Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Банковская задача на % (материалы к ЕГЭ по математике) 10 - 11 класс
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Математика

Банковская задача на % (материалы к ЕГЭ по математике) 10 - 11 класс

библиотека
материалов

Банковская задача на %

"Немножко странно, но интересно" (материалы ЕГЭ по математике). 10–11-й класс



С 2015 года экзамен по математике стал двухуровневым. В экзаменационную работу для профильного уровня входит “банковская” задача (№17).

Предлагаю решения некоторых “банковских” задач.

Тексты задач взяты из сборника: ЕГЭ-2016: Математика: 30 вариантов экзаменационных работ для подготовки к единому государственному экзамену: профильный уровень / под ред. И. В. Ященко. – Москва: АСТ: Астрель, 2016 [1].

Предполагается использование данного материала во внеклассной работе по математике с учащимися 10-11 классов.

Задача №1

15 января планируется взять кредит в банке на сумму 1,2 млн. рублей на 24 месяца. Условия его возврата таковы:

1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;

со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Какую сумму нужно вернуть банку в течение первого года (первых 12 месяцев) кредитования?

Решение

1) Ежемесячные выплаты по кредиту (без процентов) составляют 1 200 000:24 = 50 000 (руб.). За 12 месяцев нужно выплатить 600 000 рублей (без процентов).

2) Подсчитаем, какую сумму составляют проценты за первые 12 месяцев.

1 200 000http://festival.1september.ru/articles/657878/Image2386.gif0,01 + 1 150 000 http://festival.1september.ru/articles/657878/Image2386.gif0,01 + 1 100 000 http://festival.1september.ru/articles/657878/Image2386.gif0,01 + ... +650 000http://festival.1september.ru/articles/657878/Image2386.gif0,01 =

= 0,01http://festival.1september.ru/articles/657878/Image2386.gif(1 200 000 + 1 150 000 + 1 100 000 + ... + 650 000) =

= http://festival.1september.ru/articles/657878/Image2387.gif12http://festival.1september.ru/articles/657878/Image2388.gif0,01=11 100 000http://festival.1september.ru/articles/657878/Image2386.gif0,01=111 000 (руб.).

3) 600 000 + 111 000 = 711 000(руб.) – сумма, которую нужно вернуть банку в течение первого года.

Ответ: 711 000 рублей

Задача №2

15 января планируется взять кредит в банке на 24 месяца. Условия его возврата таковы:

1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;

со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что в течение первого года (первых 12 месяцев) кредитования нужно вернуть банку 933 тыс. рублей. Какую сумму нужно вернуть банку в течение второго года (последних 12 месяцев) кредитования?

Решение

1) Ежемесячные выплаты по кредиту (без процентов) составляют Х рублей.

Сумма кредита составляет (24http://festival.1september.ru/articles/657878/Image2389.gifХ) рублей. За 12 месяцев нужно выплатить (12http://festival.1september.ru/articles/657878/Image2390.gifХ) рублей (без процентов).

2) Пусть Р – сумма, которую составляют проценты за первые 12 месяцев.

Составим и решим уравнение: 933 000 = 12Х + Р.

Р = (24Х + 23Х +...+ 13Х) http://festival.1september.ru/articles/657878/Image2390.gif0,03 = http://festival.1september.ru/articles/657878/Image2391.gifhttp://festival.1september.ru/articles/657878/Image2386.gif12http://festival.1september.ru/articles/657878/Image2386.gif0,03 = 37Хhttp://festival.1september.ru/articles/657878/Image2386.gif0,18 = 6,66Х;

933 000 = 12Х + 6,66Х;

933 000 = 18, 66Х;

Х = 50 000.

Ежемесячные выплаты по кредиту (без процентов) составляют 50 000 рублей.

3) 50 000 http://festival.1september.ru/articles/657878/Image2386.gif12 = 600 000 (руб.) нужно вернуть банку в течение второго года (без процентов).

Подсчитаем, какую сумму составляют проценты за последние 12 месяцев.

(12Х + 11Х + ... + Х) http://festival.1september.ru/articles/657878/Image2386.gif0,03 = http://festival.1september.ru/articles/657878/Image2392.gifhttp://festival.1september.ru/articles/657878/Image2386.gif12http://festival.1september.ru/articles/657878/Image2386.gif0,03 = 13Хhttp://festival.1september.ru/articles/657878/Image2386.gif0,18 = 2,34Х;

2,24http://festival.1september.ru/articles/657878/Image2386.gif50 000=117 000 (руб.)

4) 600 000 + 117 000 = 717 000 (руб.) – сумма, которую нужно вернуть банку в течение второго года.

Ответ: 717 000 рублей

Задача №3

15 января планируется взять кредит в банке на 24 месяца. Условия его возврата таковы:

1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;

со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что в течение второго года (последних 12 месяцев) кредитования нужно вернуть банку 798,75 тыс. рублей. Какую сумму нужно вернуть банку в течение первого года (первых 12 месяцев) кредитования?

Решение

1) Ежемесячные выплаты по кредиту (без процентов) составляют Х рублей. Сумма кредита составляет (24http://festival.1september.ru/articles/657878/Image2390.gifХ) рублей. За 12 месяцев нужно выплатить (12http://festival.1september.ru/articles/657878/Image2390.gifХ) рублей (без процентов).

2) Пусть Р – сумма, которую составляют проценты за последние 12 месяцев.

Составим и решим уравнение: 798,75 = 12Х + Р.

Р = (12Х+11Х+...+Х) http://festival.1september.ru/articles/657878/Image2386.gif0,01 = http://festival.1september.ru/articles/657878/Image2393.gifhttp://festival.1september.ru/articles/657878/Image2386.gif12http://festival.1september.ru/articles/657878/Image2386.gif0,01 = (12Х + Х) http://festival.1september.ru/articles/657878/Image2386.gif0,06 = 0,78Х;

798 750 = 12Х + 0,78Х; 798 750 = 12,78Х; Х = 62 500.

Ежемесячные выплаты по кредиту (без процентов) составляют 62 500 рублей.

3) 62 500http://festival.1september.ru/articles/657878/Image2386.gif12 = 750 000 (руб.) нужно вернуть банку в течение первого года (без процентов).

Подсчитаем, какую сумму составляют проценты за первые 12 месяцев.

(24Х + 23Х + ... +13Х) http://festival.1september.ru/articles/657878/Image2386.gif0,01 = http://festival.1september.ru/articles/657878/Image2394.gifhttp://festival.1september.ru/articles/657878/Image2386.gif12http://festival.1september.ru/articles/657878/Image2386.gif0,01 = 37http://festival.1september.ru/articles/657878/Image2386.gif6http://festival.1september.ru/articles/657878/Image2386.gif0,01http://festival.1september.ru/articles/657878/Image2386.gifХ = 2,22http://festival.1september.ru/articles/657878/Image2386.gif62 500 = 138 750 (руб.)

4) 750 000 + 138 750 = 888 750 (руб.) – сумма, которую нужно вернуть банку в течение первого года.

Ответ: 888 750 рублей

Задача №4

15 января планируется взять кредит в банке на 24 месяца. Условия его возврата таковы:

1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;

со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что в течение первого года (месяцев первых 12) кредитования нужно вернуть банку 1399,5 тыс. рублей. Какую сумму планируется взять в кредит?

Решение

1) Ежемесячные выплаты по кредиту (без процентов) составляют Х рублей

Сумма кредита составляет (24http://festival.1september.ru/articles/657878/Image2386.gifХ) рублей. За 12 месяцев нужно выплатить (12http://festival.1september.ru/articles/657878/Image2386.gifХ) рублей (без %).

2) Пусть Р – сумма, которую составляют проценты за первые 12 месяцев.

Составим и решим уравнение: 1 399 500 = 12Х + Р.

Р = (24Х + 23Х +...+ 13Х)http://festival.1september.ru/articles/657878/Image2386.gif0,03=http://festival.1september.ru/articles/657878/Image2395.gifhttp://festival.1september.ru/articles/657878/Image2386.gif12http://festival.1september.ru/articles/657878/Image2386.gif0,03=(24Х + 13Х)http://festival.1september.ru/articles/657878/Image2386.gif0,18 = 6,66Х;

1 399 500 = 12Х + 6,66Х;

1 399 500 = 18, 66Х;

Х = 75 000.

Ежемесячные выплаты по кредиту (без процентов) составляют 75 000 рублей.

3) 75 000http://festival.1september.ru/articles/657878/Image2386.gif24 = 1 800 000 (руб.) - сумма планируемого кредита.

Ответ: 1 800 000 рублей

Задача №5

15 января планируется взять в кредит в банке на 24 месяца. Условия его возврата таковы:

1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;

со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что в течение второго года (последних 12 месяцев) кредитования нужно вернуть банку 1695 тыс. рублей. Какую сумму планируется взять в кредит?

Решение

1) Ежемесячные выплаты по кредиту (без процентов) составляют Х рублей.

Сумма кредита составляет (24http://festival.1september.ru/articles/657878/Image2386.gifХ) рублей. За 12 месяцев нужно выплатить (12http://festival.1september.ru/articles/657878/Image2386.gifХ) рублей (без процентов).

2). Пусть Р – сумма, которую составляют проценты за первые 12 месяцев.

Составим и решим уравнение: 1 695 000 = 12Х + Р.

Р = (12Х + 11Х +...+ Х)http://festival.1september.ru/articles/657878/Image2386.gif0,02 = http://festival.1september.ru/articles/657878/Image2396.gifhttp://festival.1september.ru/articles/657878/Image2386.gif12http://festival.1september.ru/articles/657878/Image2386.gif0,02 = 13Х http://festival.1september.ru/articles/657878/Image2386.gif0,12 = 1,56Х;

1 695 000= 12Х + 1,56Х;

1 695 000 = 13, 56Х;

Х = 125 000.

Ежемесячные выплаты по кредиту (без процентов) составляют 125 000 рублей.

3) 125 000http://festival.1september.ru/articles/657878/Image2386.gif24 = 3 000 000 (руб.) - сумма планируемого кредита.

Ответ: 3 000 000 рублей

Задача №6

15 января планируется взять в кредит в банке на 9 месяцев. Условия его возврата таковы:

1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;

со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что на пятый месяц (со 2 по 14 июня) кредитования нужно выплатить банку 44 тыс. рублей. Какую сумму нужно выплатить банку в течение всего срока кредитования?

Решение

1) Ежемесячные выплаты по кредиту (без процентов) составляют Х рублей. Сумма кредита составляет (9http://festival.1september.ru/articles/657878/Image2386.gifХ) рублей (без процентов).

2) Пусть р – сумма, которую составляют проценты на пятый месяц кредитования.

Составим и решим уравнение: 44 000 = Х + р.

За пять месяцев сумма кредита составит (5http://festival.1september.ru/articles/657878/Image2386.gifХ) руб.

На пятый месяц проценты составят р = 5Хhttp://festival.1september.ru/articles/657878/Image2386.gif0,02 = 0,1Х (руб.).

Тогда 44 000 = Х + 0,1Х; 44 000 = 1,1Х;

Х = 40 000 (руб.) составляет сумма ежемесячных выплат (без процентов).

Сумма кредита составляет 40 000http://festival.1september.ru/articles/657878/Image2386.gif9 = 360 000(руб.)

3) Подсчитаем сумму, которую составляют проценты за весь период:

(9Х + 8Х +...+ Х) http://festival.1september.ru/articles/657878/Image2386.gif0,02 = http://festival.1september.ru/articles/657878/Image2397.gifhttp://festival.1september.ru/articles/657878/Image2386.gif9http://festival.1september.ru/articles/657878/Image2386.gif0,02 = 10Хhttp://festival.1september.ru/articles/657878/Image2386.gif0,09 = 0,9Х;

0,9http://festival.1september.ru/articles/657878/Image2386.gif40 000 = 36 000(руб.)

4) 360 000 + 36 000 = 396 000(руб.) - сумма, которую нужно выплатить банку в течение всего срока кредитования.

Ответ: 396 000 рублей

Задача №7

15 января планируется взять кредит в банке. Условия его возврата таковы:

1-го января каждого года долг возрастает на a% по сравнению с концом предыдущего года;

выплата части долга происходит в январе каждого года после начисления процентов.

Если переводить в банк каждый год по 2 073 600 рублей, то кредит можно выплатить за 4 года. Если переводить по 3 513 600 рублей, то за 2 года.

Найдите a.

Решение

http://festival.1september.ru/articles/657878/Image2398.gif+http://festival.1september.ru/articles/657878/Image2399.gif+http://festival.1september.ru/articles/657878/Image2400.gif+http://festival.1september.ru/articles/657878/Image2401.gif=http://festival.1september.ru/articles/657878/Image2402.gif+http://festival.1september.ru/articles/657878/Image2403.gif, 1+0,01ahttp://festival.1september.ru/articles/657878/Image2386.gif0.

20736+http://festival.1september.ru/articles/657878/Image2405.gif+http://festival.1september.ru/articles/657878/Image2406.gif+http://festival.1september.ru/articles/657878/Image2407.gif= 35136+http://festival.1september.ru/articles/657878/Image2408.gif;

http://festival.1september.ru/articles/657878/Image2409.gif+http://festival.1september.ru/articles/657878/Image2410.gif-http://festival.1september.ru/articles/657878/Image2411.gif-14400 = 0. Пусть 1+0,01a = х;

http://festival.1september.ru/articles/657878/Image2412.gif+http://festival.1september.ru/articles/657878/Image2413.gif-http://festival.1september.ru/articles/657878/Image2414.gif-14400 = 0;

20736(1+х) - 14400х2(1+х) = 0;

(1+х)(20736 - 14400 х2) = 0;

1+х = 0

20736 - 14400 х2 = 0;

х2 = 1,44;

х = -1

х1 = - 1,2,

х2 =1,2.

1) 1+0,01a = -1;

2) 1+0,01a = - 1,2;

3) 1+0,01a =1,2;

0,01a = -2;

0,01a = - 2,2;

0,01a = 0,2;

а = -2 (не имеет смысла).

а = - 220.(не имеет смысла).

а = 20

Ответ: 20%

Использована формула [2]: если вклад на Х рублей полностью расходуется за n ежегодных выплат, равных v1 ,v2 ,..., vn , осуществлённых после начисления р % по вкладу, то

Х = http://festival.1september.ru/articles/657878/Image2415.gif+http://festival.1september.ru/articles/657878/Image2416.gif+...+http://festival.1september.ru/articles/657878/Image2417.gif.

Задача №8

15 июля взяли кредит в банке. Условия его возврата были таковы:

1-го января каждого года долг возрастает на 14 % по сравнению с концом предыдущего года;

выплата части долга происходит с февраля по июнь каждого года после начисления процентов.

Кредит был погашен двумя равными платежами по 4 548 600 рублей (то есть за два года). Какую сумму банк выдал в кредит?

Решение

Х = http://festival.1september.ru/articles/657878/Image2418.gif+ http://festival.1september.ru/articles/657878/Image2419.gif= http://festival.1september.ru/articles/657878/Image2420.gif+ http://festival.1september.ru/articles/657878/Image2421.gif= 3 990 000 + 3 500 000 = 7 490 000 (руб.)

сумма, которую банк выдал в кредит.

Ответ: 7 490 000 рублей

Задача №9

15 января планируется взять кредит в банке на сумму 6 902 000 рублей. Условия его возврата таковы:

1-го января каждого года долг возрастает на 12,5% по сравнению с концом предыдущего года;

выплата части долга происходит в январе каждого года равными суммами после начисления процентов.

Какую сумму нужно возвращать банку ежегодно, чтобы выплатить долг четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)?

Решение

Х = http://festival.1september.ru/articles/657878/Image2422.gif+http://festival.1september.ru/articles/657878/Image2423.gif+http://festival.1september.ru/articles/657878/Image2424.gif+http://festival.1september.ru/articles/657878/Image2425.gif; 6902000 = vhttp://festival.1september.ru/articles/657878/Image2386.gif(http://festival.1september.ru/articles/657878/Image2426.gif+http://festival.1september.ru/articles/657878/Image2427.gif+http://festival.1september.ru/articles/657878/Image2428.gif+http://festival.1september.ru/articles/657878/Image2429.gif);

6 902 000 = v http://festival.1september.ru/articles/657878/Image2430.gif; 6 902 000 = vhttp://festival.1september.ru/articles/657878/Image2386.gifhttp://festival.1september.ru/articles/657878/Image2431.gif;

v = http://festival.1september.ru/articles/657878/Image2432.gif=350http://festival.1september.ru/articles/657878/Image2386.gif6 561 = 2 296 350 (руб.) – сумма, которую нужно возвращать банку ежегодно.

Ответ; 2 296 350 рублей

Задача №10

15 января 2012 года банк выдал кредит на сумму 1 млн. рублей. Условия его возврата таковы:

1-го января каждого года долг возрастает на a% по сравнению с концом предыдущего года;

выплата части долга происходит в январе каждого года после начисления процентов.

Кредит был погашен за два года, и при этом в первый год была переведена сумма в 600 тыс. рублей, а во второй раз – 550 тыс. рублей.

Найдите a.

Решение

1 000 000 = http://festival.1september.ru/articles/657878/Image2433.gif+http://festival.1september.ru/articles/657878/Image2434.gif; 20 = http://festival.1september.ru/articles/657878/Image2435.gif+http://festival.1september.ru/articles/657878/Image2436.gif; 20(1+0,01a)2 – 12(1+0,01a) – 11 = 0.

Введём новую переменную: 1+0,01a = х и решим уравнение 20х2 – 12х – 11 = 0. D = 1024 = 322.

х1 = - 0,5

х2 = 1,1,

1). 1+0,01a = -0,5;

2). 1+0,01a = 1,1;

0,01a = -1,5;

0,01a = 1,1;

a = -150 (не имеет смысла).

a = 10.

Ответ: 10%

Список литературы

  1. ЕГЭ-2016: Математика: 30 вариантов экзаменационных работ для подготовки к единому государственному экзамену: профильный уровень / под ред. И. В. Ященко. – Москва: АСТ: Астрель, 2016. – 135 с. – (Государственная итоговая аттестация).

  2. Математика. ЕГЭ. 2015. Книга II. Профильный уровень / Д. А. Мальцев, Л. И. Мальцева. – Ростов н/Д: Издатель Мальцев Д. А.; М.: Народное образование, 2015. – 412 с.



Краткое описание документа:

С 2015 года экзамен по математике стал двухуровневым. В экзаменационную работу для профильного уровня входит “банковская” задача (№17).

Предлагаю решения некоторых “банковских” задач. Предполагается использование данного материала во внеклассной работе по математике с учащимися 10-11 классов. Тексты задач взяты из сборника: ЕГЭ-2016: Математика: 30 вариантов экзаменационных работ для подготовки к единому государственному экзамену: профильный уровень / под ред. И. В. Ященко. – Москва: АСТ: Астрель, 2016

Автор
Дата добавления 12.03.2016
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров3495
Номер материала ДВ-520341
Получить свидетельство о публикации

Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх