Элективный
курс
Методы
решения задач с параметрами и модулем
(11
класс, 34 часа)
Пояснительная записка
Необходимость такого курса вызвана
несколькими причинами:
- необходимостью
формирования логического мышления и математической культуры у школьников;
- тесной
взаимосвязью таких задач с физическими процессами и геометрическими
закономерностями;
- задания ЕГЭ
представлены задачами, которые и определяют цели данного курса.
Практика работы в школе показывает, что задачи
с параметрами и модулем представляют для школьников наибольшую трудность, как в
логическом так и в техническом плане, поэтому уравнения и неравенства,
содержащие параметры и модули - это один из труднейших разделов школьного курса
математики. В этом случае, кроме использования алгоритмов решения уравнений или
неравенств, приходится думать об удачной классификации, следить за тем, чтобы
не пропустить множество тонкостей, спрятанных в задаче. Уравнения и неравенства
с параметрами и модулями - это тема, где проверяются знания ученика-понимание
им материала. Эти задачи оцениваются более высоким баллом, если включен
параметр или модуль, или их конфигурация, и возрастает вдвойне, если задание
решено не традиционным, шаблонным, а нестандартным, оригинальным способом.
Данный
элективный курс продолжает знакомить учащихся с
функционально-графическими методами решения алгебраических задач с параметрами
и модулем. В школьной программе этим заданиям мало уделяется времени и
элективный курс призван восполнить данный пробел, одновременно призван, не
только дополнять и углублять знания учащихся, но и развивать их интерес к
предмету, любознательность, логическое мышление.
Решение уравнений,
неравенств и систем с параметрами и модулем открывает перед учащимися
значительное число эвристических приемов общего характера, ценных для
математического развития личности, применяемых в исследованиях и на любом
другом математическом материале.
Элективный курс
позволяет значительно сократить разрыв между
требованиями, которые предъявляет абитуриенту ВУЗ и требованиями, которые
предъявляет к своему выпускнику школа.
Поэтому, особая
установка элективного курса - подготовка учащихся к успешной сдаче ЕГЭ
Преподавание
элективного курса строится как углубленное
изучение вопросов, предусмотренных программой основного курса. Углубление
реализуется на базе обучения методам и приемам решения математических задач,
требующих применения высокой логической и операционной культуры, развивающих
научно-теоретическое и алгоритмическое мышление. Тематика задач не выходит за
рамки основного курса, но уровень их трудности - повышенный.
Цели элективного курса
- пробуждение и
развитие устойчивого интереса к математике, повышение математической
культуры учащихся;
- знакомство
учащихся с методами решения различных по формулировке нестандартных задач;
- привитие навыков употребления
функционально-графического метода при решении задач;
- расширение и
углубление знаний по математике по программному материалу;
- подготовка
учащихся к продолжению образования в вузе.
Курс позволяет учащимся глубже
познакомиться с нестандартными приемами решения сложных задач, успешно
развивает логическое мышление, умение найти среди множества способов решения
тот, который комфортен для ученика и рационален. Этот курс требует от учащихся
большой самостоятельной работы, способствует подготовке учащихся к продолжению
образования, повышения уровня математической культуры.
Содержание
элективного курса
1. Понятие модуля. Решение
уравнений по определению модуля (2 часа). Что такое
модуль числа? Модули и расстояния. Освобождение от модулей в уравнениях. Методы
решения уравнений содержащих несколько модулей. Параллельное раскрытие модулей.
Метод интервалов в задачах с модулями. Модули и квадраты.
2. Построение графиков,
содержащих знак модуля (2 часа). Графики элементарных
функций, содержащие знак модуля, как у аргумента, так и у функции; двойные
модули; графики уравнений и соответствий, содержащие знак модуля. Знакомство и
работа с компьютерными программами для построения графиков.
3. Решение
уравнений с переходом к системе или совокупности уравнений (3 часа).
Рациональные уравнения, однородные уравнения, симметрические уравнения,
возвратные уравнения. Иррациональные уравнения: простейшие, уравнения с
несколькими радикалами, полные квадраты под знаком радикала, домножение на
сопряженное, замена переменной, посторонние корни, применение свойств функций.
Показательные и логарифмические уравнения, тригонометрические уравнения,
сводящиеся к квадратным.
4. Рациональные неравенства с
модулем. Обобщенный метод интервалов (2 часа). Решение
неравенств методом интервалов. Неравенства с одним модулем. Освобождение от
модуля в неравенствах. Способы решения рациональных неравенств: разложение на
множители, выделение полного квадрата, приведение к общему знаменателю и
алгебраическое сложение дробей и т.д.
5. Простейшие
задачи с параметрами (1 час). Понятие параметра. Две основных формы
постановки задачи с параметром. Графическая интерпретация задачи с параметром.
Методы решения простейших задач с параметрами.
6. Задачи
с параметром, сводящиеся к использованию квадратного трехчлена (2 часа).
Условия существования корней квадратного трехчлена. Знаки корней. Расположение
корней квадратного трехчлена относительно точки, отрезка. Графическая
интерпретация.
7. Использование графических
иллюстраций в задачах с параметрами (2 часа). Решение
задач с помощью построения графиков левой и правой части уравнения или
неравенства и «считывания» нужной информации с рисунка. Область определения.
Множество значений. Четность. Монотонность. Периодичность. Симметрия графика
относительно начала координат или оси ординат в зависимости от четности
функции.
8. Приемы составления задач с параметрами,
используя графики различных соответствий и уравнений. (1 час). Демонстрация
приёма составления задач с параметром методом «от картинки к задаче».
9. Использование
ограниченности функций, входящих в левую и правую части уравнений и неравенств
(2 часа). Применение метода оценки левой и правой частей, входящих в
уравнение или неравенство. «Полезные неравенства»: сумма двух взаимно обратных
чисел, неравенство для суммы синуса и косинуса одного аргумента, неравенство
между средним арифметическим и средним геометрическим положительных чисел.
10. Метод приведения
к уравнению относительно неизвестной х с параметром у (2 часа). Основные приемы
решения уравнений: тождественные преобразования, замена переменной.
Равносильность уравнений. Исключение «посторонних» корней. Приемы решения
рациональных, иррациональных, показательных и логарифмических уравнений.
11. Графический способ решения уравнений и неравенств
(2 часа). 12. Сочетание графического и
алгебраического методов решения уравнений (2 часа). Основные приемы
решения систем уравнений и неравенств: подстановка, алгебраическое сложение,
введение новых переменных. Системы неравенств с одной и двумя переменными.
Сравнение графического и алгебраического способов решения уравнений и
неравенств. Уравнения, неравенства и системы с параметрами, их решение и
исследование.
13. Использование производной при решении задач с параметрами.
Задачи на максимум и минимум (2 часа). Производная сложной функции.
Производная и касательная. Вторая производная. Исследование функций с помощью
производной. Применение производной при решении задач с параметрами. Задачи на
максимум и минимум.
14. Комбинированные задачи с модулем и параметрами. Обобщенный
метод областей (4 часа). Перенос метода интервалов с прямой на
плоскость. Обобщенный метод областей. Нахождение площади фигур, ограниченных
неравенством. Применение метода областей к решению уравнений и неравенств с
параметрами и модулем, и их комбинации.
15. Нетрадиционные
задачи. Задачи группы "С" из ЕГЭ (5 часов).
Использование экстремальных свойств рассматриваемых функций. Нестандартные по
формулировке задачи, связанные с уравнениями или неравенствами. Задачи с
параметром. От общего к частному и обратно. Задачи с: логическим содержанием.
Практикум по решению задач, к группы «С», входящих в контрольно
измерительные материалы ЕГЭ. Разбор методов и способов решения заданий.
учебно-тематический план
№
п/п
|
Название
темы
|
Кол.
час.
|
Формы
проведения занятий
|
Формы
контроля
|
1,2
|
Понятие модуля. Решение уравнений по определению
модуля.
|
2 ч
|
Диалог,
коллективное обсуждение
|
Отчет
о выполнении групповой работы
|
3,4
|
Построение графиков, содержащих знак модуля
|
2 ч
|
практикум
|
Самостоятельная
работа Отчет о выполнении индивидуальной работы
|
5-7
|
Решение уравнений с переходом к системе или
совокупности уравнений.
|
3 ч
|
Лекция,
практикум. Коллективное обсуждение, групповая работа
|
Самостоятельная
работа. Отчет о выполнении групповой работы
|
8,9
|
Рациональные неравенства с модулем.
Обобщенный метод интервалов.
|
2 ч
|
Беседа,
практикум
|
Собеседование.
Тестирование
|
10
|
Простейшие задачи с параметрами.
|
1 ч
|
Коллективное
обсуждение, практикум
|
Самостоятельная
работа. Отчет о выполнении групповой работы
|
11,12
|
Задачи с параметром, сводящиеся к
использованию квадратного трехчлена.
|
2 ч
|
Лекция,
практикум
|
Отчет
о выполнении индивидуальной работы
|
13,14
|
Использование графических иллюстраций в
задачах с параметрами.
|
2 ч
|
Коллективное
обсуждение, практикум
|
Собеседование.
Отчет о выполнении индивидуальной работы
|
15
|
Приемы составления задач с параметрами,
используя графики различных соответствий и уравнений.
|
1 ч
|
Диалог,
коллективное обсуждение
|
Оценка
и коррекция знаний
|
16,17
|
Использование ограниченности функций,
входящих в левую и правую части уравнений и неравенств.
|
2 ч
|
Практикум
|
Тестирование
|
18,19
|
Метод приведения к уравнению относительно
неизвестной х с параметром у.
|
2 ч
|
Лекция,
практикум
|
Самостоятельная
работа. Отчет о выполнении групповой работы
|
20,21
|
Графический способ решения уравнений и
неравенств.
|
2 ч
|
Практикум.
Коллективное обсуждение, групповая работа
|
Самостоятельная
работа. Отчет о выполнении групповой работы
|
22,23
|
Сочетание графического и алгебраического
методов решения уравнений.
|
2 ч
|
Практикум
|
Самостоятельная
работа
|
24,25
|
Использование производной при решении задач
с параметрами. Задачи на максимум и минимум.
|
2 ч
|
Диалог,
коллективное обсуждение
|
Отчет
о выполнении групповой работы
|
26-29
|
Комбинированные задачи с модулем и
параметрами. Обобщенный метод областей.
|
4 ч
|
Лекция,
практикум
|
Оценка
и коррекция знаний
|
30-34
|
Задачи раздела "С". КИМ ЕГЭ.
|
5 ч
|
Практикум.
Уроки самооценки.
|
Зачет.
Оценка и коррекция знаний
|
|
Итого:
|
34 ч
|
|
|
Требования к знаниям и умениям: в
результате изучения курса учащиеся должны уметь
- решать линейные и
квадратные уравнения с параметром;
- строить графики
элементарных функций, и их комбинации, усложненные модулями;
- решать
иррациональные, логарифмические, тригонометрические, показательные
уравнения с параметром как аналитически, так и графически;
- применять аппарат
алгебры и математического анализа для решения прикладных задач;
- иметь четкое
представление о возможностях функционально-графического подхода к решению
различных задач.
ЛИТЕРАТУРА:
- П. И. Горнштейн, В. Б. Полонский, М. С.
Якир. Задачи с параметрами. 3-е издание, дополненное и переработанное. —
М.: Илскса, Харьков: Гимназия, 2005,
- Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по
математике "Решение задач" (10 класс).-М.: Просвещение 1990
- Шарыгин И.Ф., Голубев. В. И. Факультативный
курс по математике. Решение задач. Учебное пособие для 11 класса средней
школы.- М.: Просвещение 1991
Интернет ресурсы
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.