Урок по алгебре и началам анализа 11 класс по теме " Производная степенной функции."

29.10.2015 г.Тема: Производная степенной функции. Класс 11.

Вид урока: объяснение нового материала. Открытый урок.

Цели урока: повторить степенную функцию, ее свойства; получить формулу для вычисления производной .

Задачи урока:

Развивающие:

·                     развитие навыка самостоятельного отношения поиска решения,

·                     привитие любви к математике, расширение кругозора;

 Воспитательные:

·                     повышение мотивации к обучению,

·                     формирование познавательного интереса,

 Дидактические:

·                     развитие творческих способностей.

Оборудование:  мультимедийный проектор, доска, мел, учебник

Ход урока

I.       Сообщение темы и целей урока,мотивация.(слайд)

Тот кто ночами, забыл про кровать

Усердно роется  в книжной груде

Чтобы ещё кое-что узнать

Из того что знают другие люди.

( П.Хейне- американский экономист) О ком идёт речь?  ( учёный)

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Проверка домашнего задания.

Контроль усвоения ранее пройденного материала (самостоятельная работа у доски)

III. Изучение нового материала

1. Теоретический материал

Степенная функция и ее производная.
Вы уже знаете, что для любого действительного числа α и каждого положительного х определено число х^α. Зафиксируем число α на промежутке (0; ∞).

Определение.

Функция, заданная формулой f (x)=x^α, называется степенной (с показателем степени α).

Если α >0, то степенная функция определена и при х = 0, поскольку 0^α = 0. При целых α формулой f(x)=x^α степенная функция f определена и для x<0. При четных α эта функция четная, а при нечетных α — нечетная. Поэтому исследование степенной функции достаточно провести только на промежутке (0; ∞).В предыдущих разделах курса были получены формулы для производной функции у=х^α лишь при целых показателях степени, а также α =1/2. Теперь нам остается вывести формулу при произвольном α. Докажем, что для любого х из области определения производная степенной функции находится так:

(x^α)` = α x ^α-1.

Действительно, так как х = е^{1п х} , то х^α = е ^{α ln x}. Отсюда по правилу вычисления производной сложной функции получаем:

Формула (1) доказана.

При α <0 степенная функция убывает на промежутке (0; ∞), поскольку (х^α )` = α x^{α -1}<0 при α>0. При α>0 имеем (х^α)' =αх^α-1>0, поэтому степенная функция возрастает при x>0. Кроме того, надо учесть, что при х=0 степенная функция равна 0 и х^α→0 при х𔾴 и x>0. Поэтому точка 0 присоединяется к промежутку возрастания, т. е. при α>0 степенная функция возрастает на промежутке [0; оо). Примеры графиков степенной функции при различных а приведены на рисунке 1.

1. Практическое применение теории

Пример 1

Найдем производную функции 

Используем правило дифференцирования сложной функции и формулу производной степенной функции. Получаем  

IV. Решение упражнений

1.Учебник №558(а), 559(а), 560(г), 564(г), 565(в)

2.  Найди верный ответ.

№	Найдите производные функций	Варианты ответов
		1	2	3	4
1
2
3
4				8
5		х-5	1	5х	0
6

Ответы:

3.Подготовка к ЕГЭ задание из интернета на  ноутбуке базовый уровень mathematichka.ru/ege/Demo_base.home

V. Контрольные вопросы

1. Дайте определение степенной функции.

2. Напишите формулу для производной степенной функции.

3. Приведите примеры графиков степенной функции.

VI. Домашнее задание

№558(в), 560(а,б), 564(а), 565(а,в)

VII. Подведение итогов урока. Рефлексия