Математические игры.
Задача 1. Двое
по
очереди берут из кучи камни. Разрешается брать любую степень двойки (1, 2,
4...). Взявший последний камень выигрывает. Кто победит в этой игре?
Задача 2. В
куче 1997 камней, которые двое берут по очереди. Разрешается взять 1, 10 или 11
камней. Выигрывает взявший последний камень. Кто должен победить?
Задача 3. Изменим
условие предыдущей задачи: взявший последний камень
проигрывает. Кто теперь победит?
Задача 4. Двое по
очереди берут камни из двух куч. За один ход можно взять: а) любое число
камней из одной кучи или б) из обеих куч поровну. Взявший последним выигрывает.
Кто должен выиграть?
Задача 5. В трёх
кучах лежат 1997, 1998 и 1999 камней. Играют двое. За один ход разрешается
убрать две кучи, а третью разделить на три новые (непустые) кучи. Выигрывает
тот, кто не может сделать ход. Кто победит-первый или второй игрок?
Задача 6. Двое
играющих по очереди красят полоску из 150 клеток: первый
всегда красит две клетки подряд, а второй - три. Проигрывает тот, кто не может
сделать ход. Кто должен выиграть при правильной игре?
Задача 7. Двое
играют на полосе из 12 клеток. При каждом ходе можно
поставить на любое поле шашку или сдвинуть на одну клетку вправо выставленную
ранее шашку. Игрок выигрывает, когда занимает шашкой последнее свободное поле
полосы. Кто победит? (Понятно, что на каждой клетке может размещаться
только одна шашка.)
Задача 8. Двое
играют, поочередно выставляя крестики и нолики на
квадратном поле 9х9. В конце каждый получает очко за каждую строку и
столбец, в которых его знаков больше. Сможет ли первый игрок выиграть?
Задача 9. Из 1997 первый играющий вычитает 1, 7 или 9. Второй вычитает из
результата число, которое записывается одной из нулевых цифр результата, и
т. д. Побеждает тот, у кого получится 0. У кого?
Задача 10. Поставлено 10 точек в ряд. Двое играющих поочередно
заменяют точки цифрами. Второй игрок стремится к тому, чтобы полученное число
делилось на 41. Удастся ли ему этого добиться?
Задача 11. Перед
числами 1, 2, ..., 100 двое играющих по очереди ставят знаки плюс или минус.
Когда все знаки расставлены, вычисляется сумма. Первый стремится минимизировать
ее модуль, второй - сделать его как можно больше. Какой результат можно
считать ничейным? Каковы границы модуля суммы?
Задача 12.
Выписаны в ряд числа от 1 до 1997.Играют двое. За один ход
можно вычеркнуть любое число и все его делители. Выигрывает тот, кто
зачеркивает последнее число. Докажите, что это первый игрок.
1. Если исходное число камней
делится на 3, то выигрывает второй, беря каждый раз по 1 или 2 камня и
оставляя число камней, которое делится на 3
2. Первый. Начнём с конца.
Выигрывающие остатки камней: 0, 2, 4, 6, 8; 20, 22, 24, 26, 28; ...; 1980,
1982, 1984, 1986, 1988 . Первым ходом первый игрок берёт 11
камней.
3. Победит снова первый.
Выигрывающие остатки камней: 1, 3, 5, 7, 9; 21, 23, 25, 27, 29; ...; 1981,
1983, 1985, 1987, 1989. Первый сначала берёт 10 камней.
4. Сначала рассмотрим пример игры.
Пусть первоначальное значение камней в кучах - 1000 и 18. Будем записывать
остаток камней в каждой куче после каждого хода: (11, 18), (5, 12), (5, 3), (1,
3), (1, 2), (1, 1), (0, 0). Набор (1, 2), который обеспечил первому игроку
победу, назовём выигрывающим. Разность между числами равна d=2-1=1. Найдём
предыдущую выигрывающую комбинацию: взяв разность d=2, видим, что первым
числом должно быть такое, какое еще не встречалось в выигрывающих комбинациях
(т.е. 3), а второе-сумма первого и d (т.е. 5). По этому же принципу получим и
следующие выигрывающие комбинации: d = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 ...; a = 1, 3, 4, 6, 8, 9, 11, 12, 14, 16, 17,…; b = 2, 5, 7, 10, 13, 15, 18, 20, 23,
26, 28 ...
Ответ:
Если начальная расстановка не является выигрывающей комбинацией, то первый
игрок ставит выигрывающий набор и побеждает. Если начальная расстановка -
выигрывающая комбинация, то побеждает второй.
5.Выигрывает первый. Стратегия выигрыша
проста: надо добиваться, чтобы некоторых новых кучах число камней оканчивалось
цифрами 3 или 4, а в остальных новых кучах - не превышало 4. Например,
кучу из 1999 камней можно разделить на такие три: 563, 663, 773 или 2, 3, 1994
и т. д. Легко видеть, что противник не может воспользоваться той же
стратегией. Через несколько ходов первый игрок предложит 3 кучи: в одной 3или
4 камня, в двух других - не более, чем по 4. Второй игрок может сделать ход, а
следующий ход уже невозможен.
6.Первый. В какой-то момент (можно на
первом ходу) он оставляет незакрашенный просвет в две клетки и не трогает его,
пока есть не менее трёх незакрашенных клеток подряд.
7.Второй, Он постоянно следит, чтобы
каждая группа свободных полей (между шашками и от шашек до границ) была четной.
8. Да. Он занимает центральное поле и далее
отвечает центрально - симметрично ходам второго игрока. В результате он выиграет
центральную строку и столбец, а остальные распределятся поровну. Счет 10:8.
9. У первого. Он вычтет 7. И
далее всегда будет вычитать последнюю цифру. Тогда второй будет иметь
последовательно числа1990, 1980, ..., 10, 0.
10. Да. Разобьем
10 разрядов на две группы по 5.Когда первый пишет некоторую цифру, второй пишет
ее дополнение до 9 в тот же разряд другой половины. В результате получится
число: 105С + 99999 – С = 10 5 (С+1) - (С+1) = 99999
(С+1), но 99999 делится на 41.
11. Когда первый игрок ставит
знак перед числом 100 или 99, второй ставит тот же знак перед вторым из этих
чисел. Допустим, это плюсы. Чтобы уменьшить эту сумму (199), первый
игрок должен ставить минусы перед числами 98, 96, ..., 2. Второй игрок поставит
плюсы перед числами 97, 95, ..., 1.
Ответ: 150; [0; 5050].
12. Для доказательства можно не
предъявлять выигрывающую стратегию. Пусть на числах от 2 до 1997 у
начинающего есть выигрыш, тогда задача решена (1 вычеркнется вместе с любым
первым числом). Если же на этих числах начинающий проигрывает, то первым ходом
вычеркнем 1 и передадим ход второму игроку.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.