ЗАДАЧА ПЕРЕНОСА ВЕЩЕСТВА В ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ СРЕДЕ С ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ МАКРОПОРОЙ

ЗАДАЧА ПЕРЕНОСА ВЕЩЕСТВА В  ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ СРЕДЕ  С ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ  МАКРОПОРОЙ

            Изучение вопросов переноса вещества в неоднородных пористых средах имеет важное практическое значение в различных областях техники, в частности, при подземной утилизации различных загрязняющих веществ, охране окружающей среды, добыче нефти и газа и в др.  Закачиваемое вместе с водой загрязняющее вещество продвигаясь по высокопроницаемым каналам, пропласткам, по поровому пространству резервуара может распространяться на значительные расстояния по пласту. Важное значение при этом имеет оценка эффективности резервуара, как хранилища загрязняющих веществ.

         В [1] представлено аналитическое решение задачи движения химического вещества через сорбирующую пористую среду с побочной или внутриагрегатной диффузией. Насыщенная жидкостью часть пористой среды разделяется на две зоны: с подвижной и неподвижной жидкостью. В [2] дано несколько точных аналитических решений уравнений, описывающих конвективно-диффузионный перенос вещества через большие цилиндрические макропоры. Под макропорой понимается пористая среда с относительно высокой пористостью и проницаемостью.

         В данной работе сначала решается задача переноса вещества в цилиндрической пористой среде с центральной цилиндрической макропорой в диффузионной постановке. Затем та же задача анализируется на основе кинетического уравнения массопереноса из макропоры в цилиндрическую окружающую среду. Определяются такие значения коэффициента кинетики массопереноса, для которых оба подхода дают близкие результаты.

         Как и в [2] рассматривается цилиндрическая пористая  среда с цилиндрической  макропорой в центре (Рис.1). Макропора имеет радиус  и окружена цилиндрической средой с внешним радиусом . Последняя имеет низкую пористость и проницаемость, следовательно движение жидкости в ней пренебрежимо мало.

Рис.1 Цилиндрическая среда с цилиндрической макропорой

         Перенос вещества в макрапоре считается одномерным, что позволяет ввести понятие осредненной по поперечному сечению внутренного цилиндра концентрации - .

         В макропоре перенос вещества описывается уравнением

          ,                                                   (1)

где   -  средняя концентрация вещества в окружающей цилиндрической среде

   ,                                                                          (2)

 - коэффициент гидродинамической дисперсии,  - средняя скорость вещества в макропоре,  - локальная концентрация вещества в окружающей цилиндрической среде,   - время,  - расстояние, ,  - пористости макропоры и окружающей среды.  

         Средняя концентрация  представляет собой осреднение локальной концентрации в окружающей цилиндрической среде. Распространение вещества в этой части среды описано уравнением обычной диффузии   

   ,   ,                                                                (3)

где  является коэффициентом эффективной диффузии. Уравнение (3) дополняется условием непрерывности концентрации на общей границе микро- и макропористой сред   

  .                                                                                       (4)  

         В цилиндрической окружающей среде продольное распространение вещества не учитывается и внешняя граница () является непроницаемой для вещества

  .                                                                                              (5)

         В точке  по всей площади поперечного сечения  начиная с  в среду поступает неоднородная жидкость с постоянной концентрацией вещества  и со средней постоянной скоростью . Начальные и граничные условия принимаются в виде:

  ,                                                                                              (6)                                                                                 

  ,                                                                                              (7)    

  ,                                                                                                 (8)

  , ,                                                                             (9)                 

  .                                                                                              (10)

         Уравнение (3) с условиями (4), (5), (8) решается численно методом конечных разностей [3] в сочетании с методом прогонки. После определения концентрации   определяем   из (2) путем численного интегрирования. Затем уравнение (1) решается с (6), (7), (9), (10).

         По предложенной методике проведена серия вычислительных экспериментов при следующих значениях исходных параметров:                     м²/с,  м/с,   м²/с,  ,  ,   м,   м.

         На основе результатов численных расчетов определены поля местной концентрации  в зоне с неподвижной жидкостью (Рис.2), а также концентрации   и  (Рис.3). С возрастанием времени , концентрация вещества линейно распространяется по цилиндрической макропоре и в цилиндрической окружающей среде происходит радиальный перенос, соответствующий изменению .

         Используя данную методику, можно вычислить временные и пространственные распределения концентрации в макропоре и окружающей среде.

 

Рис.2. Поле локальной концентрации  в различные моменты времени:

а) t=1800c, б) t=2700c.

Рис.3. Профили концентрации  и  в различные моменты времени.

            Теперь проанализируем задачу на основе кинетического уравнения массопереноса из макропоры в цилиндрическую окружающую среду

,   const ,                                                              (11)

т.е. в место (2), (3) используется кинетическое уравнение массопереноса.      

         На основе полученных численных результатов определены такие значения коэффициента массопереноса , для которых оба подхода дают близкие результаты.

         На рис.4 представленных результаты, полученные применением двух подходов.

Рис.4. Профили концентраций  и  в различные моменты времени.

                  кинетической подход,                   диффузионной подход

1 (t=900 c), 2 (t=1800 c), 3 (t=2700 c).

                Из рис.4. можно заметить, что оба подхода дают очень близкие результаты при 2,373∙10^-7 c^-1. При малых значениях времени (900 с) в цилиндрической окружающей среде  оба подхода  дают близкие результаты,  но с возрастанием времени отличие возрастает. Распространение концентрации в неподвижной зоне при кинетическом подходе для малых  отстает от соответствующих данных по диффузионному подходу.

Литература

1.     Van Genuchten M.Th. and Wierenga P.J., Mass Transfer Studies in Sorbing Porous Media  I. Analytical Solution// Soil Science Society of America Journal, 1976, Vol 40, №4, 473-480.

2.     Van Genuchten M.Th., Tang D.H. and Guennelon R., Some Exact Solutions for Solute Transport Through Soils Containing Large Cylindrical Macropores // Water Recourses  Research. 1984. Vol. 20, № 3. Pp. 335-346.

3.     Калиткин Н.Н Численные методы. М.: Наука, 1978. 512с.

Б. Х. Хўжаёров, Ж. М. Махмудов, Ф. У. Сулаймонов

ЦИЛИНДРИК МАКРОҒОВАКЛИ ЦИЛИНДРИК МУҲИТДА МОДДА КЎЧИШИ МАСАЛАСИ

Ишда марказида цилиндрик макроғовак бўлган цилиндрик ғовак муҳитда модда кўчиши масаласи макроғовакдан унинг атрофидаги муҳитга модда кўчиши жараёни диффузион ва кинетик ёндашувлар асосида сонли ечилган. Икки ёндашувнинг яқин натижа беришига мос келувчи модда кўчиши кинетикасининг жадаллигини аниқловчи коэффициент қиймати топилган.

B. Kh. Khuzhayorov, J. M. Makhmudov, F. U. Sulaymonov

SOLUTE TRANSPORT IN CYLINDRICAL MEDIUM WITH CYLINDRICAL MACROPORE

         In the paper a solute transport problem in a cylindrical medium with cylindrical macropore is numerically investigated with application two approaches: kinetic and diffusional. A value of kinetic rate coefficient that supplies best fitting of two approaches is determined.