Урок-экскурсия по геометрии "Путешествие в музей многогранников".

СОГБПОУ «Рославльский многопрофильный колледж»

Преподаватель математики и информатики:

Иванченко Оксана Николаевна, 2018г.

Урок-экскурсия                                                                                          

«Путешествие в музей многогранников».                                                             

Цели:                                                                                                                                                    

§  сформировать понятие правильных  многогранников, рассмотреть понятия     полуправильных и звездчатых многогранников, установить свойства правильных многогранников;                                                       

§  применить полученные знания при решении задач;    

§  воспитывать эстетический вкус, пространственное воображение, настойчивость и другие качества личности;

§   развить познавательный интерес, пространственное и логическое мышление.

Ход урока.

Сегодня мы проведем экскурсию по музею правильных многогранников.  И сейчас познакомимся с интереснейшими экспонатами музея, узнаем их историю. Многогранники выделяются своими свойствами,  красивыми формами. Теория многогранников имеет большую историю, связанную с именами Пифагора, Евклида, Архимеда, Платона.

В то же время это современный раздел математики. Знание свойств многогранников имеет большое значение как для теоретических исследований по геометрии, так и для практических приложений в других разделах математики. А также теория многогранников может использоваться в химии, физике, так как многие природные кристаллы имеют форму того или иного многогранника. Например, кристаллы поваренной соли и некоторые алмазы имеют форму куба. Свойства правильных и производных от них многогранников используют также архитекторы и строители, сооружающие различные архитектурные формы.

Первая экспозиция «Правильные многогранники». 

Некоторые из них вам уже знакомы. Назовите их: куб; тетраэдр – это частные виды призм и пирамид соответственно. Введём определение правильных многогранников.

Определение: Выпуклый многогранник называется правильным, если его грани являются правильными многоугольниками с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число ребер.

Правильные многогранники с древнейших времён привлекали внимание учёных. Им посвящена последняя XIII книга знаменитых «Начал» Евклида. Существует пять типов правильных выпуклых многогранников.

На основе анализа моделей правильных многогранников вместе с обучающимися заполняется таблица 1. Ниже приведены изображения правильных многогранников (рис.1), а также указаны вопросы, которые обсуждаются в процессе рассмотрения первой экспозиции.

Таблица 1.

Термин	Число     граней	Число     вершин	Число        ребер	Число ребер в     каждой вершине
Правильный тетраэдр	4	4	6	3
Куб (гексаэдр)	6	8	12	3
Октаэдр	8	6	12	4
Додекаэдр	12	20	30	3
Икосаэдр	20	12	30	5

На данном рисунке первое число в скобках указывает, сколько сторон у каждой грани, второе – число граней, примыкающих к каждой вершине.

                                         

                         Тетраэдр (3;3)                                                                Куб (3;4)

                                

          Октаэдр (3; 4)                              Икосаэдр (3; 5)                                     Додекаэдр (5; 3)

Рис.1

Вопросы:

1.     Чем являются грани правильного тетраэдра? (Правильными треугольниками)

2.     Сколько граней, вершин, ребер имеет тетраэдр? (4,4,6)

3.     Сколько ребер сходится в каждой вершине тетраэдра (Три ребра)

4.     Тетраэдр представляет собой треугольную пирамиду, у которой все ребра равны.

5.     Чем являются грани куба? (Квадратами)

6.     Сколько граней, вершин, ребер в кубе? (6,8,12)

Вторая экспозиция «Полуправильные многогранники». 

У правильных многогранников все грани правильные  и равные многоугольники и все многогранные углы равны. Если нарушить первое условие, т. е. взять правильные многоугольники, но разных типов, а второе условие оставить без изменения, то получим равноугольно полуправильные многогранники, или тела Архимеда. Архимеду принадлежит открытие тринадцати так называемых полуправильных многогранников («архимедовых тел»).

Судьба Архимеда интересна. Архимед жил с 287 по 212 гг. до н. э. Архимед – величайший ум древности, со времён до мозга костей.  Из всех античных мыслителей только Архимед обычно думал с такой полной свободой, какую позволяют себе математики теперь, получая в готовом виде все, что было приобретено в течение 25 столетий. Только он был достаточно велик и силен, чтобы смело перешагнуть через все препятствия, воздвигнутые на пути математического прогресса напуганными геометрами, которые слушались философов.

Как вам известно, Архимед добился многого и в физике, сделав свое знаменитое открытие о том, что тело, погруженное в жидкость, теряет в весе столько, сколько весит вытесненная им жидкость. Он выскочил из ванной, в которой наблюдал за собственным погруженным в воду телом пришел к открытию и побежал по улицам совершенно голым, крича «Эврика, эврика!» (нашел, нашел!). То, что он нашел, стало первым законом гидростатики.

Жизнь Архимеда была спокойной, какой и должна быть жизнь математика, если он хочет полностью проявить все, что в нем есть. Драматические события его жизни сконцентрировались в самом ее конце.

В 212 г. до н. э. разгорелась вторая Пуническая война. Рим и Карфаген схватились не на жизнь, а на смерть. Сиракузы, родной город Архимеда, лежал на пути римского флота. Он был осажден.

 Архимед, презиравший, казалось, прикладную математику, тем не менее показал, что математика может в случае необходимости практически использоваться для разрушений. Архимед применил открытые им законы рычага и блока для защиты своего города. Град каменный ядер, каждое из которых весело  около четверти тонны, извергся из катапульт Архимеда. Орудия Архимеда причинили огромные разрушения врагу, но это не спасло город. Первым знаком того, что город пал, была для Архимеда тень римского солдата, упавшая на его чертеж, сделанный им на пыльной земле. По одной версии солдат наступил на чертеж и, рассердившись, Архимед воскликнул: «Не тронь мои окружности!» Солдат был разъярен, выхватил свой меч и убил безоружного семидесятилетнего ветерана геометрии. Так погиб Архимед. Однако имя его осталось в названиях закона и полуправильных многогранников, которые мы с вами рассмотрим.

      Полуправильным многогранником называется выпуклый многогранник, гранями которого является правильные многоугольники, возможно, и с разным числом сторон, причем в каждой вершине сходится одно и тоже число одинаковых граней в одинаковом порядке.

                              

              Рис.4                                                        Рис.5

                                

                       Рис.6                                             Рис.7

                                

                      Рис.8                                               Рис.9

Число граней этих тел содержится между 8 и 82. Каждое из этих тел может быть вписано в сферу, простейшие получаются из правильных отсечением углов. Рассмотрим те их них, которые имеют очень интересные конфигурации и названия (демонстрация моделей или показ рисунков):

•         Скошенный ромбокубоикосаэдр (рис.4);

•         Плосконосый куб (рис.5);

•         Слабо усеченный додекаэдр (рис.6);

•         Усечение икосододекаэдр (рис. 7);

•         Сильно усеченный куб (рис. 8)

•         Ромбоикосододекаэдр (рис. 9)

Третья экспозиция «Звездчатые многогранники»

В настоящие время известен 51 полуправильный звездчатый многогранник, но не доказано, исчерпывается ли все множество таких многогранников.

Рассмотрим некоторые из них (демонстрация рисунков и моделей)

•         Пять кубов в додекаэдре (рис.18)

•         Малый звездчатый додекаэдр (рис.19)

•         Большой звездчатый икосоэдрический додекаэдр (рис. 20)

•         большой звездчатый додекаэдр (рис. 21)

•         большой звездчатый икосаэдр (рис. 22) и (рис.23)

Экспозиция нашего музея пополняется моделями, сделанными студентами, а модели, которые приведены на иллюстрациях, можно также изготовить, пользуясь различными пособиями по технике оригами и моделированию. Оригами  - это способ создания поделок из бумаги. Зародился более 1000 лет назад, в Японии. (Демонстрация моделей, сделанных в технике оригами.)

А теперь проверим, каковы результаты нашей экскурсии.

Ответим на вопросы:

1.       Является ли правильная пирамида правильным многогранником? (Нет)

2.       Существует ли пирамида (призма), являющиеся правильным многогранником? (Только правильный тетраэдр и куб)

3.       Шестигранником является объединение двух правильных тетраэдров, имеющих общее основание. Является ли он правильным многогранником? (Нет)

4.       Из каких двух пирамид можно составить правильный октаэдр? Как относятся высота и сторона основания такой пирамиды? (Из двух правильных четырехугольных пирамид, все ребра которых равны).

5.        Обучающийся рассуждает: «Каждая призма-многогранник, каждая правильная призма - правильный многогранник». Прав ли он? (Нет)

В конце урока формируется домашние задание, так как тема «Правильные многогранники» входит в рабочую программу. В оставшееся время можно обменяться мнениями, ответить на вопросы обучающихся.

Урок-экскурсия рассчитан на 2 часа. Предполагается, что в качестве экскурсовода выступает преподаватель, но рассказ о жизни Платона и Архимеда готовят сами обучающиеся.