Аналитическое решение задач с параметрами

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа №2 г.Алагир Алагирского района

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА

урока

по алгебре и началам анализа 11 класс

Тема урока: 

«Аналитическое решение задач с параметрами»

Разработала: учитель математики

Дзбоева Т.Б.                                

РСО-Алания г.Алагир

2013 г.

На любых испытаниях и во время учебного процесса наибольшую

сложность вызывают задачи с параметрами. Это объясняется двумя основными причинами. Во-первых, этой теме очень мало времени уделяется школьной программой. А вторая (основная) причина заключается в том, что это наиболее трудная тема как в логическом, так и техническом плане.

Трудность в работе с задачами, содержащими параметр, заключается в большом разнообразии применяемых методов, необходимости особой аккуратности при решении и записи ответа: надо исследовать все допустимые значения параметра и для каждого из значений параметра ответить на вопрос задачи. Решения задач как бы ветвятся в зависимости от значения параметра.

В задачах с параметром, кроме неизвестных величин, используются величины, численные значения которых не указаны конкретно, но считаются известными и удовлетворяющими каким-либо условиям. Например, значения параметра могут быть целыми, положительными и т.д.

                                                                    1

Тема  урока:

Аналитические  решения  основных  типов  задач  с  параметрами ( 2  урока).

Цели  урока 

      1.систематизировать  знания о параметрах; 

   2. развивать  умение  действовать  самостоятельно;

      3. учить строить графики функций с параметрами.

План  урока

     1.параметр в  школьной  математике;

     2.решение  основных  типов  задач;

     3.параметр и поиск  решений  уравнений и  неравенств.  

Ход   урока

1. С  параметрами  встречаются  при  введении  некоторых  понятий.

а)   например y=kx, где  х  и у  переменные,  k -  параметр, k0

б)  линейная  функция: y=kx+в,  где х и у  переменные к,в - параметры,

в)  квадратное  уравнение где  х  переменная ; а  в и с  параметры a0.

К  задачам  с  параметрами  можно  отнести  поиск  решения  линейных  и  квадратных  уравнений в  общем  виде, исследование  количества  их  корней  в  зависимости  от  значений  параметров.

2.  Решение  основных  типов  задач.

Решить  уравнение:

I)                   (а²-1)х=а+1

Решение.

1). а=1;  тогда 0·х = 2,    решений  нет.

2). а=-1;   0·х=0 х -  любое.

3).   имеем 

Ответ:  Если  а = -1,  то х-  любое;

         Если а =1,  то  нет  решений;

         Если а = ±1,  то

                                                                    2

II. |x²-1  |+|а(х-1) |=0.

Решение. 

Это  уравнение  равносильно  системе 

Имеем

I.  При    второе  уравнение  системы,  а  значит,  и  сама  система,  имеет  единственное  решение х=1.

II.  Если а=0  то  из  второго  уравнения получаем х – любое.

И  в этом  случае  система имеет  два  решения х₁=1, х₂ = -1.

Ответ:  Если    то ;

             Если    то

Решить  неравенство:  |x+3|> -a²

I.  При    правая  часть  неравенства отрицательная,  значит х -  любое;

II. если  а=0  то  исходному  неравенству удовлетворяют  все  действительные  числа,  кроме  х=-3.

Ответ:  если   то х- любое;

              если  а=0  то х< -3  и  х > -3.

III.  Для  всех  допустимых  значений  параметра  а  решить неравенство.

Решение  

Найдем  ОДЗ  параметра  а:

Данное  неравенство  равносильно  системе  неравенств.

         

Если    то  решения  исходного  уравнения заполняют  отрезок

Ответ:  и

                                                                      3 

Графики  построены  с использованием  НИТ – компьютера  в  электронных  таблицах  Ехсеl.

    I. Решить  уравнение

                                                                               (1)

      Решение 

Поскольку  x = 0 не  является  корнем  уравнения, то  можно  разрешить  уравнение  относительно  а:

         или       

        График  функции две “ склеенных”  гиперболы.  Количество  решений  исходного  уравнения  определяется  количеством  точек  пересечения  построенной линии и прямой   у =а.

х	У
-2
-1	0
	-1
	3
1	2
2	1,5
3	1

х	У
-2
-3	0
-4	-
-5	-

     а)                                                                         б) 

                                                                  

                                                                                                                                                                   Если  а  то прямая   у = а  пересекает  график  уравнения (1) в  двух  точках.  Абсциссы  этих  точек  можно  найти  из  уравнений  

  и    получаем  

                                                                           4        

  и  .

Если  а    то  прямая  у = а не  пересекает график  уравнения (1),  следовательно  решений  нет.

Ответ:

Если  а   ,   то  

Если  а     то   

Если  а     то  решений нет.

II.Решить  уравнение

  параметр.

Решение.

1.  При  любом   а :  

2. Если   то

    Если ,     то 

3. Строим  график  функции     выделяем  ту  его  часть,  которая   соответствует     строим  график  функции и  выделяем ту  его часть  которая  соответствует 

4.  По  графику  определяем,  при  каких  значениях  а  уравнение  (5)  имеет  решение  и  при  каких  -  не  имеет  решения.

1.                                                                     2. 

                                                                             

                                                                          

                                                                           5

 

	2							-1	2
-	3							-1,5	5
	-1							-2,5	-7
1	0							-3	-4
2								-5	-2
3								-4	-2,5

                                                                          6

1.                                                                                2. 

                                                              

                                                              

                                                                

                                                                          

                                                                          

  

     

Ответ:

Если   то   

Если   то

Если  то  решений  нет;

Если   то ;

Если    то

3. Решить  уравнение

Решение.

Использовав  равенство 

заданное  уравнение  перепишем  в  виде

Это  уравнение равносильно  системе 

                                                                      7

Уравнение     перепишем  в  виде

                                         (*)

Последнее  уравнение  проще  решить  используя  геометрические  соображения.  Построим  графики  функций    и

Из  графика  следует,  что   при     графики  не  пересекаются  и,  следовательно,  уравнение  не  имеет  решений.

      Если     и  при     графики  функций  совпадают  и,  следовательно,  все  значения    являются  решениями   уравнения (*).

      При  то есть  графики пересекаются  в одной  точке,  абсцисса  которой       

Таким  образом,  при      уравнение  (*)  имеет  единственное  решение   

исследуем  теперь,  при  каких  значениях  а  найденные  решения  уравнения  (*)  будут  удовлетворять  условиям

пусть  а =3,  тогда  при   система  примет  вид

Её  решением будет  промежуток   

Учитывая,  что    можно  заключить,  что  при    исходному  уравнению  удовлетворяют  все  значения х из  промежутка

Рассмотрим  случай  когда .  Система  неравенств  примет  вид   

                                                                           8

Решив  эту систему  найдем   а    Но     поэтому  при   а   исходное  уравнение  имеет  единственное  решение 

Ответ:

Если   а    то  решений  нет;

Если  а = 3,  то

Если  а    то 

Если   а     то  решений  нет

Домашнее задание

Решить  уравнение

1.

2.  При  каких  значениях  параметра а  имеет  решение  система