Выпускная работа "Формирование понятия симметрии в курсах математики средней школы"

Энгельсский технологический институт (филиал)

ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.»

Кафедра «Техническая физика и информационные технологии»

Центр непрерывного образования

Формирование понятия симметрия

в курсах математики средней школы

Выполнил: слушатель дополнительной профессиональной программы профессиональной переподготовки «Преподавание математики и физики с основами информационно-коммуникационных технологий в общеобразовательных учреждениях»

Нагимулина Инна Анатольевна

учитель математики 

МБОУ «СОШ №42» г. Энгельса

Руководитель:

Трефилова Галина Максимовна

 доцент, кандидат

 физико – математических  наук

г.Энгельс

                                                    2014г.

Содержание:

Введение                          ………………………………………………….. 3

Глава I. Формирование теоретического понятия

симметрии в курсах математики средней школы.  ……………………… 4

1.                 Понятие симметрии                               ……………………… 4

2.                 Цели изучения симметрии                    ……………………… 4

3.                 Виды симметрии                                    ……………………… 5

4.                 Симметрия фигур.

Распределение по классам симметрии  ……………………  10

5.                 Симметрия в живой природе                 …………………….. 13

6.                 Симметрия в неживой природе             …………………….. 15

7.                 Симметрия в искусстве                          …………………….. 18

8.                 Симметрия букв и слов русского языка …………………… 19

9.                 Симметричные системы уравнений      ……………………. 21

10.             Симметрия графиков функций              ……………………. 22

11.             Проектная и исследовательская деятельность

в условиях реализации ФГОС               …………………….. 23

Глава II. Практические аспекты формирования понятия

 симметрии в курсах средней школы.                        ……………………. 30

1.            Виды симметрии. Практические навыки …………………... 31

2.            Метод проектов и исследования цикла

        «Симметрия вокруг нас»                          ………………….... 43

3.            Факторы формирования мотивации

        учебной деятельности                               …………………… 50

Заключени   Приложение 1                                                                …………………….

е                                                                    ……………………. 51

Список используемой литературы                              ……………………. 52

Интернет – источники                                                  ……………………. 53

Приложение 1                                                                …………………….

Приложение 2                                                                …………………….

Приложение 3                                                                …………………….

Приложение 4                                                                …………………….

Приложение 5                                                                ……………………. Приложение 6

Введение

Представленная выпускная работа по теме «Формирование понятия симметрии в курсах математики средней школы» включает в себя Содержание, Введение, Главу I «Теоретические аспекты формирования понятия симметрии в курсах математики средней школы» (в которой рассматриваются  виды симметрии, симметрия в различных областях жизни человека, а также живой и неживой природе), Главу II «Практические аспекты формирования понятия симметрии в курсах математики средней школы» (в которой описываются практические приемы по формированию понятий учащихся в области симметрии и получение ими практических навыков построения), Заключение, Список используемой литературы и интернет – источников, а также Приложения.

Особое внимание следует обратить на описание практического опыта проектной и исследовательской деятельности учащихся МБОУ «СОШ № 42» г. Энгельса, кратко описанного в Главе II, на актуализацию мотивации учащихся к учебной деятельности путем применения прогрессивных форм работы с детьми, в ходе которых ставится акцент на развитие индивидуальных способностей учащихся.

В Заключении сделаны актуальные выводы по выпускной работе «Формирование понятия симметрии в курсах математики средней школы», определены основные пункты по обобщению практического опыта   раскрытия разрабатываемой тематики.

Глава I. Формирование теоретического понятия симметрии в курсах математики средней школы.

1. Понятие симметрии.

Формирование понятия симметрии для обучающихся начинается с начальной школы, однако перед учителем средней школы стоит важная задача по овладению учащимися осознанными знаниями и навыками использования данного термина, своевременного и аргументированного применения полученных  сведений не только в курсе изучения  математики, алгебры и геометрии, других школьных дисциплин, но также и в повседневной жизни.

Остановимся  на понятии «симметрия».

Симметрия в определении Ожегова – это  соразмерность, одинаковость в расположении частей чего-либо, в том числе по противоположным сторонам от точки, прямой и плоскости.

Термин «cимме́три́я» — (др.-греч. συμμετρία) по гречески означает «соразмерность, пропорциональность, одинаковость в расположении частей».

Симметрия в широком случае – соответствие, неизменность (инвариантность), проявляемые в каких – либо изменениях, преобразованиях.

          По преданию термин «симметрия» придумал скульптор Пифагор Регийский, живший в городе Регул. Отклонение от симметрии он определил термином «асимметрия».

Древние греки полагали, что Вселенная симметрична просто потому, что она прекрасна. Считая сферу наиболее симметричной и совершенной формой, они делали вывод о сферичности Земли и её движении по сфере вокруг некоего «центрального огня», где двигались также 6 известных тогда планет вместе с Луной, Солнцем, звёздами. Древнегреческий философ и математик Пифагор Самосский (VI в. до н. э.) и пифагорейцы предпочитали вместо слова «симметрия» пользоваться словом «гармония». Гармония является божественной и заключается в числовых отношениях.

Математически строгое представление о симметрии сформировалось сравнительно недавно – в XIX веке. В наиболее простой трактовке известного немецкого математика Германа Вейля (1855-1955) современное определение симметрии выглядит так: симметричным называется такой объект, который можно как-то изменять, получая в результате то же, с чего начали. Таким образом, симметрия фигуры есть любое преобразование, переводящее фигуру в себя, т.е. обеспечивающее ее самосовмещение.

«Стоя перед черной доской и рисуя на ней мелом разные фигуры, я вдруг был поражен мыслью: почему симметрия приятна глазу? Что такое симметрия? Это врожденное чувство, отвечал я сам себе». (Л.Н. Толстой)

2. Цели изучения симметрии в средней школе.

Перед учителем средней школы стоит задача формирования представления о таком феномене (не только чисто математическом), как симметрия. Изучение осевой, центральной и зеркальной симметрии позволяет учащимся получить достаточно широкое представление о симметрии, причем не только на плоскости, но и в пространстве.

Основные цели изучения симметрии в курсе средней школы можно определить следующим образом:

 -   дать представление о симметрии в окружающем мире;

- познакомить с основными видами симметрии на плоскости и в пространстве;

-    научить изображать симметричные фигуры;

- расширить представления об известных фигурах, познакомив со свойствами, связанными с симметрией;

- показать возможности использования симметрии для геометрических построений.

 «Удивительным в науке явилось не выявление принципа симметрии, а выявление его всеобщности» (В. И. Вернадский).

         Каковы же основные виды симметрии, доказывающие всеобщность данного термина? 

3. Виды симметрии.

3.1. Осевая симметрия

Преобразование, при котором каждая точка A фигуры (или тела) преобразуется в симметричную ей относительно некоторой оси l точу А, при этом отрезок AA´  l , называется осевой симметрией.

Если точка А лежит на оси l, то она симметрична самой себе, т.е. A совпадает с A´.  В частности, если при преобразовании симметрии относительно оси l, фигура F переходит сама в себя, то она называется симметричной относительно оси l, а ось l называется ее осью симметрии.

3.2. Центральная симметрия.

Преобразования, переводящее каждую точку A фигуры или тела в точку A´, симметричную ей относительно центра O, называется преобразованием центральной симметрии или просто центральной симметрией.

Точка O называется центром симметрии и является неподвижной. Других неподвижных точек это преобразование не имеет. Если при преобразовании центральной симметрии относительно центра О фигура F преобразуется в себя, то она называется симметричной относительно центра O, при этом центр O называется центром симметрии фигуры F. Примерами фигур, обладающих центром симметрии, являются параллелограмм, окружность и т.д.

Знакомые понятия поворота и параллельного переноса используются при определении так называемой трансляционной симметрии.

Рассмотрим трансляционную симметрию более подробно.

3.3.Трансляционная симметрия

3.3.1. Поворот

Преобразование, при котором каждая точка A фигуры или тела поворачивается на один и тот же угол α вокруг заданного центра O, называется вращением или поворотом плоскости. Точка О называется центром вращения, а угол α – углом вращения. Точка O является неподвижной точкой этого преобразования.

Центральная симметрия есть поворот фигуры или тела на 180˚.

Параллельный перенос.

Преобразование при котором каждая точка фигуры или тела перемещается в одном и том же направлении на одно и то же расстояние, называется параллельным переносом. Чтобы задать преобразование параллельного переноса, достаточно задать вектор.

3.3.2. Скользящая симметрия

Скользящей симметрией называется такое преобразование, при котором последовательно выполняются осевая симметрия и параллельный перенос.

Все перечисленные преобразования называют преобразованиями симметрии. Для преобразований симметрии имеют место следующие свойства:

1.     Отрезок переходит в равный ему отрезок;

2.     Угол переходит в равный ему угол;

3.     Окружность переходит в равную ей окружность;

4.     Любой многоугольник переходит в равный ему многоугольник и т.д.

5.     Параллельные прямые переходят в параллельные, перпендикулярные в перпендикулярные.

3.4. Симметрия относительно плоскости.

В стереометрии вводится еще один вид симметрии, называемый симметрий относительно плоскости.

Пусть α - произвольная фиксированная плоскость. Если точка X лежит в плоскости α, то считается, что точка X переходит в себя. Если преобразование симметрии относительно плоскости переводит фигуру в себя, то фигура называется симметричной относительно плоскости, а данная плоскость называется плоскостью симметрии этой фигуры.

3.4.1. Зеркальная симметрия

«Что может быть больше похоже на мою руку или моё ухо, чем их собственное отражение в зеркале? И всё же руку, которую я вижу в зеркале «нельзя поставить на место настоящей руки…» (Иммануил Кант)

Все знают, что увидеть зеркальный двойник объекта совсем нетрудно. Достаточно поместить объект перед зеркалом и заглянуть в это зеркало. Обычно считают, что наблюдаемый в зеркале двойник является точной копией самого объекта. В действительности же это совсем не так! Зеркало не просто копирует объект, а меняет местами передние и задние по отношению к зеркалу части объекта. Например, если у вас родинка находится на правой щеке, то у зеркального отображения она будет на левой. Рассмотрим  интересный пример:

Если конус неподвижен, то его легко можно совместить со своим двойником.

Если же конус вращать относительно оси, проходящей через вершину, то направление вращения изменяется при отражении на противоположное. Теперь уже никакими перемещениями и поворотами нельзя совместить объект с зазеркальным двойником.

4. Симметрия фигур. Распределение по классам симметрий

Фигура обладает симметрией, если существует движение (преобразование не тождественное), переводящее ее в себя. Например, фигура обладает поворотной симметрией, если она переводится в себя некоторым поворотом.

Одна из самых симметричных фигур конечных размеров - это круг. Каждая прямая, проходящая через его центр, является его осью симметрии, а центр круга является центром поворотной симметрии, причем поворот может быть совершен на любой угол.

4.1. Рассмотрим симметрию простейших фигур.

1) Отрезок имеет две оси симметрии и центр симметрии.

2) Треугольник общего вида не имеет никакой симметрии. У равнобедренного (но не равностороннего) треугольника одна ось симметрии - серединный перпендикуляр, проведенный к его основанию.

3) У равностороннего треугольника три оси симметрии, и он имеет поворотную симметрию с углом поворота 120˚.

4) У каждого правильного n-угольника есть n осей симметрии, все они проходят через его центр. Он имеет также поворотную симметрию с углом поворота .

При четном n одни оси симметрии проходят через противоположные вершины, другие - через середины противоположных сторон (и тех и других осей по ).

При нечетном n каждая ось проходит через вершину и середину противоположной стороны.

Центр правильного многоугольника с четным числом сторон является его центром симметрии. У правильного многоугольника с нечетным числом сторон центра симметрии нет.

По тому, сколько симметрий имеют фигуры, можно проводить их классификацию.

В математике доказано, что множество симметрий правильного n-угольника состоит из 2n преобразований: n-поворотов и n-осевых симметрий. Класс симметрий обозначаются D_n. Вообще, порядком оси называется число самосовмещений фигуры при повороте вокруг данной оси на 360 градусов. Легко видеть, что порядок оси симметрии правильного шестиугольника равен 6, а о нем самом говорят, что он имеет класс симметрии D_6.

4.2.Симметрия неограниченных фигур.

Фигура называется ограниченной, если она вся содержится в круге некоторого радиуса с центром в какой-либо своей точке. Если же фигура не лежит ни в каком круге, то она называется неограниченной. Примеры неограниченных фигур: прямая, угол, полоса и т.д.

До сих пор мы рассматривали симметрию ограниченных фигур. При этом переносы не рассматривались. Оказывается, если фигура переходит в себя в результате какого-либо переноса (на ненулевой вектор), то она неограниченна.

О фигуре, которая совмещается с собой при некотором переносе, говорят, что она обладает переносной симметрией. Например, прямая имеет такую симметрию, так как допускает перенос вдоль себя.

Интересны неограниченные фигуры, состоящие из правильно повторяющихся конечных фигур, такие, как квадратная сетка, сетка из прямоугольников, или треугольников, или шестиугольников и других фигур

Реально строить неограниченные фигуры невозможно, но можно мысленно продолжить ограниченную фигуру, "перенося" ее части, как, например, мы легко продолжаем мысленно квадратную сетку. Поэтому мы говорим о симметричности "по переносу" стены, выложенной кафелем, паркета и т.п. Так же понимаем симметричность "по переносу" разнообразных орнаментов.

5.Симметрия в природе

Совершенно иной характер носит связь математики с красотой в природе, где с помощью математики красота не создается, как в технике и в искусстве, а лишь фиксируется, выражается. Материал на любом уровне своей организации, будь то минералы, растительный или животный мир, подчиняется строгим законам развития. Сегодня человек с помощью им же созданных точнейших приборов способен проникать в царство бесконечно малых величин, где перед ним раскрываются прекрасные формы.

В основе строения любой живой формы лежит принцип симметрии. Из прямого наблюдения  можно вывести законы геометрии и почувствовать их несравненное совершенство. Этот порядок, являющийся закономерной необходимостью, поскольку ничто в природе не служит чисто декоративным целям, помогает нам найти общую гармонию, на которой зиждется все мировоздание.

В своей книге «Этот правый, левый мир» М. Гарднер пишет: 
«На Земле жизнь зародилась в сферических симметричных формах, 
а потом стала развиваться по двум главным линиям: образовался 
мир растений, обладающих симметрией конуса, и мир животных с 
билатеральной симметрией».

Термин «билатеральная симметрия» часто применяется в биологии. При этом имеется в виду зеркальная симметрия.

Характерная для растений симметрия конуса хорошо видна на 
примере фактически любого дерева.

Дерево при помощи корневой системы поглощает влагу и пита-
тельные вещества из почвы, то есть снизу, а остальные жизненно 
важные функции выполняются кроной, т. е. наверху. В то же время направления в плоскости, перпендикулярной к вертикали, для де-
рева фактически неразличимы; по всем этим направлениям к дере-
ву в равной мере поступает воздух, свет, влага.

Дерево имеет вертикальную поворотную ось (ось конуса) и 
вертикальные плоскости симметрии. Отметим, что вертикальная ориентация оси конуса, характеризующего симметрию дерева, определяется направлением силы тяжести. Ярко выраженной симметрией обладают листья, ветви, цветы, плоды.

Зеркальная симметрия характерна для листьев, но встречается и 
уцветов. 
Для цветов характерна поворотная симметрия..

Часто поворотная симметрия сочетается с зеркальной или переносной.

 

В многообразном мире цветов встречаются поворотные оси 
разных порядков. Однако наиболее распространена поворотная 
симметрия 5-го порядка. Эта симметрия встречается у многих по-
левых цветов.(колокольчик, незабудка, герань, гвоздика, зверобой и лапчатка), у цветов плодовых деревьев (вишня, яблоня, груша, 
мандарин и др.), у цветов плодово-ягодных растений (земляника, 
малина, калина, черемуха, рябина, шиповник, боярышник) и др.

6.     Симметрия в неживой природе

Еще более ярко и систематически симметричность структуры материи обнаруживается в неживой природе, именно в кристаллах.

«Кристаллы блещут симметрией», — писал Е. С. Федоров в своем «Курсе кристаллографии».

При слове «кристалл» в воображении рисуется среди драгоценных камней — алмаз: кристальная чистота и прозрачность, чудес-
ная, непередаваемая игра света, идеальная правильная форма. Но 
теперь алмазы уже не только красивый предмет роскоши. Сегодня 
они служат для обработки наиболее твердых металлов и сплавов. 
Без них не мыслится современная металлообрабатывающая промышленность.

Оказывается, кристаллы не только алмазы. Обычный сахар и 
поваренная соль, лед и песок состоят из множества кристалликов. 
Больше того, основная масса горных пород, образующих земную 
кору, состоит из кристаллов. Даже обыкновенная глина представляет собой нагромождение мельчайших кристалликов.

Словом, большинство строительных материалов — металлы, камень, песок, глина — кристаллические вещества. Можно сказать, 
что мы живем в домах, построенных из кристаллов. Не удивительно, что кристаллы являются предметом тщательного изучения. Кристаллы — это твердые  тела,  имеющие  естественную форму  многогранников.

Характерная особенность того или иного вещества состоит в 
постоянстве углов между соответственными гранями и ребрами 
для всех образцов кристаллов одного и того же вещества. Что же 
касается формы граней, то для одного и того же вещества они мо-
гут значительно отличаться друг от друга.

Для каждого данного вещества существует своя, присущая 
только ему одному, идеальная форма его кристалла. Эта форма обладает свойством симметрии, т. е. свойством кристаллов совмещаться с собой в различных положениях путем поворотов, отражений, параллельных переносов.

Кристалл каждого вещества характеризуется определенным комплексом элементов симметрии — видом (классом) симметрии.

Анизотропность физических свойств так же, как и сама правильность формы кристаллов, тесно связана с их решетчатым строением, т.е. определяется симметрией их структуры.

Каждая снежинка — это маленький кристалл замерзшей воды 
Форма снежинок может быть очень разнообразной, но все они обладают симметрией — поворотной симметрией 6-го порядка, и зеркальной симметрией.

7.     Симметрия в искусстве, архитектуре, музыке, литературе.

Человеческое творчество во всех своих проявлениях тяготеет к симметрии. На этот счет хорошо высказался известный французский архитектор Ле Корбюзье, в своей книге «Архитектура XX века» он писал: «Человеку необходим порядок: без него все его действия теряют согласованность, логическую взаимосвязь. Чем совершеннее порядок, тем спокойнее и увереннее чувствует себя человек. Он делает умозрительные построения, основываясь на порядок, который продиктован ему потребностями его психики, - это творческий процесс. Творчество есть акт упорядочения».

Нагляднее всего видна симметрия в архитектуре. Особенно блистательно использовали симметрию в архитектурных сооружениях древние зодчие. Причем древнегреческие архитекторы были убеждены, что в своих произведениях они руководствуются законами, которые управляют природой. В сознании древних греков симметрия стала олицетворением закономерности, целесообразности, красоты.

Зеркальная симметрия широко встречается в произведениях искусства примитивных цивилизаций и в древней живописи. Средневековые религиозные картины также характеризуются этим видом симметрии. Композиция таких картин скучна, поскольку симметрия слишком очевидна.

Симметрия часто используется и в других видах искусства. В том числе в музыке. Ряд музыкальных форм строится симметрично. В этом отношении особо характерно рондо (рондо от фр. –круг). В рондо музыкальная тема многократно повторяется, чередуясь эпизодами различного содержания. Главная тема проводится не менее трех раз в основной тональности, а эпизоды - в других тональностях. Это напоминает зеркальную симметрию, основная тема служит плоскостью, от которой как бы отражаются эпизоды. Но тот эпизод, который раньше прозвучал в высокой тональности, повторяется в низкой, и наоборот.

Так накладывается правая рука на левую (если их не переворачивать): мизинец оказывается на большом пальце. Безымянный на указательном.

«Душа музыки» - ритм - состоит в правильном периодическом повторении частей музыкального произведения», - писал в 1908 г. известный русский физик Г. В. Вульф, - Правильное же повторение - сущность симметрии». С тем большим правом можем приложить к музыкальному произведению понятие симметрии, что это произведение записывается при помощи нот, т. е. получаем пространственный геометрический образ.

Гамма до мажор.

Композитор в своем произведении может по несколько раз возвращаться к одной и той же теме, постепенно разрабатывая ее.

В литературных произведениях существует симметрия образов, положений, мышления. Вспомним хотя бы закон возмездия в греческой трагедии, где виновный становится жертвой такого же преступления.

В «Евгении Онегине» А. С. Пушкина мы наблюдаем симметрию положений: «Онегин, отвергнувший когда-то любовь Татьяны, сам через несколько лет вынужден испытывать горечь отвергнутой любви».

В трагедии А. С. Пушкина «Борис Годунов» прекрасно выписана симметрия образов. Убийцу царственного наследника, занявшего престол, сменяет на троне такой же умный, такой же наглый и беспощадный убийца юноши-царевича.

8.     Симметрия букв и слов русского языка.

Буквы русского языка тоже можно рассмотреть с точки зрения симметрии.

1.     Вертикальная ось симметрии: А; Д; Л; М; П; Т; Ф; Ш.

2.     Горизонтальная ось симметрии: В; Е; 3; К; С; Э; Ю.

3.     И вертикальные и горизонтальные оси симметрии: Ж; Н; О; X.

4.     Ни вертикальные, ни горизонтальные оси: Б; Г; И; Й; Р; У; Ц; Ч; Щ; Я.

В русском языке есть «симметричные» слова - палиндромы, которые можно читать одинаково в двух направлениях: шалаш, казак, радар, Алла, Анна, кок, поп.

 Могут быть палиндромическими и предложения. Написаны тысячи таких предложений.

А роза упала на лапу Азора.

Я иду с мечем судия. (Г. Р. Державин.)

Сведение красоты только к симметрии ограничивало богатство ее внутреннего содержания, лишало красоту жизни. Истинную красоту можно постичь только в единстве противоположностей. Вот почему единство симметрии и асимметрии определяет сегодня внутреннее содержание прекрасного в искусстве. Симметрия воспринимается нами как покой, скованность, закономерность, тогда как асимметрия означает движение, свободу, случайность.

Примером удивительного сочетания симметрии и асимметрии является Покровский собор (храм Василия Блаженного) на Красной площади в Москве. Эта причудливая композиция из десяти храмов, каждый из которых обладает центральной симметрией, в целом не имеет ни зеркальной, ни поворотной симметрии. Симметричные архитектурные детали собора «кружатся» в своем асимметричном «танце», создавая впечатление радости и праздника.

В «Фаусте» Гете противопоставляет в образах Прекрасной Елены и одноглазой, однозубой старухи Форкиды красоту симметрии и уродство асимметрии. В «Сказке о царе Салтане» Пушкин рисует величавую Царевну-Лебедь со звездой во лбу (красота - симметрия) и окривевших злодеек - ткачиху с поварихой (уродство -асимметрия).

В «Войне и мире» Льва Толстого мы читаем: «Это был огромный, в два обхвата дуб, с обломанными, давно видно, суками и с обломанной корой, заросшей старыми болячками. С огромными своими неуклюже, несимметрично растопыренными корявыми руками и пальцами, он старым, сердитым и презрительным уродом стоял между улыбающимися березами».

9.     Симметрические системы уравнений.

Система уравнений называется симметрической, если при замене х на у и у на х система не изменяется.

Пример 1. Решите систему уравнений.

Решение.

Сделаем замену x + y =u и xy = v, тогда

 

 

 

10. Симметрия в геометрических преобразованиях графиков функций.

1. Переносная симметрия.

а) График функции f(х + с) получается параллельным перено­сом графика f(x) в отрицательном направлении оси ОХ на |с| при c > 0 и в положительном направлении |с| при с < 0.

Пример. Постройте график функции у =

Решение. План построения:

 -> 

1) Строим график функции:

y = 

2) График функции у =

(II) получаем из графика функции:

y = — параллельным переносом вдоль оси ОХ вправо на 1 единицу.

Пример. Постройте график функции у = х² - 3.

Решение.

1) Строим график функции у = х² (I).

2) График функции у = х² - 3 получаем из графика функции

у = х² с помощью параллельного переноса вдоль оси ОУ на (-3) еди­ницы.

Самостоятельная работа.

Постройте график функции у =  - 1

Мы рассмотрели основные виды симметрии, изучаемые и используемые в курсе математики средней школы. Одной из основных проблем в работе с данной темой является малое количество часов на ее рассмотрение. Но, на мой взгляд, это одна из интереснейших тем для внеурочной деятельности по предмету «Математика», одна из самых универсальных тем для интегрированных и метапредметных уроков, что становится особо актуальным в ходе введения ФГОС. Поэтому я стараюсь использовать данную тему самым широчайшим образом в образовательном процессе.

11. Проектная и исследовательская деятельность учащихся как главный фактор повышения качества образования в условиях реализации ФГОС.

Особый акцент хочется сделать на проектной и исследовательской деятельности учащихся. Тема «Симметрия» в разных интерпретациях  звучит в проектах и исследованиях, производимых учащимися. Это очень увлекательный процесс обучения, поиска и освоения материала, что очень важно для мотивации учебного процесса среди школьников самого разного возраста и уровня подготовки. Мною преподается математика в 6 – 10 классах МБОУ «СОШ № 42» г. Энгельса, и я хочу отметить, что именно подготовка материала для проекта, производимая исследовательская работа в ходе подготовки к финальному выступлению мотивирует учеников на углубленное изучение математики и других школьных дисциплин, информация по которым необходима в той или иной степени.  В процессе подготовки проекта или исследовательской работы можно использовать самые прогрессивные методы и формы работы, что приводит к росту интереса учащихся к учебному процессу, стимулирует положительную мотивацию, а также:

-  расширяет представления учащихся о сферах применения математики (не только в естественных науках, но и в такой области гуманитарной сферы деятельности, как искусство);

- расширяет сферу математических знаний учащихся (пространственные фигуры, виды симметрии);

- расширяет общекультурный кругозор учащихся посредством знакомства их с лучшими образцами произведений искусства;

- убеждает в практической необходимости владения способами выполнения математических действий;

- помогает осознать степень своего интереса к предмету и оценить возможности овладения или с точки зрения дальнейшей перспективы (показать возможности применения полученных знаний в своей будущей профессии художника, архитектора, инженера – строителя).

Метод проектов — инновационная педагогическая технология — главный фактор повышения качества образования в условиях реализации ФГОС.

         Новый социальный заказ, определяющий пути развития российс­кого общества на обозримую перспективу, не только предопределяет центральную роль образования в решении важнейших общегосударст­венных задач, но и требует переосмысления с современных позиций целей и ценностей образования, его роли в реализации жизненных устремлений обучающихся и выпускников школы, в становлении их успешной профессиональной карьеры.

Модернизация системы образования в России предполагает соз­дание устойчивого механизма ее развития и достижения ее главной цели — обеспечение нового современного качества образования. Кардинальная задача этой модернизации — развитие человеческого потенциала страны, генерация нового поколения россиян: людей с новым мышлением, современным стилем поведения и новой мотива­цией, способных жить и работать в условиях все более усложняю­щихся общественных, экономических и политических отношений, развития институтов управления, в своей деятельности опирающихся на общественно одобряемую систему ценностей.

Формирование новой модели российской школы, в свою очередь, потребовало создания нового поколения государственных образова­тельных стандартов (ФГОС) — принципиально новый для отечествен­ной школы документ, потребовавший глубокого анализа и синтеза накопленного опыта, современных перспективных тенденций развития отечественной и зарубежной школы, ведущих научных психолого-педагогических, культурологических, социологических теорий и концепций. Только фундаментальность образования может обеспечить развитие инновационных технологий, определяющих конкурентоспо­собность страны. Инновационность в широком смысле, как ориента­ция на внедрение новых образовательных технологий, развитие твор­ческого потенциала учащихся, должна пронизывать весь воспитатель­но-образовательный процесс.^.Применительно к педагогическому процессу инновация означает введение нового в цели, содержание, методы и формы обучения и воспитания, организацию совместной деятельности учителя и учащегося. 

Инновационный процесс заключается в формировании и разви­тии содержания и организации нового. В целом под инновационным процессом понимается комплексная деятельность по созданию (рождению, разработке), освоению, использованию и распрост­ранению новшеств.

В настоящее время в России идёт становление новой системы образования, ориентированной на вхождение в мировое образователь­ное пространство. Увеличивается роль науки в создании педагогичес­ких технологий, адекватных уровню общественного знания. Одной из таких технологий является метод проектирования. Практика пока­зывает, что использование проектной деятельности возможно при обу­чении различным дисциплинам, входящим в школьную программу. Проектная деятельность оказывается достаточно эффективным мето­дом обучения. Она тесно связано с проектной культурой, которая возникла как результат объединения двух до сих пор не пересекавшихся направлений в образовании: гуманитарно-художественного и научно-технического. Все, что ребенок познает теоретически, он должен уметь применять практически для решения проблем, касаю­щихся его жизни. Он должен знать, где и как он сможет применить свои знания на практике, если не сейчас, то в будущем. Проектная деятельность учащихся — сфера, где необходим союз между знаниями и умениями, теорией и практикой. Образно говоря, окружающая жизнь — это творческая лаборатория, в которой происходит процесс познания. Метод проектов предусматривает умение адаптироваться в стремительно изменяющемся  мире постиндустриального общества.

Главная идея методики проектного обучения состоит в следующем: с большим увлечением выполняется ребенком только та деятельность, которая выбрана им свободно. Лозунг этой деятель­ности: «все из жизни, все для жизни». Проект — это возможность уча­щимся выразить свои собственные идеи в удобной для них творчески продуманной форме: изготовление коллажей, афиш и объявлений, проведение интервью и исследований (с последующим оформлением), демонстрация моделей с необходимыми комментариями, составление планов посещения мест с иллюстрациями, картой и т. д. В процессе проектной работы ответственность за обучение возлагается на самого ученика как индивида и как члена проектной группы. Самое важное то, что ребенок, а не учитель определяет, что будет содержать проект, в какой форме и как пройдет его презентация.

Суть проектной методики состоит в том, что учащийся в про­цессе работы над проектом постигает реальные процессы, проживает конкретные ситуации, приобщается к проникновению вглубь явлений, конструированию новых объектов, процессов.

Основные условия применения метода проектов:

·существование некой значимой проблемы, требующей реше­ния путем исследовательского (творческого) поиска и применения интегрированного знания;

·значимость предполагаемых результатов (практическая, теоретическая, познавательная);

·применение исследовательских методов при проектировании;

·структурирование этапов выполнения проекта;

·самостоятельная деятельность учащихся в ситуации выбора.

Метод проектов можно использовать не только в качестве внеурочной деятельности по предмету, в качестве материала для участия в математических конференциях и т.д., но и для проведения интереснейших уроков. Рассмотрим основные особенности структуры уроков. 

1. Первый этап включает в себя организационный момент. На этом этапе дети знакомятся со спецификой проектной деятельности. В ходе этого этапа происходит распределение детей на инициативные группы. Например, группы: аналитики, экспериментаторы, иллюстраторы, испытатели. Для создания оптимальных условий осуществления совместной деятельности необходимо детей пересадить в соответствии с образо­вавшимися группами. Состав группы формируется с учетом диффе­ренцированного подхода. Наиболее сильные дети объединяются в группы «аналитиков» и «испытателей».

2.Второй этап направлен на формулирование темы и целей деятельности.  Целеполагание — выделение цели с помощью учителя.

3.Третий этап является подготовительным. Разработка проекта — план деятельности по достижению цели. В ходе этой работы состав­ляется план деятельности по разработке проекта. На дальнейших уроках этот план лишь корректируется при необходимости. Далее определяются основные разделы проекта. Здесь необходимо уточнить, что в нашем случае проектирование рассматривается как разработка определенной темы, результатом которой является определенный про­дукт. Поэтому учитель может направить работу детей так, чтобы результатом «мозгового штурма» стал выбор, близкий к выбору, запланированному учителем. Здесь очень важна роль «аналитиков», которым предстоит скорректировать предложения остальных детей.

4.Четвертый этап представляет собой этап собственно проектной деятельности. Выполнение проекта (конкретное практическое дело, либо ряд практических шагов к намеченной цели). Работа проводится в группах. Причем работа может быть по-разному организована. Каждый раздел разрабатываться каждой группой по очереди. Тогда результат оформления каждого раздела будет складываться из проме­жуточных продуктов деятельности групп. Эта форма организации удобна на первых уроках цикла, когда идет обучение учащихся и необ­ходима руководящая роль учителя. В дальнейшем можно каждой груп­пе поручить разработку своего раздела и повысить этим степень самостоятельности детей. На четвертом этапе урока очень важно роле­вое участие детей в проекте. Именно здесь каждый ученик должен внести свой вклад в соответствии с выбранной ролью. Начинают рабо­ту «экспериментаторы». Они выполняют наблюдения, позволяю­щие «аналитикам» сделать выводы и систематизировать их в виде правил, схем, рисунков и так далее. За практическое применение, апробирова­ние отдельных частей и всего проекта в целом отвечают «испытатели». Следующий этап — подведение итогов выполнения проекта и определение задач для нового проекта.

5.Пятый этап — практическое применение разработанного проекта. На этом этапе главная роль отводится «испытателям». Но зна­чение остальных групп, также остается важным. Группы внимательно следят за «работой» своей части проекта и при необходимости могут внести коррективы.

6.Шестой этап представляет собой самоанализ проектной деятельности. В ходе самоанализа дети получают положительные и отрицательные стороны своей деятельности.

7.Седьмой этап заключается в подведении итогов всей работы в целом.

Метод проектов четко ориентирован на реальный практический результат, значимый для школьников. Во время работы над проектом строятся новые отношения между учителем и учениками. Учитель уже не является для ребят единственным источником информации. Он ста­новится помощником, консультантом. Свою работу ученики предъяв­ляют скорее своим товарищам, чем учителю. Эта педагогическая технология может быть эффективно использована на всех уровнях обучения, при этом, не заменяя традиционную систему, а органично дополняя, расширяя ее. Таким образом, проект является той общей формой, в которой реализуется искусство планирования, изоб­ретения, созидания, исполнения и оформления, и которая определяется как дизайн, или проектирование.

ФГОС  основного общего образования предполагает развитие у ребенка универсальных учебных действий:

·        Личностные

·        Регулятивные

·        Познавательные

·        Коммуникативные

         «В сфере развития познавательных учебных действий приоритетное внимание уделяется практическому  освоению обучающимися  основ проектной и исследовательской деятельности» (Фундаментальное ядро  содержания общего образования)

«В ходе изучения всех учебных предметов обучающиеся приобретут опыт проектной и исследовательской деятельности как особой формы учебной работы, способствующей воспитанию, самостоятельности, инициативности, ответственности, повышению мотивации, и эффективности учебной деятельности» (Примерная  основная образовательная  программа образовательного учреждения).

В чем же суть и основные отличия проектной и исследовательской деятельности учащихся? Очень часто эти понятия воспринимаются абсолютно одинаково, однако следует обратить внимание на следующее:

Проектная деятельность обучающихся – совместная учебно-познавательная, творческая или игровая деятельность учащихся, имеющая общую цель, согласованные методы, способы деятельности, направленная на достижение общего результата деятельности. Непременным условием проектной деятельности является наличие заранее выработанных представлений о конечном продукте деятельности, этапов проектирования.

Исследовательская деятельность обучающихся – деятельность учащихся, связанная с решением учащимися творческой, исследовательской задачи с заранее неизвестным решением.

Поясняя выше данные определения, можно уточнить:

Проектная деятельность – это:

·        исходная  проблема; ·        заранее определенная цель; ·        план предстоящей работы. По завершении работы над проектом должно быть сделано следующее: ·        решена исходная проблема (предложен способ ее решения); ·        создан проектный продукт (как одно из средств решения проблемы проекта); ·        представлен письменный отчет о ходе работы; ·        проведена публичная защита проекта.

Исследовательская деятельность – это:

·        постановка  проблемы, ·        изучение теории, посвященной данной проблематике, ·         подбор методик исследования и практическое овладение ими, ·        сбор собственного материала, его анализ и обобщение, ·         научный комментарий, ·        собственные выводы. Данные методы являются наиважнейшим фактором формирования положительной мотивации в изучении математики, а также понимания учащимся философского постулата о единстве мира и осознания положения об универсальности математических знаний.

Глава II.  Практические аспекты формирования понятия симметрии в курсах математики средней школы.

С понятием «симметрия» учащиеся знакомы из повседневной жизни, занятий рисованием, моделированием и т.п., поэтому, прежде чем переходить к математическому его толкованию, необходимо вычленить в сознании учащихся общекультурное понимание этого феномена. Демонстрируя учащимся различные фотографии и слайды, рисунки и репродукции картин с изображениями проявлений симметрии в природе (бабочка, снежинка, кристалл минерала), в продуктах человеческой деятельности (народные орнаменты, древнегреческие амфоры, исторические и современные здания), учитель формирует представление о симметрии как гармонии, соразмерности, порядке.

1.     Осевая симметрия

Понятие осевой симметрии, на мой взгляд, является самым доступным и понятным для учащихся. Практическое формирование представления об осевой симметрии для учащихся 6 - 8  классов (в зависимости от уровня сложности задания)  осуществим в несколько шагов.

1 шаг — первые представления об осевой симметрии. Здесь используем физический эксперимент, который заключается в предметном моделировании конфигурации «две точки, симметричные относительно некоторой прямой». Предложим учащимся взять в руки лист бумаги, провести на нем прямую, перегнуть лист по этой прямой и проткнуть его иглой. Развернув лист, учащиеся обнаружат две точки, расположенные по разные стороны от линии сгиба. Здесь учитель может сообщить, что такие точки называют симметричными относительно проведенной прямой. Учащиеся должны внимательно рассмотреть полученную ими модель, чтобы зафиксировать зрительно особенности расположения точек, мысленно повторить проделанные действия. Цель выполненных действий — создать визуальный образ двух точек, симметричных относительно прямой, и уяснить предметное действие (перегибание листа бумаги), лежащее в его основе.

2 шаг — исследование свойств точек, симметричных относительно прямой, и построение точки, симметричной данной относительно прямой. Продолжим работу с полученной нами моделью. Предложим учащимся провести прямую через две симметричные точки. После чего они сначала визуально подмечают, что проведенная прямая перпендикулярна линии сгиба, а затем фиксируют это свойство с помощью угольника. Следующее свойство, которое подмечают учащиеся, — равенство расстояний от каждой из этих точек до линии сгиба. Визуальное представление должно быть подтверждено измерениями с помощью циркуля или линейки.

Теперь перед учащимися можно поставить задачу: «Каким образом можно построить точку, симметричную данной относительно проведенной прямой, не прибегая к перегибанию?» Учащиеся обязательно заметят, что можно провести через данную точку прямую, перпендикулярную заданной прямой, и по другую сторону от нее отметить точку — на том же расстоянии от прямой, что и данная точка. Таким образом, найденные свойства используются учащимися в качестве ориентировочной основы для действий по построению. Чтобы каждый этап построения зафиксировать в сознании учащихся, учитель может предложить им рассмотреть рисунок в учебнике (рис. 1) и прочесть алгоритм, содержащий названные этапы построения, соотнося рисунки и описание. Здесь же он обращает их внимание на то, с помощью каких инструментов можно произвести требуемые построения.

«Пусть дана прямая l и точка М (рис. 1,а), построим точку, симметричную точке М относительно прямой l. Для этого:

— проведем через точку М прямую, перпендикулярную l (рис. 1,б);

— отметим на ней точку К, расположенную на таком же расстоянии от прямой l, что и точка М (рис. 1,в).

Точка К симметрична точке М относительно прямой l».

После этого целесообразно выполнить упражнение 1.

Упражнение 1 (выполняется на нелинованной бумаге). Проведите прямую и отметьте точку, не лежащую на этой прямой. Постройте точку, симметричную ей относительно проведенной прямой. Проверить свои построения учащиеся могут, снова прибегнув к перегибанию.

Следующий важный момент связан с выполнением построений на клетчатой бумаге с использованием ее свойств. Предложим учащимся провести в тетради прямую, проходящую по одной из линий сетки, и в узле сетки отметить точку. Далее они должны вспомнить, какими свойствами обладает квадратная сетка, и догадаться, как они могут быть использованы для построения точки, симметричной отмеченной ими точке относительно проведенной прямой. На основе выделенных свойств сетки и анализа своего рисунка учащиеся приходят к выводу, что искомая точка лежит на той же линии сетки, что и данная точка, но по другую сторону от прямой, расстояние же можно отсчитывать по узлам сетки. После этого они и выполняют необходимые построения.

3 шаг — фигуры, симметричные относительно прямой. Большинство учащихся уже вполне готовы к тому, чтобы обойтись без предметных действий, заменив их мысленными. Предложим им рассмотреть рисунок  (рис. 2), на котором изображены два четырехугольника, симметричные относительно прямой.

Пусть они мысленно перегнут лист по прямой k. 
При этом надо зафиксировать их внимание на том, что четырехугольники при перегибании совместятся. Из этого они смогут сделать вывод о равенстве симметричных фигур. Затем предложим учащимся «понаблюдать» (снова мысленно) за тем, какие вершины, стороны, углы четырехугольников совместятся при перегибании. Отметим, что в случае необходимости можно снова прибегнуть к предметному моделированию, аналогичному тому, которое уже было проделано для двух точек.

Упражнение 2. Являются ли фигуры (рис. 3) симметричными относительно прямой?

При выполнении упражнения учащиеся должны помнить о равенстве симметричных фигур (рис. 3,а), о равноудаленности фигур от прямой (рис. 3,б), о расположения фигур относительно прямой (рис. 3,в).

Целью выполнения упражнений 3–5 является овладение учащимися построением фигуры, симметричной данной относительно прямой: на клетчатой бумаге (упр. 3); на гладкой бумаге (упр. 4); от руки (упр. 5).

Упражнение 3. Скопируйте рисунок 4,а в тетрадь. Постройте треугольник, симметричный треугольнику АВС относительно прямой а.

Для учащихся, успешно справляющихся с заданием, предлагаются более сложные конфигурации: прямая пересекает фигуру (рис. 4,б), прямая проходит под углом 45° к линиям сетки (рис. 4,в).

Упражнение 4 (выполняется на готовом чертеже из рабочей тетради). Постройте фигуру, симметричную данной относительно проведенной прямой (рис. 5).

Упражнение 5. Нарисуйте от руки фигуру, симметричную изображенной на рисунке 6 букве русского алфавита. Какую букву латинского алфавита вы получили?

Упражнения 6 и 7 являются для учащихся более сложными, так как требуют решения обратной задачи — по двум данным фигурам построить прямую, относительно которой они симметричны.

Упражнение 6. Перенесите рисунок 7 в тетрадь и постройте прямую, относительно которой симметричны точки А и В.

Упражнение 7. Начертите на гладкой бумаге две пересекающиеся прямые. Покажите на рисунке, как расположена прямая, относительно которой они симметричны.

4 шаг — ось симметрии фигуры. В основе создания этого представления снова лежат предметные действия по перегибанию листа бумаги. Предложите учащимся сложить лист пополам, провести на нем какую-нибудь линию, ориентируясь на рисунок в учебнике (рис. 8) или аналогичные действия учителя, разрезать лист по проведенной линии и развернуть его. Здесь можно сообщить им, что линия сгиба — это ось симметрии фигуры.

Далее учащиеся могут выполнить упражнение 8, где на основе анализа различных случаев полученное представление о симметрии фигуры уточняется. Они обратят внимание на то, что две «половинки» фигуры должны быть не только равны, но и расположены таким образом, чтобы совместиться при перегибании. На основе сформированного представления можно выполнить упражнение 9.

Упражнение 8. Является ли проведенная прямая осью симметрии фигуры (рис. 9)?

Упражнение 9 (выполняется на готовом чертеже). Восстановите фигуру (рис. 10) по ее части и оси симметрии.

Следующая серия упражнений связана с исследованием симметрии известных и наиболее часто встречающихся фигур.

Первой среди них является равнобедренный треугольник. Экспериментальным путем учащиеся находят ось симметрии вырезанного из бумаги равнобедренного треугольника. Затем, анализируя выполненные действия и полученную модель, последовательно устанавливают, что ось проходит через середину основания (основание треугольника «сложено» пополам), перпендикулярна ему (линия сгиба и основание образуют прямой угол), делит противолежащий основанию угол пополам (боковые стороны равнобедренного треугольника совпали).

После этого можно предложить учащимся рассмотреть рисунок из учебника (рис. 11), на котором выделены все свойства оси симметрии равнобедренного треугольника, найденные ими экспериментальным путем.

Упражнение 10 (выполняется на нелинованной бумаге). Постройте равнобедренный треугольник, опираясь на свойства оси симметрии.

При выполнении этого упражнения учащиеся используют только что установленные свойства равнобедренного треугольника: они изображают основание треугольника, находят его середину, проводят через построенную точку перпендикулярную прямую, отмечают на ней некоторую точку — третью вершину треугольника.

Аналогичным образом можно организовать и исследование симметрии квадрата и прямоугольника: учащиеся, используя модели, вырезанные из бумаги, устанавливают количество осей симметрии и их свойства; проверяют, что диагонали прямоугольника не являются его осями симметрии; чертят фигуры в тетради и проводят все оси симметрии.

Особое внимание следует уделить симметрии окружности. Перегибая круг по диаметрам, учащиеся осознают, что окружность и круг имеют бесконечно много осей симметрии, осью симметрии является любая прямая, проходящая через центр.

5 шаг — построения, выполняемые циркулем и линейкой. Здесь свойство симметрии окружности нашло применение при выполнении классических геометрических построений, выполняемых циркулем и линейкой. Данный вид построений целесообразно рассмотреть лишь в сильном классе или при индивидуальной работе с хорошо подготовленными учащимися. Опорой для построений служит конфигурация, состоящая из двух пересекающихся окружностей равных радиусов (рис. 12). Я предлагаю  учащимся рассмотреть рисунок, обращая внимание на симметрию конфигурации: на равенство окружностей; на симметрию двух окружностей относительно прямой, проходящей через точки пересечения окружностей; на симметрию фигуры из двух окружностей относительно прямой, проходящей через их центры. Проведя визуальный анализ конфигурации и создав на основе его алгоритм построения, учащиеся могут приступить к ее воспроизведению.

Следующим упражнением, которое может быть выполнено с опорой на рассмотренную конфигурацию, является построение серединного перпендикуляра к отрезку. Последовательность необходимых действий в виде вербального и наглядного описаний (рис. 13) задана в учебнике.

При анализе алгоритма построения от учащихся требуется вычленить каждый шаг визуальной последовательности (рис. 13), осмыслить его и воспроизвести. Учащимся, успешно справившимся с этим заданием и не испытавшим при его выполнении значительных трудностей, можно предложить самостоятельно найти способ построения прямой, перпендикулярной данной прямой и проходящей через заданную точку, опорой для этого также должна послужить рассмотренная конфигурация. Тем же учащимся, которые менее уверенно выполняли задание, можно предложить рассмотреть описанный в учебнике пример построения точки, симметричной данной относительно прямой.

2.     Центральная симметрия

Формирование представления о центральной симметрии целесообразно осуществлять по той же схеме, что и формирование представления об осевой симметрии:

1 шаг — наглядное представление о центральной симметрии на основе предметного моделирования, в качестве которого используется поворот точки вокруг центра на 180^о с помощью циркуля;

2 шаг — свойства точек, симметричных относительно центра, и построение точки, симметричной данной относительно некоторой точки;

3 шаг — фигуры, симметричные относительно точки;

4 шаг — центрально-симметричные фигуры.

Отличием от предшествующего этапа является то, что предметные действия здесь целесообразно использовать и на шаге 3, и на шаге 4, и связано это с тем, что действия поворота выполняются учащимися с большими трудностями, чем действия перегибания. Кроме того, учитель должен оставлять на усмотрение учащегося выбор способа построения: в развернутом виде (поворотом циркуля) или свернутом (построение на прямой точки, равноудаленной заданной точке), причем так долго, как это ему необходимо. Как и на предыдущем этапе, построения здесь следует выполнять как на клетчатой бумаге, так и на нелинованной, часть заданий — на готовых чертежах; следует предлагать задания на достраивание фигуры по ее части и центру симметрии, на нахождение центра симметрии фигуры.

3.     Обобщение представлений о симметрии на плоскости

С целью систематизации представлений о свойствах фигур, связанных с симметрией, полезно предложить учащимся выполнить упражнения, в которых одновременно рассматриваются и осевая, и центральная симметрии. Можно попросить их назвать фигуры, имеющие и ось, и центр симметрии, они назовут окружность, квадрат, прямоугольник. Надо обратить их внимание на то, что у этих фигур не одна ось симметрии: у окружности — бесконечно много, у прямоугольника — две, а у квадрата — две пары взаимно перпендикулярных осей симметрии.

Упражнение 11. Квадрат разрежьте по одной из диагоналей. Из двух получившихся треугольников сложите фигуры, имеющие: а) ось симметрии; б) центр симметрии.

Сложив фигуру, удовлетворяющую условию, учащиеся обязательно должны зарисовать ее в тетради.

Упражнение 12. Начертите фигуру со следующими свойствами: а) фигура имеет и центр, и ось симметрии; б) фигура имеет центр симметрии, но не имеет оси симметрии; в) фигура имеет ось, но не имеет центра симметрии.

Учащиеся изображают знакомые фигуры, обладающие требуемым свойством, например, в задании «а» — это квадрат. Дополнительно учитель может предложить преобразовать изображенный квадрат в другую фигуру, не нарушая его симметрии. Задания «б» и «в» выполняются аналогично.

Упражнение 13 (выполняется на готовом чертеже). Постройте фигуру В, симметричную фигуре А относительно прямой k, и фигуру С, симметричную фигуре В относительно прямой m (рис. 14). Как еще можно получить фигуру С из фигуры А?

Последовательно выполнив необходимые по условию построения, учащиеся обнаружат, что последняя фигура оказалась симметричной относительно точки пересечения прямых. Учитель может предложить нарисовать другую фигуру и повторить эти построения и с ней. Придя к такому же результату, учащиеся могут продолжить исследование: поменять порядок отражения от прямых, изменить место расположения исходной фигуры. Таким образом они еще раз столкнутся со связью между центральной и осевой симметриями, уже обнаруженной ими при сравнении симметрий квадрата и прямоугольника.

4.     Зеркальная симметрия

Изучение этого раздела не только позволяет сформировать достаточно полное представление о симметрии, но и «выйти в пространство», продолжить формирование пространственного воображения. Для изучения темы необходимо, чтобы каждый учащийся имел несколько пространственных тел, вылепленных из пластилина. Это должны быть конус, куб, цилиндр, шар.

Напомните учащимся, что есть еще один вид симметрии, с которым они сталкиваются ежедневно, глядя на себя в зеркало. Это зеркальная симметрия. Здесь полезно провести аналогию между осевой и зеркальной симметриями: ось и плоскость симметрии, симметричные фигуры равны (правда, в пространстве равенство проверить наложением нельзя). Учащиеся догадаются, что аналогично кругу на плоскости, имеющему бесконечно много осей симметрии, в пространстве бесконечно много плоскостей симметрии имеет шар.

Далее учитель может переходить к обсуждению свойств шара, конуса, цилиндра и куба, связанных с симметрией. Учащиеся при этом работают с имеющимися у них моделями. Они сначала визуально определяют и обсуждают, как должна проходить плоскость симметрии, а затем проверяют это, разрезав модель. На проекционный чертеж (выполненный на доске или интерактивной доске) один из учащихся наносит плоскость симметрии. Далее обсуждается, есть ли еще плоскости симметрии у этого тела, как они расположены; найденные плоскости также наносятся на чертеж. Когда все плоскости найдены, учитель должен обратить внимание учащихся на то, какие фигуры получились в сечении, образованном плоскостью симметрии, какую вообще форму могут иметь сечения данного тела. При рассмотрении цилиндра учитель может предложить учащимся подумать, всегда ли плоскость, разделившая тело на две равные части, является его плоскостью симметрии. В качестве ответа на этот вопрос учащиеся могут разрезать необходимым образом имеющуюся у каждого из них модель. Можно выполнить и такое упражнение: после исследования куба учитель выкладывает из равных кубов многогранник, а учащиеся определяют, есть ли у него плоскости симметрии и как они расположены; затем можно предложить им мысленно составить из трех кубов фигуру, обладающую симметрией, и зарисовать ее в тетради.

Завершая рассмотрение темы, учитель задает вопросы обобщающего характера: У каких тел бесконечно много плоскостей симметрии? Сечением каких тел может быть круг? квадрат? треугольник? прямоугольник?

5.     Параллелограмм

В начале практической работы следует напомнить учащимся о формировании представлений о параллелограмме, которые опираются на две системы представлений: параллельность и центральная симметрия, носителем которых он является. Обратимся к этой фигуре еще раз.

Напомню, что параллелограмм «возникает» перед учащимися в результате построения двух пар параллельных прямых. А вот следующий шаг уже связан с тем, что параллелограмм — центрально-симметричная фигура. В своем исследовании учащиеся опираются на практическое действие поворота фигуры на 180°: они копируют параллелограмм на лист прозрачной бумаги и, скрепив два параллелограмма булавкой в точке пересечения диагоналей, поворачивают копию относительно оригинала вокруг центра симметрии (рис. 15). При этом они внимательно наблюдают каждый раз за одним элементом параллелограмма и определяют, как изменилось его положение.

Поворот относительно центра на 180° может выполняться не в практическом плане, а мысленно. Но при этом учитель должен провести предварительную работу при изучении центральной симметрии: учащиеся должны неоднократно проделать этот поворот практически при определении центра симметрии различных фигур, а учителю необходимо убедиться, что это действие может быть перенесено в умственный план всеми учащимися.

Таким образом учащиеся открывают для себя следующие свойства параллелограмма:

- равенство противолежащих сторон и углов;

- равенство треугольников, на которые делится параллелограмм диагональю; диагонали делятся в точке пересечения пополам. Последнее свойство дает еще один способ построения параллелограмма (рис. 16).

6.     Закрепление и контроль

На каждом этапе обучения для закрепления сформированных навыков в качестве домашних заданий учащимся могут быть предложены упражнения не только аналогичные рассмотренным в классе, но и исследовательского характера. Приведем пример такого задания.

Упражнение 14. Поставьте два зеркала под углом 120° друг к другу и положите перед ним ластик. Сколько ластиков вы видите? Повторите опыт, сделав угол между зеркалами, равным 90°, 60°, 45°. Сколько ластиков в каждом случае? Попробуйте поставить зеркала так, чтобы перед вами «появились» 5 ластиков. Чему при этом равен угол между зеркалами?

Завершая изучение темы, в качестве рефлексии, учитель может предложить следующую проверочную работу (выполняется она на нелинованной бумаге):

1. Проведите прямую с и отметьте точку А, не лежащую на этой прямой. Постройте точку В, симметричную точке А относительно прямой с.

2. Начертите от руки квадрат и проведите его оси симметрии.

3. Отметьте две точки и обозначьте их буквами К и О. Постройте точку М, симметричную точке К относительно точки О.

4. Начертите отрезок АВ. С помощью циркуля и линейки постройте прямую, перпендикулярную этому отрезку и проходящую через его середину.

Отметка «3» может быть выставлена в случае правильного выполнения заданий 1—2, отметка «4» — заданий 1—3, отметка «5» — заданий 1—4.

7.     Метод проектов и исследовательская деятельность, их роль в практическом аспекте формирования понятия симметрии.

В Главе I «Теоретические аспекты формирования понятия симметрии в курсах математики средней школы»  были изложены основные понятия проектной и исследовательской деятельности учащихся. Данные виды деятельности стали весьма популярны среди учеников, позволяют им развить индивидуальные способности, выразить свое мнение по тому или иному вопросу, способствуют многогранному развитию личности обучающихся.

Основным приоритетом в проектной и исследовательской деятельности я считаю то, что мною, как учителем, оглашается только основная тема проекта или исследования, а ребята самостоятельно «додумывают» тему своей работы, применяя свои знания в сопутствующих дисциплинах, знания, полученные в результате индивидуальных увлечений, а иногда и просто совмещая основную тему с любимым хобби. Таким образом, рождаются интересные и сугубо индивидуальные темы проектов и исследований.

Тема «Симметрия вокруг нас» является одной из самых благодатных в плане рождения интересных проектов и исследовательских работ. Каждая из работ целиком и полностью доказывает, что симметрия окружает нас буквально каждое мгновенье. Вот краткие выдержки и иллюстрации из ученических проектов и исследований учащихся МБОУ «СОШ № 42».

1.Проект ученицы 7 класса Проулочновой Дианы «Архитектура и стили архитектуры» (фото и рисунки см. в Приложении 1):

                «Архитектура - это строительное искусство, умение проектировать и создавать города, жилые дома, общественные и производственные здания, площади и улицы, парки. Во многих городах мира можно встретить церкви, дворцы и особняки, современные здания театров, библиотек перед которыми захочется остановиться и повнимательнее их рассмотреть. Это потому, что здания и улицы, площади и парки, комнаты и залы своей красотой могут волновать воображение и чувства человека, как и другие произведения искусства. Шедевры архитектуры запоминаются как символы народов и стран. Всему миру известны Кремль и Красная площадь в Москве, Эйфелева башня в Париже, древний Акрополь в Афинах. Однако в отличие от других искусств произведения архитектуры люди не только созерцают, но и постоянно используют. Посмотрите внимательно: архитектура окружает нас и образует пространственную среду для жизни и деятельности людей. Это дома, где мы живём, школы, колледжи, институты, где мы учимся; в театрах, цирках и кинотеатрах - развлекаемся; в садах, парках и дворах - отдыхаем. На заводах и в учреждениях работают наши родители; магазины, столовые, вокзалы, метро постоянно заполнены посетителями. Трудно даже представить, как можно обойтись без этих и многих других сооружений. Разнообразие архитектуры зависит не только от творческой фантазии зодчего, но и от условий строительства: тёплого или холодного климата, равнинной или гористой местности, возможностей строительной техники, деревянных, каменных или металлических конструкций. Ещё в древности задачи архитектуры определяли тремя качествами - пользой, прочностью, красотой. Известное стремление человека к красоте вдохновляет творческую фантазию архитектора на поиск всё новых необычных архитектурных форм, неповторимости облика и яркости художественного образа сооружения. Каждое здание производит своё впечатление: одно имеет торжественный, праздничный облик, другое - строгий, третье - лирический. Памятники архитектуры, относящиеся к разным эпохам и странам, отличаются друг от друга по внешнему виду или по стилю, как отличались условия проживания и художественные вкусы людей тех времен.

       Впечатление от здания во многом зависит от ритма, т.е. от четкого распределения и повторения в определенном порядке объемов зданий или отдельных архитектурных форм на здании (колонн, окон, рельефов и т.д.). Преобладание элементов вертикального ритма - колонн, арок, проемов, пилястр - создает впечатление облегченности, устремленности вверх. Наоборот, горизонтальный ритм - карнизы, фризы, пояса и тяги - придает зданию впечатление приземистости, устойчивости.

      В архитектуре, как и в других видах искусства, существует понятие стиля, т.е. исторически сложившейся совокупности художественных средств и приемов.

     Греческие зодчие впервые в истории строительства создали архитектурный ордер, т.е. установили четкие правила художественной обработки внешней формы конструкций, определили порядок размещения деталей и их размеры. Отличали дорический, ионический и коринфский ордеры. Все три ордера имеют одинаковые основные элементы, но отличаются друг от друга пропорциями и декоративной обработкой.

     В средние века возник готический стиль. Готические здания отличаются обилием ажурных, как кружева, украшений, скульптур, орнаментов, поэтому и снаружи, и внутри они производят впечатление легкости и воздушности. Окна, порталы, своды имеют характерную стрельчатую форму. Фасады сооружений обладали зеркальной (осевой) симметрией.

     Архитекторы Возрождения создали стиль ренессанс, в котором использовали наследие античного искусства, греческие архитектурные ордеры. Правда, они применили их по-новому, более свободно, с отступлением от античных канонов, в других пропорциях и размерах, в сочетании с другими архитектурными элементами. Здания в стиле ренессанс были строгими по форме, с четкими прямыми линиями. Сохраняется симметрия фасадов.

     Стиль барокко, пришедший на смену ренессансу, отличается обилием криволинейных форм. Грандиозные архитектурные ансамбли (группа зданий, объединенных общим замыслом) дворцов и вилл, построенных в стиле барокко, поражают воображение обилием украшений на фасадах и внутри зданий. Прямые линии почти отсутствуют. Архитектурные формы изгибаются, громоздятся одна на другую и переплетаются со скульптурой. От этого создается впечатление постоянной подвижности форм.

     Все здания, построенные в стиле классицизма, имеют четкие прямолинейные формы и симметричные композиции. На фоне гладких стен выступают портики и колоннады, которые придают сооружениям торжественную монументальность и парадность. Декоративное убранство из барельефов и статуй оживляют облик зданий. Мастера классицизма сознательно заимствовали приемы античности и ренессанса, применяли ордеры с античными пропорциями и деталями.

      Архитектура – удивительная область человеческой деятельности. В ней тесно переплетены и строго уравновешены наука, техника, искусство. Только соразмерное, гармоничное сочетание этих начал делает возводимое человеком  сооружение памятником архитектуры. Из всех видов искусств архитектура, на мой взгляд, ближе всех к математике: в основе конструкций лежат точнейшие расчеты.

         В своей работе я рассмотрела архитектурные сооружения различных стилей, построенные в разные эпохи, и выявила, что в архитектуре каждого из них просматривается симметрия.

        Памятники архитектуры, получившие широкую известность как образцы пропорциональности и гармонии, буквально пронизаны математикой, численными расчетами и геометрией. 

   Исследования показали, что все виды симметрии используются при проектировании и конструировании архитектурных сооружений и оформлении фасадов зданий.

     Симметрия противостоит хаосу, беспорядку. Она присутствует в нашей жизни буквально во всём, но мы настолько к ней привыкли, что не замечаем этого. Но как бы мы к ней не относились, она есть в нашей жизни, добавляя в неё мир, спокойствие и состояние чего-то нечуждого глазу.

     Я считаю, что как бы ни развивалось в дальнейшем искусство, элементы симметрии в нем все же будут преобладать».

2. Исследовательская работа ученицы 9 класса Никитиной Татьяны «Симметрия и асимметрия  современного танца»:

«Хореографы – люди особенные. Чтобы создавать искусство движения, человек должен обладать интуицией, творческой силой и смелостью. Хореография требует видения и воли. Танцоров – много, а действующих хореографов из них – несколько. Хореографов современности глубоко почитают. Их прямо-таки боготворят. К примеру, Баланчина, Грехэм и Фоссе. Эти люди – первопроходцы. Они вывели танец на новый уровень и навсегда изменили его. Их видение стало реальностью, в которой теперь существует новое поколение творцов и почитателей искусства. Существует множество аспектов хореографии, о которых необходимо знать хореографу. Одни из главных хореографических принципов – принципы симметрии и асимметрии. Они довольно просты, но крайне важны. Эти принципы красной нитью проходят сквозь любое танцевальное выступление, которое вам доводилось видеть. Все, что существует, может быть либо симметричным, либо ассиметричным. И симметрия и асимметрия имеют собственные случаи использования и эффекты. Симметрию составляют уравновешенное расположение тела танцора, местонахождение тела танцора в пространстве и сценический дизайн в его широком понимании, основывающийся на пространственных аспектах расположения танцовщиков, декораций и освещения. Симметрия – это спокойный, невозмутимый, логичный и простой элемент хореографии. Принцип симметрии прослеживается во множестве ранних балетов, где танцоры в одинаковом количестве выстраивались в линии и формировали на сцене однородную структуру. Также симметрией называется ситуация, при которой все танцоры одновременно исполняют одно и то же движение. Симметрия присуща немалому числу балетных позиций. Так, симметричны первая и пятая позиции. Симметрия предсказуема, комфортна для наблюдения и иногда даже забавна. Она несет с собой гармонию. На принципе симметрии основывается множество танцев. Во многих бродвейских постановках она используется в качестве основополагающего дизайна пространства. Однако, хотя принцип симметрии и применяется довольно часто, хореограф, злоупотребляющий им, подвергает свою постановку опасности однообразия, и это почти всегда убивает в танце жизнь. Симметрия в танцевальной постановке необходима, однако для произведения должного эффекта она должна сопровождаться асимметрией. Отталкиваясь от идеи симметрии в поисках нового, творческое сообщество пришло к созданию новаторских и ценных произведений искусства в различных его областях - от архитектуры до танца. Многие современные работы основаны на принципе асимметрии, которая эволюционирует из естественной асимметрии движения в сложные постановки. Расположение танцоров на сцене, пространственная организация положений их тел и частей тел сегодня зачастую ассиметричны. В настоящее время мы наблюдаем развившуюся эстетичную гармонию между принципами симметрии и асимметрии, воплощенными на сцене. Асимметрия обладает интересными возможностями, которых нет у симметрии. Она непредсказуема, странна, необычна. Она представляет природу, первопричину, и раскрывает тайну движения в большей степени, нежели симметрия. Но нельзя полагать, что избыток асимметрии сделает танец интереснее. Необходимо равновесие между асимметрией и симметрией, исключающее нивелирование искусства и повседневной жизни. С асимметрией мы встречаемся не только на сцене, но и постоянно в повседневности. Симметрия же более редка. Таким образом, залогом создания успешной постановки является гармония между двумя принципами. Знание свойств и возможностей симметрии и асимметрии помогает хореографу работать с движением и прогнозировать отношение к нему зрителя. В распоряжении хореографа существует множество инструментов, и ни один из них не является второстепенным, каждый нуждается в освоении. Однако именно эти два принципа симметрии и асимметрии используются хореографом при создании базисной структуры танца. Зная, какие эффекты оказывает та или иная реализация принципа, хореограф добивается точного выражения своей идеи в движении и может предсказать, как его постановка отразится в сознании зрителя. Чем больше знаний о пространственных аспектах разработки танца, тем большее  может позволить себе  творческая личность» (фото и иллюстрации см. в Приложении 2). 3. Далее мне бы хотелось привести в качестве примера тему работ, результаты исследований которых, полученные авторами, на первый взгляд противоречат друг другу, но… Причиной этого являются возраст и знания, полученные в соответствии с ним, а также и некоторая житейская мудрость, соответствующая более взрослому автору. И так, исследовательская работа ученицы 6 класса Сидоровой Елизаветы «Симметрия человеческого лица и тела», основанная на правиле  золотых пропорций человеческого лица и тела. Вот выдержка из работы: «…И в одежде человек тоже, как правило, старается поддерживать впечатление симметричности: правый рукав соответствует левому, правая штанина — левой. Пуговицы на куртке и на рубашке сидят ровно посередине, а если и отступают от нее, то на симметричные расстояния. Но на фоне этой общей симметрии в мелких деталях мы умышленно допускаем асимметрию, полная безукоризненная симметрия выглядела бы нестерпимо скучно.            Не станем пока разбираться, существует ли на самом деле абсолютно симметричный человек. У каждого, разумеется, обнаружится родинка, прядь волос или какая-нибудь другая деталь, нарушающая внешнюю симметрию. Никто не усомнится, что внешне человек построен симметрично: левой руке всегда соответствует правая,  и обе руки совершенно одинаковы!   Многие художники обращали пристальное внимание на симметрию и пропорции человеческого тела, во всяком случае до тех пор, пока ими руководило желание в своих произведениях как можно точнее следовать природе. Во всяком случае, все мы симметричны! К тому же некоторые художники в своих произведениях особенно подчеркивают эту симметрию» (рисунки и фото см. в Приложении 3). «В споре рождается истина»- одна из любимых поговорок любителей дебатов и споров. И вот, в противовес вышеизложенному, ученик 9 класса Проворнов Руслан представляет результаты исследования в области симметрии лица человека, в основу которых легли фотографии известного фотографа авангардиста Алекса Джона Бека.  «У каждого из нас есть хорошая сторона» -  гласит известное изречение, и  нью-йоркский фотограф решил показать, какая же сторона лучше. Алекс Джон Бек, 32 лет, использовал портреты 10 людей и создал симметричные изображения лиц, используя сначала в качестве основы правую, а затем-левую сторону лица.  "Я был удивлен, насколько эти изображения отличаются друг от друга", -говорит Алекс. Верхние изображения - это портреты, где за основу взята левая часть лица, соответственно, нижнее-то, где за основу взята правая часть лица (фото см. в Приложении 4). В результате проведенных исследований было установлено, что левая часть лица всегда более выразительная чем правая. Левое полушарие головного мозга отвечает, ·         например, за язык, а правая - за ориентирование в пространстве и распознавание лиц. Правое полушарие головного мозга отвечает за левую половину тела. В продолжении  своей работы и подтверждение выдвинутых гипотез автор исследования рассмотрел фотопроект Джулиана Волькенштейна «Симметрия лица», созданный в 2010 году. Суть проекта состоит в том, что он показывает человеческое лицо таким, каким бы оно было, будучи абсолютно симметричным. Джулианом было отобрано несколько моделей, разного типажа внешности, которых он просто сфотографировал в своей студии так, как например мы фотографируемся на паспорт. Затем в графическом редакторе он разделил лицо на две половинки, создав два портрета, один из которых сложен из двух левых половинок, другой – из двух правых, зеркально отраженных по отношению друг к другу (см. фото в Приложении 5). Существует миф, о том, что люди, с более симметричными чертами лица выглядят более привлекательными и красивыми. Но так ли это на самом деле? Если вы сделаете свой симметричный портрет, покажетесь ли вы себе более красивым, или, по меньшей мере, просто странным? Вы ли это вообще? Есть ли у вас лучшая сторона? Что можно сказать о доминировании левого или правого полушария мозга? Так в чем же истина? Красоте строгой симметрии или ее балансе с асимметрией? Метод проектов и исследовательские работы позволяют учащимся дискуссировать, высказывать и подтверждать самые неожиданные гипотезы. Результатом спора о симметрии и асимметрии человеческого лица стал организованный авторами данных проектов эксперимент, в котором учащиеся исследовали собственные черты лица на предмет симметричности линий и каждый из них пришел к выводу, что при детальном рассмотрении обнаружился плотный тандем из совокупности симметрии и асимметрии. Может как раз это и делает каждое лицо неповторимым? В данное время учащимися классов, в которых я преподаю предмет «Математика», в стадии разработки находятся несколько интересных проектов и исследований, в том числе один из них является продолжением обширного цикла проектов «Симметрия вокруг нас». Тема была выбрана самими авторами проекта – учениками 7 класса и рабочий вариант ее звучит  следующим образом: «Виды симметрии на примере ювелирных украшений Дома Романовых». Данный проект задуман как метапредметный, т.е. готовится не только с учетом знаний видов симметрии, но и интереснейших исторических  фактов, рассказывающих об истории того или иного украшения (фото и рисунки см. в Приложении 6). 8.     Факторы формирования мотивации учебной деятельности при проектном обучении. Хотелось бы в качестве вывода к данной главе своей работы определить важнейшие факторы, которые способствуют формированию внутреннего мотива учебной деятельности при проектном обучении:  ·         - связь идеи проекта с реальной жизнью: идея всякого проекта связана с созданием конкретного продукта или решения отдельной значимой для учащихся проблемы, взятой из реальной жизни в процессе практической деятельности; ·         - наличие интереса к выполнению проекта со стороны всех его участников; ·         - ведущая роль консультативно-координирующей функции учителя, что дает обучаемым реальную автономию и возможность проявления своей собственной инициативы и самостоятельности в процессе выполнения проекта, способствует саморазвитию личности. Хочется также отметить, что проектная деятельность служит достижению целей:  ·         - развития творческих способностей учащихся и привития им исследовательской деятельности; ·         - формирования аналитического и критического мышления учащихся в процессе творческого поиска и выполнения научных исследований; ·         -  воспитания у школьников целеустремленности и системности в учебной деятельности; ·         - самоутверждения учащихся через достижение поставленных целей и полученных результатов; ·         - обеспечения реализации их творческих возможностей, росту творческого мышления; ·         - получения дополнительной научной информации. Одним из основных выводов Главы II «Практические аспекты формирования понятия симметрии в средней школе» хотелось бы  определить, что именно изучение темы «Симметрия» дает огромное многообразие тем для проектной и исследовательской деятельности учащихся,  что способствует не только более глубокому и осознанному погружению авторов проектов в разрабатываемую ими тему, но и проявить свои способности в самых различных направлениях. Заключение. Данная работа «Формирование понятия симметрии в курсах математики средней школы» направлена на интеграцию знаний, формирование общекультурной компетентности, создание представлений о математика как науке, возникшей из потребностей человеческой практики и развивающейся из неё, а также и собственных внутренних закономерностей. В ходе разработки своей выпускной работы в качестве слушателя дополнительной профессиональной программы профессиональной переподготовки «Преподавание математики и физики с основами информационно-коммуникационных технологий в общеобразовательных учреждениях» мною были изложены основные аспекты формирования теоретического и практического понятия симметрии

учащимися средней школы, изложен собственный опыт и педагогические наработки по данной теме, а также приведены наиболее интересные, на мой взгляд, темы проектов и исследовательских работ учащихся по данному направлению, а также приведена аргументация и педагогическая обоснованность выбора данных форм работы. Главный вывод моей работы – симметрия окружает нас каждое мгновение, понятие данного термина  позволяет более осознанно и гармонично наблюдать за красотой окружающего мира, а применение навыков создания симметричных рисунков (или других видов работ) позволяет создавать неповторимую красоты и эстетика своими руками. Я попыталась обосновать мнение, что математика – не сухая наука о цифрах и методах решения или построения, а неотъемлимая часть нашей повседневной жизни, а уроки математики могут быть красивыми, многогранными и необычайно интересными, а интерес к предмету со стороны учеников – одна из самых сильнейших мотиваций к его изучению.

«Узоры математики, как и узоры художника или узоры поэта, должны быть красивы; идеи, как и краски или слова, должны сочетаться гармонически. Красота является первым критерием: в мире нет места для безобразной математики»  (Дж. Х. Харди).

Список используемой литературы:

1.     Л.С. Сагателова, В.Н. Студенецкая. Геометрия: Красота и Гармония. Волгоград: учитель, 2007 г.

2.     Л.С. Атанасян и др. Геометрия: учебник для 7-9 кл. общеобразовательных учреждений. М.: Просвещение, 2014 г.

3.     Л. С. Атанасян и др. Геометрия: Учебник для 10-11 классов, средней школы. М:.Просвещение, 2014 г.

4.     В. Гончар «Снежинки». Учебно-методическая газета «Математика», №1, 2012 г., изд. Дом «Первое сентября».

5.     Саранцев, Г. И. Сборник задач на геометрические преобразования. – М.., 1981.

6.     Смирнова, И. М. Уроки стереометрии в гуманитарных классах // Математика в школе, 1994 № 1-6

7.     Смолина Н. И. Традиции симметрии в архитектуре. – М.: Стройиздат, 1990.

8.     Тарасов, Л. В. Этот удивительный симметричный мир. Пособие для учащихся. – М.: Просвещение, 1982

9.     Тюхтин, В. С., Урманцев, Ю.А. Система. Симметрия. Гармония. – М.: 1988.

10. Шарыгин, И. Ф. Наглядная геометрия. – М.: Педагогика, 1992.

11. Вейль, Г. Симметрия. Пер. с англ. – М.: Наука, 1968.

12. Волошинов, А. В. Математика и искусство. – М.: Просвещение, 1992

13. Гарднер, М. Этот правый, левый мир. Пер. с англ. – М.: Мир, 1969.

14. Джаффее, Г., Орчин, М. Симметрия в химии. – М., 1969

15. Левитан, К. Геометрическая рапсодия. – М., 1976.

16. Пидоу, Д. Геометрия и искусство. – М.: 1979

17. Шубников, А. В., Копцик, В. А. Симметрия в науку и искусстве. – М., 1972.

18.  Кондаков А. М., Кузнецов А. А. О Федеральном государственном образовательном стандарте общего образования: доклад российской академии образования // Педагогика. 2008. № 8.

19.   Слободчиков В. И. Инновации в образовании: основания и смысл // Исследовательская работа школьников. 2010. № 2. 

20.   Факторович А. А. Сущность педагогической технологии // Педагогика. 2008. № 2.

21.   Федотова В. А. Проект — эффектный метод обучения // Специалист.  2006. № 1.

22. Рослова Л.О., Шарыгин И.Ф. Симметрия. — М.: Изд-во гимназии «Открытый мир», 1995.

23. Тарасов Л.В. Этот удивительно симмет­ричный мир. — М.: Просвещение, 1982.

24. Узоры симметрии / Под ред. М. Сенешаль и Дж. Флека. — М.: Мир, 1980.

Интернет – источники:

1.     http://ru.wikipedia.org

2.     http://www.goldenmuseum.com

3.     http://competentum.ru/articles/academic/415/

4.     http://www.chemport.ru/simmetriya.shtml

Приложение 1

Церковь Покрова в Филях.

           Богоявленския собор

Кусково. Грот. Барокко.

Приложение 2.

Приложение 3.

 

Приложение 4

  

Приложение 5

Приложение 6

Приложение 7

Краткое описание документа:

Материал содержит методы формирования теоретического понятия симметрии. практические аспекты, примеры использования метода проектов и исследования цикла "Симметрия вокруг нас", а также принципы формирования мотивации учебной деятельности. Приведены примеры исследовательских работ обучающихся, фото материалы разработок.