Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Доклад на тему "Теорема Менелая"

Доклад на тему "Теорема Менелая"

Самые низкие цены на курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации!

Предлагаем учителям воспользоваться 50% скидкой при обучении по программам профессиональной переподготовки.

После окончания обучения выдаётся диплом о профессиональной переподготовке установленного образца (признаётся при прохождении аттестации по всей России).

Обучение проходит заочно прямо на сайте проекта "Инфоурок".

Начало обучения ближайших групп: 18 января и 25 января. Оплата возможна в беспроцентную рассрочку (20% в начале обучения и 80% в конце обучения)!

Подайте заявку на интересующий Вас курс сейчас: https://infourok.ru/kursy


СВИДЕТЕЛЬСТВО СРАЗУ ПОСЛЕ ПРОСМОТРА ВЕБИНАРА

Вебинар «Подростковая лень: причины, способы борьбы»

Просмотр и заказ свидетельств доступен только до 22 января! На свидетельстве будет указано 2 академических часа и данные о наличии образовательной лицензии у организатора, что поможет Вам качественно пополнить собственное портфолио для аттестации.

Получить свидетельство за вебинар - https://infourok.ru/webinar/65.html

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:





Менелай Александрийский (hello_html_m1ef51a6a.gif, I в.) – древнегреческий математик и астроном. Автор работ по сферической тригонометрии: написал 6 книг о вычислении хорд и 3 книги “Сферики’’, сохранившиеся в арабском переводе. Для получения формул сферической тригонометрии использовал теорему, известную сегодня как теорема Менелая.

Теорема Менелая. Пусть прямая пересекает треугольник hello_html_59aa73f0.gif, причем hello_html_m5020517.gif– точка ее пересечения со стороной hello_html_m1a20d354.gif, hello_html_m52d5e9cd.gif– точка ее пересечения со стороной hello_html_76028d41.gif, и hello_html_m2b59d021.gif– точка ее пересечения с продолжением стороны hello_html_788320a.gif. Тогда

hello_html_m362b2232.gif

Доказательство. Проведем через точку hello_html_6a41aa92.gifпрямую, параллельную hello_html_m1a20d354.gif. Обозначим через hello_html_4ac84d72.gifее точку пересечения с прямой hello_html_50638d6b.gif.

hello_html_m668bbec9.jpg

Треугольники hello_html_m43ffdb8e.gifи hello_html_7668d413.gifподобны (hello_html_6093a92c.gif). Следовательно,

hello_html_m3d6dcf5f.gif

Треугольники hello_html_m27c2753.gifи hello_html_668c379d.gifтакже подобны (hello_html_me9e65ab.gif). Значит,

hello_html_380bf54a.gif

Из каждого равенства выразим hello_html_5a6317d0.gif:

hello_html_3b917f7.gif

откуда

hello_html_m65a0da06.gif

что и требовалось доказать.

Теорема (обратная теорема Менелая). Пусть дан треугольник hello_html_59aa73f0.gif. Пусть точка hello_html_m5020517.gifлежит на стороне hello_html_m1a20d354.gif, точка hello_html_m52d5e9cd.gif– на стороне hello_html_76028d41.gif, а точка hello_html_m2b59d021.gif– на продолжении стороны hello_html_788320a.gif, причем выполняется соотношение

hello_html_m362b2232.gif

Тогда точки hello_html_m2ec404b5.gifи hello_html_m5020517.gifлежат на одной прямой.

Доказательство. Заметим для начала, что hello_html_m59234077.gif, поскольку, по условию, это выражение равно hello_html_m23c89db5.gif. Следовательно, прямые hello_html_m10f2b150.gifи hello_html_788320a.gifне параллельны.

Проведем прямую через точки hello_html_m5020517.gifи hello_html_m52d5e9cd.gif. Она пересечет прямую hello_html_788320a.gifв некоторой точке hello_html_m24df1ed0.gif. Для точек hello_html_2f790f6f.gifи hello_html_m24df1ed0.gifсправедлива теорема Менелая, так что

hello_html_178cb8d9.gif

Отсюда следует, что

hello_html_m3585a512.gif

Из этого равенства следует, что обе точки hello_html_m2b59d021.gifи hello_html_m24df1ed0.gifлежат на продолжении отрезка hello_html_788320a.gifза одну и ту же точку, ибо правее hello_html_6a41aa92.gifданное отношение меньше hello_html_m3d8117e7.gif, а левее hello_html_m34787a42.gifоно строго больше hello_html_m3d8117e7.gif. Пусть hello_html_me045810.gif. Тогда, учитывая, что hello_html_m199d927d.gifи hello_html_m3ea1f89e.gif, перепишем полученное равенство в виде

hello_html_m33e0f7b7.gif

Из равенства hello_html_29d0d343.gifследует, что hello_html_m181e808a.gif, и доказано, что точка hello_html_m2b59d021.gif, совпадающая с hello_html_m24df1ed0.gif, лежит на прямой hello_html_m10f2b150.gif.

Замечание. Теоремы Менелая (прямая и обратная) верны также и в том случае, когда все три точки hello_html_m6c084fdb.gifлежат на продолжениях сторон треугольника hello_html_59aa73f0.gif. То есть справедлива следующая

Теорема. Пусть дан треугольник hello_html_59aa73f0.gif. Точки hello_html_m6c084fdb.gifлежат на продолжениях сторон hello_html_44e773b5.gifи hello_html_m1a20d354.gifсоответственно. Три точки hello_html_m2ec404b5.gifи hello_html_m5020517.gifлежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполняется равенство

hello_html_m362b2232.gif

hello_html_631970c2.jpgДоказательство этой теоремы точно такое же, как и доказательство, приведенное выше.

Источники: В.В. Ткачук, “Математика абитуриенту”, М.: Изд-во МЦНМО, 2004.

Я.П. Понарин, “Элементарная геометрия. Т.1. Планиметрия, преобразования плоскости”, М.: Изд-во МЦНМО, 2004.

Введение.

Мой реферат посвящен применению подобия к доказательству теорем и решению задач, а именно глубоко изучить обобщение теоремы Фалеса, теоремы Чевы и Менелая, которые не изучаются в школьной программе. Теме подобия, которая проходится в восьмом классе, отведено всего лишь 19 часов, что недостаточно для изучения этой темы более углубленно. В тему подобия входят: определение подобных треугольников, признаки подобия, отношение площадей подобных треугольников, средняя линия треугольника, пропорциональные отрезки и т.д.





Источники информации:

Дополнительные главы по геометрии 8 класса (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, С. А. Шестаков, И. И. Юдина) - настоящее пособие является дополнением к учебнику `Геометрия, 7-9` авторов Л.С.Атанасяна, В.Ф.Бутузова и др. (М.: Просвещение, 1990 и последующие издания). Оно полностью соответствует программе углубленного изучения математики.

Сайты:

http://festival.1september.ru

http://www.problems.ru

Вывод.

С помощью обобщения теоремы Фалеса, теорем Чевы и Менелая, не изучаемых в школьной программе, можно быстрее и легче доказывать определенные теоремы и решать более широкий круг задач. Я смогла доказать такие теоремы: теорема о пропорциональных отрезках (с помощью обобщения теоремы Фалеса), теоремы о пересечении медиан, высот и биссектрис треугольника в одной точке (воспользовалась теоремами Чевы и Менелая).

Историческая справка

Теорема Менелая - это классическая теорема аффинной геометрии. Эта теорема доказывается в третьей книге "Сферики" древнегреческого математика и астронома Менелая Александрийского (ок. 100 г. н.э.). Менелай сначала доказывает теорему для плоского случая, а потом центральным проектированием переносит её на сферу. Возможно, что плоский случай теоремы рассматривался ранее в несохранившихся "Поризмах" Евклида.

Сферическая теорема Менелая была основным средством, с помощью которого решались разнообразные прикладные задачи позднеантичной и средневековой астрономии и геодезии. Ей посвящён ряд сочинений под названием "Книга о фигуре секущих", составленных такими математиками средневекового Востока, как Сабит ибн Кора (836 - 901, астроном, математик, механик и врач), ан-Насави (1010 - 1075, газневидский математик и астроном), ал-Магриби (1220 - 1283, математик и астроном государства Хулагу), Абу Саид ибн Мухаммад ибн Абд-ал-Джалил ас-Сиджизи (951 - 1024, газневидский математик и астроном), Хусам ад-Дин Али ибн Фадлаллах ас-Салар аш-Шами (ум. 1262, среднеазиатский математик и астроном Хорезшахов), Абу Мухаммад Джабир ибн Афлах ал-Ишбили (первая половина 12 в., западноарабский математик и астроном), Абу Джафар Мухаммад ибн Мухаммад Насир ад-Дин ат-Туси (1201 - 1274, персидский математик, механик и астроном).

В начале нашей исследовательской работы мы поставили проблему – Зачем нужна математика? В ходе изучения литературы и материалов сети интернет мы выяснили, что изначально математика возникла из повседневных нужд человека (подсчеты, измерения) и многие годы служила мощным инструментом познания окружающего мира. Значит, если бы математические знания не передавались из поколения в поколение люди бы надолго застряли на уровне пещерного человека. В ходе проведения экспериментов мы выяснили, что полученные в школе знания очень помогают при решении практических задач с которыми мы сталкиваемся постоянно. Проведенные нами статистические исследования помогли убедиться в правильности выдвинутой гипотезы: математические знания полученные в школе применимы в жизни. Теоретическая значимость нашей работы заключается в том, что познакомившись с нашим исследованием, многие ученики, на вопрос о необходимости изучать математику, ответят положительно. Практическая значимость ее в том, что она может быть использована школьниками для повышения своего образовательного уровня, а также научить применять полученные в школе знания на практике, что сегодня очень актуально.

Введение

Я хочу изучить треугольник Рёло , потому что мне стала интересна его история. Если в древние времена наиболее широко применялся прямоугольный треугольник Пифагора, то в настоящий момент людей больше интересуют необычные свойства треугольника Рёло.

Цель моей работы – выяснить, что такое треугольник Рёло, узнать его историю и где он применяется.

Для этого поставлены задачи:

1.Узнать что такое треугольник Рёло

2.Узнать историю Треугольника Рёло

3.Построить треугольник Рёло самостоятельно

4.Узнать где используется треугольник Рёло



Гипотеза

Мне кажется, что Треугольник Рёло является ненужным механизмом в истории человечества. В конце работы я узнаю, прав я или нет. Заключение.

Я рассмотрел применение треугольника Рело в некоторых архитектурных строениях, механических устройствах, в автомобильных двигателях.

Я считаю, что изобретенная крышка люка для рекуперированной воды в Сан-Франциско, является очень интересной для человечества. За счет своей формы, такая крышка никогда не перевернется. Если бы архитекторы пересмотрели наши канализационные люки, и взяли бы для примера такую крышку, то можно было бы избежать множество трагических ситуаций, когда люди падали в канализационные люки.

Поиски альтернативных видов топлива для автомобилей заставил вновь обратить внимание на роторно-поршневой двигатель Ванкеля. Разработчики Mazda уверяют, что по природе своей роторно-поршневой агрегат гораздо лучше приспособлен для работы на водороде, нежели традиционные моторы. По прогнозам специалистов, уже к 2025 году более четверти мирового автопарка будет использовать в качестве топлива водород. Сколько из этого количества придется на традиционные ДВС и как будет меняться пропорция по мере удешевления себестоимости производства компонентов привода на топливных элементах? Увидим в ближайшие годы.

Я опровергнул свою гипотезу, так как Треугольник Рёло используется во многих механизмах. Я думаю, что он будет использоваться и в будущем.

















.

Идёт приём заявок на самые массовые международные олимпиады проекта "Инфоурок"

Для учителей мы подготовили самые привлекательные условия в русскоязычном интернете:

1. Бесплатные наградные документы с указанием данных образовательной Лицензии и Свидeтельства СМИ;
2. Призовой фонд 1.500.000 рублей для самых активных учителей;
3. До 100 рублей за одного ученика остаётся у учителя (при орг.взносе 150 рублей);
4. Бесплатные путёвки в Турцию (на двоих, всё включено) - розыгрыш среди активных учителей;
5. Бесплатная подписка на месяц на видеоуроки от "Инфоурок" - активным учителям;
6. Благодарность учителю будет выслана на адрес руководителя школы.

Подайте заявку на олимпиаду сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Автор
Дата добавления 06.09.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров209
Номер материала ДБ-179241
Получить свидетельство о публикации

УЖЕ ЧЕРЕЗ 10 МИНУТ ВЫ МОЖЕТЕ ПОЛУЧИТЬ ДИПЛОМ

от проекта "Инфоурок" с указанием данных образовательной лицензии, что важно при прохождении аттестации.

Если Вы учитель или воспитатель, то можете прямо сейчас получить документ, подтверждающий Ваши профессиональные компетенции. Выдаваемые дипломы и сертификаты помогут Вам наполнить собственное портфолио и успешно пройти аттестацию.

Список всех тестов можно посмотреть тут - https://infourok.ru/tests


Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх