Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Факультатив для одаренных детей

Факультатив для одаренных детей

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов



«Факультатив для одаренных детей «Логарифмы»


На протяжении последних лет визитной карточкой гимназии № 6 являются показатели достижений учащихся в предметных олимпиадах всех уровней: городских, областных и республиканских, а также высокий уровень подготовки учащихся гимназических классов, что позволяет добиваться 100% поступления в престижные вузы: МГУ, Институт нефти им. Губкина, НГУ, НГТУ. Такие высокие результаты стали возможны благодаря разработке и внедрению комплексной программы «Одаренные дети».

При разработке и реализации программы «Одаренные дети» мы исходили из следующих понятий: одаренность – это своеобразное сочетание способностей человека, развивающихся в соответствующей деятельности и позволяющих достичь высоких результатов в одной или нескольких сферах. Исходя из теоретических посылок, мы реализуем различные виды деятельности учащихся с целью выявления, стимулирования и развития их способностей.

Хотелось бы остановиться на факультативных занятиях по математике.

Известно, что вступительные экзамены в вузы имеют значительные различия в содержании проверяемого учебного материала. Это естественно, потому что в разных вузах в процессе обучения требуется разный объем знаний по математике. Трудность вступительных экзаменов для подавляющего большинства состоит в следующем. Программа 10-11 классов очень сильно отличается от программы вступительных экзаменов. В школе в течение двух последних лет изучают элементы математического анализа, который школьники очень плохо осваивают, а этот материал не входит в программу вступительных экзаменов. Материал изучается при полном отсутствии понятия предела. Поэтому школьники вынуждены зазубривать все о производных, касательных, экстремумах, интегралах. Учителя вынуждены много времени уделять технике дифференцирования. В связи с этим времени на освоение тригонометрии, показательных и, особенно, логарифмических функций остается в обрез. Задач на эти темы решается мало, а уж повышенной трудности тем более. Вот этим мы и занимаемся на занятиях факультатива.

Мы рассмотрим свойства логарифмов, которые необходимы для решения задач, но отсутствуют в большинстве учебников.


Неравенство вида hello_html_m5f4b4367.gif.

Рассмотрим неравенство hello_html_m5f4b4367.gif, где a – заданное положительное число, отличное от 1. ОДЗ: hello_html_48723fcb.gif.

  • Если hello_html_238b963f.gif, то hello_html_m5f4b4367.gif тогда и только тогда, когда hello_html_1b513db8.gif, т.е. hello_html_370166fd.gif.


  • Если hello_html_6e5b9a3c.gif, то hello_html_m5f4b4367.gif тогда и только тогда, когда hello_html_34be60ef.gif, т.е. опять hello_html_370166fd.gif.


И, наоборот, если hello_html_370166fd.gif, то

  • при hello_html_238b963f.gif имеем hello_html_1b513db8.gif, а тогда hello_html_m5f4b4367.gif;


  • при hello_html_6e5b9a3c.gif имеем hello_html_34be60ef.gif, тогда hello_html_m5f4b4367.gif.


Следовательно, имеет место условие равносильности

hello_html_m26f3531f.gif

Можно записать полное условие равносильности

hello_html_m6a795814.gif

Условие равносильности верно и для нестрогого неравенства

hello_html_m6d4e643.gif

Преимущество использования условий равносильности по сравнению с обычным способом решения, даже если неравенство простое, состоит в том, что мы не думаем о том, большим или меньшим единицы является основание. Кроме того, нет необходимости писать фразы о той или другой монотонности.


Правило. Знак hello_html_4ca00d50.gif совпадает со знаком произведения hello_html_2e347a8b.gif в ОДЗ.


Пример1. hello_html_m3bf32775.gif



Пример 2. Решим неравенство hello_html_m3a3a4fb2.gif

ОДЗ:

hello_html_1cb5a062.gif


hello_html_m52ed318d.gif

hello_html_m385e2e7a.gif

Решим неравенство методом интервалов.

Ответ: hello_html_m6579b47b.gif


Для сравнения можно решить это неравенство обычным способом.

Рассмотрим функцию hello_html_3944038d.gif

ОДЗ:

hello_html_m2d73c3d4.gif

Нули знаменателя: hello_html_m77863173.gif

hello_html_73247d3c.gif



Неравенство вида hello_html_m213c6c82.gif, где hello_html_9ffbb32.gif.


Рассмотрим неравенство hello_html_m213c6c82.gif, где hello_html_9ffbb32.gif.

ОДЗ определяется системой hello_html_m14470ba6.gif


    • Если hello_html_238b963f.gif, то hello_html_m213c6c82.gif тогда и только тогда, когда hello_html_2935ae1b.gif, т.е. hello_html_m3eb5a781.gif.


    • Если hello_html_6e5b9a3c.gif, то hello_html_m213c6c82.gif тогда и только тогда, когда hello_html_m305332bb.gif, т.е. опять hello_html_m3eb5a781.gif.


И, наоборот. Если hello_html_m3eb5a781.gif, то

  • при hello_html_238b963f.gif имеем hello_html_2935ae1b.gif, а тогда hello_html_m213c6c82.gif.


  • при hello_html_6e5b9a3c.gif имеем hello_html_m305332bb.gif, а тогда опять hello_html_m213c6c82.gif.


Мы получили условие равносильности


hello_html_m58117596.gif

Можно записать полное условие равносильности, включающее ОДЗ.

hello_html_1ff33875.gif


Отсюда следует

Правило. Знак разности hello_html_788e137d.gifсовпадает со знаком произведения hello_html_m76883da.gifв ОДЗ.


При решении простейших логарифмических неравенств, конечно, можно не использовать это правило, однако, оно дает возможность просто справиться с неравенствами, решение которых обычным способом потребует больше вычислений.

Например, теперь можно очень просто решить неравенства вида

hello_html_m46bbd879.gif.


hello_html_m22744ae5.gif.



Условие равносильности верно и для нестрогого неравенства

hello_html_m1b472107.gif


Более сложные неравенства

Рассмотрим неравенство hello_html_m40ca8178.gif, где hello_html_c93900c.gif. ОДЗ выражений, входящих в неравенство, определяется системой hello_html_m38dc63ff.gif.

Решение неравенства определяется знаками множителей. Воспользуемся тем, что в ОДЗ знак разности по правилам совпадает.

hello_html_m6adb1afd.gif

Замечательно то, что мы освобождаемся от всех логарифмов за один шаг!


Пример. Решим неравенство: hello_html_m6cb79b1f.gif


Решение:

Найдем ОДЗ:


hello_html_7193fa2.gifhello_html_m364090e1.gifhello_html_m739d14ab.gifhello_html_7193fa2.gifhello_html_68770a82.gifhello_html_m739d14ab.gifhello_html_m483dc1fc.gif


Воспользуемся правилом в ОДЗ:


hello_html_4454005.gif


Теперь с учетом ОДЗ получаем ответ.

Ответ: hello_html_m68e43d06.gif.

Решим неравенство обычным способом.

hello_html_m6cb79b1f.gif

ОДЗ:hello_html_7193fa2.gifhello_html_m364090e1.gifhello_html_m739d14ab.gifhello_html_7193fa2.gifhello_html_68770a82.gifhello_html_m739d14ab.gifhello_html_m483dc1fc.gif

Заменим равносильным неравенством:

hello_html_225eb43b.gif

hello_html_67af9591.gif

hello_html_20635bb5.gifили hello_html_58e46e40.gif

hello_html_m4e169f09.gif

Ответ: hello_html_m68e43d06.gif.

Рассмотренные примеры наглядно показывают об экономии времени при решении логарифмических неравенств любой сложности. Поэтому выбор темы «Логарифмы» не случаен. Практически нет ни одной вступительной работы по математике, которая не содержала задания по решению логарифмического уравнения или неравенства, либо их систем. Этим и определяется содержание факультатива.


Общая информация

Номер материала: ДБ-184625

Похожие материалы