Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Әдістемелік жинақ "Тригонометрия туралы"

Әдістемелік жинақ "Тригонометрия туралы"

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов

hello_html_396962fc.gifhello_html_396962fc.gifhello_html_396962fc.gif























ТРИГОНОМЕТРИЯ





















Ақтөбе – 2014 ж

Құрастырған: Г. С. Имантаева - Ырғыз ауданы Ө.Қанахин атындағы орта

мектебінің математика пәнінің мұғалімі,

А.С. Имантай - Ырғыз гимназиясының математика пәнінің

мұғалімі.


Пікір жазған: А. Е. Иманчиев - Қ.Жұбанов атындағы Ақтөбе өңірлік

мемлекеттік университеті, физика – математика

ғылымдарының кандидаты,

М. К. Кужантаева – Ақтөбе облыстық ғылыми – тәжірибелік

орталығының әдіскері.


Бұл әдістемелік құрал математика пәнінен алған білімді тереңдету, оқушылардың ынта-қабілетін дамытуға негізделген.

Бұл жинақ қамтылатын ауқымы кең, қолданылатын формулалар саны көп, оқушылардың игеруіне қиын соғатын тригонометриялық тепе-тең түрлендірумен шешілетін мысалдар арқылы бағдарламада қамтылған теориялық ұғымдарды тиянақтап тереңдете түсінуіне арқау болатындай есептерден құрастырылған. Оқушылардың ой – танымын қалыптастырып, өзіндігінен жұмыс жасай білуге, ізденімпаздығын арттыруға өзіндік үлесін тигізеді.





















Алғы сөз

Әдістемелік құрал мемлекеттік жалпыға білім беру стандартына сай орта мектеп оқушыларына арналған.

Математиканы оқыту есеп шығаруды үйрету ғана емес, ол кез – келген проблеманы шеше білуге, қиындықты жеңуге маңызды роль атқарады. Тригонометриялық теңдеулер мен теңсіздіктер орта мектеп математика курсында мазмұны жағынан да, оқу – дамытушылық әрекеті жағынан да негізгі орындардың біріне ие. Сонымен қатар тригонометриялық теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу оқушыларға тригонометрия бөлімі бойынша алған білімдерін жүйелеп, алгебра бойынша алған білімдерімен байланыс орнатуға мүмкіндік береді. Бұл әдістемелік құрал оқушылар мен пән мұғалімдері үшін көмекші анықтамалық құрал ретінде құрастырылған. Негізгі қарастырылған тақырыптар: тригонометриялық өрнектерді ықшамдау, тригонометриялық теңдеулер мен теңдеулер жүйесін шешу және тригонометриялық теңсіздіктер.

Осы әдістемелік құрал оқушылардың ой – танымын қалыптастырып, өзіндігінен жұмыс жасай білуге, ізденімпаздығын, ҰБТ-ға дайындық деңгейін арттыруға өзіндік үлесін тигізеді.

























Тригонометрия туралы түсінік.

Тригонометрия (грек. trіgōnon – үшбұрыш және metreo – өлшеу) – геометрияның үшбұрыш элементтерінің арасындағы  метрикалық  қатыс тригонометриялық функциялар арқылы өрнектелетін саласы. Тригонометрияның негізгі мәселесі үшбұрыштың белгісіз шамаларын берілген шамалар арқылы есептеу болып табылады. Тригонометрия жазықтүзу сызықты және сфералық тригонометрия болып бөлінеді.  Евклидтік кеңістіктің  сфералары  қарастырылатын тригонометрия  сфералық  тригонометрия  деп аталады. Жазық тригонометрия сфералық тригонометриядан кейінірек дами бастады. Мысалы, Евклидтің «Негіздерінің» 2-кітабында косинустар теоремасы жайында айтылған. Тригонометрияны әл-Баттани (9–10 ғасырлар), Әбу-л-Вефа (10 ғасыр), Бхаскара (10 ғасыр) және ат-Туси (13 ғасыр), т.б. одан әрі дамытты. Оларға  синустар  теоремасы  белгілі болған.  Тангенстер теоремасын Региомонтан (15 ғасыр) тапқан. Одан кейін Тригонометрияны дамытуғаН.Коперник (16 ғасырдың 1-жартысы), Т.Браге (16 ғасырдың 2-жартысы), Ф.Виет (16 ғасыр), И.Кеплер (16–17 ғасырлар), т.б. үлес қосты. Қазіргі түріндегі Т. Л.Эйлердің еңбектерінде баяндалды.

Тригонометрия ғылыми термин ретінде адамның практикалық әрекеттерінің нәтижесінде пайда болды. Ерте кезде астрономия ғылымы, суда жүзу, жер өлшеу, архитектура талаптары қандай да бір элементтер арқылы есептеу әдістерін ойлап табуға әкелді. Мысалы, олардың көмегімен қол жетпейтін заттарға дейінгі қашықтықты анықтау және географиялық карталарды құрастыруға арналған жергілікті жердің геодезиялық көшірмесін жасау жұмыстары бірқатар оңайлатылды. Мектепте тригонометриялық материалмен алғаш рет планиметрия курсын оқығанда танысады.Тригонометрияның көмегімен жазық үшбұрыштарды шығарды. Тригонометриялық қатынастар «синус», «тангенс» деген атқа ие болды, олардың мәндері есептеліп шығарылды. Тригонометриялық танымдардың негізі ежелгі заманда пайда болды. Аталмасы біршама кейінірек шыққанымен тригонометрияға қатысты қазіргі көптеген ұғымдар мен фактілер бұдан екі мың жыл бұрын белгілі болған. Кейбір тригонометриялық мәліметтер ежелгі вавилондықтар мен египеттіктерге белгілі болған, бірақ ғылым ретінде Ежелгі Грецияда негізделген. Тригонометрия сөзі алғаш рет 1505 жылы неміс геологы және математигі Питискустың кітабының мазмұнында кездеседі. «Тригонометрия» атауының өзі грек сөзінен аударғанда «үшбұрыштарды өлшеу» деген ұғымды білдіреді. Ежелгі грек ғалымы белгілі астроном Клавдий Птолемей (ІІ ғ) «хорда тригонометриясын» ойлап тапты. Дайын кестелермен жұмыс істегенде немесе калькуляторды пайдаланғанда, біз көбінесе кестелер әлі ойлап табылмаған кездердің де болғанын естен шығарып аламыз. Оларды құру үшін аса көлемді есептеулерді орындап қана қоймай, кестелерді құрудың тәсілдерін де ойлап табу қажет болды. Птолемей кестесі бес ондық үлес таңбаларын қоса алғандағы дәлдікпен жасалған. Хордаларды синустармен ауыстырып, тригонометрияның әрі қарай дамуына Үндістандық ғалымдар үлкен үлес қосты. Бұл жаңа енгізіу VIII ғасырда тригонометрияны бірте-бірте астрономия тарауынан бөліп алып, жеке ғылымға айналдырды. Ол араб тіліндегі жақын және алыс Батыс мемлекеттерінің математикасына ауысты. Оған үлес қосқандар Аль-хорезми, Аль-Коши, Насриддин Тусси, Жан Фурье, Иоганн Бернули, Леонард Эйлер. Л.Эйлер тригонометрияның қазіргі кездегі түріне келтірілген XVIII ғасырдың ірі математигі еді, ол негізі швейцарлық, ұзақ жылдар бойы Россияда жұмыс істеген және Петербург ғылым академиясының мүшесі болған. Тригонометриялық функциялардың белгілі анықтамасын да енгізген Л.Эйлер, кез келген бұрыштың функциясын қарастырып, келтіру формулаларын шығарып алды. Осылайша тригонометрия туралы жалпы ұғымдар, тригонометриялық функциялардың белгілеулері және анықтамалары ұзақ тарихи даму процесінде қалыптасып отыр.


Кейбір тригонометриялық функциялар.


A.


http://go2.imgsmail.ru/imgpreview?key=http%3A//shopedu.ru/uploaded_files/shop_images/1043.jpg&mb=imgdb_preview_1508

http://bits.wikimedia.org/static-1.23wmf15/skins/common/images/magnify-clip.png

Бастапқы кезден тригонометриялық функциялар тік бұрышты үшбұрыштағы қабырғаларының қатынастарымен байланыста болғаны белгілі. Олардың жалғыз аргументі сол үшбұрыштың бір сүйір бұрышы болып табылады.

Берілген анықтамалар функциялардың сүйір бұрыштарға (0-ден \pi \over 2 радиан) қатысты мендерін есептеуге арналған.

A.

http://bits.wikimedia.org/static-1.23wmf15/skins/common/images/magnify-clip.png

Тригонометриялық функциялардың графиктері.

Бірлік шеңбердегі hello_html_695bfd0f.gif бұрышына қатысты тригонометриялық функцияларды қарастырсақ (суретті қара):

ТРИГОНОМЕТРИЯНЫҢ НЕГІЗГІ ФОРМУЛАЛАРЫ

  1. hello_html_4cccfb0.gif

  2. hello_html_m43d763fb.gif

  3. hello_html_m1636dfc2.gif

  4. hello_html_m1819052.gif

  5. hello_html_7ac97755.gif

  6. hello_html_m752b7e9d.gif

  7. hello_html_m4c08e2ce.gif

  8. hello_html_2588a2ba.gif

9, 10. hello_html_7ca9fb14.gif

11, 12. hello_html_m79bc4a4a.gif

13, 14. hello_html_736b6e70.gif

15,16. hello_html_m2df0905b.gif

17. hello_html_mdda07e1.gif

18. hello_html_m454d722f.gif

19. hello_html_44eb8587.gif

20. hello_html_7a9e6e9.gif

21. hello_html_m606b1332.gif

22. hello_html_m6e278cef.gif

23. hello_html_m64454035.gif

24. hello_html_4307b0dc.gif

25. hello_html_m3ed070f9.gif

26. hello_html_6daaabf6.gif

27. hello_html_m61430e56.gif

28. hello_html_50b983e0.gif

29. hello_html_m6cd9fb23.gif

30. hello_html_568c65d2.gif

31. hello_html_m3f7338f0.gif

32. hello_html_m48effef2.gif

33, 34. hello_html_m64d352d9.gif

35,36. hello_html_m6a59ceae.gif

37. hello_html_mea7f70a.gif

38. hello_html_m209e494c.gif

39. hello_html_m70d5e89d.gif

40. hello_html_41b65ec.gif

41. hello_html_28f07886.gif

42. hello_html_m5f9b6bd2.gif

43. hello_html_3b306d9c.gif

44. hello_html_49c04ad1.gif

45. hello_html_57806a4e.gif

46. hello_html_36a875fc.gif

47. hello_html_m4656f40f.gif

48. hello_html_m267415f0.gif

49. hello_html_2525b0c8.gif

50. hello_html_168cc3cf.gif

51. hello_html_2e664690.gif

52. hello_html_m5e3b0e67.gif

53. hello_html_3b5d4e4c.gif

54. hello_html_m458f2e64.gif

55. hello_html_189b4f1.gif

56. hello_html_696504fb.gif

57. hello_html_65ef03c.gif

58. hello_html_m5f0e69fa.gif

59. hello_html_4795f562.gif

60. hello_html_m60cd48e5.gif

61. hello_html_m170b57ff.gif

62. hello_html_5dfda68b.gif

63. hello_html_m3b2829d0.gif

64. hello_html_ebdd676.gif

65. hello_html_me765901.gif

66. hello_html_27c61cd.gif

67. hello_html_6f6d9a31.gif

68. hello_html_m6c0e6721.gif

69. hello_html_618bceda.gif

70. hello_html_m577eb528.gif

71. hello_html_m328261d3.gif

72. hello_html_mb544d60.gif

73. hello_html_2491122.gif

74. hello_html_m732c9a9b.gif

75. hello_html_m2d79731d.gif

76. hello_html_m741bef35.gif

77. hello_html_673a570c.gif

78. hello_html_m364bf4c0.gif

79. hello_html_4defa004.gif

80. hello_html_7bb61a5.gif

81. hello_html_m28d640c4.gif

82. hello_html_mdcc7ede.gif

83. hello_html_m3d3db9c.gif



84. hello_html_4332b6e5.gif



85. hello_html_5d25fca7.gif



86. hello_html_m54e1382c.gif

87. hello_html_14451f35.gif



88. hello_html_m6e8ad2be.gif



89. hello_html_m5b50d36a.gif



90. hello_html_md6311c3.gif

Келтіру формулалары.

http://www.bymath.net/studyguide/tri/sec/tri7.gif

І. Тригонометриялық өрнектерді түрлендіру.

1) Есептеңіз:

hello_html_m681b7983.gif


Шешуі:

hello_html_m3bc5a7d0.gif

hello_html_66a9516b.gif


Жауабы: hello_html_m57fea3ba.gif.


2)Есептеңіз:

C:\Users\Anelia\Downloads\sol11019.gif

Шешуі:

C:\Users\Anelia\Downloads\sol11019.gif

Жауабы: 1.


3) Есептеңіз:


hello_html_6528c3a2.gif



Шешуі:


hello_html_m7d66a15c.gif=


hello_html_m592bddad.gif

Жауабы: 1.


4) Есептеңіз:

http://www.bymath.net/studyguide/tri/sec/helpanssol/sol11020.gif

Шешуі:C:\Users\Anelia\Downloads\sol11020.gif

Өрнекті -ға көбейтеміз және бөлеміз. Сонан соң hello_html_m50b89785.gif формуласын пайдаланамыз.

C:\Users\Anelia\Downloads\sol11020a.gif

Жауабы: hello_html_322c61c2.gif.


5) Есептеңіз:

http://www.bymath.net/studyguide/tri/sec/helpanssol/sol11011.gif

Шешуі:http://www.bymath.net/studyguide/tri/sec/helpanssol/sol11011.gif

http://www.bymath.net/studyguide/tri/sec/helpanssol/sol11011.gif

http://www.bymath.net/studyguide/tri/sec/helpanssol/sol11011.gif\http://www.bymath.net/studyguide/tri/sec/helpanssol/sol11011.gif

Жауабы: 1.


6) cоs 2α = m болса, sin6 α + cos6 α =?


Шешуі:

http://www.bymath.net/studyguide/tri/sec/helpanssol/sol11008.gif

Жауабы: hello_html_m40f3e9e8.gif


7) Дәлелдеңіз:

http://www.bymath.net/studyguide/tri/sec/helpanssol/sol11016.gif

Шешуі:

Тепе –теңдіктің сол жақ бөлігін түрлендіреміз: http://www.bymath.net/studyguide/tri/sec/helpanssol/sol11016.gif

http://www.bymath.net/studyguide/tri/sec/helpanssol/sol11016a.gif


8) Өрнекті ықшамдаңыз:

http://www.bymath.net/studyguide/tri/sec/helpanssol/sol11007.gif

Шешуі:

http://www.bymath.net/studyguide/tri/sec/helpanssol/sol11007.gif


9) Тепе –теңдікті дәлелдеңіз:


http://www.bymath.net/studyguide/tri/sec/helpanssol/sol11001.gif


Шешуі: Теңдіктің сол жағын қарастырамыз:


http://www.bymath.net/studyguide/tri/sec/helpanssol/sol11001.gif

http://www.bymath.net/studyguide/tri/sec/helpanssol/sol11001.gif

Тепе-теңдік дәлелденді.



10) hello_html_m23807671.gif

hello_html_54179623.gif

Шешуі:

Көбейтіндіден қосуға өту тепе-тең түрлендіруін жүргіземіз:


hello_html_m7e516d13.gif


hello_html_m4fe12963.gif


hello_html_m2c39a050.gif


Жауабы: hello_html_7b3e1539.gif


11) Өрнекті ықшамдаңыз:

hello_html_15916075.gif



Шешуі:

hello_html_344f58cb.gif= hello_html_dd859b1.gif


hello_html_m14bdbd60.gif= hello_html_m2f967586.gif


hello_html_m5c2be35e.gif


A.o: -1hello_html_m52ee4a0a.gif

hello_html_25a0a01e.gif

hello_html_m19ccb973.gif


Жауабы: hello_html_776b0350.gif



























ІІ. Тригонометриялық теңдеулер.


Тригонометриялық теңдеулерді шешудің әдіс-тәсілдері. Тригонометриялық теңдеулерді шешу екі кезеңнен тұрады: теңдеуді қарапайым тригонометриялық теңдеуге түрлендіру және алынған қарапайым тригонометриялық теңдеуді шешу. Тригонометриялық теңдеулерді шешудің бірнеше әдіс- тәсілдері бар:

 1. Алгебралық тәсіл.

2. Көбейткіштерге жіктеу тәсілі.  

3. Біртекті теңдеуге келтіру.

4. Көмекші бұрыш енгізу әдісі.  

5. Көбейтіндіні қосындыға түрлендіру. 

6. Универсал алмастыру.


1)Теңдеуді шешіңізhello_html_7f3a306a.gif hello_html_66f01268.gif


Шешуі:

Келтіру формуласын қолданып,

hello_html_m2c71694b.gifhello_html_m35090484.gifтеңдеуін аламыз.

hello_html_6a95beeb.gif

Сонда 2у2 – 3 у + 1 =0, бұдан у1 hello_html_m53823ccc.gif түбірлерін табамыз.

Осыдан екі жағдайда шешеміз:

  http://www.bymath.net/studyguide/tri/sec/tri16n.gif

Жауабы:

http://www.bymath.net/studyguide/tri/sec/tri16n.gif


2) Теңдеуді шешіңіз:  sin x + cos x = 1 .


Шешуі:   Барлық мүшелерін теңдіктің сол жағына көшіреміз:

                                                                sin x + cos x – 1 = 0 , 

                               теңдіктің сол жағын түрлендіреміз:

                              http://www.bymath.net/studyguide/tri/sec/tri16o.gifhttp://www.bymath.net/studyguide/tri/sec/tri16o.gif















3)   Теңдеуді шешіңіз:  cos 2 x + sin x · cos x = 1.

 

   Шешуі.     cos 2 x + sin x · cos – sin 2 x – cos 2 x = 0 ,

 

                                            sin x · cos – sin 2 = 0 ,

 

                                            sin x · ( cos – sin ) = 0 ,

                               http://www.bymath.net/studyguide/tri/sec/tri16e.gif

4)   Теңдеуді шешіңіз:  cos 2– cos 8x + cos 6x = 1. 

Шешуі.    cos 2+ cos 6x = 1 + cos 8,

 

                               2 cos 4x cos 2x = 2 cos ² 4x ,

 

                               cos 4x · ( cos 2x –  cos 4x ) = 0 ,

    

                               cos 4x · 2 sin 3x · sin x = 0 ,

                              1).  cos 4x = 0 ,               2).  sin 3x = 0 ,          3). sin x = 0 ,

http://www.bymath.net/studyguide/tri/sec/tri16f.gif 

Жауабы:

  http://www.bymath.net/studyguide/tri/sec/tri16f.gif

   5) Теңдеуді шешіңіз:    http://www.bymath.net/studyguide/tri/sec/helpanssol/sol_12012.gif    

Шешуі.    

http://www.bymath.net/studyguide/tri/sec/helpanssol/sol_12012.gif

http://www.bymath.net/studyguide/tri/sec/helpanssol/sol_12012.gif


6)   Теңдеуді шешіңіз:  3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos x = 2.

 

Шешуі.  3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2sin 2 x + 2cos 2 x ,

 

                             sin 2 x + 4 sin x · cos x + 3 cos 2 x = 0 ,

 

                             tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0 ,  бұдан   y 2 + 4y +3 = 0 ,

 

                             бұл теңдеудің шешімдері:  y1 = -1,  y2 = -3,  бұдан

                             1)   tg x = –1,                  2)   tg x = –3,

                              http://www.bymath.net/studyguide/tri/sec/tri16g.gif

7) Теңдеуді шешіңіз:

http://www.bymath.net/studyguide/tri/sec/tri16k.gif

Мұндағы hello_html_m4b123753.gifсондықтан екі жағын да hello_html_e8b7eee.gif

 http://www.bymath.net/studyguide/tri/sec/tri16k.gif

http://www.bymath.net/studyguide/tri/sec/tri16k.gif

8) Теңдеуді шешіңіз

http://www.bymath.net/studyguide/tri/sec/helpanssol/sol_12001.gif

http://www.bymath.net/studyguide/tri/sec/helpanssol/sol_12001.gif

http://www.bymath.net/studyguide/tri/sec/helpanssol/sol_12001.gif   

9) Теңдеуді шешіңіз:  2 sin 2· sin 6x = cos 4x.

 Шешуі.  Сол жақ бөлігін қосындыға түрлендіреміз:

 

                                        cos 4x – cos 8x = cos 4x ,

 

                                                 cos 8x = 0 ,

 

                                                 8x = hello_html_6b2fd1c.gif/ 2 + hello_html_6b2fd1c.gif,

 

                                                 x = hello_html_6b2fd1c.gif/ 16 + hello_html_6b2fd1c.gif/ 8 .

Жауабы: x = hello_html_6b2fd1c.gif/ 16 + hello_html_6b2fd1c.gif / 8 , hello_html_m4798c14e.gif



10) hello_html_4bdb61fa.gif теңдеуін шешіңіз.


Шешуі: hello_html_4bdb61fa.gif A.o: hello_html_m42100be.gif

hello_html_m205afd66.gif/ * hello_html_m34da3e45.gif


3hello_html_m704aac0c.gif теңдеуін аламыз.


3(1-hello_html_md2c4a9a.gif;

hello_html_2f1f992d.gif;

2hello_html_72427b3d.gif

hello_html_716f419.gif;

D = 25, t1= 3; hello_html_3acfd305.gif;

hello_html_m69607c38.gif

хhello_html_m3a68dbf3.gif

hello_html_m58bced72.gif

Шешімі жоқ, себебі -1hello_html_m3709817d.gif мәндерді қабылдайды.

  

    Жауабы:     хhello_html_m3a68dbf3.gif              

11) Теңдеуді шешіңіз:

http://www.bymath.net/studyguide/tri/sec/helpanssol/sol12021.gif

Шешуі:

А.о: hello_html_m22eab7b4.gif

Мүмкін болатын екі жағдайды қарастырамыз:

http://www.bymath.net/studyguide/tri/sec/helpanssol/sol12021.gif

Сонымен,

http://www.bymath.net/studyguide/tri/sec/helpanssol/sol12021.gif

12) Теңдеуді шешіңіз:

http://www.bymath.net/studyguide/tri/sec/helpanssol/sol_12010.gif

Шешуі:

http://www.bymath.net/studyguide/tri/sec/helpanssol/sol_12010.gifhttp://www.bymath.net/studyguide/tri/sec/helpanssol/sol_12010.gifhttp://www.bymath.net/studyguide/tri/sec/helpanssol/sol_12010.gif

http://www.bymath.net/studyguide/tri/sec/helpanssol/sol_12010.gif

http://www.bymath.net/studyguide/tri/sec/helpanssol/sol_12010.gif

13) Теңдеуді шешіңіз:

http://www.bymath.net/studyguide/tri/sec/helpanssol/sol12009.gif

Шешуі:

http://www.bymath.net/studyguide/tri/sec/helpanssol/sol12009.gif

http://www.bymath.net/studyguide/tri/sec/helpanssol/sol12009.gif

http://www.bymath.net/studyguide/tri/sec/helpanssol/sol12009.gif

http://www.bymath.net/studyguide/tri/sec/helpanssol/sol12009.gif

http://www.bymath.net/studyguide/tri/sec/helpanssol/sol12009.gif



14) hello_html_m38788db3.gif теңдеуін шешіңіз.


Шешуі: hello_html_m38788db3.gif

hello_html_4a46442e.gif

hello_html_m357911e1.gif

hello_html_2e51eaf6.gif

Көбейткіштерді жеке-жеке нольге теңдеп аламыз.

hello_html_58b5059.gif

hello_html_12a70790.gif

хhello_html_m576d2f6.gif

hello_html_58d02954.gif

hello_html_4f6e66a9.gif

хhello_html_37c30586.gif


15) hello_html_m5ed4dc7a.gif теңдеуін шешіңіз.


Шешуі: hello_html_m5ed4dc7a.gif

hello_html_m19bcdb90.gif

hello_html_m5fabb40c.gif

hello_html_5f460bb.gif

hello_html_664a7f9.gif

hello_html_m4609668b.gif

хhello_html_7f220a12.gif

хhello_html_m228356d1.gif


Жауабы: хhello_html_m228356d1.gif


16) 4hello_html_2bff296a.gif теңдеуін шешіңіз.


Шешуі: 4hello_html_2bff296a.gif /hello_html_60d9ff2b.gif


4hello_html_7111c0bd.gif; hello_html_398f4719.gif


4hello_html_8f877f7.gif; D = 121;


t1= 1; hello_html_4e11a3a8.gif;

hello_html_m358333e5.gif


hello_html_m3fa10167.gif


Жауабы: hello_html_m1f47ef2c.gif


17) Теңдеуді шешіңіз:            hello_html_2cbec18c.gif

Шешуі.   hello_html_267b5b4e.gif 

hello_html_5659a288.gif;

hello_html_m6108c8bc.gif;

hello_html_729ff3ae.gif;

hello_html_m5b66a926.gif

hello_html_5079a0ae.gif

hello_html_4cefe68c.gif

hello_html_7ce437bf.gif

hello_html_6fa54996.gif

hello_html_d28790d.gif

Жауабы:
hello_html_74ab12ae.gif


18) Теңдеуді шешіңіз:            hello_html_2d039ba2.gif

Шешуі.   hello_html_2d039ba2.gif 

hello_html_m48f19590.gif

hello_html_5e46c424.gif/hello_html_m10b8477f.gif

hello_html_m6ff7665b.gif

sinx=t

6hello_html_f38a6ac.gif

D=36+24=60

hello_html_m57d2665e.gif; hello_html_4bcba4aa.gif

hello_html_3f17925f.gifhello_html_m1afbd35b.gif

hello_html_23536275.gif

hello_html_m49ba9b2c.gif













ІІІ. Тригонометриялық теңдеулер жүйесі. 

Тригонометриялық теңдеулер жүйесін шешуде тригонометриялық теңдеулерді шешуде қолданылатын әдістер және тригонометриялық формулалар қолданылады. Бірнеше мысалдар қарастырайық.

1)Теңдеулер жүйесін шешіңіз:

http://www.bymath.net/studyguide/tri/sec/tri17a.gif

Шешуі:

http://www.bymath.net/studyguide/tri/sec/tri17a.gif

2)  Теңдеулер жүйесін шешіңіз:

                           http://www.bymath.net/studyguide/tri/sec/tri17b.gif

Шешуі:

Екі теңдеуді бір-біріне қосып және азайтып:

                          http://www.bymath.net/studyguide/tri/sec/tri17c.gif

:

                         http://www.bymath.net/studyguide/tri/sec/tri17d.gif

3)  Теңдеулер жүйесін шешіңіз:

http://www.bymath.net/studyguide/tri/sec/helpanssol/sol_12017.gif

Шешуі:

http://www.bymath.net/studyguide/tri/sec/helpanssol/sol_12017.gifhttp://www.bymath.net/studyguide/tri/sec/helpanssol/sol_12017.gifhttp://www.bymath.net/studyguide/tri/sec/helpanssol/sol_12017.gif

4)  Теңдеулер жүйесін шешіңіз:

http://www.bymath.net/studyguide/tri/sec/helpanssol/sol_12019.gif

Шешуі:

http://www.bymath.net/studyguide/tri/sec/helpanssol/sol_12019.gifhttp://www.bymath.net/studyguide/tri/sec/helpanssol/sol_12019.gifhttp://www.bymath.net/studyguide/tri/sec/helpanssol/sol_12019.gif

































ІҮ. Тригонометриялық теңсіздіктер.

Тригонометриялық теңдеулерді шешу кезінде алгебра курсынан белгілі теңсіздіктердің қасиеттерін, сонымен қатар тригонометриялық түрлендірулер мен формалаларды қолданамыз.тригонометриялық теңсіздіктерді шешуде бірлік шеңберді пайдалану да айтарлықтай тиімді. Бірнеше мысалдар қарастырайық.

http://claw.ru/a-mathem/29/10/10_3.jpg

  1. Теңсіздікті шешіңіз:   sin x > 0.

 Шешуі: Егер бірлік шеңберін пайдалансақ 0 < x < http://www.bymath.net/studyguide/pi.gif. Енді периодын қосып жазамыз, синустың периоды  2http://www.bymath.net/studyguide/pi.gif n :

                                        http://www.bymath.net/studyguide/tri/sec/tri18g.gif

  1. Теңсіздікті шешіңіз:   sin x > 0.5 .

  Шешуі:                        http://www.bymath.net/studyguide/tri/sec/tri18a.gif

3) Теңсіздікті шешіңіз:

http://www.bymath.net/studyguide/tri/sec/tri18h.gif

Шешуі:

http://www.bymath.net/studyguide/tri/sec/tri18b.gif

3)Тригонометриялық теңсіздіктер жүйесін шешіңіз:

http://www.bymath.net/studyguide/tri/sec/tri18d.gif

Шешуі: Бірінші теңсіздіктің шешімі:

http://www.bymath.net/studyguide/tri/sec/tri18d.gif

                          Екінші теңсіздік  tan x < 1 :

                          http://www.bymath.net/studyguide/tri/sec/tri18f.gif

Екі теңсіздіктің шешімдерін біріктіреміз:

http://www.bymath.net/studyguide/tri/sec/tri18f.gif

http://www.bymath.net/studyguide/tri/sec/tri18f.gif

Жауабы:

hello_html_42cf2843.gif





  1. Теңсіздікті шешіңіз:

http://www.bymath.net/studyguide/tri/sec/helpanssol/sol13001.gif

Шешуі:

http://www.bymath.net/studyguide/tri/sec/helpanssol/sol13001.gif

hello_html_m2bb7ba44.gif

http://www.bymath.net/studyguide/tri/sec/helpanssol/sol13001.gif http://www.bymath.net/studyguide/tri/sec/helpanssol/sol13001.gif

Бұдан, http://www.bymath.net/studyguide/tri/sec/helpanssol/sol13001.gif немесе http://www.bymath.net/studyguide/tri/sec/helpanssol/sol13001.gif

http://www.bymath.net/studyguide/tri/sec/helpanssol/sol13001a.gif

http://www.bymath.net/studyguide/tri/sec/helpanssol/sol13001a.gif

http://www.bymath.net/studyguide/tri/sec/helpanssol/sol13001a.gif

Боялған сектор соңғы теңсіздіктің жауабы болғанменен, тенгенс функциясының қасиетіне байланысты интервалдан hello_html_44824194.gif

Жауабы: http://www.bymath.net/studyguide/tri/sec/helpanssol/sol13001b.gif

  1. Теңсіздікті шешіңіз:

http://www.bymath.net/studyguide/tri/sec/helpanssol/sol13003.gif


Шешуі:

http://www.bymath.net/studyguide/tri/sec/helpanssol/sol13003.gifhttp://www.bymath.net/studyguide/tri/sec/helpanssol/sol13003a.gif

http://www.bymath.net/studyguide/tri/sec/helpanssol/sol13003a.gif


http://www.bymath.net/studyguide/tri/sec/helpanssol/sol13003a.gif

Жауабы:http://www.bymath.net/studyguide/tri/sec/helpanssol/sol13003a.gif



  1. Теңсіздікті шешіңіз:

http://www.bymath.net/studyguide/tri/sec/helpanssol/sol13009.gif

Шешуі:

http://www.bymath.net/studyguide/tri/sec/helpanssol/sol13009.gif

http://www.bymath.net/studyguide/tri/sec/helpanssol/sol13009.gif

http://www.bymath.net/studyguide/tri/sec/helpanssol/sol13009a.gif

http://www.bymath.net/studyguide/tri/sec/helpanssol/sol13009a.gif

http://www.bymath.net/studyguide/tri/sec/helpanssol/sol13009a.gif

http://www.bymath.net/studyguide/tri/sec/helpanssol/sol13009a.gif

http://www.bymath.net/studyguide/tri/sec/helpanssol/sol13009a.gifhttp://www.bymath.net/studyguide/tri/sec/helpanssol/sol13009a.gif

http://www.bymath.net/studyguide/tri/sec/helpanssol/sol13009b.gif

http://www.bymath.net/studyguide/tri/sec/helpanssol/sol13009b.gif

C:\Users\Anelia\Pictures\1.gif

http://www.bymath.net/studyguide/tri/sec/helpanssol/sol13009b.gif

http://www.bymath.net/studyguide/tri/sec/helpanssol/sol13009b.gif


Жауабы:

http://www.bymath.net/studyguide/tri/sec/helpanssol/sol13009b.gif


  1. Теңсіздікті шешіңіз:

http://www.bymath.net/studyguide/tri/sec/helpanssol/sol13012.gif


Шешуі: Екі жағдай болуы мүмкін:

http://www.bymath.net/studyguide/tri/sec/helpanssol/sol13012.gif

http://www.bymath.net/studyguide/tri/sec/helpanssol/sol13012.gifhttp://www.bymath.net/studyguide/tri/sec/helpanssol/sol13012.gif

http://www.bymath.net/studyguide/tri/sec/helpanssol/sol13012.gif


Жауабы:

http://www.bymath.net/studyguide/tri/sec/helpanssol/sol13012.gif

















Пайдаланылған әдебиеттер:


  1. «Математика және физика» ғылыми әдістемелік журнал 2009-2013ж

  2. «Тригонометрия» А.Х. Шахмейстер

  3. «Справочные пособие по математике» А.Г.Цыпкин.

  4. «Пособие для подготовки к единному национальному тестированию \ЕНТ\ по математике» Рустюмова И.П, Рустюмова С.Т

  5. «ФизМат» ғылыми-көпшілік физика-математика журнал 2012-2013ж

  6. «Тренажер для подготовки к единному национальному тестированию \ЕНТ\ по математике» Рустюмова И.П, Рустюмова С.Т.

  7. «Математика» оқу – әдістемелек құрал, 2013ж

  8. «Алгебра» 9-сынып оқулығы Әбілқасымова А, Корчевский В, Жұмағұлова З

  9. «Математика» жоғары сынып оқушыларына арналған.

А. Е. Әбілқасымова, Р. Кудакова

  1. «Математикадан таңдамалы есептер» С. Қаниев

  2. «Математикадан ҰБТ-ге дайындаламыз» Қ. А. Бисембиев

  3. «ҰБТ-ның жүз есебі» А. Қ. Жамалиева, Ж. К. Байманова



Общая информация

Номер материала: ДВ-567052

Похожие материалы