Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

	2015
	Департамент профессионального образования Томской области      Областное государственное бюджетное образовательное учреждение   среднего профессионального образования                                                                « Асиновский техникум промышленной индустрии и сервиса»

                                    

 Учебное пособие по элементам высшей математики

 Асиновский техникум промышленной индустрии и сервиса. - 2015.

Составитель:

 Л.В. Журавлёва, преподаватель  математики

Учебное пособие по элементам высшей математики предназначено студентам СПО, обучающимся по профессии  260807  Технология продукции общественного питания

Рассмотрено на заседании методического объединения  общеобразовательных дисциплин

 Протокол №    от    .. 2015 г.

Пояснительная записка

         Данное учебное пособие по математическому анализу  предназначено для  студентов по профессии 260807  Технология продукции общественного питания.

 Пособие написано в соответствии с требованиями государственных стандартов в области математики для специалистов среднего звена.

          Пособие содержит все необходимые  определения, формулы, теоремы, входящие в курс математики средних учебных заведений.

Это не только учебное  пособие,  но и краткое руководство к решению задач по основам высшей математики. Излагаемые в достаточно краткой форме  с необходимыми обоснованиями основные положения учебного материала сопровождаются большим количеством задач, приводимых с решениями и для самостоятельной работы. 

Содержание   

Пояснительная записка……………………………………………3

Глава 1. Последовательности…………………………………….

1.1.  Определение и свойства последовательностей………....6

1.2.  Предел числовой последовательности.

Предел функции………………………………………………..7

1.3.  Непрерывность функции в точке……………………….11

Упражнения…………………………………………………...11

Глава 2. Математический анализ…………………………………

2.1. Определение производной………………………………14.

2.2. Правила вычисления производной……………………..15

Упражнения …………………………………………………..16

2.3. Исследование функции методами

дифференциального исчисления……………………………..17

   2.31. Исследование функции на возрастание и убывание..17

   2.32. Исследование функции на экстремум………………..18

   2.33. Наибольшее и наименьшее значения функции

на отрезке ………………………………………………………20

   2.34. Исследование функции на выпуклость, вогнутость

и точки перегиба ……………………………………………….21

    2.35. Асимптоты графика функции………………………...24

    2.36. Общая схема исследования функции и построения

их графиков……………………………………………………..26

Упражнения……………………………………………………..28

2.4. Неопределенный интеграл…………………………………

    2.41. Первообразная функции и неопределенный

 интеграл ………………………………………………………..29

    2.42. Свойства неопределенного интеграла.

Интеграл от основных элементарных функций………………31.

    2.43. Методы интегрирования………………………………33

Упражнения……………………………………………………..37

2.5 Определенный интеграл……………………………………38

   2.51. Понятие определенного интеграла,

его геометрический смысл……………………………………..41

   2.52. Свойства определенного интеграла.

Формула Ньютона-Лейбница…………………………………..

2.53.    Вычисление площади плоских фигур…………………42

Упражнения………………………………………………………45

2.6. Производная высшего порядка…………………………….45

Упражнения………………………………………………………46

2.7. Функция нескольких переменных …………………………46

Упражнения………………………………………………………47

Глава 3. Ряды…………………………………………………………

3.1. Числовые ряды. Сходимость рядов………………………..48

3.2. Необходимый признак сходимости.

Гармонический ряд. Геометрический ряд……………………..49

3.3. Ряды с положительными членами………………………....50

3.4. Знакочередующиеся ряды………………………………….52

Упражнения………………………………………………………53

3.5. Степенные ряды…………………………………………….53

Упражнения……………………………………………………...56

Раздел 4. Численное интегрирование.

     4.1 Приближенные методы вычисления определенных

     интегралов………………………………………………………..56

Упражнения……………………………………………………...60

Список литературы ……………………………………………..61

Глава 1.  Последовательности.

Тема 1.1  Определение и свойства последовательностей.

Множество чисел, каждое их которых снабжено своим номером, называется числовой последовательностью.

Элементы этого числового множества называются членами последовательности: х₁, х₂,х₃,…х_n,…

Чаще всего эта последовательность подчиняется какому-нибудь правилу.

Способы задания последовательностей

1)      Аналитический способ задания последовательности.

Задать последовательность аналитически- это значит указать формулу, позволяющую по номеру члена последовательности однозначно определить этот член. Формула,  позволяющая вычислить любой член последовательности по его номеру, называется формулой общего члена числовой последовательности.

Например, формулы общего члена

задают соответственно следующие числовые последовательности:

2)      Рекуррентный способ задания последовательностей.

Рекуррентный способ задания состоит в том, что задается первый член( или несколько первых членов) последовательности указывается формула вычисления последующих членов последовательности по заданному первому члену( или нескольким членам).

Например, по первому члену и формуле вычисления последующих членов последовательности

a₁₌1, a_n+1=a_n+1  ,n

задается следующая последовательность:

1,  2,  3,  4, …, n-1,  n, n+1, …

Последовательности бывают: ограниченные (если последовательность задается конечным числом элементов) и бесконечные ( если последовательность задается бесконечным числом элементов).

Последовательность называется монотонно возрастающей, если для любого натурального n выполнено неравенство

x_n+1>x_n.

Последовательность называется монотонно убывающей, если для любого натурального n выполнено неравенство

x_n+1<x_n.

Пример:   Доказать, что последовательность, задаваемая формулой общего члена возрастающая.

Решение :  Рассмотрим разность

 и проверим выполнение неравенства  для всех :

Так как последнее неравенство справедливо для всех  , то, данная последовательность –возрастающая.

Тема 1.2 Предел числовой последовательности.  Предел    функции.

Если числовая последовательность монотонна и ограниченна, то она имеет предел.

Число к которому стремится последовательность называют пределом последовательности, и пишут lim x_n=a .    

Вычисление пределов.

При вычислении пределов могут помочь их арифметические свойства. Пусть для последовательностей x_n  и   y_n  существуют пределы . Тогда существуют пределы для суммы(разности), произведения и частного этих последовательностей, и справедливы равенства :

Однако воспользоваться арифметическими свойствами пределов удается далеко не всегда. Может случиться , что нет предела у одной или обеих последовательностей, но для их арифметических операций предел существует. Во всех подобных случаях говорят о неопределенностях, которые стремятся раскрыть. Существует несколько видов неопределенностей:  

Некоторые  приемы раскрытия неопределенностей.

1)      Если в числителе и знаменателе дроби стоят многочлены относительно n , то при вычислении ее предела при nполезно поделить числитель знаменатель на старшую степень n, присутствующую в многочленах.

Пример. Вычислить предел:

.

Решение :              

Ответ: -1

2)      При вычислении предела отношений двух функций, при , необходимо произвести сокращение числителя и знаменателя дроби на общий множитель.

Пример. Вычислить предел:

.

Решение:

Ответ:

3)      Вычисление предела от иррационального выражения иногда можно осуществить переводом иррациональности из числителя в знаменатель или наоборот. Для этого и числитель и знаменатель дроби, стоящей по знаком предела, надо умножить на выражение сопряженное подкоренному.

Пример. Вычислить предел:

.

Решение:

Ответ: 0.

4)      При вычислении пределов выражений, содержащих тригонометрические функции, часто используется предел

Пример . Вычислить предел:

Решение :

Преобразуем, числитель дроби по формуле

Тогда получаем

Ответ: 0.

5)      Правило Лопиталя :

Предел отношения двух функций равен пределу отношения их производных, если последний существует в указанном смысле.

Пример : Вычислить предел:

Решение :

Ответ: 0.

Тема 1.3 Непрерывность функции в точке.

Ø  Функция f(x), определенная на промежутке (а;b), называется непрерывной в точке х_0, если:

1)      существует предел ;

2)      этот предел равен значению функции в точке х₀, т.е.

Пример : Доказать непрерывность функции

f(x)=3х²+5х, в точке х=2.

Решение:

 

С другой стороны , значение функции в точке 2 тоже равно 17. Следовательно, равенство  выполняется и данная функция непрерывна в точке х=2 .

Ø  если  существует, но функция не определена в точке х₀, то говорят, что х₀- точка устранимого разрыва. В этом случае можно доопределить функцию f(x) «по непрерывности», положив

.

Пример . Доопределить функцию

 в точке х=2 по непрерывности.

Решение :

точка х=2 не принадлежит области определения данной функции, но

Доопределяя функцию f(x) в точке х=2 значением, равным, 4, получаем функцию

Которая на всей области определения исходной функции совпадает с исходной функцией и будет непрерывной на всей числовой оси.

Ответ: =4.

Упражнения:

 Вычислить предел:

№1

№2

№3

                               

№4

      №5

№6

Доопределить функции по непрерывности:

№1      в точке х=3.

№2     в точке  х=0.

№3   в точке х=0.

Глава  2. Математический анализ.

Тема 2.1  Определение производной.

Производной функции у=f(x) называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю ( если этот предел существует):

Нахождение производной функции называется дифференцированием этой функции.

Геометрический смысл производной: производная есть угловой коэффициент( тангенс угла наклона) касательной, проведенной к кривой      в точке х_0, т.е. 

y= f(x₀)+f^/(x₀)(x-x₀)- уравнение касательной.

Механический смысл производной: производная пути по времени  есть скорость точки в момент

Пример : Написать уравнение касательной функции f(x)= х⁴+5х²-4 в точке х₀=1.

Решение:

1) найдем значение функции в точке х₀: f(1)= ;

2) вычислим производную: f^/(x)=4х³+10х;

3) найдем значение производной в точке х₀: f^/(1)= =14.

Подставляя в формулу уравнения касательной получаем:

у=2+14(х-1)=

Ответ : у= 14х-12.

Тема 2.2 Правила вычисления производной.

1)      производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна такой же сумме производных этих функций, т.е.

2)      Производная произведения двух дифференцируемых функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго, т.е.

3)      Производная частного двух дифференцируемых функций может быть найдена по формуле

   (при условии, что v).

Таблица производных

№ п/п	Функция у	Производная у/	№ п/п	Функция у	Функция у/
1	с	0	11	loga u
2	х	1	12	sin u	cos u.u/
3			13	cos u	-sin u.u/
4			14	tg u
5	un	n un-1.u/	15	ctg u
6			16	arcsin u
7			17	arccos u
8	eu	eu.u/	18	arctg u
9	au	aulna.u/	19	arcctg u
10	ln u		20	kx+b	k

Упражнения:

1 Вычислить производную:

№1

1) f(x)= (x+1)¹⁰⁰;    2) f(x)= cos(6x+п);  3) f(x)= tg(;

4) f(x)= sin6x(x-5) ; 5) f(x)= ; 6) f(x)=  .

№2

1)      f(x)= arcos(; 2) f(x)= ln(1+sin3x); 3) f(x)= ;

4) f(x)= 4^3x(1+tgx); 5) f(x)= ; 6) f(x)= sin²(cos³x).

№3

1)      f(x)= x³+2^x-cos3x; 2) f(x)= (x+3)⁴; 3) f(x)= cosx³;

4)     f(x)= tg6x; 5) f(x)= ; 6) f(x)= ln(6x+5)

№4

1)      f(x)= 4x+5cos-arcsin(+);  2) f(x)= log₃(2-5x);

 3) f(x)= 4^x+5arctg();4) f(x)= ; 

5) f(x)= ; 6) f(x)=

№5

1) f(x)= ;  2) f(x)= ln²(x+2);  3) f(x)= arcctg(^;

        4) f(x)= cos²x(5x-3)³; 5) f(x)=  ;  6) f(x)=.

2 Написать уравнение касательной:

1)      у= -2х²+4х-4, в точке х=3  ; 2) у= в точке х=2;

3 Дана кривая у=х²-2х. Составить уравнение касательных в точках пересечения ее с прямой 3х+у-2=0.

Тема 2.3 Исследование функции методами дифференциального исчисления

2.31 Исследование функций на возрастание и убывание

Теорема (достаточное условие возрастания функции) Если производная дифференцируемой функции положительна внутри некоторого промежутка Х, то она возрастает на этом промежутке.

Теорема (достаточное условие убывания функции) Если производная дифференцируемой функции отрицательна внутри некоторого промежутка Х, то она убывает на этом промежутке.

         у                                                                у

                                                                         

 

                           х                                                                              

0            х₁    х₂                                                                             0                 х₁     х₂

          а)                               Рис.1                       b)                                                                                             

Если касательные к кривой в некотором промежутке направлены под острыми  углами к оси абсцисс(рис.1.а), то функция возрастает, если под тупыми (рис. 1.b), то убывает.

Пример . Найти промежутки монотонности функции

у= x²-4x+3.

Решение :

у^/=2х-4.

y^/>0 при         2х-4>0 ;                              y^/<0 при   2x-4<0;

                         2x>4 ;                                                    2x<4;

                           x>2 .                                                      x<2.

Получаем, что функция возрастает на (2;+∞), а убывает на (-∞;2).

2.32                  Исследование функции на экстремум.

Определение 1.  Точка х₀ называется точкой максимума функции f(x), если в некоторой окрестности  точки х₀выполняется неравенство f(x) ≤ f(x₀).

Значения функции в точках х0 и х1 называются соответственно максимумом и минимумом функции. Максимум и минимум функции объединяются общим  названием

Определение 2.  Точка х₀ называется точкой минимума функции f(x), если в некоторой окрестности  точки х₀ выполняется неравенство f(x) ≥ f(x₁).

       у                                                        

        f(x₀)

                                                             

                                f(x₂)

                 f(x₁)     

0     х₀    х₁             х₂               х

              Рис.2

названием экстремума функции. Экстремум функции часто называют локальным экстремумом.

В точках локального экстремума дифференцируемой функции ее производная равна нулю.

Поэтому необходимое условие экстремума может быть сформулировано следующим образом.

 Для того, чтобы функция у= f(x)имела экстремум в точке х₀, необходимо, чтобы ее производная в этой точке равнялась нулю

( f ^/ (х)=0) или не существовала.

Точки, в которых производная равна нулю или не существует, называются критическими.

Таким образом, если в какой- либо точке имеется экстремум, то эта точка критическая. Очень важно, однако, заметить, что обратное утверждение неверно. Критическая точка вовсе не обязательно является точкой экстремума.

Схема исследования функции у= f(x) на экстремум.

1⁰. Найти производную у^/= f ^/(x).

2⁰. Найти критические точки функции, в которых производная

 f ^/(x) =0 или не существует.

3⁰. Исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки и сделать вывод о наличии экстремумов функции.

4⁰. Найти экстремумы ( экстремальные значения) функции.   

Пример . Исследовать на экстремум функцию

у=х(х-1)³.

Решение :    

1)      Производная. у^/=1^.(х-1)³+3х^.(х-1)²=(х-1)^2.(х-1+3х)=(х-1)^2.(4х-1).

2)      Приравнивая производную к нулю, находим критические точки функции: (х-1)^2.(4х-1)=0

                      (х-1)²=0 или 4х-1=0 

                        х-1=0           4х=1

                        х₁=0             х₂=.

3)      Нанесем критические точки на числовую прямую.

у^/         

   +                         +               х

  у                                             1  

Для определения знака производной слева и справа от критической точки х=выберем, например, значения х=0 и х=0,5 и найдем f^/(0)=-1 <0 и f^/(0.5)= >0; следовательно, f^/(x)<0 при всех х<  и  f^/(х)>0 на интервале (;1).

Аналогично устанавливаем, что f^/(x)>0 и на интервале (1;∞).

Согласно условию х=- точка минимума. В точке х=1 экстремума нет.

4)      Находим значение функции f_min()=(-1)³=-.

2.33          Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.

Если функция у=f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то она принимает на нем наибольшее и наименьшее значения. Наименьшее и наибольшее значение функции может достигаться как в точках экстремума так и в точках на концах отрезка. Так, на рисунке, наибольшее значение функции на конце отрезка х=b, а наименьшее- в точке минимума х₁.     

y

Для отыскания наибольшего и наименьшего значений на отрезке рекомендуется пользоваться следующей схемой: 10. Найти производную f /(x). 20. Найти критические точки функции, в которых производная равна нулю или не существует. 30. Найти значения функции в критических точках и на концах

                                                                            

     

    0  a  x₁                  b         x

         Рис.3

отрезка и выбрать из них наибольшее f_max и наименьшее f_min.

Пример: Найти наибольшее и наименьшее значения функции

у=(х-2)^2.е^-х на отрезке [0;5].

Решение :

1⁰. f^/(x) = 2(x-2)^.e^-x-(x-2)^2.e^-x= -e^-x.(x-2)(x-2-2)=-e^-x.(x-2)(x-4).

2⁰. f^/(x) =0, -e^-x.(x-2)(x-4)=0

                    -e^-x=0 или х-2=0 или х-4=0

            нет решения      х₁=2           х₂=4   

3⁰. значения функции в критических точках f(2)=0, f(4)= и на концах отрезка f(0)=4 и f(5)=. Итак, f_max=f(0)=4, f_min(2)=0.

2.34.  Исследование функции на выпуклость, вогнутость и точки перегиба.

Нахождение экстремумов во многом определяет структуру графика функции. Определим теперь другие « узловые» точки функции, которые также следует найти, чтобы качественно построить график.

 у                                            у                                        у         

 

      0   х₁   х₂ х₃   х₄   х₅  х           0                             х        0                           х       

             а)                                            б)                                     в)

                                               Рис.4

рассмотрим функцию, график которой изображен на рис.4а. эта функция возрастает на всей числовой оси и не имеет экстремумов. Очевидно, однако , ее отличие от функций, изображенных на рис. 4б и 4в. В точках х₁, х_2, х₃, х₄, х₅ график как бы «перегибается». Поэтому такие точки называются точками перегиба, к строгому определению которых мы переходим.

Прежде всего определим различие поведения функции по разные стороны от точек х₁, х_2, х₃, х₄, х_5.

Определение 1. Функция называется вогнутой на промежутке Х, если для любых двух значений х₁, х₂ Х из этого промежутка выполняется неравенство

.

График вогнутой функции расположен над касательной в окрестности точки касания рис. 5а.

Определение 2. Функция называется выпуклой на промежутке Х, если для любых двух значений х₁, х₂ Х из этого промежутка выполняется неравенство

.

График выпуклой функции расположен под касательной в окрестности точки касания рис. 5б.

             y                                                             y

                                                                                                          y=f(x)

                  y=f(x)                                                                 

                                        α                                                 α

   0                                  x                            0                                      x     

                     а                                                                  б

                                              Рис. 5

Теорема. Если вторая производная дважды дифференцируемой функции положительна ( отрицательна ) внутри некоторого промежутка Х , то функция вогнута (выпукла )  на этом промежутке.  Таким образом, получаем, если f^//(x)>0 , то функция вогнута, а если    f^//(x)<0, то функция выпукла.

Определение. Точкой перегиба  графика непрерывной функции называется точка, разделяющая интервалы, в которых функция выпукла и вогнута.

Теорема. Если вторая производная  f ^//(x) дважды дифференцируемой функции при переходе через некоторую точку х₀ меняет свой знак, то х₀ есть точка перегиба ее графика.

 

В окрестности точки х1 функция выпукла и график ее лежит ниже касательной проведенной в этой точке. В окрестности точки х2, на которой функция вогнута, картина обратная- функция расположена  выше касательной. В

          у

 

0    х₁               х₀         х₂              х 

                              Рис.6

точке  перегиба х₀ касательная разделяет график- он лежит по разные стороны касательной. Следует отметить, что если критическая точка дифференцируемой функции не является точкой экстремума, то она есть точка перегиба.

Схема исследования функции на выпуклость, вогнутость и точки перегиба:

1⁰. Найти вторую производную функции f^//(x).

2⁰. Найти точки в которых  f^//(x)=0 или не существует.

3⁰. Исследовать знак второй производной слева и справа от найденных точек и сделать вывод об интервалах выпуклости, вогнутости и наличии точек перегиба.

4⁰. Найти значения функции в точках перегиба.

Пример. Найти интервалы выпуклости, вогнутости и очки перегиба графика функции у= х^.(х-1)³.

Решение :

1⁰. Производная. у^/=1^.(х-1)³+3х^.(х-1)²=(х-1)^2.(х-1+3х)=(х-1)^2.(4х- 1);

у^//= 2(х-1)(4х-1)+ (х-1)^2.4=(х-1)^.(8х-2+4х-4)=(х-1)^.(12х-6).

2⁰. у^//=0,       (х-1)^.(12х-6)=0

                       х-1=0 или 12х-6=0

30. у//>0 на интервалах , следовательно, на этих интервалах

                        х=1             х=

у^//           +                    -                        +

                                                                 х 

у                                              1           

функция вогнута; у^//<0 на интервале (, следовательно на этом интервале функция выпукла, а точки х=1 и х= есть точки перегиба.

4⁰. значения функции в точках перегиба f()=-, f(1)=0.

2.35.    Асимптоты графика функции.

До сих пор изучались характерные точки функции. Теперь рассмотрим характерные линии. Важнейшими линиями являются асимптоты.

Определение. Асимптотой графика функции у=f(x) называется прямая, обладающая тем свойством, что расстояние между точкой Р этого графика и данной прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки Р от начала координат.

       у                                                    у                               у           

 

 

                                                   0                        х     0                          х            

                              х                       0        а

       а)                                            б)                                     в)

рис. 7

На рис. 7 а изображена вертикальная асимптота, на рис. 7б –горизонтальная асимптота, а на рис. 7в –наклонная.

Очевидно,, этими тремя случаями исчерпываются все возможные расположения асимптот.

1. Пусть функция y= f(x) определена в некоторой окрестности точки х₀ и предел этой функции при хх₀ равен ∞, т.е. . . Тогда прямая х=х₀ является вертикальной асимптотой графика функции у= f(x).

Очевидно, что прямая х=х₀ не может быть вертикальной асимптотой графика функции , если функция непрерывна в точке х₀, так как в этом случае  . Следовательно, вертикальные асимптоты х=х₀ надо искать в точках разрыва функции.

2. Пусть функция определена при достаточно больших х и существует конечный предел функции . Тогда прямая у=b есть горизонтальная асимптота графика функции у= f(x).

В том случае, если  , функция может иметь наклонную асимптоту.

3. Пусть функция определена при достаточно больших х и существуют конечные пределы  , тогда прямая y=kx+b является наклонной асимптотой графика функции  у= f(x).

Пример . Найти асимптоты графика функции

Решении:

Очевидно, что график функции не имеет ни вертикальных асимптот (нет точек разрыва), ни горизонтальных (  

Найдем наклонную асимптоту.

Таким образом получаем, наклонная асимптота графика функции имеет вид y= x.

Ответ: у=х.

2.36   Общая схема исследования функций и построения их графиков.

Схема исследования функций:

1⁰.Найти область определения функции.

2⁰. Исследовать функцию на четность – нечетность.

3⁰.Найти вертикальные асимптоты.

4⁰. Исследовать поведение функции  в бесконечности, найти горизонтальные или наклонные асимптоты.

5⁰. Найти экстремумы и интервалы монотонности функции.

6⁰. найти интервалы выпуклости и точки перегиба.

7⁰. Найти точки пересечения с осями координат и,  возможно, некоторые дополнительные точки уточняющие график.

Пример.  Исследовать функцию  и построить ее график.

Решение :

1⁰. Область определения : 1-х²≠0

                                                 х²≠1

                                                  х≠±1 D(x)=(-∞,-1)

2⁰. Функция четная, так как f(-x)= график симметричен относительно оси ординат.

3⁰. Вертикальные асимптоты могут пересекать ось абсцисс в точках х=±1. Так как

, то прямые х=1 и х=-1 есть вертикальные асимптоты.

4⁰. Поведение функции в бесконечности.

Вычислим  , т.е. прямая у=-1 есть горизонтальная асимптота.

5⁰. Экстремумы и интервалы монотонности.

у^/=0 , когда числитель равен нулю, т.е. при х=0

у^/ не существует в точках , в которых знаменатель обращается в нуль, т.е. при х=±1.

Однако критической точкой является только точка х=0 (так как значения х=±1не входят в область определения функции). Найдем знаки производной:     у^/                 -                              +

                                                                                                                         

                                 у          - 1                  0                   1             х                                        

х=0-точка минимума, f min=f(0)=1- минимум функции.

На интервалах (-∞,-1) и (-1, 0) функция убывает, на интервалах (0, 1) и (1, +∞) функция возрастает.

6⁰. Интервалы выпуклости и точки перегиба.

Очевидно, что у^//>0  на интервале (-1, 1)  и функция вогнута на этом интервале; у^//<0 на интервалах (-∞,-1), (1, +∞) и на этих интервалах функция выпукла. Точек перегиба нет, так как 1+3х²=0

                                                                              3х²=-1-не имеет смысла.

7⁰. Точки пересечения с осями. f(0)=1, т.е. точка пересечения с осью ординат (0, 1). Уравнение f(x)=0 решений не имеет, следовательно, график функции не пересекает ось абсцисс. График функции изображен на рис. 8

                                                       у

                                    -1                         1                                     х                                                       

                                                    -1

Рис.8

Упражнения:

I.                   Найти наибольшее и наименьшее значения функции:

2. у= 3х²-6х на отрезке [0;3] ;

3.  2) у=2х³-3х²-36х+10 на отрезке [-5;4].

II.                Вычислить промежутки монотонности функций:

1)      у= х⁵-5х ;  2) у= х³-3х²-45х+2;  3) у=  ;  4) у=х³-2х²-7х+4;  5) у= .

III.             Вычислить экстремумы функций:

1) ;  2) у=1+2х²-; 3) у= 3х⁴-4х³; 4) у= ; 5) у= х³-12х²+36х.

IV.             Вычислить точки перегиба и интервалы выпуклости функций:

1) у=2х³-3х²+15;  2) у=х³-6х²;  3) у= 2х²+lnx;   4) у= х³-3х²+1;  5) у= х⁴-6х²+5. 

V.                Найти асимптоты графиков функций:

1)      у= ;  2) у=  ;  3) у= ;  4) у=  .

Тема 2.4  Неопределенный интеграл.

Основной задачей дифференциального исчисления  является нахождение производной или дифференциала данной  функции. Интегральное исчисление решает обратную задачу_ нахождение самой функции по ее производной или дифференциалу.

2.41    Первообразная функция и неопределенный интеграл .

Определение. Функция F(x)  называется первообразной функцией для функции f(x) на промежутке Х, если в каждой точке х этого промежутка F^/(x)=f(x).

Например,   является первообразной для функции f(x)=x², так как  .               

                                                                       y

 

                                                  y =f(x)+c                      α                                                      

По геометрическому смыслу производной F/(x) есть угловой коэффициент касательной к кривой у= F(x) в точке с абсциссой х. геометрически найти

                                                                                           

                                                                                 F^/(x)=tg α  =f(x)

                     y=f(x)                     α              

                   C

                                                               0        x                             x                                                                                                                                                         

      Рис. 9

первообразную для f(x)- значит найти такую кривую y=F(x), что угловой коэффициент касательной к ней в произвольной точке х равен значению f(x) заданной функции в этой точке (см. рис.9).

следует отметить, что для заданной функции f(x) ее первообразная  определена неоднозначно. Дифференцируя нетрудно убедиться, что функции и вообще , где С –некоторое число, являются первообразными для функции   f(x)=x². Аналогично  в общем случае, если  F(x) – некоторая первообразная для f(x), то, поскольку  (F(x)+C)^/=F^/(x) =f(x), функции вида   F(x)+C, где С –произвольное число, также  являются первообразными для   f(x).

Геометрически это означает, если найдена одна кривая у=F(x), удовлетворяющая условию  F^/(x)=tg α=f(x), то сдвигая ее вдоль оси ординат, мы вновь получаем кривые, удовлетворяющие указанному условию *( поскольку такой сдвиг не меняет углового коэффициента касательной в точке с абсциссой х) (см.рис.9)

Основное свойство первообразной:

Если F(x) – первообразная для функции f(x) , то выражение вида F(x)+C, где С -произвольное число, задает все возможные первообразные для функции для  f(x).

Определение.  Совокупность всех первообразных для функции  f(x) на промежутке Х называется неопределенным  интегралом от функции f(x) и обозначается , где  -  знак интеграла,  f(x)- подынтегральная  функция , f(x)dx  - подынтегральное выражение . Таким образом,

,

где F(x) – некоторая первообразная для  f(x), С- произвольная постоянная.

Операция  нахождения  неопределенного интеграла от некоторой функции называется интегрированием этой функции.

2.42    Свойства неопределенного интеграла. Интегралы от основных элементарных функций.

Основные свойства неопределенного интеграла.

1.      производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е.

2.      Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е.

где k- некоторое число.

3.      Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций, т.е.

4.      Пусть F(x) некоторая первообразная для функции f(x). Тогда

,

где k и b–некоторые числа, k ≠0.

Таблица интегралов

№ п/п	функция	интеграл
1		kx+С
2
3		ln|x|+C
4
5	dx	ex+C
6		-cos x+C
7		sin x+C
8		arcsin
9
10
11
12		tg x+C
13		-ctg x+C
14
15

2.43    Методы интегрирования.

Существуют следующие методы интегрирования:

§  Интегрирование элементарных функций по таблице;

§  Метод замены переменной;

§  Метод интегрирования по частям;

Интегрирование по частям.

 Пусть u(x)  и v(x) – дифференцируемые функции. Метод  интегрирования по частям основан на следующих равенствах:

(u^.v)=u^/.v+u^.v^/;

или

.

Например . Вычислить интегралы: а)   б)

Решение:

а) Так как х^/=1, а функция cosx при интегрировании обращается в

 (-sinx), то данный интеграл можно найти интегрированием по частям, и полагая  u(x) =x, v^/(x) =cos x

  u^/(x)=1, v(x)=   

Подставляя, получаем:

Ответ:

б) « Препятствием»  к нахождению данного интеграла является присутствие сомножителя lnx в записи подынтегральной функции. Устранить его в данном случае можно интегрированием по частям, полагая u= lnx. Тогда dv=xdx.

Так как du=d lnx= используем формулу интегрирования по частям; получаем

Ответ:

Анализируя разобранные примеры, можно указать следующие типы интегралов, для нахождения которых используется формула интегрирования по частям:

1.     

2.     

где a, m, k – действительные числа ( k≠-1), n- целое положительное число.

Для нахождения интегралов из первой группы формулу интегрирования по частям придется применять n раз (при первом применении полагают u= xⁿ , а остальные сомножители подынтегрального выражения задают dv), пока степень n переменной х не станет равной нулю, а сам интеграл – табличным.

Для нахождения интегралов второй группы полагают x^kdx=dv ( оставшиеся сомножители подынтегрального выражения задают тогда выражение для u). Отметим, что для нахождения  формулу интегрирования по частям придется применять n раз ( пи каждом применении  степень функции ln x уменьшается на единицу, пока не станет равной нулю, а сам интеграл – табличным)

Интегрирование простейших рациональных дробей.

Рациональной дробью называют отношение двух многочленов. Например,    рациональная дробь.

Рассмотрим общий подход к интегрированию рациональных дробей. Прежде всего, достаточно рассмотреть лишь правильные дроби, т.е. такие, у которых степень числителя меньше степени знаменателя. В самом деле, если это не так, то, используя алгоритм деления  многочленов «углом», известный из школьного курса, мы можем представить исходную дробь в виде суммы многочлена и правильной дроби. Например,

,

и т.д. Тогда интеграл от исходной дроби сведется к сумме интегралов от многочлена и правильной дроби.

Если степень знаменателя равна 1 , то искомый интеграл имеет вид  , и для его нахождения достаточно воспользоваться формулой (14).

Пусть степень знаменателя равна 2, т.е. искомым является интеграл вида

где a, b, c, e, f- действительные числа, а≠0.

При вычисления данного интеграла можно воспользоваться формулой (15) , для этого надо привести исходный интеграл к виду

. Его можно привести к этому виду, если сначала выделить полный квадрат в знаменателе подынтегральной функции, а затем использовать соответствующую замену переменной.

Пример. Найти интегралы:

а)

Решение: 

а) Поскольку х²+2х+1=(х+1)², то используем замену переменной

t= x+1. Тогда dt=dx, x=t-1 u

  

Ответ: 

b)  Так как 4х²+4х-3=(2х+1)²-4, то положим  t= 2x+1. Тогда 

 

При нахождении первого интеграла воспользуемся формулой (15) при а=1, с=-4. второй интеграл – (10). Теперь имеем

Ответ :  

Упражнения:

1. Вычислить неопределенный интеграл:

2.

2. Проинтегрировать функции:

  

3. Проинтегрировать по частям

  2)  3)    4)

5)

Тема 2.5 Определенный интеграл.

            2.51  Понятие определенного интеграла,

его геометрический смысл.

Задача о площади криволинейной трапеции.

Пусть на отрезке [a;b] задана неотрицательная функция y=f(x). Требуется найти площадь  S криволинейной трапеции, ограниченной кривой y=f(x), прямыми  x=a,  x=b и осью у=0

 (рис. 10).

 у     y= f(x)                                              y         y=f(x)  ломаная

 

             

               S                                                                S_л       

0    a                           b   x                        0    a                            b     x

                Рис.10                                                          рис.11    

Наметим общий подход к решению этой задачи. Введем в рассмотрение некоторую ломаную, которая расположена  достаточно близко к кривой y= f(x)  на  [a;b] (рис.11) . фигура под ломаной состоит из трапеций ( прямоугольников) , и ее площадь S_л ( равная сумме площадей этих трапеций) может быть вычислена с использованием известных формул планиметрии. Поскольку ломаная выбрана достаточно близко к кривой y=f(x), то  справедливо приближенное равенство  S≈ S_л. Это равенство оказывается тем более точным, чем ближе расположена ломаная к исходной кривой. Поэтому естественно за искомую площадь S взять предел площади S_л под ломаной в предположении неограниченного приближения ломаной к заданной кривой.

Приведенные рассуждения носят качественный характер. Для того чтобы их можно было использовать на практике, необходимо уточнить в них то, что описывалось нестрого: процедура выбора ломаной и последующий предельный переход. На этом пути мы получим понятие определенного интеграла.

Понятие интегральной суммы.

Пусть на   [a;b] задана функция у=f(x). Разобьем отрезок [a;b]  на n элементарных отрезков точками   x₀, x₁,…, x_n: a=x₀<x₁<x₂<…<x_n=b. На каждом отрезке   [x_i-1,x_i]   разбиения выберем некоторую точку ξ_i  и положим   Δ x_i=x_i-x_i-1, где   i=1,2,3,…,n.  Сумму вида

будем называть интегральной суммой для функции y=f(x) на  [a;b]. Очевидно, что интегральная сумма зависит как от способа разбиения  отрезка [a;b]  точками  x₀, x₂, …, x_n, так и от выбора точек  ξ_1,   ξ_{2, …} ξ_n на каждом из отрезков разбиения   [x _i-1, x_i], где

i=1, 2, … n.

Геометрический смысл интегральной суммы.

Пусть  функция y= f(x) неотрицательна на  [a;b] . отдельное слагаемое  f(ξ_i)^.Δx_i интегральной суммы в этом случае равно S_i прямоугольника со сторонами f(ξ_i) и  Δx_i, где i=1, 2, … n ( см. рис. 12, где х₀-х₁= Δx₁, х₂-х₁= Δx₂, и т.д.)

Другими словами Si – это площадь пд прямой y= f(ξ i) на отрезке [xi-1,xi]. Поэтому вся интегральная сумма равна площади S=S1+S2+…+Sn под ломаной, образо-

      y                                      y=f(x)

      f(ξ₃)

f(ξ₂)                                                  

f(ξ₁)

      0  a=x₀   ξ₁         x₁  ξ₂      x₂      ξ₃    x₃      x

                                 Рис.12

ванной на каждом из отрезков [x_i-1,x_i] прямой y= f(ξ _i) параллельной оси абсцисс ( рис. 12)

Понятие определенного интеграла.

Для избранного разбиения отрезка [a;b] на части  обозначим через

 максимальную из длин отрезков [x_i-1,x_i], где i=1, 2, … n. 

Определение. Пусть предел интегральной суммы при стремлении  к нулю существует, конечен и не зависит от способа выбора точек х₁, х₂,… и точек  ξ_1,   ξ_{2, …} .Тогда этот предел называется  определенным интегралом от функции  y=f(x) на  [a,b], обозначается , а сама функция   y=f(x) называется интегрируемой на отрезке  [a,b], т.е.

=.

При этом число а называется нижним пределом, число b- его верхним пределом; функция f(x) - подынтегральной функцией, выражение f(x)dx- подынтегральным  выражением, а задача о нахождении - интегрированием функции f(x) на отрезке [a,b].

Несмотря на сходство в обозначениях и терминологии, определенный и неопределенный интегралы существенно различные понятия: в то время как   - представляет семейство функций, - есть определенное число.

Геометрический смысл определенного интеграла.

Понятие определенного интеграла введено таким образом , что в случае, когда функция y=f(x) неотрицательна на отрезке   [a,b], где   a<b,  численно равен площади  S под кривой  y=f(x) на   [a,b] (см. рис. 10). Действительно, при стремлении    к нулю ломаная (см. рис.12)  неограниченно приближается к исходной кривой и площадь под ломаной переходит в площадь под кривой.

              2.52 Свойства определенного интеграла.

Формула  Ньютона-Лейбница.

Свойства определенного интеграла:

1.      Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е

=k,

где k- некоторое число.

2.      Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций, т.е.

=.

3.   Если отрезок интегрирования разбит на части , то интеграл на всем отрезке равен сумме интегралов для каждой из возникших частей, т.е. при любых а, b, с:

Формула Ньютона –Лейбница:

Основная формула интегрального исчисления, традиционно связана с именами И. Ньютона и Г. Лейбница.

Теорема. Пусть функция  y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и F(x) –любая первообразная для f(x) на [a,b]. Тогда определенный интеграл от функции  f(x) на [a,b] равен приращению первообразной F(x) на этом отрезке, т.е.

Следует подчеркнуть, что при применении формулы Ньютона- Лейбница можно использовать любую первообразную F(x) для подынтегральной функции  f(x).например, имеющую наиболее простой вид при С=0.

Например.   Вычислить: а)    

 Решение :

а) произвольная первообразная для функции f(x)=х² имеет вид    для нахождения интеграла по формуле  Ньютона- Лейбница возьмем такую первообразную, у которой  С=0. Тогда   

Ответ : .

b) первообразную подынтегральной функции найдем, используя формулу (4). Применяя формулу Ньютона- Лейбница получаем

Ответ:  .

2.53    Вычисление площадей плоских фигур.

                              1 способ                                         2 способ

у                                                        y            y=f₁(x)

                     у=f(x)

 

                                                                                           S

                             

                                                                                       y=f(x)

                                                     х

           ₀       х=а                     х=b                      0       x=a         x=b            x

                                                                                f₂(x)<f₁(x)

                                     

3 способ

                              y

                      y=f(x)

                                                                        y=k

                                                     S

                              0         x=a              x=b     x

.     

Рис.13 Площади плоских фигур

Например . Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями:

                    а) , х=0, у=4;  б) у= х²-2, у=х.

а)              

Решение: из чертежа видно , что искомая площадь S криволинейного треугольника ОАВ равна разности двух площадей: S=SОАВС-SОВС, каждая их которых находиться по геометрическому смыслу интеграла.

          у

                       В      у=4

         А

   х =0                 

                             С

         О                              х

1.      найдем пределы интегрирования: у₁=х² и у₂=4

у₁=у₂;

х²=4(отрицательный корень не принимаем);

2.      S_ОАВС=

  S_ОВС=.

Окончательно S=(кв.ед.)

Ответ : S=кв.ед.

б)                      у

			Решение: 1. найдем пределы интегрирования: у1=у2; х2-2=хх2-х-2=0, D= 1+8=9х1=2, х2=-1. На отрезке [-1;2] у1≤у2. Воспользуемся формулой 2 способа (рис.13):

   у₁=х²-2                         у₂=х         

              -1 0                                     

                             2              х

                       -2

Ответ: S= 4,5 кв.ед.

Упражнения:

1.      Вычислить определенный интеграл:

 

2.Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями

1) у= 4-х²; у= 0;   2) у= -х²;  х+у+2=0;   3) у= х²;  ух=8;  у=6;

2)      у= ; у= х ; х=2;  5) у= е^х; у=е^-х;  у=4.

Тема 2.6  Производная высшего порядка.

 До сих пор мы рассматривали производную f^/(x) от функции  f(x), называемую производной первого порядка. Но производная  f^/(x) сама является функцией, которая также может иметь производную.

Производной n-го порядка называется производная от производной (n-1)-го порядка.

Обозначение производных: f^//(x) –второго порядка (или вторая производная),  f^///(x)-третьего порядка( или  третья производная).

Для обозначения производных более высшего порядка используются арабские или римские цифры, например,

 f⁽⁴⁾(x),…, f ⁿ (x) или f^IV(x) и т.д. 

Механический  смысл второй  производной.  Выше было установлено, что если s= s(t) –это закон по которому движется точка, то s^/(t) представляет скорость изменения пути  в момент t₀. следовательно, вторая производная пути по времени s^//(t₀)=[s^/(t₀)]^/=ν ^/(t₀) есть скорость изменения  скорости или ускорение точки в момент t₀.

Пример. Найти производные до n-го порядка включительно от функции у= ln x.

  Решение:                          и

т . д.очевидно , что производная n-го порядка .

Упражнения :

Найти производные: а) второго порядка: 1) у= sin²x, 2) y= tg x,  3) y=  ;

б) третьего порядка: 1) у= x ln x, 2) y= x sin x;

г) n-го порядка: 1) у= ln x,  2) y= sin x, 3) y= xⁿ, 4) у=а^х.

Тема 2.7 Функция нескольких переменных.

В предыдущих параграфах мы изучали функцию одной переменной. Однако многим явлениям присуща многофакторная  зависимость. Исследование таких зависимостей потребовало совершенствования математического аппарата, в частности, введения понятия функции нескольких переменных.

 Пусть  имеется n переменных величин, и каждому набору их значений (х₁, х₂,…, х_n) из некоторого множества Х соответствует одно вполне определенное значение переменной  величины z. Тогда говорят, что заданна функция нескольких переменных z= f (х₁, х₂,…, х_{n ).}

Переменные х₁, х₂,…, х_n называются независимыми переменными или аргументами, z- зависимой переменной, а символ f означает закон соответствия. Множество Х называется областью определения функции.   

Для простоты ограничимся рассмотрением функций  двух переменных z=z(x,y), заметив, что логика всех рассуждений полностью сохраняется для функций любого числа независимых переменных.

Пусть в некоторой точке определена функция  z= z(x,y). Если зафиксировать значение одной из переменных, положив, например,  у= у₀, то z=z(x,y₀) окажется уже функцией только от одного переменного х. Для такой функции может существовать производная z^/_x ( здесь индекс х указывает на переменную, по которой производится дифференцирование). Она называется частной производной от функции z(x,y) по переменной х.

Аналогично можно определить частную производную и по другой независимой переменной z^/_у.

Вычисление частных производных не представляет труда, поскольку все независимые переменные, кроме той, по которой производится дифференцирование, считаются постоянными.

Например . Вычислить производную функции

z= 3x²+2xy+4y².

Решение :

 z^/_x= 6x+2y  ; z^/_y= 2x+8y.

Упражнения:

Вычислить частные производные:

1) z=x³y²-2xy³; 2) z= ln(x²+2y³); 3) z= (1+x²)^y; 4) z= ;

 5) z= e^3x+5cos9y-ln(x³-y).

Глава  3. Ряды.

Тема 3.1  Числовые ряды. Сходимость рядов.

Определение. Числовым рядом называется бесконечная последовательность чисел и₁, и₂,и₃,…,и_n… соединенных знаком сложения:

и₁+и₂₊,и₃+…+и_n+…=

Числа и₁, и₂,и₃,…,и_n… называются членами ряда, член и_n- общим членом или n-м членом ряда.

Ряд считается заданным, если известен его общий член и_n. Например, ряд с общим членом и_n=имеет вид

Более сложной является обратная задача: по нескольким первым членам ряда написать общий член.

Пример : Найти в простейшей форме общий член ряда:

а)    б)

Решение :  нетрудно  убедиться, что для ряда а) общий член   , а для ряда б)

Рассмотрим суммы конечного числа членов ряда:

S₁=u₁, S₂=u₁+u₂, …, S_n=u₁+u₂+u₃+…+u_n.

Сумма n первых членов ряда   S_n называется  n-й  частичной суммой ряда.

Определение :Ряд называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности его частичных сумм, т.е.

Число S называется суммой ряда. В этом смысле можно записать

Если конечного предела последовательности частичных сумм не существует, то ряд называется расходящимся.

Пример : Найти сумму ряда

Решение : n-я  частичная сумма ряда

S_n=.Учитывая,  что

Отсюда,   т.е. сумма ряда S =1.

Тема 3.2  Необходимый признак сходимости. Гармонический ряд.

Геометрический ряд.

Теорема ( необходимый признак сходимости). Если ряд сходиться, то предел его общего члена и_n при равен нулю, т.е.

Пример . Исследовать сходимость ряда

Решение:

 т.е. необходимый признак сходимости ряда не выполняется, следовательно, ряд расходиться.

«Эталонные » ряды, часто используемые для сравнения: 

1) Геометрический ряд :

a + aq + aq² +_…+aq^n-1+_…=  .

Геометрический ряд сходиться к сумме   при│q│<1 b  и расходиться при │q│≥1.

2) Гармонический ряд.

 - расходиться.

3) Обобщенный гармонический ряд.

.

Ряд сходиться при α >1, расходиться при α≤1

Тема 3.3 Ряды с положительными членами .

Теорема (признак сравнения).  Пусть даны два ряда с положительными членами:причем члены первого ряда  превосходят членов второго ряда, т.е. при любом n

u_{n ≤ .}

Тогда : а) если сходиться ряд (2), то сходиться и ряд(1);

б) если расходится ряд(1),  то расходиться  и ряд (2).

Пример . Исследовать сходимость ряда

.

Решение:

Сравним данный ряд со сходящимся геометрическим рядом

  ( его знаменатель q=<1)

Так как члены данного ряда, начиная со второго , меньше членов сходящегося геометрического ряда , то на основании признака сравнения ряд сходиться. 

Весьма удобным на практике является признак Даламбера.

Теорема (признак Даламбера). Пусть для ряда с положительными членами существует предел отношения (n+1)-го члена к n-му члену  Тогда, если D< 1, то ряд сходиться; если D> 1, то ряд расходиться; если D=1, то вопрос о сходимости ряда остается нерешенным.

Пример . Исследовать сходимость ряда .

Решение:

. Тогда предел отношения будет равен

то по признаку Даламбера ряд сходиться.

Замечание  1.  Если , то ряд расходиться.

Замечание 2.  Если  =1, то признак Даламбера ответа о сходимости не дает, и  рекомендуется перейти к другим признакам сравнения.

Тема 3.4 Знакочередующиеся  ряды.

Под знакочередующимся рядом понимают ряд, в котором члены попеременно то положительны, то отрицательны:

u₁-u₂+u₃-u₄+_…+(-1)^n-1u_n+_{… ,}   u_n>0.

Теорема  (признак Лейбница). Если члены знакочередующегося  ряда убывают по абсолютной величине u₁>u₂…>u_n>_…  и предел его общего члена при nравен нулю, т.е  , то ряд сходиться, а его сумма не превосходит первого члена S≤u₁.

Пример.  Исследовать сходимость ряда

Решение :

Так как члены знакочередующегося ряда убывают по абсолютной величине  и предел общего члена , то по признаку Лейбница ряд сходиться.

Определение 1. Ряд называется условно сходящимся, если сходиться как сам ряд , так и ряд, составленный из абсолютных величин его членов.

Определение 2.  ряд называется условно сходящимся, если сам ряд сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится.

Упражнения:

I. Установить сходимость или расходимость ряда с помощью признаков сравнения:

 1) ; 2) ;  3)  ;

  4);  5)

6)

 II. Исследовать сходимость ряда с помощью признака Даламбера:

1)  2) ;  3) ;  4)

5)

Тема 3.5 Степенные ряды.

Перейдем к рассмотрению рядов членами, которых являются функции,  в частности степенные функции

с₀+с₁х+с₂х²+_....+c_nxⁿ+_{…  .}

Такие ряды называются степенными, а числа с₀,с₁,с₂,…,c_n – коэффициентами степенного ряда.

Пример:  найти область сходимости степенного ряда

1+х+х²+_…+xⁿ+… .

Решение:

Данный ряд можно рассматривать как  геометрический ряд со знаменателем q=x, который сходиться при │q│=│x│<1. Отсюда

-1<x<1, т.е. областью сходимости является интервал (-1;1).

Структура области сходимости степенного ряда устанавливается с помощью теоремы Абеля.

Теорема Абеля. 1) Если степенной ряд сходится при значении х=х₀≠0(отличном от нуля) , то он сходится и, притом абсолютно, при всех значениях х таких, что │х│<│х₀│. 2) Если степенной ряд расходится при х=х₁, то он расходится при всех значениях х таких, что │х│>│х₁│.   

Из теоремы Абеля следует , что существует такое число R ≥0, что при │х│<R ряд сходится, а при │x│>R-расходится.

Число R получило название радиуса сходимости, а интервал (-R; R) –интервалом сходимости степенного ряда. На концах интервала сходимости, т.е. при х=- R и х= R, ряд может как сходится, так и расходится.

  данное выражение позволяет вычислить радиус сходимости числового ряда через его коэффициенты.

Замечание .  Следует отметить, что у некоторых рядов интервал сходимости вырождается в точку (R=0) , у других охватывает всю ось Ох (R=∞) .

Пример.  Найти область сходимости степенного ряда

Решение :

 

т.е. интервал сходимости ряда  .

Ответ: R= .

Сумма функционального ряда  представляет собой функцию, определенную в области его сходимости. Про эту функцию говорят, что она разлагается в данный функциональный ряд. Для  степенного ряда сумма  обязательно будет бесконечно дифференцируемой функцией внутри интервала сходимости, поскольку степенной ряд можно почленно дифференцировать, т.е.

S(x) =, то существует S^/(x) и верно равенство

.

Это одно из замечательных свойств степенных рядов. Из этого свойства, в частности, вытекает, что при фиксированном х₀ разложение функции в степенной ряд единственно и имеет вид

Указанный ряд называется рядом Тейлора.

При х₀=0, рассматривается частный случай ряда Тейлора- ряд Маклорена:

Элементарные функции е^х, sin x, cos x, ln(1+x), (1+x)^α  разлагаются в ряды Маклорена в интервалах

e^x=

Упражнения:

1. Исследовать сходимость ряда:

1)

2. Разложить в ряд Маклорена функцию:

1) ; 2) ; 3) y= sin²x; 4) у= sin2x; 5) y=xe^x.

Раздел 4. Численное интегрирование.

Тема 4.1 Приближенные методы вычисления определенных интегралов.

Методы приближенного  интегрирования позволяют находить приближенное значение определенного интеграла от любой непрерывной функции с практически достаточной точностью. Излагаемые численные методы основаны на следующем: рассматривая интеграл как площадь криволинейной трапеции, мы получим ее приближенное значение, т.е. приближенное значение интеграла, если вычислим площадь другой трапеции, ограничивающая линия которой по возможности,  мало отклоняется по положению от заданной линии. Вспомогательную линию при этом проводим так, чтобы получилась фигура, площадь которой легко вычисляется.

Существуют следующие правила численного интегрирования:

1)      правило прямоугольников и правило трапеций;

2)      правило параболических трапеций, называемое правилом Симпсона.

1. Правило прямоугольников и правило трапеций.

 y

                                                     y=f(x)

 

     y₀   y₁    y₂   y₃                             y_n-1 

0   а=х₀   х₁     х₂      х₃                            х_n=b         x       рис.18                                      

Разделим интервал интегрирования [a;b]  на n равных частей (рис.18)  

( частичных интервалов) и заменим данную трапецию на ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, опирающихся на частичные интервалы, причем высоты этих прямоугольников равны значению функции в начальных или конечных точках частичных интервалов(у₁, у₂, у₃, …, у _n).  Значение площади этой фигуры и будет давать приближенное значение искомого интеграла: I=.результат будут тем более точен, чем больше взято число частичных интервалов.

Если обозначить длины частичных интервалов как и подсчитать все значения функции y_i( где  i=0,1,2,3,…,n-1), то получим формулу:

Эта формула называется формулой прямоугольников.

На практике эта формула используется  редко, т.к. естественнее ожидать, что взяв вместо прямоугольников обычные трапеции , мы практически притом же объеме работы получаем более точный результат.

Для этого составим тоже разбиение интервала [a;b] , но заменим теперь каждую дугу линии у=  , соответствующую частичному интервалу, хордой, соединяющей конечные точки этой дуги ( рис.19).

Т.о. мы заменяем данную криволинейную трапецию , на n прямолинейных трапеций. И значение интеграла будет более точным.

у

                                                             y=f(x)

 

   0     а=х₀  х₁                          в=х_n       х

                     рис. 19    

.

Эта формула носит название формулы трапеций.

2. Правило параболических трапеций.

Но и формула трапеций не является наилучшей. Оказывается, что самой удачной приближенной формулой будет та, которая получается, если через тройки соседних точек на графике функции, возникающих в результате разбиения отрезка [a;b] , проводить параболы с вертикальной осью (рис. 20), вычисляя соответствующие коэффициенты a_i, b_i, c_i в уравнениях парабол y=a_ix²+b_ix+c_i.

Соответствующая формула носит название формулы параболических трапеций или Симпсона. Ценность ее не только в повышенной точности, но и в удобстве оценки погрешности  приближенного вычисления . Вид формулы не приводиться,

                            у

 

y=f(x)                y=a_ix²+b_ix+c_i.

 

0        x_i            x_i+1           x

рис.20

поскольку ее редко применяют   для «ручного счета», а пользуются готовыми компьютерными программами.

3. Характеристики приближенного числа ( абсолютная и относительная погрешности).

Обозначим приближенное значение числа а через А.

Абсолютную величину разности числа а и его приближенного значения А называют абсолютной погрешностью, т.е.

| a-A|.

Относительной погрешностью называют отношение абсолютной погрешности к абсолютной величине приближенного значения числа, т.е.

.

Пример. Вычислить приближенное значение интеграла

Решение: 1) Точное значение интеграла:  =2;

2) по формуле трапеций получаем:

                                                                       0   

3) Абсолютная погрешность:               | 2-1.9541|=0.0459;

     Относительная погрешность :            

Ответ:  I≈1,9541.

Упражнения:

В задачах вычислить по формулам прямоугольников приближенные значения интегралов и сравнить с точными значениями:

а)

Список литературы:

1. Высшая математика для экономистов

      под редакцией профессора Н.Ш. Кремера, Москва, 2003г.

2. Математика

            И.Д. Пехлецкий , Москва, 2002г.

3. Справочник по математике

А.Г. Цыпкин , Москва, 1983г.

4. Математика

Л.П. Стойлова, Москва, 1999г.