е.

hello_html_m2223faa4.gif

Пример . Исследовать сходимость ряда hello_html_m5600f347.gif




Решение:

hello_html_m135482a7.gif т.е. необходимый признак сходимости ряда не выполняется, следовательно, ряд расходиться.

«Эталонные » ряды, часто используемые для сравнения:

1) Геометрический ряд :

a + aq + aq2 ++aqn-1+…=hello_html_mde5d0.gif.

Геометрический ряд сходиться к сумме hello_html_m34fb713.gif при│q│<1 b и расходиться при │q│≥1.



2) Гармонический ряд.

hello_html_m2ec084b8.gif- расходиться.

3) Обобщенный гармонический ряд.

hello_html_m4339d512.gif.

Ряд сходиться при α >1, расходиться при α≤1



Тема 3.3 Ряды с положительными членами .


Теорема (признак сравнения). Пусть даны два ряда с положительными членами:hello_html_m641b1c79.gifпричем члены первого ряда превосходят членов второго ряда, т.е. при любом n

un ≤ hello_html_m4796aac5.gif.

Тогда : а) если сходиться ряд (2), то сходиться и ряд(1);

б) если расходится ряд(1), то расходиться и ряд (2).


Пример . Исследовать сходимость ряда

hello_html_abdee56.gif.

Решение:

Сравним данный ряд со сходящимся геометрическим рядом

hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_73af3fd1.gif ( его знаменатель q=hello_html_m19e8bb17.gif<1)

Так как члены данного ряда, начиная со второго , меньше членов сходящегося геометрического ряда hello_html_3b198c35.gif, то на основании признака сравнения ряд сходиться.

Весьма удобным на практике является признак Даламбера.

Теорема (признак Даламбера). Пусть для ряда hello_html_3150c2f7.gifс положительными членами существует предел отношения (n+1)-го члена к n-му члену hello_html_19b2b670.gif Тогда, если D< 1, то ряд сходиться; если D> 1, то ряд расходиться; если D=1, то вопрос о сходимости ряда остается нерешенным.

Пример . Исследовать сходимость ряда hello_html_66b5f555.gif.

Решение:

hello_html_m4234cbb3.gif. Тогда предел отношения будет равен

hello_html_m4ccb06c.gif


то по признаку Даламбера ряд сходиться.

Замечание 1. Если hello_html_m274f0c8f.gif, то ряд расходиться.

Замечание 2. Если hello_html_m632f3dd0.gif=1, то признак Даламбера ответа о сходимости не дает, и рекомендуется перейти к другим признакам сравнения.


Тема 3.4 Знакочередующиеся ряды.


Под знакочередующимся рядом понимают ряд, в котором члены попеременно то положительны, то отрицательны:

u1-u2+u3-u4++(-1)n-1un+… ,un>0.

Теорема (признак Лейбница). Если члены знакочередующегося ряда убывают по абсолютной величине u1>u2…>un> и предел его общего члена при nhello_html_54259e47.gifравен нулю, т.е hello_html_m18f39bc0.gif, то ряд сходиться, а его сумма не превосходит первого члена Su1.

Пример. Исследовать сходимость ряда

hello_html_m7e9e10ae.gif

Решение :

Так как члены знакочередующегося ряда убывают по абсолютной величине hello_html_m64d01910.gif и предел общего члена hello_html_7d8a317f.gif, то по признаку Лейбница ряд сходиться.

Определение 1. Ряд называется условно сходящимся, если сходиться как сам ряд , так и ряд, составленный из абсолютных величин его членов.

Определение 2. ряд называется условно сходящимся, если сам ряд сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится.



Упражнения:


I. Установить сходимость или расходимость ряда с помощью признаков сравнения:

1) hello_html_m7e148df3.gif; 2) hello_html_52b16382.gif; 3) hello_html_m29f177e9.gif;

4)hello_html_m48a0be46.gif; 5) hello_html_20cf0e01.gif

6) hello_html_m52357fab.gif


II. Исследовать сходимость ряда с помощью признака Даламбера:


1) hello_html_m247b5e47.gif 2) hello_html_68268bc4.gif; 3) hello_html_68268bc4.gif; 4) hello_html_20cf0e01.gif

5) hello_html_mdf4e688.gif

Тема 3.5 Степенные ряды.


Перейдем к рассмотрению рядов членами, которых являются функции, в частности степенные функции

с01х+с2х2+....+cnxn+… .

Такие ряды называются степенными, а числа с012,…,cn коэффициентами степенного ряда.

Пример: найти область сходимости степенного ряда

1+х+х2++xn+… .

Решение:

Данный ряд можно рассматривать как геометрический ряд со знаменателем q=x, который сходиться при │q│=│x│<1. Отсюда

-1<x<1, т.е. областью сходимости является интервал (-1;1).

Структура области сходимости степенного ряда устанавливается с помощью теоремы Абеля.

Теорема Абеля. 1) Если степенной ряд сходится при значении х=х0≠0(отличном от нуля) , то он сходится и, притом абсолютно, при всех значениях х таких, что │х│<│х0│. 2) Если степенной ряд расходится при х=х1, то он расходится при всех значениях х таких, что │х│>│х1│.

Из теоремы Абеля следует , что существует такое число R ≥0, что при │х│<R ряд сходится, а при │x│>R-расходится.

Число R получило название радиуса сходимости, а интервал (-R; R) –интервалом сходимости степенного ряда. На концах интервала сходимости, т.е. при х=- R и х= R, ряд может как сходится, так и расходится.

hello_html_m4b74e9db.gif данное выражение позволяет вычислить радиус сходимости числового ряда через его коэффициенты.

Замечание . Следует отметить, что у некоторых рядов интервал сходимости вырождается в точку (R=0) , у других охватывает всю ось Ох (R=∞) .


Пример. Найти область сходимости степенного ряда

hello_html_16b7c88f.gif

Решение :

hello_html_m676dcaa7.gif

т.е. интервал сходимости ряда hello_html_3588c8c8.gif .

Ответ: R= hello_html_6e71ffbb.gif.

Сумма функционального ряда представляет собой функцию, определенную в области его сходимости. Про эту функцию говорят, что она разлагается в данный функциональный ряд. Для степенного ряда сумма обязательно будет бесконечно дифференцируемой функцией внутри интервала сходимости, поскольку степенной ряд можно почленно дифференцировать, т.е.

S(x) =hello_html_b345971.gif, то существует S/(x) и верно равенство

hello_html_m3e021c4e.gif.

Это одно из замечательных свойств степенных рядов. Из этого свойства, в частности, вытекает, что при фиксированном х0 разложение функции в степенной ряд единственно и имеет вид

hello_html_m3909ca23.gifУказанный ряд называется рядом Тейлора.

При х0=0, рассматривается частный случай ряда Тейлора- ряд Маклорена:


hello_html_m764137ca.gif

Элементарные функции ех, sin x, cos x, ln(1+x), (1+x)α разлагаются в ряды Маклорена в интервалах


ex=hello_html_603c3877.gif

hello_html_772a0c69.gif



Упражнения:



  1. Исследовать сходимость ряда:

1) hello_html_m7feb63a6.gif


  1. Разложить в ряд Маклорена функцию:

1) hello_html_m47758e4.gif; 2) hello_html_16a4f9f3.gif; 3) y= sin2x; 4) у= sin2x; 5) y=xex.






Раздел 4. Численное интегрирование.


Тема 4.1 Приближенные методы вычисления определенных интегралов.

Методы приближенного интегрирования позволяют находить приближенное значение определенного интеграла от любой непрерывной функции с практически достаточной точностью. Излагаемые численные методы основаны на следующем: рассматривая интеграл как площадь криволинейной трапеции, мы получим ее приближенное значение, т.е. приближенное значение интеграла, если вычислим площадь другой трапеции, ограничивающая линия которой по возможности, мало отклоняется по положению от заданной линии. Вспомогательную линию при этом проводим так, чтобы получилась фигура, площадь которой легко вычисляется.

Существуют следующие правила численного интегрирования:

    1. правило прямоугольников и правило трапеций;

    2. правило параболических трапеций, называемое правилом Симпсона.


1. Правило прямоугольников и правило трапеций.

hello_html_m54e64474.gifhello_html_40862967.gifhello_html_40862967.gifhello_html_m311f0002.gify

hello_html_m146113e7.gifhello_html_645808b7.gifhello_html_645808b7.gifhello_html_645808b7.gifhello_html_m311f0002.gifhello_html_m2bddf96.gif y=f(x)

hello_html_m262ea49d.gifhello_html_m311f0002.gif

hello_html_438e1b6b.gifhello_html_m311f0002.gif

y0 y1 y2 y3 yn-1


0hello_html_m16f2383e.gif а=х0 х1 х2 х3 хn=b x рис.18

Разделим интервал интегрирования [a;b] на n равных частей (рис.18)

( частичных интервалов) и заменим данную трапецию на ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, опирающихся на частичные интервалы, причем высоты этих прямоугольников равны значению функции в начальных или конечных точках частичных интервалов(у1, у2, у3, …, у n). Значение площади этой фигуры и будет давать приближенное значение искомого интеграла: I=hello_html_705ddf5f.gif.результат будут тем более точен, чем больше взято число частичных интервалов.

Если обозначить длины частичных интервалов какhello_html_m2db0eb4e.gif и подсчитать все значения функции yi( где i=0,1,2,3,…,n-1), то получим формулу:

hello_html_m68e7289c.gif

Эта формула называется формулой прямоугольников.

На практике эта формула используется редко, т.к. естественнее ожидать, что взяв вместо прямоугольников обычные трапеции , мы практически притом же объеме работы получаем более точный результат.

Для этого составим тоже разбиение интервала [a;b] , но заменим теперь каждую дугу линии у= hello_html_278687bc.gif, соответствующую частичному интервалу, хордой, соединяющей конечные точки этой дуги ( рис.19).


уhello_html_724755aa.gifhello_html_m54e64474.gifhello_html_m75498e95.gifhello_html_m73a19f0.gifhello_html_7e0a5019.gif

Т.о. мы заменяем данную криволинейную трапецию , на n прямолинейных трапеций. И значение интеграла будет более точным.

hello_html_40862967.gifhello_html_40862967.gifhello_html_m682cdf42.gifhello_html_m740bedaa.gifhello_html_30a30cc7.gify=f(x)

hello_html_645808b7.gifhello_html_4cbb7abc.gifhello_html_4cbb7abc.gifhello_html_m311f0002.gif

hello_html_7b2dcded.gif




hello_html_m44bf06b1.gif 0 а=х0 х1 в=хn х


рис. 19


hello_html_12874f47.gif.

Эта формула носит название формулы трапеций.

2. Правило параболических трапеций.


Но и формула трапеций не является наилучшей. Оказывается, что самой удачной приближенной формулой будет та, которая получается, если через тройки соседних точек на графике функции, возникающих в результате разбиения отрезка [a;b] , проводить параболы с вертикальной осью (рис. 20), вычисляя соответствующие коэффициенты ai, bi, ci в уравнениях парабол y=aix2+bix+ci.

Соответствующая формула носит название формулы параболических трапеций или Симпсона. Ценность ее не только в повышенной точности, но и в удобстве оценки погрешности приближенного вычисления . Вид формулы не приводиться,




hello_html_m1fb2d3d3.gif у

hello_html_2e0061d5.gif

yhello_html_m760b655c.gifhello_html_40862967.gif=f(x) y=aix2+bix+ci.

hello_html_645808b7.gif

hello_html_7b2dcded.gif




0hello_html_m759bcc2c.gifxi hello_html_18635fac.gif xi+1 x

рис.20


поскольку ее редко применяют для «ручного счета», а пользуются готовыми компьютерными программами.


3. Характеристики приближенного числа ( абсолютная и относительная погрешности).

Обозначим приближенное значение числа а через А.

Абсолютную величину разности числа а и его приближенного значения А называют абсолютной погрешностью, т.е.

| a-A|.

Относительной погрешностью называют отношение абсолютной погрешности к абсолютной величине приближенного значения числа, т.е.

hello_html_m1df02c56.gif.


Пример. Вычислить приближенное значение интеграла

hello_html_3824d75c.gif

Решение: 1) Точное значение интеграла: hello_html_2c3a932.gif=2;


2hello_html_m3ded7190.gifhello_html_m7eaa7d36.gifhello_html_m7eaa7d36.gifhello_html_m7eaa7d36.gifhello_html_m7eaa7d36.gifhello_html_m7eaa7d36.gifhello_html_m7eaa7d36.gifhello_html_m7eaa7d36.gif) по формуле трапеций получаем:

0 hello_html_m1e307eb8.gifhello_html_56fa0ad7.gifhello_html_493c3023.gifhello_html_33ea0d69.gifhello_html_25869b49.gif hello_html_1bfc1af9.gif

hello_html_m26b3ebae.gif

3) Абсолютная погрешность: | 2-1.9541|=0.0459;

Относительная погрешность : hello_html_3959c91c.gif

Ответ: I≈1,9541.


Упражнения:


В задачах вычислить по формулам прямоугольников приближенные значения интегралов и сравнить с точными значениями:


а) hello_html_m22f0eff6.gif



Список литературы:


  1. Высшая математика для экономистов

под редакцией профессора Н.Ш. Кремера, Москва, 2003г.

  1. Математика

И.Д. Пехлецкий , Москва, 2002г.

  1. Справочник по математике

А.Г. Цыпкин , Москва, 1983г.

  1. Математика

Л.П. Стойлова, Москва, 1999г.

























hello_html_m4d466bb7.png



Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 17.09.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров392
Номер материала ДA-049040
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх