Задачи по теории вероятности

• 1 слайд

  Решение задач
  по теории вероятностей.
  Учитель математики
  МБОУ Нивнянская СОШ,
  Нечаева Тамара Ивановна
  

• 2 слайд

  Цели урока: рассмотреть разные виды задач по теории вероятностей и методы их решения.
  Задачи урока: обучить распознавать различные разновидности задач по теории вероятностей и совершенствовать логическое мышление школьников.
  

• 3 слайд

  Задача 1.В случайном эксперименте симметричную монету бросают 2 раза. Найдите вероятность того, что орлов и решек выпадет одинаковое количество.
  Решение:
  Итак, монету бросают два раза. Выпишем все возможные комбинации (O — орел, P — решка):
  OO
  OP
  PO
  PP
  Итого n = 4 варианта. Теперь выпишем те варианты, которые подходят по условию задачи:
  OP
  PO
  Таких вариантов оказалось k = 2. Находим вероятность:
  р= 𝑘 𝑛 = 2 4 = 1 2 =0,5
  Ответ: 0,5
  
  

• 4 слайд

  Задача 2.Монету бросают четыре раза. Найдите вероятность того, что решка не выпадет ни разу.
  Решение:
  Снова выписываем все возможные комбинации орлов и решек:
  OOOOOOOPOOPO OOPP
  OPOOOPOPOPPOOPPP
  POOOPOOP POPO POPP
  PPOO PPOPPPPO PPPP
  
  Всего получилось n = 16 вариантов. Из этих вариантов нас устраивает лишь комбинация «OOOO», в которой вообще нет решек. Следовательно, k = 1. Осталось найти вероятность:
  р= 𝑘 𝑛 = 1 16 =0,0625
  
  Ответ: 0,0625
  
  

• 5 слайд

  Задача 3.В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз.
  
  Решение:
  Для того чтобы найти вероятность указанного события, необходимо рассмотреть все возможные исходы эксперимента, а затем из них выбрать благоприятные исходы (благоприятные исходы – это исходы удовлетворяющие требованиям задачи).
  В нашем случае, благоприятными будут те исходы, в которых при двух бросаниях симметричной монеты, орел выпадет только один раз.
  Вероятность события вычисляется как отношение количества благоприятных исходов к общему количеству исходов. Следовательно, вероятность того, что при двух кратном бросании симметричной монеты орел выпадет только один раз, равна:
  Р=2/4=0,5=50%
  Ответ: вероятность того, что в результате проведения вышеописанного эксперимента орел выпадет только один раз равна 50%.
  

• 6 слайд

  Задача 4. Игральный кубик бросили один раз. Какова
  вероятность того, что выпало число очков, большее чем 4.
  Решение:
  Случайный эксперимент – бросание кубика.
  Элементарное событие – число на выпавшей грани.
  Ответ:1/3
  Всего граней:
  1, 2, 3, 4, 5, 6
  Элементарные события:
  N=6
  N(A)=2
  

• 7 слайд

  Задача 5. Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что биатлонист первые три раза попал в мишени, а последние два раза промахнулся. Результат округлите до сотых.
  Решение:
  Вероятность попадания = 0,8
  Вероятность промаха = 1 - 0,8 = 0,2
  А={попал, попал, попал, промахнулся, промахнулся}
  По формуле умножения вероятностей
  Р(А)= 0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,2 ∙ 0,2
  Р(А)= 0,512 ∙ 0,04 = 0,02048 ≈ 0,02
  Ответ: 0,02
  

• 8 слайд

  
  Задача 6.В случайном эксперименте бросают две
  игральные кости. Найдите вероятность того, что сумма выпавших очков равна 6. Ответ округлите до сотых
  Решение:
  Элементарный исход в этом опыте –
  упорядоченная пара чисел. Первое число
  выпадет на первом кубике, второе – на втором.
  Множество элементарных исходов удобно
  представить таблицей. Строки соответствуют
  количеству очков на первом кубике,
  столбцы –на втором кубике.
  Всего элементарных событий п = 36.
  Напишем в каждой клетке сумму выпавших
  очков и закрасим клетки, где сумма равна 6. Таких ячеек 5.
  Значит, событию А = {сумма выпавших очков равна 6} благоприятствует 5 элементарных исходов. Следовательно, т = 5. Поэтому, Р(А) = 5/36 = 0,14.Ответ: 0,14.
  
  
  2 3 4 5 6 7
  3 4 5 6 7 8
  4 5 6 7 8 9
  5 6 7 8 9 10
  6 7 8 9 10 11
  7 8 9 10 11 12
  

• 9 слайд

  Формула вероятности
  Теорема
  Пусть монету бросают n раз. Тогда вероятность того, что орел выпадет ровно k раз, можно найти по формуле:
  
  Где Cnk — число сочетаний из n элементов по k, которое считается по формуле:
  
  

• 10 слайд

  Задача 7. Монету бросают четыре раза. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно три раза.
  
  Решение
  По условию задачи, всего бросков было n =4. Требуемое число орлов: k =3. Подставляем n и k в формулу:
  
  
  
  
  С тем же успехом можно считать число решек: k = 4 − 3 = 1. Ответ будет таким же.
  
  Ответ: 0,25
  
  

• 11 слайд

  Задача 8. Монету бросают три раза. Найдите вероятность того, что решка не выпадет ни разу.
  
  Решение
  Снова выписываем числа n и k. Поскольку монету бросают 3 раза, n = 3. А поскольку решек быть не должно, k = 0. Осталось подставить числа n и k в формулу:
  
  
  
  Напомню, что 0! = 1 по определению. Поэтому C30 = 1.
  Ответ: 0,125
  
  

• 12 слайд

  Задача 9.В случайном эксперименте симметричную монету бросают 4 раза. Найдите вероятность того, что орел выпадет больше раз, чем решка.
  
  Решение:
  Чтобы орлов было больше, чем решек, они должны выпасть либо 3 раза (тогда решек будет 1), либо 4 (тогда решек вообще не будет). Найдем вероятность каждого из этих событий.
  Пусть p1 — вероятность того, что орел выпадет 3 раза. Тогда n = 4, k = 3. Имеем:
  
  
  
  
  Теперь найдем p2 — вероятность того, что орел выпадет все 4 раза. В этом случае n = 4, k = 4. Имеем:
  
  
  
  
  Чтобы получить ответ, осталось сложить вероятности p1 и p2. Помните: складывать вероятности можно только для взаимоисключающих событий. Имеем:
  p = p1 + p2 = 0,25 + 0,0625 = 0,3125
  Ответ: 0,3125
  
  

• 13 слайд

  Задача 10.Перед на­ча­лом во­лей­боль­но­го матча ка­пи­та­ны ко­манд тянут чест­ный жре­бий, чтобы опре­де­лить, какая из ко­манд начнёт игру с мячом. Ко­ман­да «Ста­тор» по оче­ре­ди иг­ра­ет с ко­ман­да­ми «Ротор», «Мотор» и «Стар­тер». Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что «Ста­тор» будет на­чи­нать толь­ко первую и по­след­нюю игры.
  
  Ре­ше­ние.
  Тре­бу­ет­ся найти ве­ро­ят­ность про­из­ве­де­ния трех со­бы­тий: «Ста­тор» на­чи­на­ет первую игру, не на­чи­на­ет вто­рую игру, на­чи­на­ет тре­тью игру. Ве­ро­ят­ность про­из­ве­де­ния не­за­ви­си­мых со­бы­тий равна про­из­ве­де­нию ве­ро­ят­но­стей этих со­бы­тий.
  Ве­ро­ят­ность каж­до­го из них равна 0,5, от­ку­да на­хо­дим: 0,5·0,5·0,5 = 0,125.
  
  Ответ: 0,125.
  
  

• 14 слайд

  Задача 11
  
  
  Всем пациентам с подозрением на гепатит делают анализ крови. Если анализ выявляет гепатит, результат анализа называется положительным. У больных гепатитом пациентов анализ дает положительный результат с вероятностью 0,9., Если пациент не болен гепатитом, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью 0,01.Известнотельно что 5% пациентов, поступающих с подозрением на гепатит, действительно больны гепатитом .Найдите вероятность, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным
  Решение. 1) 0,9 . 0,05 = 0,045
  2) 1 – 0,05 = 0,95
  3) 0,01 . 0,95 = 0,0095 ; 4)0,045 + 0,0095 = 0,0545
  
  
  
  

• 15 слайд

  Задача 12 Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9,если стреляет из пристреленного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,2. На столе лежит 10 револьверов,из них только 4 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнется
  Решение. Рассмотрим пристрелянный револьвер 1) 1 – 0,9 = 0,1 2) 4 : 10 = 0,4
  Непристрелянный револьвер
  3)1 – 0,2 = 0,8 ; 4)6 : 10 = 0,6
  Вероятность находим сложением 5)0,4.0,1 + 0,8 . 0,6 = 0,52
  

• 16 слайд

  
  
  Задача13 В группе туристов 5человек.С помощью жребия они выбирают двух человек, которые должны идти в село за продуктами. Турист А хотел бы сходить в магазин, но он подчиняется жребию.Какова вероятность того,что А пойдет в магазин
  
  Решение. с₅² = 5! 2! 5−2 ! =10
  
  С₄¹ = 4! 1! 4−1 ! = 4
  
  Р = 4:10 = 0,4
  

• 17 слайд

  СПАСИБО
  ЗА
  ВНИМАНИЕ