Алғашқы функция. Анықталмаған интеграл

Мұғалімнің аты жөні: Хамитова Г.А.

Сабақ тақырыбы: Алғашқы функция. Анықталмаған интеграл.

Сабақтың мақсаты:  Алғашқы функция және анықталмаған интеграл түсініктерін меңгеру және интегралдың қасиеттерін пайдалана отырып, есептер шығару.

Міндеттері: 

а) Білімділік: Алғашқы функция мен анықталмаған интеграл түсінігі. Анықталмаған интегралдың геометриялық мағынасын, қасиетін ашу. Анықтаманы пайдалана отырып,  алғашқы функциялар кестесін құра білу және интегралдың қасиеттерін қолдану бейімділіктерін қалыптастыру.

ә) Тәрбиелік: Сөйлеу мәдениетін, өз ойын дәл, нақты айта білуге үйрету, жауапкершілікке тәрбиелеу.

б) Дамытушылық: Оқушылардың тақырыпты өз бетімен меңгеруге мүмкіндік туғызу, ізденісін, тиянақты ой қорытындысын жасай білу, есте сақтау қабілеттерін, логикалық ойлауын дамыту.

Сабақтың түрі: Аралас сабақ

Сабақтың әдісі: Проблемалық, тест, сын-тұрғысынан ойлау стратегиясы, сұрақ-жауап.

Сабақтың көрнекілігі: Интерактивті тақта, дербес компьютер, таратпа карточкалар, электронды оқулық.

Пәнаралық байланыс: Тарих, физика

Сабақтың жоспары:

I.     Ұйымдастыру кезеңі

II.  Алғашқы тақырыпты қайталау және үй тапсырмасын тексеру:

1.Мамандыққа байланысты есептер;

2. Сәйкестік тесті;

3. Венн диаграммасы

ІІІ. Білімді белсенді меңгеруге дайындық

         Жаңа тақырыптың өзектілігі

IV.    Жаңа білімді меңгеру:

        1. Жаңа түсінікті енгізу;

        2. Жаңа түсінікке әкелетін мысалдарды талдау.

V.    Жаңа сабақты бекіту:

1. Есептер шығару;

2. Венн диаграммасын аяқтау;

VI.   Қорытынды:

1. Бағалау;

2. Сабақтың мақсатқа жетуін қорытындылау;

3. Үйге  тапсырма.

Сабақтың барысы:

I. Ұйымдастыру кезеңі. Сәлемдесу. Оқушыларды түгендеу, тазалыққа көңіл бөлу. Оқушылардың назарын сабаққа аудару. Сабақтың тақырыбы және мақсатын таныстыру. Оқушылар үш топқа бөлінген. Топ жетекшілерін таныстыру.

I. Алғашқы тақырыпты қайталау және үй тапсырмасын тексеру.

№1 есеп

Балалар мынау өзіміздің Қарағанды мемлекеттік техникалық университеті. Ауданы 400 м²  тіктөртбұрышты осы ғимараттың ауласын қоршау үшін қоршаудың ең кіші ұзындығы қандай болу керек?

                                                                                                                     Жауабы: 80 м.

Университеттің ауласын қоршау үшін қоршаудың ең кіші ұзындығы 80 м болатындығын білдік. Енді сендерге мынандай әдемі фонтан салу керек болатын. Енді осы тапсырманы орындау үшін үйге берілген келесі тапсырманы айтып жіберейік.

№2 есеп.

Табаны квадрат болып келген тік бұрышты параллепипед тәрізді фонтанға 13500 л су сыюы керек. Фонтанның өлшемдері қандай болғанда, оның құрылысына жұмсалатын материалдың мөлшері ең аз болады.

Жауабы: ­Өлшемдері 30 дм, 15 дм.

1. Өткен сабақты қайталау. «Сәйкестік тест».

Туынды тарауы бойынша не білеміз? Сәйкестік тест бойынша қайталау жұмысын жүргізу. Берілген сұрақтар бойынша сәйкес жауабын көрсету.

р/с	Сұрақтар	р/с	Жауаптар
1.	Туындының анықтамасы	1.
2.		2.
3.		3.
4.		4.
5.	Жанаманың теңдеуі	5.	.
6.	Функцияның өсімшесі	6.
7.		7.
8.		8.
9.	Туындының физикалық мағынасы	9.	1
10.	Туындының геометриялық мағынасы	10	0
11.		11.
12.		12.

Жауабы:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
6	4	1	8	2	3	10	9	11	12	7	5
Д	И	Ф	Ф	Е	Р	Е	Н	Ц	И	А	Л

 Дифференциалдық есептеулер бойынша Венн диаграммасын толтыру.

Дифференциалдық                                                                                        Интегралдық

 есептеулер                                                                                                    есептеулер

Мамандыққа байланысты құрастырылған есептер.

II. Білімді белсенді меңгеруге дайындық

Мұғалімнің сөзі.  Балалар сіздер құрылыс маманысыздар. Ал мен осы аудиторияның жетекшісімін. Осы аудиторияның төбесіне жөндеу жұмысын жасап беру туралы сіздерге тапсырыс бердім.

Қажетті материалды алу үшін не істер едің?

Оқушылардың жауабын тыңдау.

Мұғалім: Интеграл тақырыбын өткен кезде бұрынғы алған білімімізді кеңейте түсеміз. Яғни интеграл арқылы тік төртбұрыштың, үшбұрыштың және т.б. фигуралардың ауданын табуға болады. Ол үшін анықталған интеграл ұғымын білуіміз керек. Ал ол мақсатқа жету үшін бүгінгі сабақта негізгі ұғымдармен танысамыз.

Сонымен жаңа сабағымызға кірісейік.

III. Жаңа сабақты өту барысы.

1. Жаңа түсінік енгізу.

 Бүгінгі сабақта дифференциалдық есептеудің жалғасы интегралдық есептеумен танысамыз.

Алғашқы функция дегенді қалай түсінеміз? Осы сұраққа жауап іздеп көрейік. Ол үшін мынадай тапсырма беріледі.

Көрсетілген текшелерге туындысы теңдіктің оң жағына тең болатындай функцияларды орналастыру керек.

I тапсырма

I топ         А   ^/  = cosx      

  Л        ^/  =  9

         Ғ         ^/ =

II    топ  А        ^/= x

     Ш       ^/ =

 III топ  Қ        ^/=

     Ы        ^/=

1.Ол үшін жеке, жұп бойынша талқылау.

 2. Топ бойынша талқылап  өз ойларын жеткізе білу. Әр топтан бір оқушының жауабы тыңдалады.

Электронды оқулықпен жұмыс.   (Алғашқы функция және оның қасиеттері тақырыбын ашу)

, біле отырып, табу керек.

,

  Анықтама.  кесіндісінде барлық х үшін, - алғашқы функция болады, егер                   .

Мысал. Барлық  үшін  аралығында  алғашқы функция,   өйткені.

Мысал. функциясының алғашқы функциясы , өйткені, яғни.

«Архимедтің еңбектерін байыптап

оқысаң, жаңа заманғы  математиктердің

ашқан жаңалықтарына таң қалуды қоясың»

                                                                                                       Г. Лейбниц

   Архимедтің математикалық мұралары 2000 жыл бойы ұмытылмай жаратылыстану ғылымдары мен техника талабына сай дамытылып келді. XVII ғасыр математиктері Архимед еңбектерінен білім алып көптеген жаңа нәтижелерге қол жеткізді. Осының нәтижесінде XVII ғасырда жоғарғы математиканың басты тараулары болып саналатын дифференциалдық және интегралдық есептеулер пайда болды. Италияның көрнекті математигі Б. Кавальери интегралдық есептеудің шығуына іргетас қалады. Ал осы ғасырдың ұлы ғалымдары И.Ньютон мен Г.Лейбниц бұл ғылымды жүйелі дамытқан.

Алғашқы функцияның негізгі қасиеті дегеніміз не?

II тапсырма: функциясы үшін алғашқы үш функциясын тап.

Cұрақ: Осы тапсырмадан қандай қорытынды жасауға болады? Әр топ өз ойларын ортаға салады. Қойылған проблеманы шешу нәтижесінде келген қорытынды.

Электронды оқулықпен жұмыс.      (Алғашқы функция және оның қасиеттері тақырыбын ашу)

С- соnst, .

Теорема.  кесіндісінде ,үшін  алғашқы функция болса, онда  шексіз    көп алғашқы функция бар және олардың түрі , мұндағы С- тұрақты сан.

Ф(х) = F(х) + С теңдігі алғашқы функцияның негізгі қасиеті болып табылады.

Алғашқы функциялар кестесін құрастыру.

Алғашқы функциялар кестесі

Функция	Алғашқы функцияның жалпы түрі
, (к-тұрақты)

Алғашқы функцияның геометриялық мағынасы түсінігін енгізу.

III тапсырма: Қай суретте алғашқы функцияның графигі кескінделген? (Оқушылардың жауабы тыңдалады)

 

                              у                                                                             у     

 

                               0                         х                                                    0                        х

                               А                                                                             В

 

                           у                                                                            у

 

                                                  х                                                                            х

                                 С                                                                               D

Жауап: Алғашқы функциялардың айырмашылығы тұрақты С мәніне байланысты болғандықтан, алғашқы функция графиктері өзара параллель қисықтар тобын береді. (0у осі бойынша С бірлікке параллель көшіру арқылы аланады). Бұл алғашқы функцияның негізгі геометриялық мағынасын береді.

Интеграл ұғымы 

Интегралдық  есептеу- математиканың күрделі бөлімі. Келесі ғасырда интегралдық есептеуді дамыту барысында еңбектермен үлес қосқан математиктер: Лобачевский Н.И., Остроградский М.В., Коши О, Эйлер Л.

«Интеграл» латын сөзі «integro» - «қалпына келтіру», «integer» -«бүтін» деген мағынаны береді.Интеграл ұғымы жазық фигураның ауданын, дене бетінің ауданын, көлемін есептеу қажеттігінен пайда болды.

Интегралдық есептеу

                       Анықталмағанған интеграл                                   Анықталған интеграл

Бүгінгі сабақта анықталмаған интегралмен танысамыз.

Электронды оқулықтан.      (Анықталмаған интеграл тақырыбын ашу)

АНЫҚТАЛМАҒАН ИНТЕГРАЛ

Анықтама.  функциясының барлық алғашқы функцияларының жиынтығы  F(х) + С берілген функцияның анықталмаған интегралы деп аталады.

-интеграл белгісі

Белгіленуі:

-интеграл астындағы функция,

-x айнымалысының дифференциалы

 - интеграл астындағы өрнек

1-қасиет  к-тұрақты сан;

2- қасиет ;

3- қасиет .

Сұрақ. Неге анықталмаған интеграл деп аталады?

2. Жаңа түсінікке әкелетін мысалдарды талдау. (Электронды оқулықтан)

 1. Мысал: Берілген функциялар үшін алғашқы функцияларды табыңыз:

а)

Шешуі:  функциясы үшін  функциясы алғашқы функция болып табылады, өткені:

Жауабы:

2. Мысал.  а) Анықталмаған интегралды есептеңіз:

Шешуі:

Жауабы:

ә) Анықталмаған интегралды есептеңіз:

Шешуі:

Жауабы:

3. Мысал: Графигі М(-2;3) нүктесі арқылы өтетін функциясының  алғашқы функциясын анықтайық.

Шешуі:  функциясының кез келген алғашқы функциясын түрінде жазуға болады. Есептің шарты бойынша F(x) функциясының графигі М(-2;3) нүктесі арқылы өтеді, яғни F(-2)=3. Онда  осыдан Саламыз.

Демек, ізделінді алғашқы функция

Жауабы:      

IV.  Жаңа сабақты бекіту.

Деңгейлі тапсырмалар.

 А  деңгейі:

1)Функцияның алғашқы функциясын тап:   

2) Алғашқы функцияның жалпы түрін жаз:

3) Анықталмаған интегралды есепте: .

  В деңгейі:

1) Алғашқы функцияның жалпы түрін анықта: ;

2) Интегралды есепте:;

 3)    функциясы үшін графигі M(a;b) нүктесі арқылы өтетін F(x) алғашқы                     функцияcын табыңдар және F(x) функциясының графигін салыңдар:

С деңгейі: а) функциясы функциясыны үшін алғашқы функция болатынын дәлелде:

 1),    

2) Интегралды есепте:    .

V. Қорытындылау.  1. Венн диаграммасын аяқтау.

Дифференциалдық                                                                                         Интегралдық

 есептеулер                                          Ұқсастығы                                          есептеулер

 3. Бағалау.                                  

4. Тақырып бойынша бес жол өлең жазу

Интеграл

                                               сын есім                                      сын есім                                      

                                             етістік                          етістік                            етістік

                                                                                     сөйлем                                 

синоним

5.Үйге тапсырма: §1, 2. 1,2,3 ережелерді дәлелдеу.

№3,5,7 (1,3), №8,11 (1,3), №14(1), №16(2)