Занятие в математической смене пришкольного лагеря № 7 "Перестановки с повторениями".

Занятие 7.

Перестановки с повторениями.

Перестановкой с повторениями будем называть способ разместить на n местах n не обязательно различных элементов. Более подробно, если имеется n1 элементов первого типа, n2 элементов второго типа и т.д., причём n1+ n2+ n3+…= n, то перестановка с повторениями есть способ расставить все эти n элементов в некотором порядке и обозначается P(n1,  n2,  n3, …). Справедлива формула

P(n1,  n2,  n3, …)= n! : (n1!∙ n2!∙ n3!...)

№ 1. У мамы два одинаковых яблока, 3 одинаковых мандарина и 4 одинаковых апельсина. Каждый день в течении 9 дней подряд она выдаёт сыну по одному фрукту. Сколькими способами это можно сделать?

№ 2. Сколько различных слов можно получить, переставляя буквы слова 1) математика, 2) парабола, 3) ингредиент?

№ 3. Сколькими способами можно расставить белые фигуры  (короля, ферзя, 2-х слонов, две ладьи и два коня) на первой линии шахматной доски (не соблюдая шахматные правила)?

Повторение. Остатки. Действия с остатками.

№ 4. Найдите остаток от деления 22х50 +44х10 на 3

№ 5. Найдите остаток от деления: 1) 2011х2012х2013 + 2013³  на 7; 2) 9¹⁰⁰  на 8

№ 6. Найдите последнюю цифру числа  1989¹⁹⁸⁹

№ 7. Найдите остаток от деления  2222⁵⁵⁵⁵   + 5555²²²²

Решения и ответы к занятию 7.

№ 1. 9! : (2!х3!х4!)=1260 способов

№ 2. 1) В слове математика 10 букв, среди них «м»-2 буквы, «а»-3 буквы, «т» - три буквы, остальные различны. По определению перестановки с повторениями получим 10! : (2!х3!х2!), 2) в слове парабола 8 букв, из них «п» - 1, «а» -3, «р» - 1, «б» - 1, «о» - 1, «л»-1.  8! : 3!,  3) 10! : (2!х2!х2!)

№ 3. 8! : (2!х2!х2!) вариантов

№ 4. Вместо указанных чисел подставим в данное выражение их остатки при делении на 3, получим 1х2 + 2х1 = 4. Число 4 при делении на 3 даёт остаток 1.

№ 5. 2х3х4 + 4х4х4=24 +64=88, 88:7 = 7х12 + 4(ост), 9:8=8х1+1(ост)

№ 6. Последняя цифра числа совпадает с его остатком при делении на 10. Число 1989 при делении на 10 дает остаток 9. 9 : 10=9х0+9(ост). 81:10=10х8+1(ост), 9х81:10=9х1:10=9(ост), нечётной степени 9 при делении на 10 даёт остаток 9. Значит число оканчивается цифрой 9.

№ 7. 2222:10=10х222+2(ост). При делении на десять 2 даёт остаток 2, 2х2 остаток 4, 2х2х2 остаток 8, 2х2х2х2 остаток 6, 2х2х2х2х2 остаток 2, и т.д. Начиная с этого места остатки будут повторяться по кругу – 2; 4; 8; 6; 2; 4; 8; 6;… Длина образовавшегося цикла равна 4, при этом 5555 при делении на 4 даёт остаток 3, значит, 2222⁵⁵⁵⁵    при делении на 10 даёт остаток, равный третьему числу в цикле, то есть остаток 8. Найдём остаток от деления числа 5555²²²² на 10. Он совпадёт с остатком числа 5²²²² При

этом 5 любой степени при делении на 10 даёт остаток 5. Значит 5+8 =13, остаток равен 3.