Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Занятие в математической смене пришкольного лагеря № 5 "Комбинаторика. Подсчёт вариантов. Формула включений-исключений".

Занятие в математической смене пришкольного лагеря № 5 "Комбинаторика. Подсчёт вариантов. Формула включений-исключений".

Идёт приём заявок на самые массовые международные олимпиады проекта "Инфоурок"

Для учителей мы подготовили самые привлекательные условия в русскоязычном интернете:

1. Бесплатные наградные документы с указанием данных образовательной Лицензии и Свидeтельства СМИ;
2. Призовой фонд 1.500.000 рублей для самых активных учителей;
3. До 100 рублей за одного ученика остаётся у учителя (при орг.взносе 150 рублей);
4. Бесплатные путёвки в Турцию (на двоих, всё включено) - розыгрыш среди активных учителей;
5. Бесплатная подписка на месяц на видеоуроки от "Инфоурок" - активным учителям;
6. Благодарность учителю будет выслана на адрес руководителя школы.

Подайте заявку на олимпиаду сейчас - https://infourok.ru/konkurs

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Занятие 5.

Остатки и делимость.

1. Докажите, что если а + 1 делится на 13 и 11 – в делится на 13, то 2а – в делится на 13.

2. Докажите, что если а + 10 делится на 13, то и 3а – 9 делится на 13.

3. Может ли число, записанное 2010 единицами и несколькими нулями быть полным квадратом?

4. Может ли число, оканчивающееся цифрами 30, быть полным квадратом?

5. Докажите, что число 543212345432121 не является квадратом натурального числа.


Комбинаторика. Подсчёт вариантов.

6. Сколькими способами можно зажечь свет в комнате, в которой 3 лампочки, у каждой – отдельный выключатель?

7. Комбинация из трёх букв на автомобильном номере состоит только из тех русских букв, у которых есть похожие латинские, а именно А, В, Е, К, М, Н, О, Р, С, Т, У, Х. Сколько всего таких комбинаций?

8. Сколькими способами можно поставить на шахматную доску белую и чёрную ладьи так, чтобы они не били друг друга.

9. Сколько всего существует трёхзначных чисел? А пятизначных?

10. а) У скольких двузначных чисел все цифры чётные? б) А у скольких трёхзначных?

11. Сколько диагоналей в выпуклом 10-угольнике?

12. а) У скольких двузначных чисел все цифры разные? б)А у скольких трёхзначных? в) А у скольких 11-тизначных?

13. На окружности отмечены 5 красных и 7 синих точек. Рассмотрим все возможные отрезки (хорды) с концами в отмеченных точках. У скольких отрезков концы а) разного цвета, б) одинакового цвета?


Формула включений-исключений.

Определение. Множество называется конечным, если оно состоит из конечного числа элементов.

Пересечением двух множеств А и В будем называть множество А ∩В, состоящее из элементов, которые принадлежат одновременно этим двум множествам. Аналогично определяют пересечение большего числа множеств.

Объединением множеств А и В будем называть множество А U В, состоящее из элементов, которые принадлежат хотя бы одному из этих множеств.

Для конечного множества А количество его элементов будем обозначать │A│.

Формула включений-исключений. Если есть два конечных множества А и В, то число элементов в их объединении равно │ А U В│=│A│+│В│-│ А ∩В │.


14. Сколько существует целых положительных чисел, не больших 100, которые:

а) делятся одновременно на 2 и на3,

б) делятся на 2, но не делятся на 3,

в) делятся на 3 , но не делятся на 2,

г) делятся на 3 или на 2,

д) не делятся ни на 2 ни на 3?

15. Сколько целых положительных чисел, меньших 100, которые не делятся ни на 2, ни на 3, ни на 5?


Задачи для проверки.

16. Докажите, что если а -4 делится на 5, то и 6а +1 делится на 5.

17. Докажите, что число, составленное из семи двоек и семи единиц, расположенных в любом порядке, не является квадратом натурального числа.

18. Сколько существует чётных четырёхзначных чисел? А нечётных?

19. Сколько трёхзначных чисел, которые делятся и на 2 и на 5?

20. Сколько диагоналей в выпуклом 101угольнике?


Домашнее задание.

21. Может ли число, оканчивающееся цифрами 45, быть полным квадратом?

22. Докажите, что если (3а +1) и (в – 5) делятся на 7, то (а + в) делится на 7.

23. Сколько трёхзначных чисел, которые не делятся ни на 2, ни на 5?

24. Сколько семизначных чисел с чередующейся чётностью цифр?

25. Имеется 8 тетрадей и 5 книг. Сколькими способами можно выбрать набор из двух тетрадей и книги?









Решения и ответы к занятию 5.

1. а + 1 ≡ 0 (mod 13), значит а ≡ 12 (mod 13); 11 – в ≡ 0 (mod 13), значит в ≡ 11 (mod 13), тогда

2а – в ≡ 2∙12 – 11 = 13 ≡0 (mod 13).

2. аналогично № 1

3. НЕТ. Квадрат любого числа содержит простые делители только в чётных степенях (то есть простой делитель содержится чётное количество раз). Сумма цифр этого числа равна 2010, значит число делится на 3, так как 2+0+1+0=3. Но это число не делится на 9, значит не может быть квадратом.

4. НЕТ. Это число оканчивается на 30 и делится на 2, но не делится на 4.

5. НЕТ. Данное число делится на 3 и не делится на 9, так как сумма его цифр равна 42


Комбинаторика. Подсчёт вариантов.

6. Для каждой лампочки два варианта: включена или нет. Для каждого варианта первой лампочки есть два варианта второй, для каждого варианта первых двух лампочек есть два варианта для третьей. Тогда всего вариантов 2∙ 2∙2 =8. Из них нужно исключить один вариант, при котором все три лампочки выключены. 8-1=7 вариантов включить свет.

7. Для первой буквы 12 вариантов, каждому из них соответствует 12 вариантов второй буквы и т.д. Всего 12∙12∙12= 1728 вариантов.

8. Сначала поставим белую ладью, для неё 64 способа. Тогда вторую нельзя ставить на те клетки, которые бьёт первая, в том числе на ту, на которой стоит первая, то есть 15 клеток. Для каждого из 64 вариантов есть 64-15=49 вариантов поставить вторую ладью, значит всего 64∙49=3136 способов.

9. Первая цифра – 9 вариантов (все цифры, кроме 0), для второй – 10, третьей – 10. Значит всего трёхзначных чисел 9х10х10=900, пятизначных 9х10х10х10х10=90000.

10. Для первой чётной цифры 4 варианта: 2,4,6,8, а для остальных 5 вариантов:0,2,3,4,6,8. Тогда а) 4х5=20, б)4х5х5=100.

11. Из каждой вершины 10-тиугольника выход 10-3=7 диагоналей, и каждая диагональ соединяет две вершины, значит всего 10х7: 2=35 диагоналей.

12. Для первой цифры 9 вариантов (все кроме 0). Для второй – 9 (все кроме первой), для третьей -8 (все кроме первой и второй), и так далее. А)9х9=81, б) 9х9х8=648, в) 0 (всего 10 различных цифр, значит, у 11-тизначного числа все цифры не могут быть различными.

13. а)5х7=35, б)5х4:2 + 7х6: 2 =10+21 =31.


Формула включений-исключений.

14 а) Число делится на 2 и на 3, тогда и только тогда, когда оно делится на 6. На 6 делятся числа 6, 12, …, 96. Значит, их количество равно (96-6): 6 + 1 = 16. б) Всего существует (100-2):2 + 1=50 чисел не больших 100 и делящихся на 2. Из них вычитаем числа, которые делятся и на 2 и на 3 50-16 = 34, в) На 3 делятся числа 3, 6, 9, 12, ….99. Всего (99-3):3 +1 =33. Вычтем из этого количества числа, которые делятся и на 2 и на3: 33-16 = 17. г) Обозначим А – множество чисел, делящихся на 2, через В – множество чисел, делящихся на 3, тогда А ∩В – множество чисел, делящихся на 2 и на 3. │ А U В│=│A│+│В│-│ А ∩В│= 50 + 33 -16 = 67. д) Из 100 рассматриваемых чисел, вычтем те, которые делятся на 2 или на 3. Всего 100 – 67 =33 числа.

15 Пусть А – множество чисел, делящихся на 2, В – множество чисел, делящихся на 3, С – множество чисел, делящихся на 5. Для трёх множеств формула включений-исключений примет вид:

А U В U С│=│A│+│В│+ │С│ -│ А ∩В│-│ А ∩С│- │С ∩В│+ │ А ∩ В ∩ С│

В задаче № 14 некоторые из данных слагаемых найдены, найдём │С│=(100-5):5+1=20,│ А ∩С│=(100-10):10+1=10 найдём │С ∩В│= (90-15):15+1=6, │ А ∩ В ∩ С│ = (90-30):30 +1 = 3. │А U В U С│=50+33+20-16-10-6+3=74. Чисел, которые делятся хотя бы на 2, на 3 или 5 всего 74, значит, чисел, не делящихся ни на одно из них

100 -74=26.


Задачи для проверки.

16. а - 4 ≡ 0 (mod 5), значит а ≡ 4 (mod 5); тогда 6а + 1 ≡ 6∙4 +1 = 25 ≡0 (mod 5).

17. Сумма цифр такого числа равна 21 и делится на 3, но не на 9.

18. У чётного числа 5 вариантов для последней цифры. Всего: 9х10х10х5=4500 чисел, аналогично с нечётным

19. Число делится и на 2 и на 5, когда оно делится на 10, всего таких трёхзначных чисел (990-100):10+1=90.

20. (101 – 3):2 = 49.





Самые низкие цены на курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации!

Предлагаем учителям воспользоваться 50% скидкой при обучении по программам профессиональной переподготовки.

После окончания обучения выдаётся диплом о профессиональной переподготовке установленного образца (признаётся при прохождении аттестации по всей России).

Обучение проходит заочно прямо на сайте проекта "Инфоурок".

Начало обучения ближайших групп: 18 января и 25 января. Оплата возможна в беспроцентную рассрочку (20% в начале обучения и 80% в конце обучения)!

Подайте заявку на интересующий Вас курс сейчас: https://infourok.ru/kursy

Автор
Дата добавления 12.06.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров134
Номер материала ДБ-119239
Получить свидетельство о публикации

УЖЕ ЧЕРЕЗ 10 МИНУТ ВЫ МОЖЕТЕ ПОЛУЧИТЬ ДИПЛОМ

от проекта "Инфоурок" с указанием данных образовательной лицензии, что важно при прохождении аттестации.

Если Вы учитель или воспитатель, то можете прямо сейчас получить документ, подтверждающий Ваши профессиональные компетенции. Выдаваемые дипломы и сертификаты помогут Вам наполнить собственное портфолио и успешно пройти аттестацию.

Список всех тестов можно посмотреть тут - https://infourok.ru/tests


Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх