Анализ прикладных математических задач раздела КОМБИНАТОРИКА. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СТАТИСТИКА в учебниках и УМК по математике

Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение

КАСЬЯНОВСКАЯ СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА

Кантемировского муниципального района Воронежской области

Выступление на РМО учителей математики

«Анализ прикладных математических задач раздела КОМБИНАТОРИКА. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СТАТИСТИКА в учебниках и УМК по математике»

Учитель математики и физики

Татаринова Л.А.

2017-2018 уч.год

Современная концепция школьного математического образования ориентирована, прежде всего, на учет индивидуальности ребенка, его интересов и склонностей. Этим определяются критерии отбора содержания, разработка и внедрение новых, интерактивных методик преподавания, изменения в требованиях к математической подготовке ученика. И с этой точки зрения, когда речь идет не только об обучении математике, но и формировании личности с помощью математики, необходимость развития у всех школьников вероятностной интуиции и статистического мышления становится насущной задачей. Причем речь сегодня идет об изучении вероятностно-статистического материала в обязательном основном школьном курсе «математике для всех» в рамках самостоятельной содержательно-методической линии на протяжении всех лет обучения.

Исследования психологов (Ж.Пиаже, Е.Фишбейн) показывают, что человек изначально плохо приспособлен к вероятностной оценке, к осознанию и верной интерпретации вероятностно-статистической информации. Работы психологов утверждают, что наиболее благоприятен для формирования вероятностных представлений возраст 10-13 лет (это 5-7 классы). Экспериментальная работа в 5 и 6 классах по пропедевтике вероятностных представлений, проведению экспериментов со случайными исходами и обсуждению на качественном уровне их результатов показало, что этот не закрепленный формальными «обязательными результатами» период дает хорошее развитие вероятностной интуиции и статистических представлений детей.

При введении любой новой темы, любого нового вопроса в основной курс школы встает проблема изложения данного вопроса в школьных учебниках.

К реализации нового содержания в действующих учебниках авторы подошли по-разному. В одних учебниках элементы стохастики включены в основное содержание отдельными параграфами. Авторы же других учебников издают новое содержание в форме вкладышей – дополнительных глав к своим пособиям.

Рассмотрим примеры прикладных задач в теме «Комбинаторика. Теория вероятности и статистика»

В 5 классе на первом месте перед учителем стоит задача по формированию навыков систематического перебора. Начинать нужно с простых задач, где не так много элементов, важна сама суть перебора всех вариантов.

Три друга, Антон, Борис и Виктор, приобрели два билета на футбольный матч. Сколько существует различных вариантов похода на футбол?

Здесь необходимо перебрать всевозможные пары мальчиков.

После этого можно добавить условие, при котором, решая задачу, учитываем еще и место, на котором будет сидеть тот или иной мальчик, то есть учитывается порядок элементов в наборе.

Три друга, Антон, Борис и Виктор, приобрели два билета на футбольный матч на 1-е и 2-е места первого ряда стадиона. Сколько существует способов занять эти два места на стадионе? Записать все эти варианты.

Здесь мы можем использовать результаты предыдущей задачи. В ней мы не учитывали порядок, а теперь необходимо учитывать порядок, на каком месте будет сидеть тот или иной мальчик. Рассмотрим тот вариант, когда на матч пошли Антон и Борис, в этом случае возможно два варианта занять места на матче: 1-ое место – Антон, 2-ое место - Борис и наоборот 1-ое место Борис, а 2-ое Антон. То есть упорядочить два элемента мы можем двумя способами. Таким образом, решение предыдущей задачи дало нам два решения для этой задачи. Аналогично на каждый вариант предыдущей задачи мы получаем еще один вариант решения, итого 6 вариантов.

Антону, Борису и Виктору повезло, они купили 3 билета на футбол на 1-е, 2-е и 3-е места первого ряда стадиона. Сколькими способами могут занять мальчики эти места?

В данной задаче, как и в предыдущей важно на каких местах сидят мальчики, то есть нам нужно рассмотреть, сколько существует вариантов рассадить трех мальчиков на три разных места. Пусть на первом месте сидит Антон, тогда на оставшиеся два места двух оставшихся мальчиков мы можем усадить двумя способами, аналогично для случаев, когда на первом месте сидит Борис и Виктор. В результате получим 6 вариантов, то есть упорядочить 3 элемента мы можем шестью способами.

В предыдущих задачах, не учитывая порядка перебора не сложно перечислить все возможные варианты, так как их не так много, но часто при переборе возможных вариантов их может быть столько, что сложно оценить все ли возможные решения мы учли и не пропустили ли хотя бы одно из них. В этом случае необходимо упорядочить процедуру перебора, то есть перебирать возможные варианты в некотором порядке, определенном заранее, который позволяет не допускать повторений решений и пропускать возможные решения.

Сколько двузначных чисел можно составить, используя цифры 1,2,3.

Выпишем возможные двузначные числа. Но мы не будем выписывать эти числа как попало, а договоримся выписывать их в порядке возрастания, что позволит нам не пропускать числа и не повторяться. В процессе решения этой задачи может возникнуть такой вопрос, а может ли одна и та же цифра повторяться в числе два раза? (если не возникнет, то учитель может сам обратить на это внимание). Так как в данной задаче это условие не оговорено, то решим ее для обоих случаев, и увидим, что в каждом из них число решений различно. Из чего делаем вывод, что данное условие при решении задач необходимо учитывать.

В алфавите племени УАУА имеются только две буквы – «а» и «у». Сколько различных слов по три буквы в каждом можно составить, используя алфавит этого племени?

В этой задаче одна и та же буква может встречаться в слове как один, так два или три раза. И нужно рассмотреть все варианты.

Заметим, что очень удобно процесс перебора осуществлять путем построения специальной схемы, которая называется дерево возможных вариантов. Рассмотрим построение дерева возможных вариантов для данной задачи: сначала нужно выбрать первую букву – это могут быть буквы «а» или «у», поэтому в «дереве» из корня проведем две веточки с буквами «а» и «у» на концах. Вторая буква может быть опять как «а» так и «у», поэтому из каждой веточки выходит еще по две веточки и т.д.

Теперь, проходя по веточкам дерева, по порядку выписываем нужные нам сочетания букв - «слова»:

ааа; аау; ауа; ауу; уаа; уау; ууа; ууу.

Дерево помогает увидеть путь решения, учесть все варианты и избежать повторений. Нужно обратить внимание, что дерево возможных вариантов позволяет нам подсчитывать упорядоченные наборы

В 5 классе начинается работа по формированию вероятностных представлений у учащихся. Сначала рассмотрим понятие случайное событие.

Часто в жизни мы употребляем такие слова, как «возможно», «это невероятно», «это маловероятно» и т.д. Подобные выражения мы используем, когда говорим о событии, которое в одних условиях может произойти, а может и не произойти. Такие события называют случайными.

События, которые при данных условиях обязательно происходит, называют достоверным. События, которые при данных условиях не могут произойти, называют невозможными.

Для отработки данных понятий можно рассмотреть упражнения, в которых нужно определить является событие достоверным, невозможным или случайным.

Оцените, какие из перечисленных событий являются достоверными, какие невозможными, а какие случайными и почему вы так считаете:

А) при бросании кубика вы получите шестерку;

Б) при бросании кубика вы получите число больше 6;

В) при бросании кубика вы получите четное число;

Г) при бросании кубика вы получите число, которое делится на 7

Д) при бросании кубика вы получите число больше 1;

Е) при бросании кубика вы получите нечетное число;

Ж) кубик, упав, останется на ребре.

В мешке лежит 10 шаров: 3 синих, 3 белых и 4 красных. Какие из следующих событий являются случайными, достоверными и невозможными и почему вы так считаете:

А) из мешка вынули 4 шара и все они синие;

Б) из мешка вынули 4 шара и все они красные;

В) из мешка вынули 4 шара, и все они оказались разного цвета;

Г) из мешка вынули 4 шара, и среди них не оказалось шара черного цвета;

Ученик задумал натуральное число. Какие из следующих событий будут достоверными, невозможными и случайными и почему вы так считаете.

А) Задумано четное число;

Б) Задумано число, не являющееся ни четным, ни нечетным;

В) Задумано нечетное число;

Г) задумано число, являющееся четным или не четным.

События А и В являются случайными, так как может быть загадано как четное, так и нечетное число. Возникает вопрос, какое из событий более вероятно: задумано четное число или задумано нечетное число. Так как чисел четных и нечетных одинаковое количество, то оба эти события имеют равные шансы. Такие события называются равновероятными.

Также о некоторых случайных событиях мы можем сказать, что оно «маловероятно» или «очень вероятно».

 Укажите, какие из следующих событий – невозможные, достоверные, случайные, а о каких мы можем сказать, что оно «маловероятно» или «очень вероятно»:

1)                              футбольный матч «Спартак» - «Динамо» закончится вничью.

2)                               вы выиграете, участвуя в беспроигрышной лотерее.

3)                              в полночь выпадет снег, а через 24 часа будет светить солнце.

4)                              завтра будет контрольная по математике.

5)                              Вы получите «5» за контрольную работу по математике

6)                              30 февраля будет дождь.

7)                              вас изберут президентом США.

8)                              вас изберут президентом России.

9)                              круглая отличница получит двойку

Важно уже в 5 классе давать учащимся задачи следующего плана:

Данила и Наташа заспорили, кто из них будет первым читать интересную книгу. Тогда Наташа предложила сыграть в игру и книгу отдать победителю. Они взяли вертушку, которая изображена на рис.1,

 и установили следующие правила игры: каждый из них поочередно крутит вертушку; если стрелка останавливается в области 1, то 1 очко получает Наташа, а если – в области 2, то 1 очко получает Данила. Если стрелка попадает в область 3, то никто из ребят не получает очков. Кто первым наберет 20 очков, тот считается победителем и получает книгу. Как вы думаете, при таких правилах игра будет справедливой?

 Учащиеся еще не знакомы с понятием вероятность и при ответе на вопрос должны опираться на свою интуицию. Они должны понимать, что у Наташи больше шансов выиграть, чем у Данилы, так как область 1 в два раза больше, чем область 2, и больше вероятности, что вертушка остановится в области 2.

Очень важным элементом стохастики является анализ данных и начальным этапом анализа данных является работа с таблицами и диаграммами, которую необходимо начинать в 5 классе.

Начинать рассмотрение таблиц нужно с рассмотрения уже известных учащимся таблиц, в частности: страница классного журнала, расписание уроков и т.п. С такими таблицами учащиеся чаще всего уже уметь работать и извлекать из нее всю необходимую им информацию.

Часто в таблице для анализа информации необходимо бывает просуммировать содержащиеся в ней данные. Поэтому часто в таблицу включен столбик или строка «Всего» или «Итого», которые содержат полученные суммы.

В таблице№1 представлены результаты наблюдений за погодой в течение четырех месяцев.

Таблица №1.

Погода	Месяцы				Всего
	Декабрь	Январь	Февраль	Март
Ясно	5	9	7	10
Пасмурно	19	10	15	10
Переменная облачность	7	12	6	11

Заполните последний столбец.

Используя таблицу, ответьте на следующие вопросы:

1)                                     в каком месяце было больше всего ясных дней?

2)                                     В каких месяцах было одинаковое число пасмурных дней?

3)                                     Сколько всего пасмурных дней было за четыре месяца

4)                                     Сколько ясных дней было за всю зиму?

5)                                     Какая погода преобладала в феврале?

Здесь и работа со строками и со столбцами, и подсчет суммы нескольких ячеек.

Рассмотрим пример, показывающий практическую ценность сбора и анализа статистических данных.

Вы решили в свободное время собраться классом и организовать некоторое классное мероприятие, но еще не решили, что именно. Было бы целесообразным учесть мнение большинства учащихся класса, а для этого нужно провести опрос: «Как бы вы хотели провести свободное время классом?» и предложить варианты ответов. Результаты нужно занести в таблицу.

 Например, получили следующие результаты:

Таблица №2.

Сходить в кино	/ / / / /	5
Сходить в поход	/ / / / / / / / / /	10
Устроить дискотеку	/ / / /	4
Сходить в планетарий	/ /	2

Рассматривая эту таблицу, мы делаем вывод, что лучше всего будет сходить в поход, так как большинством учащихся класса был выбран именно этот вариант.

Таблица является одним из способов представления информации, но более наглядным является графическое представление данных. Это различные диаграммы: линейные, столбчатые и круговые.

Построим столбчатую диаграмму по нашей таблице:

По диаграмме мы сразу видим, что большинство учащихся хочет сходить в поход. И лишь два человека желают посетить планетарий.

Для представления соотношения между частями некоторого единого целого, удобно пользоваться круговыми диаграммами. Для нашего примера она будет выглядеть следующим образом:

В 6 классе в теме комбинаторика продолжаем рассматривать комбинаторные задачи, на первый план выходят задачи по подсчету числа возможных вариантов.

Существует несколько подходов к преподаванию комбинаторики: теоретико-множественный, лексико-графический и теоретико-вероятностный. В школе преимущество отдается теоретико-множественному подходу, но будет полезным частично обратиться и к лексико-графическому подходу. При таком подходе все определения опираются на представление об алфавите, словах, длине слов и др.

Решая задачи, иногда очень удобно использовать кодирование, то есть обращение к лексико-графическому подходу.

 Рассмотрим следующую задачу: несколько стран решили использовать для своего государственного флага символику в виде трех горизонтальных полос одинаковой ширины разных цветов – белого, синего, красного. Сколько стран могут использовать такую символику при условии, что у каждой страны – свой флаг.

Мы можем записывать наше решение следующим образом : «1 вариант: первая полоса – красная, вторая – синяя, третья – белая.» и т.д. Но это очень долго и не удобно, записывая так, сложно сориентироваться все ли варианты мы записали, и не повторились ли мы где-нибудь. Поэтому очень удобно ввести кодирование, т.е. некоторое условное обозначение перебираемых в задаче объектов. В нашем случае мы заменим первой буквой каждый цвет полосы. Белый соответственно – «Б», красный – «К» и синий – «С».

Введя кодирование, запись решения задачи очень упрощается. Мы имеем множество из трех элементов {Б, К, С}. Нужно составить различные комбинации из трех элементов, при этом порядок элементов учитывается. Например, запись «БКС» будет обозначать, что первая полоса флага – белая, вторая – красная, третья – синяя. Подобные задачи мы уже решали методом непосредственного перебора и построением дерева возможных вариантов.

При встрече 8 приятелей обменялись рукопожатиями. Сколько всего было сделано рукопожатий?

Данную задачу можно решать методом непосредственного перебора, и уже в самом начале заметим, что довольно сложно перебирать все возможные варианты и не запутаться, не говоря уже о записи решения этой задачи. Но, введя определенные обозначения - кодирование, решение будет очень легко представить

Каждому приятелю даем номер от 1 до 8, а рукопожатия закодируем следующим образом: например число 24 означает что 2-ой приятель пожал руку 4-му. При чем число 35 и 53 означают одно и тоже рукопожатие, и брать будем меньшее из них. Коды рукопожатий мы можем оформить следующей таблицей:

12, 13, 14, 15, 16, 17, 18,

23, 24, 25, 26, 27, 28,

34, 35, 36, 37, 38,

45, 46, 47, 48,

56, 57, 58,

67, 68,

78.

Таким образом, у нас получилось 1+2+3+4+5+6+7=28 рукопожатий.

После того как учащиеся научились составлять всевозможные наборы, на первый план выдвигается задача подсчета числа возможных вариантов.

Группа туристов планирует осуществить поход по маршруту Антоново – Борисово – Власово – Грибово. Из Антоново в Борисово можно сплавиться по реке или дойти пешком. Из Борисово во Власово можно пройти пешком или доехать на велосипедах. Из Власово в Грибово можно доплыть по реке, доехать на велосипедах или пройти пешком. Сколько всего вариантов похода могут выбрать туристы? Сколько вариантов похода могут выбрать туристы при условии, что хотя бы на одном из участков маршрута они должны использовать велосипеды?

Построим для этой задачи дерево возможных вариантов:

Пусть у нас «П»-обозначает путь пешком

«Р» - сплавиться по реке

«В» - доехать на велосипедах.

Ответ на второй вопрос также хорошо просматривается по дереву возможных вариантов.

Но эту задачу можно решить по-другому, с помощью рассуждений. Из Антоново в Борисово у нас 2 варианта каким образом продолжать путь, из Борисово во Власово тоже 2 варианта, т.е. на каждый вариант первого участка пути у нас есть по 2 варианта второго участка пути и того на данном этапе у нас будет 2*2=4 варианта выбора способа передвижения. На каждый из этих 4 вариантов существует по 3 варианта способа передвижения по третьему участку пути из Власово в Грибово, т.е. 4*3=12. Ответ в этой задаче мы получили умножением.

Еще одним способом подсчета комбинаторных наборов является использование правила суммы.

Из класса нужно выделить одного дежурного, мальчика или девочку. Сколько существует способов для выбора дежурного, если в классе 22 девочки и 18 мальчиков?

Выбрать одну девочку из 22 мы можем 22-мя способами, а одного мальчика из 18 можно 18-тью способами. Тогда выбрать одного дежурного мальчика или девочку можно (18+22) способами.

Для подсчета вариантов мы использовали здесь правило суммы, которое можно сформулировать так: если два действия взаимно исключают друг друга, причем одно из них можно выполнить п способами, а другое – m способами, то какое-либо одно из них можно выполнить n+m способами. В нашем примере действия исключают друг друга, так как мы должны выбрать либо мальчика из одного множества, либо девочку из другого.

В 6 классе продолжаем вероятностную линию. Начинаем с повторения, что такое случайное событие, определение его достоверности (невозможное, достоверное, маловероятное). Новой задачей становится формирование умения оценивать вероятности двух и более событий (более или менее вероятно).

Полезно рассматривать задачи, в которых при ответе на вопросы необходимо опираться на свою интуицию. Можно рассматривать реальные жизненные ситуации, чтоб учащиеся видели непосредственную связь изучаемого с действительностью.

Вы купили в магазине телевизор, на который фирма-производитель дает два года гарантии. Какие из следующих событий невозможные, случайные, достоверные:

А) телевизор не сломается в течении года.

Б) телевизор не сломается в течении двух лет.

В) в течение двух лет вам не придется платить за ремонт телевизора.

Г) телевизор сломается на третий год.

Здесь нужно обратить внимание учащихся, что первые два события случайные, так как, во-первых, гарантия фирмы производителя вовсе не обозначает, что в течение двух лет телевизор будет работать идеально, а во-вторых, можно рассмотреть и тот случай, когда телевизор может сломаться по вине покупателя. Событие Г также является случайным, так как нельзя говорить, что телевизор обязательно сломается после того, как закончится срок гарантии.

В 6 классе учащимся предлагается качественно новая деятельность для урока математики – проведение экспериментов. Это могут быть эксперименты с подбрасыванием кубика, монеты или кнопки. Все результаты экспериментов необходимо оформлять в виде таблиц, которые заполняются по ходу эксперимента.

Для проведения экспериментов учащихся лучше разбить группы по 2-3 человека, один из которых будет фиксировать результаты эксперимента, а остальные проводить его.

Могут быть предложены следующие задания-эксперименты.

Задание №1. 100 раз подбросить монету и зафиксировать количество выпадений «орла» и «решки».

Задание №2. 100 раз подбросить кнопку и зафиксировать количество раз, когда кнопка упала острием вниз и количество раз, когда кнопка упала острием вверх.

Задание №3. Выберите какой-нибудь текст, содержащий 150 слов. Подсчитайте число слов, составленных из 6 букв.

Задание №4. Выберите 7 строк произвольного текста (можно несколько различных текстов). Подсчитайте сколько раз встречаются в тексте буквы о, е, а, ю.

Результатом должны быть таблицы примерно такого плана:

Таблица №1. «Эксперимент по подбрасыванию монеты».

Событие	Количество выпадений	итого
Выпал «орел»	/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /	58
Выпала «решка»	/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /	42

После проведения эксперимента, введем понятие частота и вероятность случайного события.

Кроме экспериментов, рассматриваются задачи с уже известными данными о появлении некоторого события, и требуется вычислить вероятность этого события.

Известно, что на 100 батареек попадаются 3 бракованные. Какова вероятность купить бракованную батарейку.

В этой задаче необходимо вычислить вероятность события А: «купить бракованную батарейку», зная, что из ста случаев, это событие произошло 3 раза. Таким образом, получаем, что Р(А) = 0,03.

Составляя таблицы с результатами, проведенных экспериментов, учащиеся приобретают навыки работы со статистическими данными (представление статистических данных и некоторые выводы из них).

Кроме этого в 6 классе рассматриваются задачи непосредственно направленные на работу с таблицами (чтение и составление).

Некоторые таблицы бывают очень простые (с ними мы работали в 5 классе), но бывают таблицы и по сложнее. Например, турнирные таблицы, в которых записывается ход соревнования и его результаты.

Рассмотрим турнирную таблицу, в которой представлены итоги шахматного турнира с четырьмя участниками:

№	Фамилия	1	2	3	4	Очки	Место
1	Виноградов О.		0	0	1
2	Галкин М.	1		Ѕ	1
3	Поликарпов С.	1	Ѕ		0
4	Антипов Е.	0	0	1

За победу участник получает 1 очко, за проигрыш – 0, а за ничью -1/2.

По данной таблице могут быть заданы следующие вопросы:

1) сколько партий сыграл каждый участник

2) как сыграл Поликарпов с каждым из участников

3) заполнить последний столбец, сосчитав, сколько очков набрал каждый участник.

4) определить, используя данные в столбце «Очки», как распределились места между участниками.

Вероятностно-статистическая линия в базовом курсе математики основной школы предпринята в учебниках Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. «Алгебра: элементы статистики и теории вероятностей».Под редакцией Теляковского С.А.

Это учебное пособие предназначено для учащихся 7-9 классов, оно дополняет учебники: Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. «Алгебра 7», «Алгебра 8», «Алгебра 9», под редакцией Теляковского С.А.

 Книга состоит из четырех параграфов. В каждом пункте содержатся теоретические сведения и соответствующие упражнения. В конце пункта приводятся упражнения для повторения. К каждому параграфу даются дополнительные упражнения более высокого уровня сложности по сравнению с основными упражнениями.

В 7 классе (§1) материал объединен в параграф «статистические характеристики», который знакомит с простейшими статистическими характеристиками (среднее арифметическое, мода, медиана, размах). Упражнения к параграфу можно разделить на 2 группы. Первую группу составляют задания на отыскание рассматриваемых характеристик и истолкование их практического смысла. Ко второй группе относятся задания, которые требуют не только знания определений изучаемых статистических характеристик, но и умений проводить необходимые рассуждения, использовать ранее введенный алгебраический аппарат.

Материал, изучаемый в 8 классе (§2) также объединен в один параграф «Статистические исследования», где рассматриваются вопросы организации статистических исследований и наглядного представления статистической информации (таблицы частот). Сначала повторяются основные статистические характеристики. Вводятся новые понятия: интервальный ряд, сплошное и выборочное исследования, выборка, генеральная совокупность, репрезентативность. Знакомство с новыми видами наглядной интерпретации результатов статистических исследований – полигонами и гистограммами

Наибольший объем материала приходится на 9 класс. Здесь есть 2 параграфа.

 §3 «Элементы комбинаторики» содержит 4 пункта:

1.      Примеры комбинаторных задач. На простых примерах демонстрируется решение комбинаторных задач методом перебора возможных вариантов. Этот метод иллюстрируется с помощью построение дерева возможных вариантов. Рассматривается правило умножения.

2.      Перестановки. Вводится само понятие и формула подсчета перестановок.

3.      Размещения. Понятие вводится на конкретном примере. Выводится формула числа размещений.

4.      Сочетания. Понятие и формула числа сочетаний.

§4 «Начальные сведения из теории вероятностей».

 Изложение материала начинается с рассмотрения эксперимента, после чего вводят понятие «случайное событие» и «относительная частота случайного события». Вводится статистическое и классическое определение вероятности. Параграф завершается пунктом «сложение и умножение вероятностей». Рассматриваются теоремы сложения и умножения вероятностей, вводятся связанные с ними понятия несовместные, противоположные, независимые события. Этот материал рассчитан на учащихся, проявляющих интерес и склонности к математике, и может быть использован для индивидуальной работы или на внеклассных занятиях с учащимися.

Предлагаю ряд зада, которые рассматриваются в данном курсе:

1.      В группе 30 человек, необходимо выбрать старосту и профорга. Сколькими способами можно это сделать?

Решение: Старостой может быть выбран любой из 30 учащихся. После того как староста выбран, профоргом можно выбрать любого из оставшихся 29 учащихся. Одному способу выбора старосты соответствуют 29 способов выбора профорга. Следовательно, общее число способов выбора старосты и профорга равно 3029 =  = 870.

2.      Имеется 20 изделий первого сорта и 30 изделий второго сорта. Необходимо выбрать два изделия одного сорта. Сколькими способами можно это сделать?

Решение:  Выбор изделий 1-го сорта: 2019 = 380.

 Выбор изделий 2-го сорта: 3029 = 870.

                  Общее число способов выбора изделий одного сорта: 380 + 870 = 1250.

3.      Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5 при условии, что ни одна из них в числе не повторяется.

Решение:

4.       Сколько двузначных чисел можно составить из пяти цифр 1, 2, 3, 4, 5 при условии, что цифры в числе не повторяются.

Решение: 

5.        Сколькими способами можно выбрать трех дежурных из 30 человек в группе?

Решение: 

6.      Сколькими способами можно группу из 12 человек разбить на две подгруппы, в одной из которых должно быть не более пяти, а во второй – не более девяти человек?

Решение: Первая подгруппа может состоять из 3, 4 или 5 человек. Выбор первой подгруппы однозначно определяет вторую, следовательно, искомое число способов: 

7.       Сколько существует вариантов опроса 11 учащихся на одном занятии, если ни один из них не будет подвергнут опросу дважды и на занятии может быть опрошено любое количество учащихся, причем, порядок, в котором опрашиваются учащиеся, безразличен?

Решение:  Преподаватель может не спросить ни одного из учащихся или может спросить 1,2,3, … или 11 учащихся. Тогда число всех возможных вариантов опроса равно:  .

8.        30 учащихся обменялись друг с другом фото. Сколько всего фото было            роздано?

Решение:

9.        Сколькими способами можно заполнить лотерейный билет 5 из 36?

Решение:

10.    Сколькими способами можно составить дозор из трех солдат и одного                 офицера, если имеется 80 солдат и три офицера.

Решение:

11.   Сколько разных «слов» можно составить из букв слова: а) «стена»,                    б) «гамма»?

Решение:  а) 

                  б) 

12.   В продажу поступили открытки 10 разных видов. Сколькими способами можно образовать набор из 12 открыток?

Решение:

13.   Сколько разных трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, если одна и та же цифра может повторяться несколько раз?

Решение: 

14.   В колоде 32 карты. Раздаются три карты. Сколько может быть случаев появления одного туза среди розданных карт?

Решение:

15.   Четыре студента сдают экзамен. Сколько может быть вариантов распределения оценок, если известно, что так или иначе все они сдали экзамен?

Решение: 

16.   Сколько пятизначных чисел можно образовать из цифр 0 и 1?

Решение:

17.   Абитуриенту нужно сдать четыре экзамена и набрать не менее 17 баллов(«2» получать нельзя). Сколько существует разных наборов экзаменационных оценок, дающих ему право поступления?

18.   Среди перестановок цифр 1, 2, 3, 4, 5 сколько таких, которые не начинаются цифрами 3 и 5?

19.   Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 составляются всевозможные пятизначные числа без повторяющихся цифр.

а). Сколько всего получится таких чисел?

б). Сколько среди них будут начинаться с цифры 5?

в). Сколько чисел будут оканчиваться комбинацией 41?

г). Сколько получится четных и сколько нечетных чисел?

д). Сколько получится чисел, кратных 3?

Краткое описание документа:

Современная концепция школьного математического образования ориентирована, прежде всего, на учет индивидуальности ребенка, его интересов и склонностей. Этим определяются критерии отбора содержания, разработка и внедрение новых, интерактивных методик преподавания, изменения в требованиях к математической подготовке ученика. И с этой точки зрения, когда речь идет не только об обучении математике, но и формировании личности с помощью математики, необходимость развития у всех школьников вероятностной интуиции и статистического мышления становится насущной задачей. Причем речь сегодня идет об изучении вероятностно-статистического материала в обязательном основном школьном курсе «математике для всех» в рамках самостоятельной содержательно-методической линии на протяжении всех лет обучения.