Выступление по теме: "Применение дифференциальных уравнений в геометрии"

Применение дифференциальных уравнений в геометрии

Дифференциальные уравнения можно применять при решении геометрических задач в рекомендуемой последовательности действий:

1.     Изображение чертёж и ввод обозначений;

2.     Выяснение условий нахождения искомой линии в случайной точке;

3.     Выражение всех величин через производную точки;

4.     Составление дифференциального уравнения по условиям данной задачи;

5.     Поиск решения уравнения.

Пример 1. Найти уравнение кривых, у которых сумма длин нормали и поднормали постоянна равна .

Решение. Следуя из данного рисунка 1, найдём длины нормали (МВ) и поднормали (СВ).

Рисунок 1. Изображение к примеру 1

По рисунку 1 видно, что треугольник СМВ является прямоугольным, , , и значит, что , откуда . Полагая, что , а , обозначим длину нормали в виде:

.

Отрезок  является гипотенузой прямоугольного треугольника, значит, используя теорему Пифагора:

.

По условию, сумма длин нормали и поднормали равна :

,

решим полученное уравнение относительно y’:

,

далее разделяем переменные:

.

Проинтегрировав получим:

.

Далее приведём уравнение искомых кривых к виду:

.