Әдістемелік жинақ "Тригонометрия туралы"

ТРИГОНОМЕТРИЯ

Ақтөбе – 2014 ж

Құрастырған:    Г. С. Имантаева - Ырғыз ауданы   Ө.Қанахин атындағы орта   

                           мектебінің   математика пәнінің  мұғалімі,

                           А.С. Имантай - Ырғыз гимназиясының математика пәнінің            

                           мұғалімі.

Пікір жазған:    А. Е. Иманчиев  - Қ.Жұбанов атындағы Ақтөбе өңірлік  

                          мемлекеттік университеті, физика – математика 

                          ғылымдарының кандидаты,

                          М. К. Кужантаева – Ақтөбе облыстық ғылыми – тәжірибелік 

                          орталығының әдіскері.

         Бұл әдістемелік құрал математика пәнінен алған білімді тереңдету, оқушылардың ынта-қабілетін дамытуға негізделген.

         Бұл жинақ қамтылатын ауқымы кең, қолданылатын формулалар саны көп, оқушылардың игеруіне қиын соғатын тригонометриялық тепе-тең түрлендірумен шешілетін мысалдар арқылы бағдарламада қамтылған теориялық ұғымдарды тиянақтап тереңдете түсінуіне арқау болатындай есептерден құрастырылған.  Оқушылардың  ой – танымын қалыптастырып, өзіндігінен жұмыс жасай білуге, ізденімпаздығын арттыруға өзіндік үлесін тигізеді.

Алғы сөз

         Әдістемелік құрал мемлекеттік жалпыға білім беру  стандартына сай орта мектеп оқушыларына арналған.

Математиканы оқыту есеп шығаруды үйрету ғана емес, ол кез – келген проблеманы шеше білуге, қиындықты жеңуге маңызды роль атқарады.  Тригонометриялық  теңдеулер мен теңсіздіктер орта мектеп математика курсында мазмұны жағынан да, оқу – дамытушылық әрекеті жағынан да негізгі орындардың біріне ие. Сонымен қатар тригонометриялық теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу оқушыларға тригонометрия бөлімі бойынша алған білімдерін жүйелеп, алгебра бойынша алған білімдерімен байланыс орнатуға мүмкіндік береді. Бұл әдістемелік құрал оқушылар мен пән мұғалімдері  үшін көмекші анықтамалық құрал ретінде құрастырылған.        Негізгі қарастырылған тақырыптар: тригонометриялық өрнектерді ықшамдау, тригонометриялық теңдеулер мен теңдеулер жүйесін шешу және тригонометриялық теңсіздіктер.

         Осы әдістемелік құрал  оқушылардың ой – танымын қалыптастырып, өзіндігінен жұмыс жасай білуге, ізденімпаздығын, ҰБТ-ға дайындық деңгейін арттыруға  өзіндік үлесін тигізеді.

Тригонометрия туралы түсінік.

        Тригонометрия (грек. trіgōnon – үшбұрыш және metreo – өлшеу) – геометрияның үшбұрыш элементтерінің арасындағы  метрикалық  қатыс тригонометриялық функциялар арқылы өрнектелетін саласы. Тригонометрияның негізгі мәселесі үшбұрыштың белгісіз шамаларын берілген шамалар арқылы есептеу болып табылады. Тригонометрия жазық, түзу сызықты және сфералық тригонометрия болып бөлінеді.  Евклидтік кеңістіктің  сфералары  қарастырылатын тригонометрия  сфералық  тригонометрия  деп аталады. Жазық тригонометрия сфералық тригонометриядан кейінірек дами бастады. Мысалы, Евклидтің «Негіздерінің» 2-кітабында косинустар теоремасы жайында айтылған. Тригонометрияны әл-Баттани (9–10 ғасырлар), Әбу-л-Вефа (10 ғасыр), Бхаскара (10 ғасыр) және ат-Туси (13 ғасыр), т.б. одан әрі дамытты. Оларға  синустар  теоремасы  белгілі болған.  Тангенстер теоремасын Региомонтан (15 ғасыр) тапқан. Одан кейін Тригонометрияны дамытуғаН.Коперник (16 ғасырдың 1-жартысы), Т.Браге (16 ғасырдың 2-жартысы), Ф.Виет (16 ғасыр), И.Кеплер (16–17 ғасырлар), т.б. үлес қосты. Қазіргі түріндегі Т. Л.Эйлердің еңбектерінде баяндалды.

       Тригонометрия ғылыми термин ретінде адамның практикалық әрекеттерінің нәтижесінде пайда болды. Ерте кезде астрономия ғылымы, суда жүзу, жер өлшеу, архитектура талаптары қандай да бір элементтер арқылы есептеу әдістерін ойлап табуға әкелді. Мысалы, олардың көмегімен қол жетпейтін заттарға дейінгі қашықтықты анықтау және географиялық карталарды құрастыруға арналған жергілікті жердің геодезиялық көшірмесін жасау жұмыстары бірқатар оңайлатылды. Мектепте тригонометриялық материалмен алғаш рет планиметрия курсын оқығанда танысады.Тригонометрияның көмегімен жазық үшбұрыштарды шығарды. Тригонометриялық қатынастар «синус», «тангенс» деген атқа ие болды, олардың мәндері есептеліп шығарылды. Тригонометриялық танымдардың негізі ежелгі заманда пайда болды. Аталмасы біршама кейінірек шыққанымен тригонометрияға қатысты қазіргі көптеген ұғымдар мен фактілер бұдан екі мың жыл бұрын белгілі болған. Кейбір тригонометриялық мәліметтер ежелгі вавилондықтар мен египеттіктерге белгілі болған, бірақ ғылым ретінде Ежелгі Грецияда негізделген. Тригонометрия сөзі алғаш рет 1505 жылы неміс геологы және математигі Питискустың кітабының мазмұнында кездеседі. «Тригонометрия» атауының өзі грек сөзінен аударғанда «үшбұрыштарды өлшеу» деген ұғымды білдіреді. Ежелгі грек ғалымы белгілі астроном Клавдий Птолемей (ІІ ғ) «хорда тригонометриясын» ойлап тапты. Дайын кестелермен жұмыс істегенде немесе калькуляторды пайдаланғанда, біз көбінесе кестелер әлі ойлап табылмаған кездердің де болғанын естен шығарып аламыз. Оларды құру үшін аса көлемді есептеулерді орындап қана қоймай, кестелерді құрудың тәсілдерін де ойлап табу қажет болды. Птолемей кестесі бес ондық үлес таңбаларын қоса алғандағы дәлдікпен жасалған. Хордаларды синустармен ауыстырып, тригонометрияның әрі қарай дамуына Үндістандық ғалымдар үлкен үлес қосты. Бұл жаңа енгізіу VIII ғасырда тригонометрияны бірте-бірте астрономия тарауынан бөліп алып, жеке ғылымға айналдырды. Ол араб тіліндегі жақын және алыс Батыс мемлекеттерінің математикасына ауысты. Оған үлес қосқандар Аль-хорезми, Аль-Коши, Насриддин Тусси, Жан Фурье, Иоганн Бернули, Леонард Эйлер. Л.Эйлер тригонометрияның қазіргі кездегі түріне келтірілген XVIII ғасырдың ірі математигі еді, ол негізі швейцарлық, ұзақ жылдар бойы Россияда жұмыс істеген және Петербург ғылым академиясының мүшесі болған. Тригонометриялық функциялардың белгілі анықтамасын да енгізген Л.Эйлер, кез келген бұрыштың функциясын қарастырып, келтіру формулаларын шығарып алды. Осылайша тригонометрия туралы жалпы ұғымдар, тригонометриялық функциялардың белгілеулері және анықтамалары ұзақ тарихи даму процесінде қалыптасып отыр.

Кейбір тригонометриялық функциялар.

 

Бастапқы кезден тригонометриялық функциялар тік бұрышты үшбұрыштағы қабырғаларының қатынастарымен байланыста болғаны белгілі. Олардың жалғыз аргументі сол үшбұрыштың бір сүйір бұрышы болып табылады.

·         Синус — қарама-қарсы жатқан катеттің гипотенузаға қатынасы.

·         Косинус — жанама катеттің гипотенузаға қатынасы.

·         Тангенс — қарама-қарсы жатқан катеттің жанама катетке қатынасы.

·         Котангенс — жанама катеттің қарама-қарсы жатқан катетке қатынасы.

Берілген анықтамалар функциялардың сүйір бұрыштарға (0-ден  радиан) қатысты мендерін есептеуге арналған.

Тригонометриялық функциялардың графиктері.

Бірлік шеңбердегі  бұрышына қатысты тригонометриялық функцияларды қарастырсақ (суретті қара):

·      бұрышының Синусы "A" нүктесінің ординатасы ретінде анықталады.

·         Косинус — "A" нүктесінің абсциссасы.

·         Тангенс — синустың косинусқа қатынасы.

·         Котангенс — косинустың синусқа қатынасы.

ТРИГОНОМЕТРИЯНЫҢ НЕГІЗГІ ФОРМУЛАЛАРЫ

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9, 10.

11, 12.

13, 14.

15,16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32. 

33, 34.

35,36.

37.

38.

39.

40.

41.

42.

43.

44.

45.

46.

47.

48.

49.

50.

51.

52.

53.

54.

55.

56.

57.

58.

59.

60.

61.

62.

63.

64.

65.

66.

67.

68.

69.

70. 

71. 

72. 

73. 

74. 

75. 

76. 

77. 

78.

79.

80.

81.

82.

83.

84.

85.

86.

87.

88.

89.

90.

Келтіру формулалары.

І. Тригонометриялық  өрнектерді түрлендіру.

  

1) Есептеңіз:

    

Шешуі:

Жауабы:  .

2)Есептеңіз:

Шешуі:

Жауабы: 1.

3)  Есептеңіз:

Шешуі:

 =

 

Жауабы:  1.

4)  Есептеңіз:

Шешуі:

Өрнекті    -ға  көбейтеміз және бөлеміз. Сонан соң    формуласын пайдаланамыз.

Жауабы:  .

5) Есептеңіз:

Шешуі:

\

Жауабы:  1.

6)   cоs 2α = m  болса,  sin⁶ α  + cos⁶ α =?

Шешуі:

Жауабы: 

7)  Дәлелдеңіз:

Шешуі:

Тепе –теңдіктің  сол жақ бөлігін түрлендіреміз:

8)   Өрнекті ықшамдаңыз:

Шешуі:

9) Тепе –теңдікті дәлелдеңіз:

 

Шешуі:   Теңдіктің сол жағын қарастырамыз:

                                                     Тепе-теңдік дәлелденді.

10)   

Шешуі:

Көбейтіндіден қосуға өту тепе-тең түрлендіруін жүргіземіз:

Жауабы:  

11)  Өрнекті ықшамдаңыз:

Шешуі: 

  =  

= 

A.o:  -1

           

           

Жауабы:    

ІІ. Тригонометриялық  теңдеулер.

Тригонометриялық  теңдеулерді шешудің әдіс-тәсілдері. Тригонометриялық  теңдеулерді шешу екі кезеңнен тұрады: теңдеуді қарапайым тригонометриялық  теңдеуге түрлендіру және алынған қарапайым тригонометриялық теңдеуді шешу. Тригонометриялық теңдеулерді шешудің бірнеше әдіс- тәсілдері бар:

 1. Алгебралық тәсіл.

2. Көбейткіштерге жіктеу тәсілі.  

3. Біртекті теңдеуге келтіру.

4. Көмекші бұрыш енгізу әдісі.  

5. Көбейтіндіні қосындыға түрлендіру. 

6. Универсал алмастыру.

1)Теңдеуді шешіңіз 

Шешуі:

Келтіру формуласын қолданып,

  теңдеуін аламыз.

Сонда  2у² – 3 у + 1 =0,    бұдан   у₁    түбірлерін табамыз.

Осыдан екі жағдайда шешеміз:

  

Жауабы: 

2)  Теңдеуді шешіңіз:  sin x + cos x = 1 .

Шешуі:   Барлық мүшелерін теңдіктің сол жағына көшіреміз:

                                                                sin x + cos x – 1 = 0 , 

                               теңдіктің сол жағын  түрлендіреміз:

                              

3)   Теңдеуді шешіңіз:  cos ² x + sin x · cos x = 1.

   Шешуі.     cos ² x + sin x · cos x – sin ² x – cos ² x = 0 ,

                                            sin x · cos x – sin ² x = 0 ,

                                            sin x · ( cos x – sin x ) = 0 ,

                               

4)   Теңдеуді шешіңіз:  cos 2x – cos 8x + cos 6x = 1. 

          Шешуі.    cos 2x + cos 6x = 1 + cos 8x ,

                               2 cos 4x cos 2x = 2 cos ² 4x ,

                               cos 4x · ( cos 2x –  cos 4x ) = 0 ,

                               cos 4x · 2 sin 3x · sin x = 0 ,

                              1).  cos 4x = 0 ,               2).  sin 3x = 0 ,          3). sin x = 0 ,

 

Жауабы: 

  

   5) Теңдеуді шешіңіз:        

  Шешуі.    

6)   Теңдеуді шешіңіз:  3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2. Шешуі.  3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2sin 2 x + 2cos 2 x ,                              sin 2 x + 4 sin x · cos x + 3 cos 2 x = 0 ,                              tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0 ,  бұдан   y 2 + 4y +3 = 0 ,                              бұл теңдеудің шешімдері:  y1 = -1,  y2 = -3,  бұдан                              1)   tg x = –1,                  2)   tg x = –3,

7) Теңдеуді шешіңіз:

 

Мұндағы  сондықтан екі жағын да 

 

8) Теңдеуді шешіңіз

   

9)  Теңдеуді шешіңіз:  2 sin 2x · sin 6x = cos 4x.

 Шешуі.  Сол жақ бөлігін қосындыға түрлендіреміз:

                                        cos 4x – cos 8x = cos 4x ,

                                                 cos 8x = 0 ,

                                                 8x = / 2 +  k ,

                                                 x = / 16 +  k / 8 .

Жауабы:  x = / 16 +  k / 8 ,

10)   теңдеуін шешіңіз.

Шешуі:      A.o:

   / *

3 теңдеуін аламыз.

3(1-;

;

2

;

D = 25,   t₁= 3;  ;

  

х     

 

Шешімі жоқ, себебі  -1  мәндерді қабылдайды.

    Жауабы:      х               

11)  Теңдеуді шешіңіз:

Шешуі:

А.о: 

Мүмкін болатын екі жағдайды қарастырамыз:

Сонымен,

12) Теңдеуді шешіңіз:

Шешуі:

13)  Теңдеуді шешіңіз:

Шешуі:

14)    теңдеуін шешіңіз.

Шешуі:    

Көбейткіштерді жеке-жеке нольге теңдеп аламыз.

    

  

х     

    

  

х     

15)    теңдеуін шешіңіз.

Шешуі:

х

х 

Жауабы:       х 

16)   4  теңдеуін шешіңіз.

Шешуі:  4  /

4; 

4;  D = 121;

t₁= 1;  ;

     

     

Жауабы:     

17)  Теңдеуді шешіңіз:            

 

  Шешуі.    

;

;

;

Жауабы: 

 

18)  Теңдеуді шешіңіз:            

 

  Шешуі.    

  /

sinx=t

6

D=36+24=60

;     

                    

 

 

 

ІІІ. Тригонометриялық теңдеулер жүйесі. 

Тригонометриялық  теңдеулер жүйесін шешуде тригонометриялық теңдеулерді шешуде қолданылатын әдістер және тригонометриялық формулалар қолданылады.  Бірнеше мысалдар қарастырайық.

 

1)Теңдеулер жүйесін шешіңіз:

Шешуі:

2)  Теңдеулер жүйесін шешіңіз:

                           

Шешуі:

Екі теңдеуді бір-біріне қосып және азайтып:

                          

:

                         

3)  Теңдеулер жүйесін шешіңіз:

Шешуі:

4)  Теңдеулер жүйесін шешіңіз:

 

Шешуі:

ІҮ. Тригонометриялық  теңсіздіктер.

 Тригонометриялық теңдеулерді шешу кезінде алгебра курсынан белгілі теңсіздіктердің қасиеттерін, сонымен қатар тригонометриялық түрлендірулер мен формалаларды қолданамыз.тригонометриялық теңсіздіктерді шешуде  бірлік шеңберді  пайдалану да айтарлықтай тиімді.  Бірнеше мысалдар қарастырайық.

1)    Теңсіздікті шешіңіз:   sin x > 0.

 Шешуі: Егер бірлік шеңберін пайдалансақ  0 < x < . Енді периодын қосып жазамыз, синустың периоды  2 n :

                                        

2)     Теңсіздікті шешіңіз:   sin x > 0.5 .

  Шешуі:                       

3) Теңсіздікті шешіңіз:

Шешуі:

3)Тригонометриялық  теңсіздіктер жүйесін  шешіңіз:

Шешуі:  Бірінші теңсіздіктің шешімі:

                          Екінші теңсіздік  tan x < 1 :

                          

Екі теңсіздіктің шешімдерін біріктіреміз:

Жауабы:

 

4)     Теңсіздікті шешіңіз:

Шешуі:

  

Бұдан,   немесе 

Боялған сектор соңғы теңсіздіктің жауабы болғанменен, тенгенс функциясының қасиетіне байланысты интервалдан  

Жауабы:

5)     Теңсіздікті шешіңіз:

Шешуі:

Жауабы:

6)     Теңсіздікті шешіңіз:

Шешуі:

  

 

Жауабы:

7)     Теңсіздікті шешіңіз:

Шешуі: Екі жағдай болуы мүмкін:

                                                         

Жауабы:

Пайдаланылған әдебиеттер:

1.     «Математика және физика»  ғылыми әдістемелік журнал 2009-2013ж

2.     «Тригонометрия»  А.Х.  Шахмейстер

3.     «Справочные пособие по математике»  А.Г.Цыпкин.

4.     «Пособие для подготовки к единному национальному тестированию \ЕНТ\  по математике»  Рустюмова  И.П, Рустюмова С.Т

5.     «ФизМат»   ғылыми-көпшілік физика-математика журнал  2012-2013ж

6.     «Тренажер для подготовки к единному национальному тестированию \ЕНТ\  по математике»  Рустюмова  И.П, Рустюмова С.Т.

7.     «Математика»  оқу – әдістемелек  құрал, 2013ж

8.     «Алгебра» 9-сынып оқулығы  Әбілқасымова А, Корчевский В, Жұмағұлова З

9.     «Математика» жоғары сынып оқушыларына арналған.

А. Е. Әбілқасымова, Р. Кудакова

10.  «Математикадан таңдамалы есептер» С. Қаниев

11.   «Математикадан ҰБТ-ге дайындаламыз» Қ. А. Бисембиев

12.  «ҰБТ-ның жүз есебі»  А. Қ. Жамалиева, Ж. К. Байманова