Занятие 5.
Остатки и
делимость.
№ 1. Докажите, что
если а + 1 делится на 13 и 11 – в делится на 13, то 2а – в делится на 13.
№ 2. Докажите, что
если а + 10 делится на 13, то и 3а – 9 делится на 13.
№ 3. Может ли число,
записанное 2010 единицами и несколькими нулями быть полным квадратом?
№ 4. Может ли число,
оканчивающееся цифрами 30, быть полным квадратом?
№ 5. Докажите, что
число 543212345432121 не является квадратом натурального числа.
Комбинаторика. Подсчёт вариантов.
№ 6. Сколькими
способами можно зажечь свет в комнате, в которой 3 лампочки, у каждой –
отдельный выключатель?
№ 7. Комбинация из
трёх букв на автомобильном номере состоит только из тех русских букв, у которых
есть похожие латинские, а именно А, В, Е, К, М, Н, О, Р, С, Т, У, Х. Сколько
всего таких комбинаций?
№ 8. Сколькими
способами можно поставить на шахматную доску белую и чёрную ладьи так, чтобы
они не били друг друга.
№ 9. Сколько всего
существует трёхзначных чисел? А пятизначных?
№ 10. а) У скольких
двузначных чисел все цифры чётные? б) А у скольких трёхзначных?
№ 11. Сколько
диагоналей в выпуклом 10-угольнике?
№12. а) У скольких
двузначных чисел все цифры разные? б)А у скольких трёхзначных? в) А у скольких
11-тизначных?
№ 13. На окружности
отмечены 5 красных и 7 синих точек. Рассмотрим все возможные отрезки (хорды) с
концами в отмеченных точках. У скольких отрезков концы а) разного цвета, б)
одинакового цвета?
Формула включений-исключений.
Определение. Множество называется конечным, если оно
состоит из конечного числа элементов.
Пересечением двух множеств А и В будем называть множество А
∩В, состоящее из элементов, которые принадлежат одновременно этим двум
множествам. Аналогично определяют пересечение большего числа множеств.
Объединением множеств А и В будем называть множество А U В, состоящее
из элементов, которые принадлежат хотя бы одному из этих множеств.
Для конечного
множества А количество его элементов будем обозначать │A│.
Формула
включений-исключений. Если
есть два конечных множества А и В, то число элементов в их объединении равно │
А U В│=│A│+│В│-│ А ∩В │.
№ 14. Сколько
существует целых положительных чисел, не больших 100, которые:
а) делятся
одновременно на 2 и на3,
б) делятся на 2, но
не делятся на 3,
в) делятся на 3 , но
не делятся на 2,
г) делятся на 3 или
на 2,
д) не делятся ни на 2
ни на 3?
№ 15. Сколько целых
положительных чисел, меньших 100, которые не делятся ни на 2, ни на 3, ни на 5?
Задачи для
проверки.
№ 16. Докажите, что
если а -4 делится на 5, то и 6а +1 делится на 5.
№ 17. Докажите, что
число, составленное из семи двоек и семи единиц, расположенных в любом порядке,
не является квадратом натурального числа.
№ 18. Сколько
существует чётных четырёхзначных чисел? А нечётных?
№ 19. Сколько
трёхзначных чисел, которые делятся и на 2 и на 5?
№ 20. Сколько диагоналей
в выпуклом 101угольнике?
Домашнее
задание.
№ 21. Может ли число,
оканчивающееся цифрами 45, быть полным квадратом?
№ 22. Докажите, что
если (3а +1) и (в – 5) делятся на 7, то (а + в) делится на 7.
№ 23. Сколько
трёхзначных чисел, которые не делятся ни на 2, ни на 5?
№ 24. Сколько
семизначных чисел с чередующейся чётностью цифр?
№ 25. Имеется 8
тетрадей и 5 книг. Сколькими способами можно выбрать набор из двух тетрадей и
книги?
Решения и ответы к занятию 5.
№ 1. а + 1 ≡ 0 (mod
13), значит а ≡ 12 (mod 13); 11 – в ≡ 0 (mod 13), значит в ≡ 11 (mod 13), тогда
2а – в ≡ 2∙12 – 11 =
13 ≡0 (mod 13).
№ 2. аналогично № 1
№ 3. НЕТ. Квадрат
любого числа содержит простые делители только в чётных степенях (то есть
простой делитель содержится чётное количество раз). Сумма цифр этого числа
равна 2010, значит число делится на 3, так как 2+0+1+0=3. Но это число не
делится на 9, значит не может быть квадратом.
№ 4. НЕТ. Это число
оканчивается на 30 и делится на 2, но не делится на 4.
№ 5. НЕТ. Данное
число делится на 3 и не делится на 9, так как сумма его цифр равна 42
Комбинаторика. Подсчёт вариантов.
№ 6. Для каждой
лампочки два варианта: включена или нет. Для каждого варианта первой лампочки
есть два варианта второй, для каждого варианта первых двух лампочек есть два
варианта для третьей. Тогда всего вариантов 2∙ 2∙2 =8. Из них нужно исключить
один вариант, при котором все три лампочки выключены. 8-1=7 вариантов включить
свет.
№ 7. Для первой буквы
12 вариантов, каждому из них соответствует 12 вариантов второй буквы и т.д.
Всего 12∙12∙12= 1728 вариантов.
№ 8. Сначала поставим
белую ладью, для неё 64 способа. Тогда вторую нельзя ставить на те клетки,
которые бьёт первая, в том числе на ту, на которой стоит первая, то есть 15
клеток. Для каждого из 64 вариантов есть 64-15=49 вариантов поставить вторую
ладью, значит всего 64∙49=3136 способов.
№ 9. Первая цифра – 9
вариантов (все цифры, кроме 0), для второй – 10, третьей – 10. Значит всего
трёхзначных чисел 9х10х10=900, пятизначных 9х10х10х10х10=90000.
№ 10. Для первой
чётной цифры 4 варианта: 2,4,6,8, а для остальных 5 вариантов:0,2,3,4,6,8.
Тогда а) 4х5=20, б)4х5х5=100.
№ 11. Из каждой
вершины 10-тиугольника выход 10-3=7 диагоналей, и каждая диагональ соединяет
две вершины, значит всего 10х7: 2=35 диагоналей.
№ 12. Для первой
цифры 9 вариантов (все кроме 0). Для второй – 9 (все кроме первой), для третьей
-8 (все кроме первой и второй), и так далее. А)9х9=81, б) 9х9х8=648, в) 0
(всего 10 различных цифр, значит, у 11-тизначного числа все цифры не могут быть
различными.
№ 13. а)5х7=35,
б)5х4:2 + 7х6: 2 =10+21 =31.
Формула включений-исключений.
№ 14 а) Число делится
на 2 и на 3, тогда и только тогда, когда оно делится на 6. На 6 делятся числа
6, 12, …, 96. Значит, их количество равно (96-6): 6 + 1 = 16. б) Всего существует
(100-2):2 + 1=50 чисел не больших 100 и делящихся на 2. Из них вычитаем числа,
которые делятся и на 2 и на 3 50-16 = 34, в) На 3 делятся числа 3, 6, 9, 12,
….99. Всего (99-3):3 +1 =33. Вычтем из этого количества числа, которые делятся
и на 2 и на3: 33-16 = 17. г) Обозначим А – множество чисел, делящихся на 2,
через В – множество чисел, делящихся на 3, тогда А ∩В – множество чисел,
делящихся на 2 и на 3. │ А U В│=│A│+│В│-│ А ∩В│= 50 + 33 -16 = 67. д) Из 100
рассматриваемых чисел, вычтем те, которые делятся на 2 или на 3. Всего 100 –
67 =33 числа.
№ 15 Пусть А –
множество чисел, делящихся на 2, В – множество чисел, делящихся на 3, С –
множество чисел, делящихся на 5. Для трёх множеств формула включений-исключений
примет вид:
│ А U В U С│=│A│+│В│+
│С│ -│ А ∩В│-│ А ∩С│- │С ∩В│+ │ А ∩ В ∩ С│
В задаче № 14
некоторые из данных слагаемых найдены, найдём │С│=(100-5):5+1=20,│ А ∩С│=(100-10):10+1=10
найдём │С ∩В│= (90-15):15+1=6, │ А ∩ В ∩ С│ = (90-30):30 +1 = 3. │А U В U
С│=50+33+20-16-10-6+3=74. Чисел, которые делятся хотя бы на 2, на 3 или 5 всего
74, значит, чисел, не делящихся ни на одно из них
100 -74=26.
Задачи для
проверки.
№16. а - 4 ≡ 0 (mod
5), значит а ≡ 4 (mod 5); тогда 6а + 1 ≡ 6∙4 +1 = 25 ≡0 (mod 5).
№ 17. Сумма цифр
такого числа равна 21 и делится на 3, но не на 9.
№ 18. У чётного числа
5 вариантов для последней цифры. Всего: 9х10х10х5=4500 чисел, аналогично с
нечётным
№ 19. Число делится и
на 2 и на 5, когда оно делится на 10, всего таких трёхзначных чисел
(990-100):10+1=90.
№ 20. (101 – 3):2 =
49.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.