Урок с применением УУД "Понятие производной функции"

Тема: «Понятие производной».

Тип урока - урок изучения нового материала.

Цели урока:

1)      В предметном направлении.

Овладение системой математических знаний и умений, необходимых для применения в практической деятельности, изучения смежных дисциплин, продолжения образования. Формирование представлений об идеях и методах математики как универсального языка науки и техники, средства моделирования явлений и процессов. Совершенствование интеллектуальных и речевых умений путем обогащения математического языка, развития логического мышления. Знакомство с основными идеями и методами математического анализа.

2)      В метапредметном направлении.

Воспитание культуры личности, отношения к геометрии как к части общечеловеческой культуры, формирование понимания значимости геометрии для научно-технического прогресса.

3)      В направлении личностного развития.

Формирование качеств личности, необходимых человеку для полноценной жизни в современном обществе, свойственных математической деятельности: ясности и точности мысли, критичности мышления, интуиции, логического мышления, пространственных представлений, элементов алгоритмической культуры, способности к преодолению трудностей.

Задачи урока:

1)      В предметном направлении.

- Рассмотреть задачи, приводящие к понятию производной.

- Ввести определение производной.

- Рассмотреть производные элементарных функций.

2)      В метапредметном направлении.

Сформировать представления учащихся о понятии производной функции как о неотъемлемой части окружающего нас мира, об использовании приобретённых знаний и умений в практической деятельности. Показать учащимся способы описания практической жизненной задачи на математическом языке, интерпретировать результаты решения задач с учетом ограничений, связанных с реальными свойствами рассматриваемых процессов и явлений. Использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для исследования (моделирования) несложных практических ситуаций на основе изученных формул и свойств фигур.

3)      В направлении личностного развития.

Воспитывать у учащихся интерес к математике. Формировать умение слушать и вступать в диалог, понимать партнера, уметь договариваться; интегрироваться в группу сверстников и строить продуктивное взаимодействие и сотрудничество со сверстниками и учителем; правильно выражать свои мысли в речи; смыслообразование; самоопределение; установление связи между целью учебной деятельности и определением того, «какое значение, смысл имеет данная тема для меня»; участие в коллективном обсуждении проблем; планировать и согласованно выполнять совместную деятельность, формировать адекватную самооценку.

Учебные материалы урока. 1) Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. В 1 ч. Ч.1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) / ; под ред. А.Г.Мордковича.- 10-е изд., стер.- М.:Мнемозина, 2012.

2) Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. В 2 ч. Ч.2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) / ; под ред. А.Г.Мордковича.- 10-е изд., стер.- М.:Мнемозина, 2012.

Техническое оснащение: компьютер, презентация к уроку.

План урока:

1. Организационный момент.

2. Целеполагание и мотивация.

3. Изучение нового материла (в виде лекции).

4. Организация первичного контроля.

5. Информация о домашнем задании.

6. Рефлексия (подведение итогов урока).

Описание основных этапов урока.

1. Организационный момент.

Цель: создание благоприятного психологического настроя на работу.

Планируемые результаты.

Личностные: самоопределение. Регулятивные:  прогнозирование своей деятельности.

Коммуникативные: умение слушать и вступать в диалог.

Деятельность учеников: приветствие, включение в деловой режим урока. Деятельность учителя: Приветствие, проверка готовности учащихся к уроку, организация внимания.

2. Целеполагание и мотивация.

Цель: обеспечение мотивации учения учащимися, принятие ими цели урока.

Планируемые результаты.

Личностные: установление связи между целью учебной деятельности и определением того, «какое значение, смысл имеет данная тема для меня». Регулятивные: целеполагание, планирование, прогнозирование. Коммуникативные: участие в коллективном обсуждении проблем; умение слышать, слушать и понимать партнера; планировать и согласованно выполнять совместную деятельность; уметь договариваться; вести дискуссию; правильно выражать свои мысли в речи; уважать в общении и сотрудничестве партнера и самого себя. Познавательные: самостоятельное исследование, поиск, формулирование познавательной цели; рефлексия способов и условий действия. Логические: подведение под понятие; построение логической цепи рассуждений; выдвижение гипотез и их обоснование.

Объявление темы урока. Совместная постановка цели урока.

Фронтальная беседа с классом.

На предыдущих уроках мы ввели понятия «приращение аргумента» и «приращение функции», научились находить отношение приращения функции к приращению аргумента, а также предел этого отношения при условии, что Δx.

Эти понятия позволят нам рассмотреть задачи, которые приведут нас к очень важному в математике понятию – понятию «производной».

3. Изучение нового материла (в виде лекции).

Цель: рассмотрение задач, приводящих к понятию производной; введение определения производной; нахождение производных элементарных функций по определению.

Планируемые результаты.

Познавательные: структурирование знаний, осознание и производство речевого высказывания, построение модели – преобразование объекта из чувственной формы в знаково-символическую, преобразование модели с целью выделения общих законов. Регулятивные: контроль в форме сличения действия и его результата с заданным эталоном с целью обнаружения отклонений и отличий от эталона, предвосхищение результата и уровня усвоения знаний, его временных характеристик. Коммуникативные: умение слушать и вступать в диалог; интегрироваться в группу сверстников и строить продуктивное взаимодействие и сотрудничество с учителем; правильно выражать свои мысли в речи. Личностные: смыслообразование.

Объяснение учителем нового материала (сопровождается презентацией).

I. Задачи, приводящие к понятию производной.

Задача о скорости движения.

Рассмотрим прямолинейное движение некоторого тела. Закон движения задан формулой S = S(t), т.е. каждому моменту времени t соответствует определённое значение пройденного пути S. Найти скорость движения тела в момент времени t.

Решение: Пусть в момент времени t тело находится в точке М.

Дадим аргументу t приращение Δt, за это время тело переместится в некоторую точку Р, т.е. пройдёт путь ΔS.

Итак, за время Δt тело прошло путь ΔS.

Что можно найти, зная эти два значения?

 , т.е. среднюю скорость движения тела за промежуток времени .

Определение: Средней скоростью движения тела называется отношение пройденного пути ко времени, в течение которого этот путь пройден.

В физике часто идёт речь о скорости v(t), т.е. скорости в определённый момент времени t, часто её называют мгновенной скоростью.

Можно рассуждать так: мгновенную скорость получим если Δt, т.е. Δt выбирается всё меньше и меньше, т.е.

Можно указать ещё много задач из физики, геометрии (учебник, стр.157 – 159), для решения которых необходимо отыскать скорость изменения соответствующей функции.

Например, отыскание угловой скорости вращающегося тела, отыскание теплоёмкости тела при нагревании, линейный коэффициент расширения тел при нагревании, скорость химической реакции в данный момент времени и т.п.

Все эти задачи требуют для своего решения нахождения скорости изменения соответствующей функции.

Ввиду обилия задач, приводящих к вычислению скорости изменения функции или, иначе, к вычислению предела отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю, оказалось необходимым выделить такой предел для произвольной функции и изучить его основные свойства.

Этот предел называется производной функции.

II. Определение производной.

Определение: Производной функции y = f(x) в данной точке x₀ называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, при условии, что приращение аргумента стремится к нулю.

Обозначение производной: . Тогда     или    

Если внимательно проанализировать определение производной, то мы обнаружим, что в нём заложен алгоритм её нахождения.

С помощью этого алгоритма можно найти производную любой функции, т.е. получить таблицу производных, а также доказать правила вычисления производных, которыми в дальнейшем мы и будем пользоваться.

4. Организация первичного контроля.

Первый пример учитель рассматривает совместно с учащимися с оформлением решения на доске и образцом записи в тетради. Все следующие примеры решаются учащимися либо самостоятельно с последующей проверкой, либо работой в группах (учитель – консультант), либо один учащийся выполняет работу на доске, остальные ведут запись решения в тетради.

Пример 1.

Найти производную функции y = C.

Решение: f(x) = C.

1.Возьмём два значения аргумента x    и   x + Δx.

2.

3.

4..

Значит,  = 0 или производная постоянной равна нулю.

Пример 2.

Найти производную функции y = x.

Решение: f(x) = x.

1.Возьмём два значения аргумента x    и   x + Δx.

2.

3.

4..

Значит,  = 1.

Пример 3.

Найти производную функции y = x².

Решение: f(x) = x².

1.Возьмём два значения аргумента x    и   x + Δx.

2.

3.

4..

Значит,  = 2x.

Пример 4.

Найти производную функции y =.

Решение: f(x) = .

1.Возьмём два значения аргумента x    и   x + Δx.

2.

3.

4..

Значит,  = k.

Пример 5.

Найти производную функции y =.

Решение: f(x) = .

1.Возьмём два значения аргумента x    и   x + Δx.

2.

3.

4..

Значит,  = .

Пример 6.

Найти производную функции y =.

Решение: f(x) = .

1.Возьмём два значения аргумента x    и   x + Δx.

2.

3.

4.

Домножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряжённое числителю

Значит,  = .

Таким образом, с помощью определения производной, можно найти производную любой функции.

Запишем найденные производные в таблицу и в дальнейшем будем ей пользоваться.

5. Информация о домашнем задании.

Цель: обеспечение понимания  учащимися целей и содержания домашнего задания.

Планируемые результаты.

Познавательные: поиск и выделение информации.

6. Рефлексия (подведение итогов урока).

Цель: качественная оценка работы класса и отдельных учащихся. Организовать рефлексию учащихся по поводу их психологического состояния, мотивации собственной деятельности и взаимодействия с окружающими.

Планируемые результаты.

Регулятивные: оценка – осознание уровня и качества усвоения материала; контроль. Личностные: нравственно-этическое оценивание, смыслообразование. Коммуникативные: умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли. Познавательные: рефлексия способов и условий действия.

Ученикам предлагается высказать мнение по поводу урока.