- 13.06.2013
- 4135
- 6
Разработка системы уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ
по математике по теме
«Решение неравенств алгебраическим методом».
Содержание.
1. Примерное планирование учебного времени.
2. План-конспект урока по теме «Рациональные и дробные рациональные неравенства».
3. Проверочная работа (в одном варианте).
1. Примерное планирование учебного времени. Всего 15ч.
|
№ |
Тема |
Всего часов |
Содержание |
Форма контроля |
|
1 |
Равносильные неравенства |
1 |
Равносильные преобразования неравенств, тождественные преобразования выражений, входящих в неравенство, посторонние решения, потеря решений. |
|
|
2 |
Обобщённый метод интервалов |
1 |
Классический метод интервалов. Обобщённый метод интервалов. Точки чётной и нечётной кратности. Нетрадиционный алгоритм решения неравенств методом интервалов. |
|
|
3 |
Рациональные и дробные рациональные неравенства |
2 |
Целые рациональные неравенства. Дробные рациональные неравенства. Алгоритм решения целых рациональных неравенств и дробных рациональных неравенств методом интервалов. Решение рациональных и дробных рациональных неравенств обобщённым методом интервалов. |
Тест для проверки теоретических знаний Контрольный тест. |
|
4 |
Неравенства, содержащие иррациональные выражения. |
2 |
Решение иррациональных неравенств, основанное на свойствах числовых неравенств. Схема решения неравенств обобщённым методом интервалов. Некоторые нюансы в определении знака и особенности упрощенной записи. |
Тест для проверки теоретических знаний.
|
|
5 |
Неравенства, содержащие выражения под знаком модуля. |
2 |
Геометрический смысл модуля. Решение неравенств разбиением ОДЗ на подмножества. Решение неравенств, содержащих модули обобщенным методом интервалов и особенности упрощённой записи. |
Проверочная работа. |
|
6 |
Показательные неравенства |
2 |
Решение показательных неравенств. Метод замены. Показательно–степенные неравенства и логарифмирование обеих частей неравенства. Метод интервалов для решения показательно-степенных неравенств. |
Самостоятельная работа Взаимоконтроль. |
|
7 |
Логарифмические неравенства |
2 |
Схемы решения логарифмических неравенств и потенцирование обеих частей неравенства. Метод замены и использование метода интервалов для упрощения решений. |
Самостоятельная работа. Самоконтроль. |
|
8 |
Смешанные неравенства |
2 |
Решение смешанных неравенств обобщённым методом интервалов. Решение сложных комбинированных неравенств. Решение неравенств с параметрами методом интервалов. |
Контрольный тест |
|
9 |
Контрольная работа |
1 |
|
Контрольная работа |
2. План-конспект одного из уроков.
Рациональные и дробные рациональные неравенства
( 2 часа)
Цель. Формирование умения применять алгоритм обобщённого метода интервалов для решения рациональных и дробных рациональных неравенств.
Целым рациональным неравенством называют неравенство вида
f(x)
- алгебраический многочлен.
Дробным рациональным неравенством называют неравенство вида 
– алгебраические многочлены.
Очевидно, что множество решений дробно-рационального неравенства не должно
содержать корней многочлена 
Решая целые рациональные неравенства методом интервалов, будем следовать алгоритму:
1) запишем неравенство в виде f(x)
и рассмотрим функцию f(x);
2) найдём нули функции, решая уравнение f(x)=0;
3) нанесём нули функции на координатную прямую и определим знаки функции на полученных промежутках, учитывая точки чётной и нечётной кратности ;
4) запишем решение неравенства, учитывая его смысловой знак.
Решая дробные рациональные неравенства методом интервалов, будем следовать алгоритму:
1) запишем неравенство в виде 
и рассмотрим функцию F(x)=
2) найдём нули и точки разрыва функции, решая уравнения f(x)=0 и
=0;
3) нанесём нули и точки разрыва функции на координатную прямую и определим знаки функции на полученных промежутках, учитывая точки чётной и нечётной кратности;
4) запишем решение неравенства, учитывая его смысловой знак.
При
решении неравенств вида 
и 
корни числителя будем отмечать на
координатной прямой «заштрихованными» точками, а корни знаменателя – «пустыми».
Пример 1. Решить
неравенство 
1) Рассмотрим
функцию f(x)=
.
2) Найдём
нули функции, решая уравнение
Получим х1,2 = 2, х3,4,5 = - 3, х6 = 7.
3) Корни нечётной кратности: – 3 и 7, а 2 – корень нечётной кратности.
+ - - +
-3
2 7
4) Объединив промежутки, в которых функция отрицательна, запишем ответ
Ответ: (-3;2) U(2;7).
Пример 2. Решить
неравенство
1) Рассмотрим функцию f(x)=
2) Найдём
нули функции, решая уравнение 
Получим х1,2 =
0, х3 =
- 1.
Найдём точки
разрыва, решая уравнение 
Получим х4 = -
2, х5 = 2.
3)
- + - - +
-2
-1 0 2 х
4) Так как
функция
f(x)= может быть как положительной, так и
равной нулю (на это указывает смысловой знак неравенства
), то
решением неравенства является объединение промежутков, на которых функция
неотрицательна и изолированная точка 0.
Ответ: (-2; 1] U (2; +
) U {0}.
Тест для проверки теоретических знаний по теме «Решение рациональных и дробно-рациональных неравенств».
Укажите все необходимые действия(1,2)
1.
Чтобы решить целое рациональное неравенство вида 
необходимо:
1) найти нули
функции 
;
2) найти точки
разрыва функции 
;
3) нанести нули
функции 
на координатную
прямую и определить знаки функции на полученных промежутках;
4) нанести точки
разрыва функции 
на координатную
прямую и определить знаки функции на полученных промежутках;
5) записать промежутки, на которых функция не положительна;
6) записать промежутки, на которых функция отрицательна;
7) записать промежутки, на которых функция положительна.
2.
Чтобы решить дробное рациональное неравенство вида 
необходимо:
1) найти нули
функции 
;
2) найти нули
функции 
;
3) отметить на
координатной прямой нули функции 
«заштрихованными» кружочками, а нули
функции 
-
«пустыми»;
4) отметить на
координатной прямой нули функции 
«пустыми» кружочками, а
нули функции - «заштрихованными»;
5) отметить на
координатной прямой нули функции и нули функции 
«заштрихованными»
кружочками;
6) записать
промежутки, на которых функция 
положительна;
7) записать
промежутки, на которых функция
не отрицательна.
3 Установите соответствие:
Неравенство
1) х(х-1)(х+2)>0;
3) 
;
2) 
0
4) 
рисунок
решение (ответ)
Ответы
|
Номер задания |
1 |
2 |
3 |
|
Вариант правильного отвена |
1; 3; 5. |
1; 2; 3; 7. |
1 – б – и, 2 – г – к, 3 – а – л, 4 – в – ж. |
Самостоятельная работа по карточкам с последующей проверкой по листам самопроверки по теме «Решение рациональных и дробно-рациональных неравенств».
Карточка 1.
№1
Найти целые решения неравенства 
№2 Решить неравенство 
Карточка 2.
№1 Решить неравенство 
№2 Решить неравенство 
Карточка 3.
№1 Решить неравенство 
№2 Решить неравенство 
Карточка 4.
№1
Решить неравенство 
№2 Решить неравенство 
Лист самопроверки к карточке 1.
№1
Найти целые решения неравенства 
Решение:
Рассмотрим
функцию: 
Найдём
нули: 
Точки
разрыва: 
Так
как функция не положительна, то решением данного неравенства является
промежуток: 
.
Запишем целые решения неравенства: - 4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4.
Ответ:
№2 Решить неравенство
Решение. Преобразуем неравенство следующим
образом: 
. Числитель и знаменатель
нужно разложить на множители, для этого их приравняем к нулю: 
,
.
Корни первого уравнения 2 и
3.
Второе
уравнение корней не имеет. Значит, числитель раскладывается на множители
следующим образом: 
,
а знаменатель на линейные множители не раскладывается. Запишем неравенство в
таком виде: 
. Отмечаем на числовой
прямой точки 
и 
и
выбираем нужные промежутки.
Ответ: (2;3).
Лист самопроверки к карточке 2.
№1 Решить неравенство 
Решение. Пункты 1), 2), 3) уже выполнены.
Отмечаем на числовой прямой точки
.
При 
выражение отрицательно,
положительны все сомножители, кроме одного: 
При
переходе через точки 
знак
выражения меняется (линейные сомножители в нечетной степени), а при переходе
через точку
знак не меняется (особая
точка).
Включаем в ответ все промежутки, на которых левая часть неравенства отрицательна.
Ответ: 
№2 Решить неравенство 
Решение. Числитель и знаменатель нужно
разложить на множители, для этого их приравняем к нулю: 
,
.
Корни первого уравнения -1 и
-6,
второе уравнение имеет один корень -2.
Но правильнее в данном случае говорить, что оно имеет два одинаковых корня,
поэтому, данный квадратный трехчлен разлагается на два одинаковых сомножителя
.
В этом случае, что уравнение имеет корень чётной кратности. Получаем: - 
.
Отмечаем на числовой прямой точки: -6,
-2,
-1.
Расставим знаки, учитывая, что при 
выражение
отрицательно, а при переходе через точку -2 знак
не меняется. Остается выбрать нужные промежутки.
Ответ: (-6;-2)
(-2;-1).
Лист самопроверки к карточке 3.
№1 Решить неравенство 
Решение. Числитель и знаменатель нужно
разложить на множители, для этого их приравняем к нулю: 
,
.
Первое уравнение имеет два одинаковых корня, -1,
корни второго уравнения -2 и 3.Разкладываем числитель и знаменатель на
множители: 
,
.
Получаем неравенство: 
.
Отмечаем на числовой прямой "выколотые" точки -2 и 3 и особую точку
-1.
Расставим знаки, учитывая, что при
выражение положительно, а при переходе через точку
-1 знак не меняется. Не забудем включить в ответ особую
точку -1. Ответ: 
№2 Решить неравенство 
Решение. Переносим все члены неравенства в
левую часть и приводим к общему знаменателю. После приведения подобных членов
получаем следующее дробно-рациональное выражение: 
Раскладывая числитель на множители,
получим: 
.
Теперь отмечаем на числовой прямой точки:
-2, 
, 
,
,
нули
знаменателя, "выколотые" точки, нули числителя, так как неравенство
нестрогое.
При
>5
выражение положительно. Так как все сомножители первой степени, то знак
меняется во всех точках.
Осталось выбрать нужные промежутки.
Ответ: 
Лист самопроверки к карточке 4.
№1
Решить неравенство 
Запишем
неравенство в виде 
,
Рассмотрим
функцию: 
Найдём
нули функции, решив уравнение 
Ответ:
№2 Решить неравенство 
Решение. Перенесем все в левую часть и
приведем к общему знаменателю, разложив предварительно квадратные трехчлены на
сомножители: 
и после преобразований
получим 
. Отметим нули числителя
и знаменателя на числовой прямой: точки 0 и 4 – «заштрихованные», точки -1,-3,
и 2 - "выколотые". Расставим знаки, учитывая, что на самом правом
промежутке левая часть положительна, и знак меняется во всех отмеченных точках,
кроме -1. 
Ответ: 
U
U
Разноуровневая домашняя работа по теме «Решение рациональных и дробно-рациональных неравенств».
(вариант А).
Решите следующие неравенства:
1.
(6
)(х+4)
Ответ: 
2.
(
)(
) Ответ: (-4;-1)
3.
(
)(
)(х – 1)
Ответ: 
4.
(
) (
) Ответ: (4; 6,5)
5.
Ответ: 
(вариант В).
Решите следующие неравенства:
1.
Ответ: [-
]
2.
Ответ: {2}.
3.
Ответ: 
.
4.
Ответ: 
5.
Ответ:
(-
6.
Ответ: 
7.
Ответ: 
8.
Ответ: 
Упражнения для самостоятельного решения.
Ответ: [-2;1] U [-2; +
Ответ: (-2;-1) U (-1;1) U(3; +
Ответ: (-∞;1]
U(2;4]
Ответ: 
Ответ: (-5;-1) U(1; +
Ответ: 
+ 
Ответ: [-
) U
Ответ: (-2;-1] U[2;3)
Ответ: х
(- 2;3)
10. 
Ответ: х(-∞; - 6) U [-
;1) U [1,5;
] U [7;+ ∞).
11. 
Ответ: х
12. 
Ответ: х
13. 
Ответ: x
14. 
Ответ: 
15. 
Ответ: 
16. 
Ответ: x
17. 
Ответ: 
18. 
Ответ:( - 7; -
1];{2}
Контрольный тест по теме «Решение рациональных и дробно-рациональных неравенств».
|
№ |
Задания |
Варианты ответов |
|
1. |
Наименьшее
целое решение неравенства |
1) 0; 2) 1; 3) 2; 4) -2; 5) -3 |
|
2. |
Количество
целых отрицательных чисел, не являющихся решениями неравенства |
1) 1; 2) 2; 3) 3; 4) 5; 5) 6
|
|
3. |
Среднее
арифметическое целых чисел, не удовлетворяющих условию |
1)-1,5; 2)-3; 3)3; 4)4,5; 5)18
|
|
4. |
Длина
отрезка, являющегося решением неравенства |
1)
3; 2) 6; 3) 6 - |
|
5. |
Среднее
арифметическое неположительных решений неравенства |
1)-3; 2)-1,5; 3)-1; 4)-2; 5)-0,5
|
|
6. |
Количество
отрицательных решений неравенства |
1) 14; 2) 11; 3) 3; 4) 1; 5) 2
|
|
7. |
Количество
целых решений неравенства |
1) 6; 2) 7; 3) 4; 4) 2; 5) 14
|
|
8. |
Количество
целых неотрицательных решений неравенства |
1) 2; 2) 1; 3) 13; 4) 4; 5) 11
|
|
9. |
Количество
целых неотрицательных чисел, не принадлежащих области определения функции |
1) 8; 2) 4; 3) 1; 4) 3; 5) 2 |
|
10. |
Количество
целых чисел, не принадлежащих области определения функции равно |
1) 6; 2) 5; 3) 4; 4) 3; 5) 10 |
Ответы
|
Номер задания |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
Номер правильного ответа |
2 |
3 |
1 |
5 |
3 |
5 |
1 |
2 |
4 |
3 |
3. Проверочная работа (в одном варианте).
1. 
. Ответ: 
2. 
Ответ: 
3. 
Ответ:
4. 
5. 
6. 
7. 
Ответ: (3,5;
4)
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Содержание:
1. Примерное планирование учебного времени.
2. План-конспект урока по теме «Рациональные и дробные рациональные неравенства».
3. Проверочная работа (в одном варианте).
Примерное планирование учебного времени. Всего 15ч.
| "
№ |
"
Тема |
"
Всего часов |
"
Содержание |
"
Форма контроля |
| "
1 |
"
Равносильные неравенства |
"
1 |
"
Равносильные преобразования неравенств, тождественные преобразования выражений, входящих в неравенство, посторонние решения, потеря решений. |
"
|
| "
2 |
"
Обобщённый метод интервалов |
"
1 |
"
Классический метод интервалов. Обобщённый метод интервалов. Точки чётной и нечётной кратности. Нетрадиционный алгоритм решения неравенств методом интервалов. |
"
|
| "
3 |
"
Рациональные и дробные рациональные неравенства |
"
2 |
"
Целые рациональные неравенства. Дробные рациональные неравенства. Алгоритм решения целых рациональных неравенств и дробных рациональных неравенств методом интервалов. Решение рациональных и дробных рациональных неравенств обобщённым методом интервалов. |
"
Тест для проверки теоретических знаний Контрольный тест. |
| "
4 |
"
Неравенства, содержащие иррациональные выражения. |
"
2 |
"
Решение иррациональных неравенств, основанное на свойствах числовых неравенств. Схема решения неравенств обобщённым методом интервалов. Некоторые нюансы в определении знака и особенности упрощенной записи. |
"
Тест для проверки теоретических знаний.
|
| "
5 |
"
Неравенства, содержащие выражения под знаком модуля. |
"
2 |
"
Геометрический смысл модуля. Решение неравенств разбиением ОДЗ на подмножества. Решение неравенств, содержащих модули обобщенным методом интервалов и особенности упрощённой записи. |
"
Проверочная работа. |
| "
6 |
"
Показательные неравенства |
"
2 |
"
Решение показательных неравенств. Метод замены. Показательно–степенные неравенства и логарифмирование обеих частей неравенства. Метод интервалов для решения показательно-степенных неравенств. |
"
Самостоятельная работа Взаимоконтроль. |
| "
7 |
"
Логарифмические неравенства |
"
2 |
"
Схемы решения логарифмических неравенств и потенцирование обеих частей неравенства. Метод замены и использование метода интервалов для упрощения решений. |
"
Самостоятельная работа. Самоконтроль. |
| "
8 |
"
Смешанные неравенства |
"
2 |
"
Решение смешанных неравенств обобщённым методом интервалов. Решение сложных комбинированных неравенств. Решение неравенств с параметрами методом интервалов. |
"
Контрольный тест |
| "
9 |
"
Контрольная работа |
"
1 |
"
|
"
Контрольная работа |
6 669 989 материалов в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Большедворская Светлана Эдуардовна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс профессиональной переподготовки
500/1000 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 180 ч.
Курс повышения квалификации
72 ч. — 180 ч.
Курс профессиональной переподготовки
300/600 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.