"Устное решение приведённых квадратных уравнений"

Устное решение приведённых квадратных уравнений

Квадратным уравнением называют уравнение вида ах²+bх+с=0, где х – переменная, коэффициенты а, b, с - некоторые числа, причем, а≠0.                        Коэффициенты а, b, с различают по названиям: а – первый или старший коэффициент;      b – второй или коэффициент при х; с – свободный член, свободен от переменной х. Квадратное уравнение также называют уравнением второй степени, так как его левая часть есть многочлен второй степени.

Корнем квадратного уравнения ах²+bх+с=0 называют всякое значение переменной х,  при котором квадратный трехчлен ах²+bх+с обращается в нуль; такое значение переменной х называют также корнем квадратного трехчлена.

Можно сказать и так: корень квадратного уравнения ах²+bх+с=0 – это такое значение х, подстановка которого в уравнение обращает уравнение в верное числовое равенство.  Решить квадратное уравнение – это значит найти все его корни или установить, что их нет.

Многие задачи в математике связаны с необходимостью решения квадратных уравнений. Часто при решении одной задачи встречаются несколько таких уравнений, поэтому, полезно знать метод устного решения квадратных уравнений, который не только помогает экономить время, но и развивает навыки в разложении чисел на множители, что бывает полезным при устных вычислениях громоздких арифметических выражений.

Наиболее распространено устное решение приведенных квадратных уравнений, но и оно у многих учеников вызывает затруднение из-за отсутствия жёсткого алгоритма действий, особенно в случаях, когда корни имеют разные знаки.

Напомню теоретические сведения:  Квадратное уравнение называют приведенным, если старший коэффициент равен 1; т.е. приведенное квадратное уравнение имеет вид:  x² + bx + с = 0.

По следствию из теоремы Виета: если х₁ и х₂ – корни приведенного квадратного уравнения  x² + bx + с = 0, то

Отсюда можно сделать следующие выводы:

1. Если в уравнении последним знаком является «минус», то корни имеют разные знаки, причём знак меньшего корня совпадает со знаком второго коэффициента в уравнении. Зная, что при сложении чисел с разными знаками их модули вычитаются, заметим: для нахождения корней приведённого уравнения необходимо выполнить следующие действия: 1) найти такие множители числа  c, чтобы их разность была равна числу b; 2) поставить перед меньшим из найденных чисел второй знак уравнения, а другой корень будет иметь противоположный знак.

Пример 1. Решить уравнение: x² – 3x – 18 = 0.

Решение: Из всех множителей числа 18 (18 = 18·1 = 9·2 = 6 ·3) выбираем те, разность которых равна 3. Это числа 3 и 6. Перед меньшим числом ставим второй знак уравнений, т.е. «минус». Таким образом, = – 3,  = 6 – корни уравнения.

Такой алгоритм помогает очень быстро решать уравнения тем учащимся, у которых имеются проблемы с подбором знаков в теореме Виета.

Пример 2. Решить уравнение: x² + 10x – 24 = 0.

Решение: Из всех множителей числа 24 (24 = 24·1 = 2·12 = 3·8 = 4·6) выбираем те, разность которых равна 10. Это числа 12 и 2, т.к. 12 – 2 = 10. Перед меньшим числом ставим второй знак уравнений, т.е. «плюс». Таким образом, = 2,  = –12 – корни уравнения.

Пример 3. Решить уравнение: x² – 4x – 77 = 0.

Решение: Из всех множителей числа 77 (77 = 77·1 = 7·11) выбираем те, разность которых равна 4. Это числа 11 и 7, т. к. 11 – 7 = 4. Так как в уравнении последним знаком является  «минус», то корни имеют разные знаки, причём знак меньшего корня совпадает со знаком второго коэффициента. Таким образом, = – 7,  = 11 – корни уравнения.

Пример 4. Решить уравнение: x² + 8x – 20 = 0.

Решение: Из всех множителей числа 20 (20 = 20·1 = 2·10 = 4·5) выбираем те, разность которых равна 8. Это числа 10 и 2. Перед меньшим числом ставим второй знак уравнений, т.е. «плюс». Таким образом, = 2,  = –10 – корни уравнения.

Пример 5. Решить уравнение: x² – 13x – 30 = 0.

Решение: Из всех множителей числа 30 (30 = 30·1 = 15·2 = 10·3) выбираем те, разность которых равна числу 13. Это числа 2 и 15, т.к. 15 – 2 = 13. Так как в уравнении последним знаком является  «минус», то корни имеют разные знаки, причём знак меньшего корня совпадает со знаком второго коэффициента.  Таким образом, = – 2,      = 15 – корни уравнения.

Задания для самостоятельного решения:

1. Решите самостоятельно уравнения:

1) x² – 5x – 14 = 0;         2) x² + x – 56 = 0;         3) x² – 7x – 8 = 0.                                    

2. Составьте уравнение, корнями которого являются числа:

1)  6 и – 7;    2) 13 и – 9;    3) – 1 и 24;    4) – 5 и 4.

3. Составьте четыре произвольных уравнения с целыми корнями, имеющими разные знаки.

2. Если в уравнении  x2 + bx + c = 0 последним знаком является «плюс», то оба корня имеют одинаковые знаки, противоположные  второму знаку уравнения.

Пример 6. Решить уравнение: x² – 8x + 15 = 0.

Решение: Из всех множителей числа 15 (15 = 15·1 = 5·3) выбираем те, сумма  которых равна числу 8. Это числа 5 и 3, т.к. 3 + 5 = 8. Так как в уравнении последним знаком является  «плюс», то корни уравнения имеют одинаковые знаки, противоположные второму знаку.  Таким образом, =  3,   = 5 – корни уравнения.

Пример 7. Решить уравнение: x² – 7x + 10 = 0.

Решение: Из всех множителей числа 10 (10 = 10·1 = 5·2) выбираем те, сумма которых равна числу 7. Это числа 5 и 2, т.к. 2 + 5 = 7. Так как в уравнении последним знаком является «плюс», то оба корня имеют одинаковые знаки, противоположные  второму знаку уравнения. Таким образом, = 2,  = 5 – корни уравнения.

3. Если в уравнении  x2 + bx + c = 0 оба знака  «плюс», то оба корня имеют  знак «минус». Чтобы найти корни, нужно найти такие множители свободного члена, чтобы их сумма была равна числу b.

Пример 8. Решить уравнение: x² + 7x + 12 = 0.

Решение: Из всех множителей числа 12 (12 = 12·1 = 6·2 = 3·4) выбираем те, сумма  которых равна числу 7. Это числа 3 и 7, т.к. 3 + 4 =7. Так как в уравнении оба знака  «плюс», то корни уравнения будут иметь отрицательный знак.  Таким образом, = – 3,     = – 4 – корни уравнения.

Пример 9. Решить уравнение: x² + 9x + 14 = 0.

Решение: Из всех множителей числа 14 (14 = 14·1 = 7·2) выбираем те, сумма  которых равна числу 9. Это числа 2 и 7, т.к. 2 + 7 = 9. Так как в уравнении оба знака  «плюс», то корни уравнения будут иметь отрицательный знак.  Таким образом, = – 2,     = – 7 – корни уравнения

Задания для самостоятельного решения:

1. Решите самостоятельно уравнения:

1) x² – 11x + 24 = 0;         2) x² + 4x + 3 = 0;       3) x² – 17x + 30 = 0.                                    

2. Составьте уравнение, корнями которого являются числа:

1)  5 и 7;    2) 11 и 8;    3) – 1 и – 6;    4) – 20 и – 4 .

Таким образом, к любому приведённому квадратному уравнению x2 + bx + c = 0 можно применить следующий алгоритм отыскания корней: 1. найти множители свободного члена, для которых действие, указанное последним знаком уравнения, даёт второй коэффициент; 2. расставить знаки у найденных множителей по следующим правилам: ·         если в уравнении два «плюса», то в ответе два «минуса», ·         если последний знак уравнения «минус», то меньшему корню присваивается второй знак уравнения, а больший корень имеет противоположный знак.