УРОК «РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ МЕТОДОМ ПОДСТАНОВКИ»

УРОК  «РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ МЕТОДОМ ПОДСТАНОВКИ»

           Три пути ведут к знанию: путь размышления – это путь самый благородный, путь подражания – это путь самый легкий и путь опыта- это путь самый горький.

                                                                                                                                Конфуций

«Деятельность – единственный путь к знанию»

Дж. Бернард Шоу

Цели урока: создать условия для формирования умения  учащихся использовать способ подстановки для решения систем уравнений, воспитывать умение контролировать внимание на всех этапах урока.

Ожидаемые учебные результаты:

Предметные:

·                    подвести их к составлению алгоритма решения системы двух линейных уравнений  методом подстановки;

·                     сформировать умение  учащихся решать системы уравнений методом подстановки;

·                    продолжить формирование умений упрощать выражения, решать линейные уравнения с одной переменной.

Личностные:  умение вести диалог на основе равноправных отношений и взаимного уважения и принятия; умение конструктивно разрешать конфликты;

Метапредметные:

Регулятивные УУД

·                    целеполагание, включая постановку новых целей, преобразование практической задачи в познавательную;

·                     умение самостоятельно контролировать своё время и управлять им;

·                    адекватно самостоятельно оценивать правильность выполнения действия и вносить необходимые коррективы в исполнение, как в конце действия, так и по ходу его реализации;

·                    умение прогнозировать развитие процесса.

Коммуникативные универсальные учебные действия

·                     формулировать и аргументировать собственное мнение и позицию

·                    устанавливать и сравнивать разные точки зрения, прежде чем принимать решения и делать выбор;

·                    аргументировать свою точку зрения, спорить и отстаивать свою позицию не враждебным для оппонентов образом;

·                    адекватно использовать речевые средства для решения различных коммуникативных задач; владеть устной и письменной речью;

·                    организовывать и планировать учебное сотрудничество с учителем и сверстниками, определять цели и функции участников, способы взаимодействия; планировать общие способы работы;

·                     осуществлять контроль, коррекцию, оценку действий партнёра, уметь убеждать;

Познавательные универсальные учебные действия

·                    создавать и преобразовывать модели и схемы для решения задач;

·                    осуществлять выбор наиболее эффективных способов решения задач в зависимости от конкретных условий;

·                     устанавливать причинно-следственные связи;

·                    строить логическое рассуждение, включающее установление причинно-следственных связей

Длительность урока: 1 академический час (45 мин)

Место проведения урока: кабинет математики

Оснащение урока: презентация и информационно-технологические материалы; учебник математики, ПК.

Тип и вид урока: Урок изучения нового материала.

①Мотивация учебной деятельности . Постановка учащимися целей и задач  урока .	Прочитайте слова , которые выбраны девизом  урока. Как вы их понимаете. Почему именно их я выбрала в качестве девиза? Нам предстоит разобраться Каким путём пойти и  какой для каждого более удобен ЗНАНИЯ размышления подражание опыт
②Актуализация знаний 1.                  Повторение и закрепление пройденного материала. 2.      Проверка домашней практической работы	Что мы умеем в математике      -  наш ОПЫТ Устный счет Задания:  1) Выразить х через у или   у через х 1. х + 3у = 10 ;              3. 2х + 6у -8=0 ; 2. 5 х -  у = 2 ;               4. 6х - 5у + 4 =0; Возможные варианты ответов 1.                  х= 3у + 10;  х= - 3у + 10; х= 3у - 10; х= - 3у - 10 2.      у = 5 х +  2; у =5 х - 2; у =-5 х +2 у =-5 х-2 3.      х =+ 3у -8  х =- 3у +4  х =- 3у -4  х =3у +4  4.      6х= - 5у + 4 ; х= 5/6у – 2/3 y=1.2x+0.8  2) Решите уравнения 3х= -5х-4 2(х-2) = 2х+4 5(1-2х ) = -10х+5 3.)  Не выполняя построений найдите точки пересечения прямых а) y=-х+3 и y=2х         б) y=3х-8 и y=-2х+7 в) y=-5х и y=3х-16 Возможные варианты ответов  (1;2)              (3;1)                 (2;-10) Помощь а) -х+3 =2х 3 =2х+х 3 =3х x=1 y =2 б) 3х-8 = -2х+7 3х+2х  = 8+7 5х = 15 х = 3 у=1 в) -5х =3х-16 -5х -3х=-16 -8х =-16 х =2 у=10 На прошлых уроках мы с вами познакомились с новой математической моделью. Эта математическая модель представляет собой систему двух линейных уравнений с двумя переменными. Перед нами стояла задача найти такие пары значений (х; у), которые одновременно удовлетворяют и первому, и второму уравнению. -Кто может мне сказать:  Что называется решением системы двух линейных уравнений с двумя переменными - Каким методом мы пользовались определяя решение  системы? …… - Вспомните этапы алгоритма  решения системы уравнений графическим методом….. - Есть ли у этого метода недостатки?..... Обоснуйте ответ Домашняя практическая работа: решить систему уравнений графическим способом. I вариант II вариант IV.  Проверка практической работы: I вариант II вариант   x 0 2 y 1 3 x 0 1 y 3 0 x 0 4 y -8 0   x 0 2 y 13 15  Возможные выводы учащихся:  Вывод1: для решения данных уравнений графический способ не удобен: в варианте 1 решением являются дробные числа, определить которые по графику трудно  Вывод2: в варианте 2 решением являются большие числа, для определения которых не достаточно страницы тетради. Итог :  Для решения данных систем необходим другой способ решения.
③Изучение нового материала.	Итак, у нас есть опыт и  мы убедились, что графический метод решения выручает нас не всегда. Значит, нам нужно располагать надежным алгебраическим методом, который нас не подведет в случае с большими или дробными значениями координат точки. Этим мы и займемся сегодня на уроке. -В тетрадях запишите, пожалуйста, число,  Классная работа.  Тема урока: «Метод подстановки». Как вы думаете, какова цель нашего урока? Попробуем решить систему, которою решал на доске ….(ученик, вызванный ранее) другим способом: (учитель начинает рассуждение, затем продолжают ученики)         какова цель ?   (1.  найти общее решение уравнений; 2.      на языке графиков : найти точку пересечения  соответствующих прямых, но…. не строя графики ) - Как тогда можно сформулировать задание( обсудите в парах если необходимо) : Найдите  координаты точки пересечения графиков уравнений ) 2х-у = 8 и  х-у = -13 не выполняя построения. Кто может пойти к доске и выполнить это задание? (К доске…) Преобразуем уравнения  (выразим в каждом значение у) у = 2х-8 и  у = х+13 -Нас интересует такое значение х,  при которых: 2х-8 = х+13 х=21  ,   тогда у=34     Ответ(21;34) -Чем эти рассуждения отличались от тех, которые применял ….(имя ученика) при решении этой системы графическим методом? -Откройте, пожалуйста, учебник на странице 65 и, прочитав текст, ответьте мне на этот вопрос. -Как же мы рассуждали?   - выразили                                               - подставили                                               - решили                                               -нашли                                               -записали ответ - У меня на доске,  а у вас на столах листочки с этапами алгоритма, восстановите его последовательность (напечатано на цветных листах): 1.      Выбрать переменнную (выбираем желательно  хорошую переменную: хорошо когда перед переменной коэффициент 1 или -1) и  вы­ра­зить одну (любую) пе­ре­мен­ную из лю­бо­го урав­не­ния. 2.      Под­ста­вить по­лу­чен­ное вы­ра­же­ние во вто­рое урав­не­ние 3.      Ре­шить урав­не­ние с одной пе­ре­мен­ной. 4.      Най­ден­ное зна­че­ние пе­ре­мен­ной под­ста­вить в пер­вое урав­не­ние и найти зна­че­ние вто­рой пе­ре­мен­ной. 5.      Записать ответ - Проанализируйте и сопоставьте алгоритм и решение которое мы получили. Сделайте выводы….. - Ели бы вы решали бы сейчас систему с чего бы вы начали …. Что делали бы дальше …. ( обсуждение в парах ), выводы учащихся. Сравните свои рассуждения с предложенными Решить систему уравнений методом подстановки 1 вариант рассуждений 2 вариант рассуждений 1.      Выбрать переменнную (выбираем желательно  хорошую переменную: хорошо когда перед переменной коэффициент 1 или -1) и  вы­ра­зить одну (любую) пе­ре­мен­ную из лю­бо­го урав­не­ния. 2.      Под­ста­вить по­лу­чен­ное вы­ра­же­ние во вто­рое урав­не­ние 2у-26-у=8 у=34 х-2х+8=-13 -х=-21 х=21 3.      Ре­шить урав­не­ние с одной пе­ре­мен­ной. х-34=-13 х=21 21-у=-13 -у=-34 у=34 4.      Най­ден­ное зна­че­ние пе­ре­мен­ной под­ста­вить в пер­вое урав­не­ние и найти зна­че­ние вто­рой пе­ре­мен­ной. Ответ : (21;34) Ответ : (21;34) 5.      Записать ответ Выводы учащихся…… - Давайте вернемся ко второй системе, которая осталась без ответа и решим ее способом подстановки (вызвать к доске….)   =>   =>      =>=>  => => => => Ответ : () Еще раз проговорим этапы алгоритма:  (проговорить этапы, слайд мультимедиа)
( предварительные итоги)	Опираясь на опыт, рассуждая мы с вами получили алгоритм решения системы уравнений методом подстановки и решили две  «домашние» системы . Давайте ещё раз вспомним : 1) Что называют решением системы уравнений с двумя переменными? Что значит решить систему уравнений? 2)  Назови методы решения систем линейных уравнений с двумя переменными. 3) Сформулируйте алгоритм решения по каждому способу решения в нескольких словах, назвав самое главное. Как вы думаете , а есть ли пример применениям систем и в частности метода подстановки в жизни?  Метод под­ста­нов­ки, когда одно усло­вие под­став­ля­ет­ся в дру­гое, мы часто ис­поль­зу­ем в обыч­ной жизни. ПРИМЕР  «Поиск в со­ци­аль­ных сетях» Пред­ставь­те такую си­ту­а­цию. Вы в го­стях у сво­е­го друга Пети по­зна­ко­ми­лись с де­воч­кой Женей и, уже вер­нув­шись домой, ре­ши­ли найти ее в со­ци­аль­ной сети. Вот что вы зна­е­те: 1. Она по­дру­га Пети 2. Она тоже учит­ся в 7 клас­се, хоть и в дру­гой школе 3. Зовут Женя 4. Живет тоже в Москве Каж­дое из этих усло­вий имеет очень много ре­ше­ний по от­дель­но­сти. Дру­зей у Пети много, 7-класс­ниц огром­ное ко­ли­че­ство, де­во­чек с име­нем Женя тоже и так далее. Но так как все эти усло­вия от­но­сят­ся к од­но­му че­ло­ве­ку, то это си­сте­ма: , а ре­ше­ни­ем си­сте­мы яв­ля­ет­ся такой че­ло­век, ко­то­рый со­от­вет­ству­ет сразу всем усло­ви­ям. И ре­ша­ем эту си­сте­му мы ме­то­дом под­ста­нов­ки. Вы­би­ра­ем одно усло­вие, потом туда под­став­ля­ем дру­гое и так далее. Итак: От­кры­ва­е­те стра­нич­ку Пети и вы­би­ра­е­те спи­сок всех его дру­зей. Это ре­ше­ния пер­во­го усло­вия. Их 256. (См. Рис. 1.) Рис. 1. Ре­ше­ние пер­во­го усло­вия си­сте­мы Под­став­ля­ем сюда вто­рое усло­вие. Раз в 7 клас­се, то ее воз­раст от 12 до 14 лет. Ко­ли­че­ство ре­ше­ний умень­ши­лось до 132. (См. Рис. 2.) Рис. 2. Вы­пол­не­ние пер­вых двух усло­вий си­сте­мы До­бав­ля­ем усло­вие, ко­то­рое мы из­на­чаль­но за­бы­ли, но нам его под­ска­за­ла сеть – пол. Жен­ский. Оста­лось 54. (См. Рис. 3.) Рис. 3. Еще одно усло­вие Город Москва. Оста­лось 37 че­ло­век (См. Рис. 4.) Рис. 4. Вы­пол­не­ние еще од­но­го усло­вия Имя Женя. Оста­лось два че­ло­ве­ка. (См. Рис. 5.) Рис. 5. Итог после вы­пол­не­ния всех усло­вий Итак, си­сте­ма имеет 2 ре­ше­ния, из них неслож­но вы­брать нуж­но­го нам че­ло­ве­ка. Мы по­сле­до­ва­тель­но в одно усло­вие под­став­ля­ли дру­гое и так 4 раза, то есть ре­ши­ли за­да­чу ме­то­дом под­ста­нов­ки.
⑤Рефлексия :	Каким же путём мы сегодня двигались к знаниям ЗНАНИЯ размышления подражание опыт Найдите своё место на горе. Учащимся предлагается рисунок, на котором нужно отметить свое место положение для данного урока, т.е.: Если мало чего понятного и придется разбираться ещё раз с этим материалом, то вы у подножья горы; Если все предельно понятно, но вы не уверены в своих силах, то вы на пути к вершине; Если нет ни каких вопросов, и вы чувствуете , что полностью владеете  данной темой, то вы на пике.
⑥ Итог урока и постановка домашнего задания Творческие  задания.	Домашнее задание: параграф 12, знать алгоритм, разобрать самостоятельно примеры 1, 3, № 12.2-12.4 (б) При  каких значениях параметра a  решением системы уравнений    будет неотрицательная пара чисел? №11.21 -Сегодня мы познакомились с вами с еще одним способом решения систем двух линейных уравнений с двумя переменными. Сформулировали алгоритм этого метода. На следующих уроках мы отработаем этот алгоритм на более сложных системах и познакомимся с еще одним очень интересным способом решения. Оценки сегодня получили… Спасибо за урок. До свидания.

Литература:

Учебник А.Г. Мордковича Алгебра 7. Издательство «Мнемозина» 2007. 

Интернет ресурсы

1.  https://kopilkaurokov.ru/matematika/uroki/rieshieniie-sistiem-linieinykh-uravnienii-mietod-podstanovki
2. http://festival.1september.ru/articles/530529/
3. http://interneturok.ru/algebra/7-klass/glava-3-sistema-dvuh-lineynyh-uravneniy-s-dvumya-peremennymi/osnovnye-ponyatiya-metod-podstanovki
4. https://www.youtube.com/watch?v=eIua9gLfh3o
5. https://infourok.ru/konspekt_uroka_po_matematike_na_temu_metod_podstanovki_7_klass-383419.htm

Приложение

Устный счёт

1) Выразить х через у или   у через х 1. х + 3у = 10 ;              3. 2х + 6у -8=0 ; 2. 5 х -  у = 2 ;               4. 6х - 5у + 4 =0; 2) Решите уравнения 3х= -5х-4 2(х-2) = 2х+4 5(1-2х ) = -10х+5 3.)  Не выполняя построений найдите точки пересечения прямых а) y=-х+3 и y=2х         б) y=3х-8 и y=-2х+7 в) y=-5х и y=3х-16

Задания: 

1)     Возможные варианты ответов

5.                  х= 3у + 10;  х= - 3у + 10; х= 3у - 10; х= - 3у - 10	6.      у = 5 х +  2; у =5 х - 2; у =-5 х +2 у =-5 х-2
7.      х =+ 3у -8  х =- 3у +4  х =- 3у -4  х =3у +4	8.      6х - 5у + 4 =0;

3.)  Не выполняя построений найдите точки пересечения прямых

а) y=-х+3 и y=2х         б) y=3х-8 и y=-2х+7

в) y=-5х и y=3х-16

Возможные варианты ответов

 (1;2)              (3;1)                 (2;-10)

Помощь

а) -х+3 =2х 3 =2х+х 3 =3х x=1 y =2

б) 3х-8 = -2х+7 3х+2х  = 8+7 5х = 15 х = 3 у=1

в) -5х =3х-16 -5х -3х=-16 -8х =-16 х =2 у=10

		Решить систему уравнений методом подстановки
1 вариант рассуждений	2 вариант рассуждений	Выбрать переменнную (выбираем желательно  хорошую переменную: хорошо когда перед переменной коэффициент 1 или -1) и  вы­ра­зить одну (любую) пе­ре­мен­ную из лю­бо­го урав­не­ния.
		Под­ста­вить по­лу­чен­ное вы­ра­же­ние во вто­рое урав­не­ние
2у-26-у=8 у=34	х-2х+8=-13 -х=-21 х=21	Ре­шить урав­не­ние с одной пе­ре­мен­ной.
х-34=-13 х=21	21-у=-13 -у=-34 у=34	Най­ден­ное зна­че­ние пе­ре­мен­ной под­ста­вить в пер­вое урав­не­ние и найти зна­че­ние вто­рой пе­ре­мен­ной.
Ответ : (21;34)	Ответ : (21;34)	5.      Записать ответ