Урок обобщения и систематизации знаний по теме «Производная и ее применение в других областях науки»

Урок обобщения и систематизации знаний по теме «Производная и ее применение в других областях науки»

Предмет:   Алгебра и начала анализа.

Класс:  10

Учебник: ____________________

Тип урока: обобщения и систематизации знаний

Цель урока: восстановить, обобщить и углубить теоретические знания учащихся по изученной теме «Производная». Выявить межпредметные связи этой темы, выявить возможности применения производной при решении задач из других областей знаний. Развивать познавательный интерес у учащихся через раскрытие практической необходимости и теоретический значимости темы.

Диагностируемые цели: в результате урока ученик:

- знает: понятие производной, правила дифференцирования, геометрический и физический смысл производной; типы задач, в решении которых применяется производная.

- умеет: применять понятие производной при решении математических задач и задач из других областей знаний.

-понимает: значимость практического использования производной в предметах школьного курса, т.е значимость межпредметных связей этой темы, с другими областями знаний.

Метод обучения: репродуктивный, объяснительно - иллюстративный

Форма обучения: семинар

Средства обучения: презентация, карточки с заданиями по каждой теме проектов.

Структура урока:

Мотивационно - ориентировочный этап – 15мин

Содержательный этап – 25мин

Рефлексивно-оценочный этап – 5мин.

«…нет ни одной области в математике,

которая когда-либо не окажется

применимой к явлениям действительного мира…»

Н.И. Лобачевский

ХОД УРОКА:

Актуализация:

Идёт фронтальная устная работа, учитель ведёт беседу с учениками:

Здравствуйте. (Откройте тетради. Запишите число, классная работа, тему урока.) Тема нашего урока «Производная и ее применение в различных областях науки». Эту тему мы уже изучали с вами ранее, сегодня попробуем обобщить и углубить наши знания. Для этого давайте с вами вспомним, что же называется производной?

Учитель:

- Что называется производной функции в точке?

-Давайте вспомним определение и посмотрим, как это будет выглядеть графически.

- Мы дали определение через понятие приращение аргумента и приращение функции, а что это такое?

- Молодцы, а каков здесь будет геометрический и физический смысл? Для этого изобразим новый рисунок.

- А если и не стремятся к 0, а конкретные числа?

(с помощью учителя и графических изображений вспоминают и разбирают определения)

Ученики:

- производной функции у = f(x) в точке х₀ называется предел отношения приращения функции (в точке х₀ к приращению аргумента ()

, когда последнее стремится к нулю (.

(Выполняют построения и записывают определение в тетрадь)

- Приращение аргумента, это разность между новым и старым значением аргумента.

-Приращение функции это разность между значением функции в новой точке и значением функции в старой точке.

-Геометрический смысл: если , то и , и секущая АВ будет переходить в касательную в т.А к кривой y=f(x).

Тогда , где – угол наклона касательной к кривой y=f(x), в точке с абсциссой x₀.

Т.е. Геометрический смысл производной состоит в том, что значение производной функции в точке равно угловому коэффициенту касательной (k) к графику функции в этой точке.

k = tg = f '(x₀).

Физический смысл: f '(x₀) = v_мгн(х₀) – это мгновенная скорость в данный момент времени.

- То отношение расстояния ко времени, будет равно средней скорости. = v_ср. за время .Это будет физический смысл

-И с другой стороны - это отношение катета ВС к катету АС (рис.1)и это будет равно тангенсу угла наклона секущей. Поэтому . Это геометрический смысл тангенса угла наклона секущей.

Учитель:

Хорошо, мы вспомнили основные понятия нашей темы, теперь выполните несколько заданий:

1. Устно выполните задание на соответствие:

Для каждой функции левого столбца, найдите соответствующую ей производную в левом столбце.

Буквен.

обозначение

Производная

1)

А)

2)

Б)

3)

В)

4)

Г)

5)

Д)

6)

Е)

7)

Ж)

8)

З)

9)

И)

10)

К)

-Молодцы! С помощью этого задания мы повторили табличные значения производной.

Теперь нам нужно вспомнить вычисление производной простых и сложных функций.

Устно выполните задание:

2. Вычислите производную:

4)

5) y=sin4x

- Обратите внимание на то что производная 4 и 5, это производная сложной функции, давайте вспомним правило нахождения сложной функции.

-Молодцы! Мы повторили это для того чтобы начать составлять таблицу, над которой мы будем работать в течение всего урока.

(не заполненные таблицы раздаются ученикам).

Производную в математике мы уже повторили, поэтому можем внести эти данные.

Ученики:

1. -Правильный вариант заполнения таблицы:

2. Решение примеров:

1)16x ³

2)1/4 x

3) -2x^-2

4)5е^5х

5)4cos4x

6)

Сложная функция – это функция от функции. Производная сложной функции и находятся по формуле:

f(g(x))`=f`(g(x))g`(x)

Математика

Функция

Производная

1. Геометрический смысл производной

2. Механический смысл производной

1) Угловой коэффициент касательной

2) Скорость

Учебная задача урока: На прошлых уроках мы изучали с вами производную, а на сколько важна эта тема, и имеет ли она применение в других областях знаний тогда еще не могли ответить, так вам не хватало соответствующих знаний. Для того чтобы ответить на эти вопросы, вам было предложено самостоятельно поработать над проектами по теме «Производная и ее применение в других областях науки».

Сегодня мы с вами посмотрим, насколько хорошо вы справились с этой задачей. Итак, целью нашего урока будет установление возможности использования производной в других областях знаний. Помогут нам в решении этой задачи, докладчики в каждой группе. Нужно внимательно слушать доклады, задавать для лучшего усвоения материала. Кроме того у вас на партах имеются карточки с вопросами. Ответы на эти вопросы надо искать в докладах.

- Давайте приступим, начнем с первой группы докладчиков. Ученики из 1й группы подготовили «Исторический материал».

Выступает 1 группа: Производная – одно из фундаментальных понятий математики. Оно возникло в 18 веке. Независимо друг от друга И.Ньютон и Г. Лейбниц разработали теорию дифференциального исчисления.

Исаак Ньютон Готфрид Лейбниц

Исаак Ньютон (1643-1727) один из создателей дифференциального исчисления. Главный его труд, это «Математические начала натуральной философии», в котором он изложил закон всемирного тяготения и три закона механики, ставшие основой классической механики.

Титульный лист «Начал» Ньютона

Готфрид Лейбниц (1646-1716) создатель математического анализа — дифференциального и интегрального исчисления. Создал комбинаторику как науку, заложил основы математической логики, описал двоичную систему счисления. В механике ввёл понятие «живой силы» (кинетическая энергия) и сформулировал закон сохранения энергии.

Двоичная система счисления Лейбница

Ньютон ввёл понятие производной, изучая законы механики, тем самым раскрыл её механический смысл. А Лейбниц пришёл к понятию производной, решая задачу проведения касательной к произвольной линии, объяснив этим ее геометрический смысл. Из сохранившихся документов историки выяснили, что дифференциальное и интегральное исчисление Ньютон открыл ещё в 1665—1666 годы, но не публиковал его до 1704 года. А Лейбниц разработал свой вариант анализа независимо (с 1675 года), хотя вероятно первоначальный толчок, вероятно, его мысль получила из слухов о том, что такое исчисление у Ньютона уже имеется, а также благодаря научным беседам в Англии и переписке с Ньютоном. В отличие от Ньютона, Лейбниц сразу опубликовал свою версию, и в дальнейшем, вместе с Якобом и Иоганном Бернулли, широко пропагандировал открытие по всей Европе. Большинство учёных на континенте не сомневались, что математический анализ открыл Лейбниц.

Тем самым Ньютон и Лейбниц после этого много обменивались дружескими и не очень письмами, публиковали свои открытия и вслед этому появлялись рецензии с оскорбительными намеками в адрес того и другого. Бесчисленное количество раз собирались международные комиссии по приоритетам двух ученых. Где - то Ньютона обвиняли в краже результатов исследований, то Лейбница. Война не ослабевала вплоть до декабря 1716 года, когда Ньютону сообщили, что: «Лейбниц умер – диспут окончен».

Но, это не значит, что до Ньютона и Лейбница эти вопросы не изучались. Задолго до этого Архимед не только решил задачу на построение касательной к такой сложной кривой, как спираль, применяя при этом предельные переходы, но и сумел найти максимум функции.

Эпизодически понятие касательной встречалось в работах итальянского математика И.Тартальи. В 17в. на основе учения Г.Галилея активно развилась кинематическая концепция производной. Понятие производной встречается уже у Р.Декарта, французского математика Роберваля, английского учёного Д.Грегори, в работах И.Барроу.

Огромный вклад в изучение дифференциального исчисления внесли Лопиталь, Бернулли, Лагранж, Эйлер, Гаусс, Коши. Но нужно отметить, что ни Ньютон ни Лагранж не дали четкого определения производной. Впервые определение производной было сформулировано Коши, и именно это определение стало общепринятым и в настоящее время используется почти во всех курсах математического анализа.

Учитель: Молодцы ребята, у кого в карточках есть вопрос, связанный с докладом?

Вопрос №1: Как Ньютон ввел понятие производной?

(Ньютон ввёл понятие производной, изучая законы механики, тем самым раскрыл её механический смысл)

Вопрос №2: Как пришёл к понятию производной Лейбниц?

(Лейбниц пришёл к понятию производной, решая задачу проведения касательной к произвольной линии, объяснив этим ее геометрический смысл)

Вопрос №3: Кто ввёл определение производной?

(Впервые определение производной было сформулировано Коши, и именно это определение стало общепринятым и в настоящее время используется почти во всех курсах математического анализа.)

Учитель: Итак, мы познакомились с именами ученых, которые занимались вопросами производной, представили основные вехи становления этого понятия. Теперь важно выяснить использование производной не только в математике.

Выступает 2 группа: «Применение физического смысла производной при решении физических задач»

Применение производной в физике очень обширно. Рассмотрим несколько примеров применения производной в физических задачах.

Механическое движение - это изменение положения тела в пространстве относительно других тел с течением времени.

Основной характеристикой механического движения служит скорость.

Алгоритм нахождения скорости тела с помощью производной, можно представить следующим образом:

Если закон движения тела задан уравнением s = s (t), то для нахождения мгновенной скорости тела в какой-нибудь определенный момент времени надо:

1.Найти производную s' = s '(t).

2. Подставить в полученную формулу заданное значение времени.

Давайте попробуем решить следующую задачу:

Задача 1. Автомобиль приближается к мосту со скоростью 72 км/ч. У моста висит дорожный знак "40 км/ч". За 7 сек до въезда на мост, водитель нажал на тормозную педаль. С разрешаемой ли скоростью автомобиль въехал на мост, если тормозной путь определяется формулой s=20t-t²

Решение:

Воспользуемся алгоритмом нахождения скорости тела с помощью производной:

1. найдем производную s' = s '(t), s' = 20-2t.

2. Подставим заданное значение времени: s'(7) = 20-27, s'(7) = 6м/с.

Мы нашли скорость, которая будет равна 6м/с, т.е. 21,6 км/ч, 21 км/ч 30 км/ч.

Ответ: автомобиль въехал на мост с разрешенной скоростью, равной 21,6 км/ч.

Производная в электротехнике: в наших домах, на транспорте, на заводах - всюду работает электрический ток. Под электрическим током понимают направленное движение свободных электрически заряженных частиц.

Количественной характеристикой электрического тока является сила тока.

В цепи электрического тока электрический заряд меняется с течением времени по закону q=q (t). Сила тока I есть производная заряда q по времени.

В электротехнике в основном используется работа переменного тока. Электрический ток, изменяющийся со временем, называют переменным. Цепь переменного тока может содержать различные элементы: нагревательные приборы, катушки, конденсаторы.

Получение переменного электрического тока основано на законе электромагнитной индукции, формулировка которого содержит производную магнитного потока.

Задача 2.
Заряд на пластинах конденсатора колебательного контура с течением времени изменяется по закону: . Записать уравнение зависимости силы тока от времени.

Решение: , I(t) =?

Нам известно, что , тогда найдем производную q

I(t) = q'(t) = 10^-6· 10⁴ cos(10⁴  t) = 10^-2 cos(10⁴t).

Ответ: 

Производная в задачах на теплоемкость: чтобы температура тела массой в 1г повысилась от 0 градусов до t градусов, телу необходимо сообщить определенное количество тепла Q. Значит, Q есть функция температуры t, до которой тело нагревается: Q = Q(t). Пусть температура тела повысилась с t₀ до t. Количество тепла, затраченное для этого нагревания, равно Q(t) – Q(t₀) 

Отношение  есть количество тепла, которое необходимо в среднем для нагревания тела на 1 градус при изменении температуры на  градусов.

Это отношение называется средней теплоёмкостью данного тела и обозначается с_ср.
Т.к. средняя теплоёмкость не дает представления о теплоёмкости для любого значения температуры t, то вводится понятие теплоёмкости при данной температуре t₀ (в данной точке t₀).
Теплоемкостью при температуре t₀ (в данной точке) называется предел

Производная от количества тепла, получаемого телом по температуре и есть теплоемкость, т.е. C(t) = Q^/(t).

Теплоемкость тела – физическая величина, характеризующая способность тела изменять свою температуру с подводом и отводом теплоты, которую надо подвести к телу, чтобы изменить его температуру на 1 градус.

Измеряется теплоёмкость в , Джоуль/Кельвин.

Задача 3а.

Количество тепла Q (Дж), необходимого для нагревания 1 кг воды от 0^o до t^oС, определяется формулой Q(t) = t + 0,00002t² + 0,0000003t³. Вычислите теплоемкость воды, если t = 100^oС.

Решение: найдем производную количества теплоты, это и будет теплоемкость, C (t) = Q ^/ (t) = 1+20,00002t+30,0000003t²

т.к t = 100^o С, то переведем в Кельвин: 373К.

то C (t) = 1+20,00002+30,0000003= 1+0,01492+0,1252161=1,1401361(Дж/К)

Ответ: 1,1401361(Дж/К)

Учитель: Молодцы ребята, найдите в карточках вопросы, связанные с докладом?

Вопрос №1: Что такое механическое движение? Что является основной характеристикой механического движения?

(Механическое движение - это изменение положения тела в пространстве относительно других тел с течением времени, основной характеристикой механического движения служит скорость.)

Вопрос №2: Количественная характеристика электрического тока? Что такое сила тока?

(Количественной характеристикой электрического тока является сила тока, Сила тока I есть производная заряда q по времени .)

Вопрос №3: Что такое теплоёмкость и в чем она измеряется?

(Теплоемкость тела – физическая величина, характеризующая способность тела изменять свою температуру с подводом и отводом теплоты, которую надо подвести к телу, чтобы изменить его температуру на 1 градус. Измеряется теплоёмкость в , Джоуль/Кельвин.)

Вопрос №4:Назовите физические величины, которые являются производными от других физических величин?

(Изменение положения тела s(t) – его производная скорость s`(t)=v. Закон изменения контура g(t) – сила тока g`(t) = I. Количество тепла Q(t) – теплоёмкость Q`(t) = c(t).)

Учитель: Итак, мы выяснили, как производная нашла своё применении в физике. Сейчас мы вернемся к нашей таблице.

Таблица

Математика

Функция

Производная

1. Геометрический смысл производной

2. Механический смысл производной

1) Угловой коэффициент касательной

2) Скорость

Физика

Функция

Производная

Изменение положения тела: s(t)

Скорость:

s`(t) = v

Закон изменения контура: g(t)

Сила тока:

I=g`(t)

Количество тепла: Q(t)

Теплоёмкость:

Q`(t) = c(t)

-Теперь перейдем к особенностям использования производной в химии и биологии. С этим нас познакомят докладчики 3й группы.

Выступает 3 группа: «Решение химических и биологических задач с помощью производной».

Производная в химии:

И в химии нашло широкое применение дифференциальное исчисление для построения математических моделей химических реакций и последующего описания их свойств.

Химия – это наука о веществах, исследующая строение и свойства вещества, а также происходящих с ним изменений.

Химия изучает закономерности протекания различных реакций. Одной из характеристик протекания реакции является скорость.

Скоростью химической реакции называется изменение концентрации реагирующих веществ в единицу времени.

Так как скорость реакции v непрерывно изменяется в ходе процесса, ее обычно выражают производной концентрации реагирующих веществ по времени.

Если C(t) – закон изменения количества вещества в единице объёма (молярная концентрация), вступившего в химическую реакцию, то скорость v(t) химической реакции в момент времени t равна производной:

(t) = = C`(t)

Произодная.

Предел этого отношения при стремлении Δt к нулю - есть скорость химической реакции в данный момент времени (t) = C`(t)

(t) = = C`(t)

Скорость химической реакции измеряется: количество вещества в единице объёма (молярная концентрация) – моль/лит, время – секунды, то (t)- измеряется в (моль/литр)сек.

Задача 4.

Пусть количество вещества, вступившего в химическую реакцию задается зависимостью: р(t) = + 3t –3 (моль). Найти скорость химической реакции через 3 секунды.

Решение: (t) = p ^/(t)

p ^/(t) = t+3

т.к t = 3 сек., то

(t) = p ^/(t) = 6 моль/литрсек.

Ответ: 6 (моль/литр)сек.

Производная в биологии:

В биологии дифференциальное исчисление нашло широкое применение для построения математических моделей при вычислении относительного прироста популяции в данный момент времени.

Теперь давайте вспомним, что же такое популяция?

Популяция – это совокупность особей данного вида, занимающих определённый участок территории внутри ареала вида, свободно скрещивающихся между собой и частично или полностью изолированных от других популяций, а также является элементарной единицей эволюции.

По известной зависимости численности популяции x (t) определить относительный прирост в момент времени t. (P = x`(t))

Термин в биологии

Обозначение

Термин в математике

Численность популяции в момент времени t.

x=x(t)

Функция.

Интервал времени.

Приращение аргумента.

Изменение численности популяции.

Приращение функции.

Скорость изменения численности популяции.

Отношение приращения функции к приращению аргумента.

Относительный прирост популяции в данный момент времени.

= x`(t)

Производная.

Предел этого отношения при стремлении Δt к нулю - и относительный прирост в данный момент времени (t) = x`(t).

Задача 5.

В питательную среду вносят популяцию из 1000 бактерий. Численность популяции возрастает по закону x(t)=1000 + , где t – время в часах. Установите, через, сколько часов популяция достигнет максимального размера и укажите этот размер?

Решение:

P = x`(t)

x’(t)== =

x’(t)=0; 100-t²=0; t=

P(10)=1000+=1005

Ответ: через 10 часов популяция достигнет максимального размера 1005 бактерий.

Учитель: Молодцы ребята, найдите в карточках вопросы, связанные с докладом?

Вопрос №1: Назовите функцию, используемую в биологии, для которой производной является «относительный прирост в данный момент времени»?

(Численность популяции в данный момент времени.)

Вопрос №2: Как называют производную функции «количества вещества в момент времени»?

(Скорость химической реакции.)

Учитель: Итак, мы выяснили, как производная нашла своё применении в химии и биологии. Сейчас мы вернемся к нашей таблице.

Таблица

Математика

Функция

Производная

3. Геометрический смысл производной

4. Механический смысл производной

1) Угловой коэффициент касательной

2) Скорость

Физика

Функция

Производная

Изменение положения тела: s(t)

Скорость:

s`(t) = v

Закон изменения контура: g(t)

Сила тока:

I=g`(t)

Количество тепла: Q(t)

Теплоёмкость:

Q`(t) = c(t)

Химия

Функция

Производная

Количество вещества в момент времени:

c = c(t)

Средняя скорость химической реакции: v(t) = c`(t)

Биология

Функция

Производная

Численность популяции в момент времени: x(t)

Относительный прирост популяции в данный момент времени:

P=x`(t)

-Теперь перейдем к особенностям использования производной в географии и в экономике. С этим нас познакомят докладчики 4й группы.

Выступает 4 группа: «Решение задач с географическим, экономическим содержанием».

Производная в географии: ярким примером служит модель Томаса Мальтуса.

В ее основу положено простое утверждение — скорость изменения населения со временем пропорциональна его текущей численности , умноженной на сумму коэффициентов рождаемости и смертности . В результате приходим к уравнению , (1)

которое похоже на уравнение радиоактивного распада и совпадающего с ним при (если и – постоянные). Это не удивительно, так как при их выводе использовались одинаковые соображения. Интегрирование выше приведенного уравнения дает , при ,

где – численность населения в момент (начальная численность).

Модель Мальтуса неплохо действовала для описания численности населения США с 1790 по 1860 годы. Ныне эта модель в большинстве стран не действует.

Выведем формулу для вычисления численности населения на ограниченной территории в момент времени t.

Пусть у = у(t) - численность населения.

Рассмотрим y прирост населения за время t = t - t_0, где t-промежуток времени.

к = к_р – к_с –коэффициент прироста, (к_р – коэффициент рождаемости, к_с – коэффициент смертности)

Скорость прироста населения со временем t пропорциональна его текущей численности y(t), умноженной на коэффициент прироста.

= k y

При t0 получим:

y`= к у

Это и есть формула для вычисления численности населения на ограниченной территории в момент времени t.

Таким образом, смысл производной в географии – это численность населения на ограниченной территории в момент времени.

Производная в экономике: Современный экономист должен хорошо владеть количественными методами анализа.

Математика является не только орудием количественного расчета, но также методом точного исследования. Она служит средством предельно четкой и ясной формулировки экономических понятий и проблем.

Поэтому здесь мы увидим, каков экономический смысл производной, какие новые возможности для экономических исследований открывает дифференциальное исчисление, а также рассмотрим различные виды задач по экономической теории.

На вопрос «что такое производная?» экономист ответит - предельные величины. В экономике это: предельный доход, предельные издержки, предельная полезность, предельная производительность труда. Они характеризуют не состояние, а процесс, т.е. изменение экономического объекта. Поэтому производная показывает скорость изменения некоторого экономического объекта или процесса с течением времени или по отношению к другому исследуемому фактору.

Пусть q – выпуск произведенной продукции, TC(q) – соответствующие данному выпуску издержки производства (total costs), ∆q – прирост продукции, а ΔТС – прирост издержек производства.

Среднее приращение, средний прирост, средняя скорость изменения определяется отношением .

Производная  TC` = выражает предельные издержки производства. 

Предельные издержки МС (";line-height: 150%"> Задача 6.  

Найти объём производства, при котором фирма, действующая на рынке совершенной конкуренции, будет получать максимальную прибыль, если (цена) p=15, TC(q)=q³ + 3q. (ТС – издержки)

Решение: 

Прибыль фирмы, действующей на рынке совершенной конкуренции, максимизируется при равенстве предельной выручки и предельных издержек: (предельная выручка) MR=(предельные издержки) MC. 

Поскольку при совершенной конкуренции наблюдается равенство цены и предельной выручки: P=MR, то можно утверждать, что фирма максимизирует прибыль при P=MC.

Найдём предельные издержки: MC=TC'=3q² + 3.

3q² + 3=15;

3q²=12  q=2.

Итак, мы выяснили, что при цене p=15 фирма предложит на продажу 2 единицы продукции.

Ответ: 2 единицы продукции.

Учитель: Молодцы ребята, найдите в карточках вопросы, связанные с докладом?

Вопрос №1: Назовите функцию, используемую в географии, для которой производной является «скорость прироста населения со временем»?

(Численность населения в данный момент времени.)

Вопрос №2: Как называют производную функции «издержки производства соответствующие выпуску произведенной продукции»?

(Предельные издержки.)

Учитель: Итак, мы выяснили, как производная нашла своё применение в географии и в экономике. Сейчас мы вернемся к нашей таблице.

Таблица

Математика

Функция

Производная

3. Геометрический смысл производной

4. Механический смысл производной

1) Угловой коэффициент касательной

2) Скорость

Физика

Функция

Производная

Изменение положения тела: s(t)

Скорость:

s`(t) = v

Закон изменения контура: g(t)

Сила тока:

I=g`(t)

Количество тепла: Q(t)

Теплоёмкость:

Q`(t) = c(t)

Химия

Функция

Производная

Количество вещества в момент времени:

c = c(t)

Средняя скорость химической реакции: v(t) = c`(t)

Биология

Функция

Производная

Численность популяции в момент времени: x(t)

Относительный прирост популяции в данный момент времени:

P=x`(t)

География

Функция

Производная

Численность населения:

y(t)

Скорость прироста населения со временем

Экономика

Функция

Производная

Издержки производства

TC(q) соответствующие выпуску произведенной продукции (q)

Предельные издержки TC`(q), показывающие дополнительные затраты на производство дополнительной единицы продукции.

TC`(q) =

-Итак, у нас выступили все докладчики, сегодня мы познакомились с применением производной в разных областях знаний. Заполнили таблицу, которая помогла нам структурировать все полученные сегодня знания, теперь давайте подведем итоги

Учитель: какова была цель урока?

-Достигли ли мы ее?

-Как мы ее достигли?

-Молодцы! Таблица, которую мы с вами составили пригодится вам и на других предметах. Наш урок закончен, можете быть свободны.

Ученики: Повторить материал прошлых уроков, установить возможность использования производной в других областях знаний.

- Да

-С помощью докладчиков 4х групп, которые рассказывали о применении производной в физике, химии, биологии, географии и экономике. Составили таблицу, где структурировали все полученные знания.

Список литературы

1. http://ru.wikipedia.org/

2. Башмаков М.И. Алгебра и начала анализа. М. Просвещение, 1993

3. Большая советская энциклопедия. В 30 тт.

4. Гайдуков И.И. О межпредметных связях в подготовке учителя математики./ Межпредметные связи в обучении. Межвузовский сборник научных трудов.- Тула; Изд-во Тул.гос.пед.инст. им. Л.Н.Толстого, 1980- 100 с.

5. Глейзер Г.И. «История математики»

6. Зуева М.В., Иванова Б.В., Совершенствование организации учебной деятельности школьников на уроках химии. – М., Просвещение, 1989

7. Зуева М.В. Развитие учащихся при обучении химии / Пос. для учителей – М., Просвещение, 1987 .

8. Иванов С.И. Экономика. Основы экономической теории. – М.: Вита-Пресс, 1999.

9. Кожекина. Т.В. Взаимосвязь обучения физике и математике в одиннадцатилетней школе. // Физика в школе, 1987

10. Малыхин В.Л. Математика в экономике. – М.: Инфра-М, 2001.

11. Межпредметные связи в учебном процессе. / Под. ред. Дмитриев С.Д. -Киров - Йошкар-Ола: Кировский гос. пед. ин-т, 1978. - С. 80.

12. Мордкович. А.Г. «Алгебра и начала математического анализа 10 класс проф.уровень 2008 год»

13. Никольский С.М.«Элементы математического анализа»

14. Энциклопедия для детей Т-11. М. Аванта+, 2002

15. Энциклопедический словарь. Брокгауз Ф.А., Ефрон И.А. В 86 тт.

16. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. – 1999.

26