Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Занятие в математической смене пришкольного лагеря № 5 "Комбинаторика. Подсчёт вариантов. Формула включений-исключений".
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Занятие в математической смене пришкольного лагеря № 5 "Комбинаторика. Подсчёт вариантов. Формула включений-исключений".

библиотека
материалов

Занятие 5.

Остатки и делимость.

1. Докажите, что если а + 1 делится на 13 и 11 – в делится на 13, то 2а – в делится на 13.

2. Докажите, что если а + 10 делится на 13, то и 3а – 9 делится на 13.

3. Может ли число, записанное 2010 единицами и несколькими нулями быть полным квадратом?

4. Может ли число, оканчивающееся цифрами 30, быть полным квадратом?

5. Докажите, что число 543212345432121 не является квадратом натурального числа.


Комбинаторика. Подсчёт вариантов.

6. Сколькими способами можно зажечь свет в комнате, в которой 3 лампочки, у каждой – отдельный выключатель?

7. Комбинация из трёх букв на автомобильном номере состоит только из тех русских букв, у которых есть похожие латинские, а именно А, В, Е, К, М, Н, О, Р, С, Т, У, Х. Сколько всего таких комбинаций?

8. Сколькими способами можно поставить на шахматную доску белую и чёрную ладьи так, чтобы они не били друг друга.

9. Сколько всего существует трёхзначных чисел? А пятизначных?

10. а) У скольких двузначных чисел все цифры чётные? б) А у скольких трёхзначных?

11. Сколько диагоналей в выпуклом 10-угольнике?

12. а) У скольких двузначных чисел все цифры разные? б)А у скольких трёхзначных? в) А у скольких 11-тизначных?

13. На окружности отмечены 5 красных и 7 синих точек. Рассмотрим все возможные отрезки (хорды) с концами в отмеченных точках. У скольких отрезков концы а) разного цвета, б) одинакового цвета?


Формула включений-исключений.

Определение. Множество называется конечным, если оно состоит из конечного числа элементов.

Пересечением двух множеств А и В будем называть множество А ∩В, состоящее из элементов, которые принадлежат одновременно этим двум множествам. Аналогично определяют пересечение большего числа множеств.

Объединением множеств А и В будем называть множество А U В, состоящее из элементов, которые принадлежат хотя бы одному из этих множеств.

Для конечного множества А количество его элементов будем обозначать │A│.

Формула включений-исключений. Если есть два конечных множества А и В, то число элементов в их объединении равно │ А U В│=│A│+│В│-│ А ∩В │.


14. Сколько существует целых положительных чисел, не больших 100, которые:

а) делятся одновременно на 2 и на3,

б) делятся на 2, но не делятся на 3,

в) делятся на 3 , но не делятся на 2,

г) делятся на 3 или на 2,

д) не делятся ни на 2 ни на 3?

15. Сколько целых положительных чисел, меньших 100, которые не делятся ни на 2, ни на 3, ни на 5?


Задачи для проверки.

16. Докажите, что если а -4 делится на 5, то и 6а +1 делится на 5.

17. Докажите, что число, составленное из семи двоек и семи единиц, расположенных в любом порядке, не является квадратом натурального числа.

18. Сколько существует чётных четырёхзначных чисел? А нечётных?

19. Сколько трёхзначных чисел, которые делятся и на 2 и на 5?

20. Сколько диагоналей в выпуклом 101угольнике?


Домашнее задание.

21. Может ли число, оканчивающееся цифрами 45, быть полным квадратом?

22. Докажите, что если (3а +1) и (в – 5) делятся на 7, то (а + в) делится на 7.

23. Сколько трёхзначных чисел, которые не делятся ни на 2, ни на 5?

24. Сколько семизначных чисел с чередующейся чётностью цифр?

25. Имеется 8 тетрадей и 5 книг. Сколькими способами можно выбрать набор из двух тетрадей и книги?









Решения и ответы к занятию 5.

1. а + 1 ≡ 0 (mod 13), значит а ≡ 12 (mod 13); 11 – в ≡ 0 (mod 13), значит в ≡ 11 (mod 13), тогда

2а – в ≡ 2∙12 – 11 = 13 ≡0 (mod 13).

2. аналогично № 1

3. НЕТ. Квадрат любого числа содержит простые делители только в чётных степенях (то есть простой делитель содержится чётное количество раз). Сумма цифр этого числа равна 2010, значит число делится на 3, так как 2+0+1+0=3. Но это число не делится на 9, значит не может быть квадратом.

4. НЕТ. Это число оканчивается на 30 и делится на 2, но не делится на 4.

5. НЕТ. Данное число делится на 3 и не делится на 9, так как сумма его цифр равна 42


Комбинаторика. Подсчёт вариантов.

6. Для каждой лампочки два варианта: включена или нет. Для каждого варианта первой лампочки есть два варианта второй, для каждого варианта первых двух лампочек есть два варианта для третьей. Тогда всего вариантов 2∙ 2∙2 =8. Из них нужно исключить один вариант, при котором все три лампочки выключены. 8-1=7 вариантов включить свет.

7. Для первой буквы 12 вариантов, каждому из них соответствует 12 вариантов второй буквы и т.д. Всего 12∙12∙12= 1728 вариантов.

8. Сначала поставим белую ладью, для неё 64 способа. Тогда вторую нельзя ставить на те клетки, которые бьёт первая, в том числе на ту, на которой стоит первая, то есть 15 клеток. Для каждого из 64 вариантов есть 64-15=49 вариантов поставить вторую ладью, значит всего 64∙49=3136 способов.

9. Первая цифра – 9 вариантов (все цифры, кроме 0), для второй – 10, третьей – 10. Значит всего трёхзначных чисел 9х10х10=900, пятизначных 9х10х10х10х10=90000.

10. Для первой чётной цифры 4 варианта: 2,4,6,8, а для остальных 5 вариантов:0,2,3,4,6,8. Тогда а) 4х5=20, б)4х5х5=100.

11. Из каждой вершины 10-тиугольника выход 10-3=7 диагоналей, и каждая диагональ соединяет две вершины, значит всего 10х7: 2=35 диагоналей.

12. Для первой цифры 9 вариантов (все кроме 0). Для второй – 9 (все кроме первой), для третьей -8 (все кроме первой и второй), и так далее. А)9х9=81, б) 9х9х8=648, в) 0 (всего 10 различных цифр, значит, у 11-тизначного числа все цифры не могут быть различными.

13. а)5х7=35, б)5х4:2 + 7х6: 2 =10+21 =31.


Формула включений-исключений.

14 а) Число делится на 2 и на 3, тогда и только тогда, когда оно делится на 6. На 6 делятся числа 6, 12, …, 96. Значит, их количество равно (96-6): 6 + 1 = 16. б) Всего существует (100-2):2 + 1=50 чисел не больших 100 и делящихся на 2. Из них вычитаем числа, которые делятся и на 2 и на 3 50-16 = 34, в) На 3 делятся числа 3, 6, 9, 12, ….99. Всего (99-3):3 +1 =33. Вычтем из этого количества числа, которые делятся и на 2 и на3: 33-16 = 17. г) Обозначим А – множество чисел, делящихся на 2, через В – множество чисел, делящихся на 3, тогда А ∩В – множество чисел, делящихся на 2 и на 3. │ А U В│=│A│+│В│-│ А ∩В│= 50 + 33 -16 = 67. д) Из 100 рассматриваемых чисел, вычтем те, которые делятся на 2 или на 3. Всего 100 – 67 =33 числа.

15 Пусть А – множество чисел, делящихся на 2, В – множество чисел, делящихся на 3, С – множество чисел, делящихся на 5. Для трёх множеств формула включений-исключений примет вид:

А U В U С│=│A│+│В│+ │С│ -│ А ∩В│-│ А ∩С│- │С ∩В│+ │ А ∩ В ∩ С│

В задаче № 14 некоторые из данных слагаемых найдены, найдём │С│=(100-5):5+1=20,│ А ∩С│=(100-10):10+1=10 найдём │С ∩В│= (90-15):15+1=6, │ А ∩ В ∩ С│ = (90-30):30 +1 = 3. │А U В U С│=50+33+20-16-10-6+3=74. Чисел, которые делятся хотя бы на 2, на 3 или 5 всего 74, значит, чисел, не делящихся ни на одно из них

100 -74=26.


Задачи для проверки.

16. а - 4 ≡ 0 (mod 5), значит а ≡ 4 (mod 5); тогда 6а + 1 ≡ 6∙4 +1 = 25 ≡0 (mod 5).

17. Сумма цифр такого числа равна 21 и делится на 3, но не на 9.

18. У чётного числа 5 вариантов для последней цифры. Всего: 9х10х10х5=4500 чисел, аналогично с нечётным

19. Число делится и на 2 и на 5, когда оно делится на 10, всего таких трёхзначных чисел (990-100):10+1=90.

20. (101 – 3):2 = 49.






Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 12.06.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров235
Номер материала ДБ-119239
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх