Факультативное занятие по математике "Сложный процент"

Сложные проценты.

I. Введение

Проценты в мире появились из практической необходимости, при решении определенных задач, в основном это экономические потребности. И поэтому надо отметить важность процентов в нашей жизни. Так как проценты проникли практически, во все отросли знаний. Мы не однократно видим, что проценты применяют даже там, где проценты на первый взгляд не применимы так, например человек на вопрос как у него здоровье? Может ответить, что здоров процентов на семьдесят, отсюда видно, что проценты можно применять при измерении не только точных величин, как килограммы, рубли и.т.д. так как проценты являются универсальной величиной измерения разных величин и объектов. Проценты уже появились в древности, когда появилось понятие долга, так как нужны были для выплаты по закладным и займам и т. д. Первая потребность процентов была экономическая, но после проценты стали, широко применятся в различных отраслях и науках ( математика, химия и т д. ) и в наше время проценты приобрели широкое распространение.

В структуру практического интеллекта входят следующие качества ума: предприимчивость, экономичность, расчетливость, умение быстро и оперативно решать возникающие задачи. Предприимчивость проявляется в том, что в сложной жизненной ситуации человек способен находить несколько решений возникшей проблемы, а главное – в том, что какая бы проблема перед ним ни возникла, он всегда готов и в состоянии отыскать ее оптимальное решение, в практическом плане. Предприимчивый человек из любой ситуации сможет найти выход.

Сами проценты не дают экономического развития, но их знание помогает в развитии практических способностей, а также умение решать экономические задачи. Обдуманное изучение процентов может способствовать развитию таких навыков как экономичность, расчетливость.

Расчетливость проявляется в умении заглядывать далеко вперед, предвидя последствия тех или иных решений и действий, точно определять их результат и оценивать, чего он может стоить.

Наконец, умение оперативно решать поставленные задачи – это динамическая характеристика практического интеллекта, проявляется в количестве времени, которое проходит с момента возникновения задачи до ее практического решения.

Задачи на «концентрацию», «сплавы», «банковские расчеты» - это хорошие примеры практических задач, позволяющие продемонстрировать, как формальные алгебраические знания применяются в реальных жизненных ситуациях.

I I. Теоретическая часть.

1)    Проценты

Итак, слово процент от латинского слова pro centum, что буквально означает «за сотню» или «со ста». Идея выражения частей целого постоянно в одних и тех же долях, вызванная практическими соображениями, родилась еще в древности у вавилонян. Ряд задач клинописных табличек посвящен исчислению процентов, однако вавилонские ростовщики считали не «со ста», а «с шестидесяти». Проценты были особенно распространены в Древнем Риме. Римляне называли процентами деньги, которые платил должник заимодавцу за каждую сотню. От римлян проценты перешли к другим народам Европы.

Долгое время под процентами понимались исключительно прибыль или убыток на каждые сто рублей. Они применялись только в торговых и денежных сделках. Затем область их применения расширилась, проценты встречаются в хозяйственных и финансовых расчетах, статистике, науке и технике. Ныне процент – это частный вид десятичных дробей, сотая доля целого (принимаемого за единицу).

Знак % происходит, как полагают, от итальянского слова cento (сто), которое в процентных расчетах часто писалось сокращенно cto. Отсюда путем дальнейшего упрощения в скорописи буква t превратилась в наклонную черту (/), возник современный символ для обозначения процента

2)    Сложный процент

Для задач на эту тему есть методика финансового анализа - расчет сложных процентов, используемая при решении задач финансовой математики.

Проценты, начисленные на величины, полученные в результате начисления процентов, называются сложными.

Пусть некоторая переменная величина А в начальный момент имеет значение А₀, когда она увеличилась на р%, то стала равна А₁;. Найдём это значение.

А₀ - 100%

, значит,  А₁ - (100 + р)%, откуда

Если же величина несколько раз изменилась на одно и тоже число процентов, то её значение вычисляется через n изменений по формуле «сложных процентов».

Если изменение происходит на разное число процентов, то формула выглядит так:

.

В практическую часть мы включили несколько придуманных и решённых нами задач, в которых используются формулы «сложных  процентов».

           4) «Сколько стоит кредит?»

Потребительский кредит, пожалуй, самый удобный и простой способ сделать покупку в магазине. Ведь тут можно не задумываться о том, как накопить нужную сумму. Достаточно иметь деньги на первоначальный взнос — и товар ваш. Однако прежде чем оформить кредит, следует учесть некоторые нюансы.

Потребительское кредитование.

Потребительский кредит - это продажа товаров в кредит или заем на куплю-продажу товаров и оплату услуг.

Потребительский кредит связан с проблемами, которые возникают во время реализации товаров и услуг. Эти проблемы, как известно, свойственны насыщенным товарным рынкам. Там, где существует дефицитная экономика, там потребительский кредит или отсутствует, или имеет место по отдельным товарным группам или даже по отдельным товарам. Например, в бывшем Советском Союзе потребительский кредит существовал только для незначительного перечня товаров, которыми рынок был насыщен.

Потребительский кредит принадлежит к числу дорогих, что означает высокую процентную ставку. Обычно она колеблется в пределах 15-30%, но может быть и выше. Главными причинами удорожания потребительского кредита является относительно высокие затраты на его предоставление и большой риск неплатежеспособности потребителя.
Сегодня в кредит можно купить практически все — от лекарств до загородного коттеджа. Для этого банки предоставляют услугу, называемую потребительским кредитом, который условно можно разделить на несколько видов:
• кредит на неотложные нужды, когда заемщик получает деньги наличными в банке, не оговаривая цели кредита;
• товарный кредит, когда деньги выдают под покупку конкретного товара.
Во втором случае заемщик чаще всего даже не видит живых денег, поскольку банк перечисляет их напрямую продавцу. А клиенту остается лишь постепенно выплатить за него деньги и проценты. Минус в том, что для оформления любого из этих кредитов нужно предоставить банку немало документов. Среди них паспорт, справка о доходах с места работы, товарный чек, выписанный магазином, и так далее. Но большинству покупателей необходимо быстрое обслуживание. Поэтому они предпочитают брать маленькие кредиты, то есть пользуются услугами экспресс - кредитования.

Экспресс-кредит.
Как правило, такого рода кредиты рассчитаны они на покупку мебели, бытовой и оргтехники и других необходимых товаров длительного пользования. Оформить экспресс-кредит довольно просто во многом благодаря тому, что банки перестали ждать, когда клиент придет к ним, и открыли свои конторы прямо в магазинах.
Для получения кредита не потребуются ни залог, ни справка с места работы, ни поручители — только паспорт и собственноручно заполненная анкета, по результатам которой банк решает, предоставить клиенту кредит или отказать. Для этого проводят моментальную автоматическую оценку платежеспособности клиента на основании анкетных данных. Многие банки также могут проверить вас через службу безопасности.  Это делается лишь для того, чтобы убедиться, что вы не мошенник и не пришли за покупкой с фальшивым паспортом. Как правило, вся процедура занимает от 15 минут до часа, после чего путь к кредиту открыт. Потребуется лишь подписать кредитное соглашение и оплатить первоначальный взнос (20–30 % от стоимости товара).
Однако, как и в любом деле, в экспресс - кредитовании есть свои нюансы. Так, например, у разных банков — разные условия. Одни привлекают процентными ставками, но отталкивают неудобным обслуживанием или долгими процедурами проверки заемщиков. Другие повышают качество и быстроту обслуживания, компенсируя риски невозврата более высокой платой по кредиту.

Главное — срок.
Перед тем как приступать непосредственно к оформлению документов, следует обратить внимание на сроки предоставления кредита. Минимальный срок, как правило, один месяц, максимальный — пять лет, а самый распространенный — один год. Важно помнить, что проценты по кредиту зависят от времени, на которое он выдан. Многие банки, предоставляя кредит на длительный срок, понижают процентные ставки. Но прежде чем на это соглашаться, узнайте, дает ли банк возможность досрочного погашения кредита. Ведь далеко не всем банкирам придется по душе рвение побыстрее расплатиться с долгами. Потому что в этом случае они теряют лакомые проценты. И еще. На будущее учтите, если вам повезет найти такой банк, то лучше не тянуть, а постараться заплатить как можно больше. Чтобы, так сказать, проценты не капали. Представьте, сколько их скопится, особенно за пять лет.
Пришла пора выяснить, сколько все-таки придется платить. Тут стоит быть предельно внимательными. Дело в том, что многие банки не любят сообщать сведения о настоящей стоимости кредита. Для сокрытия этой информации они идут на различные ухищрения.

Уловки банкиров.
Что же получают банки, кредитуя население? Помимо процента в доходную статью входит комиссия. Часто комиссионные платежи за совершение различных операций — открытие и ведение счета, обналичивание денег и прочее — банк взимает с клиента. Поэтому, прежде чем обратиться за кредитом, осведомитесь о размере комиссии: она может перевесить процентные платежи по долгу.
Что касается самих процентов, то многие банки для привлечения клиента хитрят и конечную ставку по кредиту прячут, например, под рекламными слоганами типа «10-10-10». Расшифровывается такой код так: начальный взнос за товар составляет 10 % от его стоимости, после чего оставшаяся часть погашается равными долями в течение 10 месяцев, причем товар дорожает всего на 10 %. Но хитрость заключается в том, что 10 % удорожания не 10 % годовых. Ведь кредит выдают меньше чем на год, и сумма его меньше стоимости товара. Если к тому же учесть, что в большинстве случаев клиенту также приходится платить за открытие счета, его обслуживание и так далее, то эффективная ставка по кредиту чаще всего близка к 40 % годовых, а то и выше. Во всяком случае, рассчитывать, что она будет меньше 30 %, вряд ли стоит.
И все же: формально банкиры закон не нарушают, потому как реальную ставку они в договоре все же указывают. Только, как правило, она прописана очень маленьким шрифтом. Так сказать, чтобы покупателю читать не захотелось. Заемщику же в основном показывают не сами проценты, а конкретные суммы, то есть сколько и когда придется платить. Порой покупатель, подсчитав, сколько он платит реально, решает, что его обманули, а вот тут-то ему и договор в руки, для детального разбора. Все становится понятно, но деваться уже некуда: как говорится, после драки кулаками не машут.
Бывает, что кредит выдают под ставку в ноль процентов. Но и тут не стоит обманываться.
Во-первых, под 0 % продают зачастую залежавшиеся и устаревшие модели телевизоров, холодильников и прочих товаров, на которые фирма просто не хочет давать скидку. Во-вторых, цена такого дешевого продукта значительно превосходит стоимость его аналога в других магазинах. Это объясняется тем, что банки совместно с магазинами заранее закладывают в стоимость товара проценты по кредиту.
             Час расплаты.
Теперь, когда вы благополучно произвели покупку, пришла пора расплачиваться с долгами. Это тоже несложно, если знать некоторые тонкости. Например, многие банки-кредиторы принимают почтовые переводы. Средства также можно перечислить через Сбербанк или тот банк, в котором у вас открыт счет. Но учтите, привлечение посредника, будь то почта или другой банк, повысит стоимость кредита в среднем на 1–3 %. Так что проще всего выплачивать проценты в том магазине, где производилась покупка.

Клиенту навстречу.
Итак, в популярности кредитования сомнений нет. Это доказывает и тот факт, что за последние несколько лет россияне набрали потребительских кредитов почти на семь миллиардов долларов. Растет и конкуренция. Поэтому банкиры становятся более уступчивыми и готовыми рискнуть сохранностью своих капиталов ради резкого расширения клиентской базы. Центробанк тоже идет в ногу со временем, постепенно снижая процентные ставки. Да и представители торгового бизнеса ведут активную борьбу между собой, чтобы привлечь покупателя. Ведь реализация товаров и услуг в кредит повышает объемы продаж, поэтому торговцы стремятся, чтобы в их магазинах было представлено максимальное количество кредитных продуктов и, как правило, три-четыре выдающих их банка. Так что выбор есть, нужно только правильно к нему подойти.

Бесплатный сыр: сколько стоят потребительские кредиты.
Кредит — услуга, безусловно, удобная. Для тех, кто сразу не может заплатить полную стоимость вожделенной покупки, а совершить ее очень хочет. В таком случае нет ничего оптимальнее, чем купить товар в кредит. И это, пожалуй, единственный плюс ныне модного предложения.
Остальные золотые горы (которыми заманивают потенциальных покупателей специализирующиеся на кредитовании торговые центры) — мистификация. Как и беспроцентный кредит. В любом банке вам не задумываясь пояснят, что бесплатных кредитов не бывает! Бесплатным бывает лишь сыр, заманивающий глупых мышей в мышеловки, о которых чаще всего им ничего не сообщается. Поэтому паспорт, второй документ, подтверждающий личность потенциального заемщика, и умело составленная анкета - перечень, вполне достаточный. Это очень важный момент. Ведь если бы документы было собрать тяжелее, скорей всего, часть покупателей не приходила бы обратно, а спокойно обдумывала, нужна ли эта вещь именно в кредит.

III.     Практическая часть.

Как невозможно научиться плавать, не войдя в воду, так же невозможно научиться решать задачи, делать выводы, не попробовав это сделать. Итак, переходим к практической части.

1)    Решение задач

Задача №1

Рассчитайте, что выгоднее для вкладчика: получить 25000 рублей сегодня или получить 40000 рублей через 3 года, если процентная ставка равна 18,75%?

Решение:

Рассчитаем будущую стоимость 20000 рублей через 3 года под 18,75% годовых по  формуле A=A₀ (1+r)ⁿ, где A – результат, A₀- начальный вклад, r- процентная ставка, n- срок.

A=20000(1+0,1875)³ =33491 рубль

Ответ: Получить 40000 рублей через 3 года является более выгодным решением, при данном значении процентной ставки.

Задача №2.

Сколько лет понадобиться, для того чтобы из 5000 рублей, положенных на счет в «Росбанк », стало 50000 рублей, если процентная ставка банка равна 9,5% годовых?

Решение:

Преобразуем формулу к следующему виду:

(1+r)ⁿ =  и подставим значения;

1,095ⁿ==10, отсюда n = =

Ответ: 5000 рублей вырастет до 50000 рублей при 9,5% годовой ставке за 25,5 лет

Задача №3.

Какой должна быть савка ссудного процента, чтобы 10000 рублей нарастились до 40000 рублей, за срок вклада 3 года?

Решение:

Преобразуем формулу к следующему виду:

r =– 1

r =

r = 0,5874 или 58,74%

Ответ: 10000 рублей «вырастут» до 40000 рублей за 3 года при ставке ссудного процента 58,74%

Задача №4.

Зарплату рабочему повысили в феврале на 7%, а в июне еще на 18%. На сколько процентов повысилась зарплата рабочего в июне по сравнению с январем?

Решение:

Т.к. здесь проценты находятся от величины, полученной от начисления процентов, то можно применить формулу сложных процентов:

А = 1 *(1+0,07)(1+0,18)= 1,2626

Ответ: на 26% повысилась зарплата рабочего в июне по сравнению с январем.

Задача №5.

В период распродажи, цену на телевизор снизили на 15%, а по окончании распродажи повысили на 15%. Дороже или дешевле стал товар по сравнению с первоначальной ценой?

Решение:

Пусть Х – цена товара, то, применяя формулу сложных процентов, имеем:

А = Х(1- 0,15)(1+0.15)= 0,85*1,15Х=0,9775

= 97.75%  

Ответ: товар по сравнению с первоначальной ценой стал дешевле на 2,15 %

Задача №6.

Андрей за лето похудел на 23%, за время пребывания бабушки в гостях осенью поправился на 35%, за зиму поправился на 15%, а весной опять похудел на 20%. Как изменился его вес?

Решение:

Если задачу решать обычным путем – с помощью уравнения, то решение будет очень длинным. Применяем формулу сложных процентов:

Пусть А₀ = 1, тогда

А = 1 (1-0,23)(1+0,35)(1+0,15)(1-0,20)

А = 0,83214 , то есть вес Андрея стал составлять 83% от его первоначального веса.

100% - 0,83214*100%=16,79%

Ответ: похудел на 16,79%

Задача №7.

За пять лет, в связи с выездом на материк, население Норильского промышленного района уменьшилось с 230 000 человек до 185 000 человек. Найти средний годовой процент оттока населения.

Решение:

Применив формулу «сложных процентов» получаем:

230000=185000 (1+)⁵

r = 100* ( - 1)

r = 4,45 %

Ответ: средний годовой процент оттока населения из Норильского промышленного района составляет 4,45%.

1)    Постановка исследования

Зачем, где и как применяются сложные проценты? В банк положить деньги на счёт мы пока не можем, так как их не зарабатываем. Нам хотелось увидеть, «пощупать», где и как применяются сложные проценты. Мы решили остановиться на потребительских кредитах, которые предоставляют некоторые магазины нашего города. Мы решили «купить в кредит» (виртуально) компьютер: системный блок с определённой конфигурацией и монитор. Получилось, что компьютер с характеристиками, которые бы нас устроили, стоит в разных магазинах по-разному. Тогда мы остановились на фиксированной цене. Нашей целью стало выяснить, во сколько нам обойдётся кредит в некоторых магазинах нашего города на покупку вожделенного компьютера. Сразу хотим заметить, что в наши цели не входит реклама какому либо магазину. Сбор, обработка и анализ информации – вот наша цель.

              Мы собрали информацию о потребительском кредите, предоставляемом своим клиентам в следующих магазинах города: «Космос», «Стибор», «Екатерина» и «AV - проспект». Чтобы не создавать рекламу или антирекламу торговым точкам нашего города, мы назвали магазины 1, 2, 3, 4, в произвольном порядке.

Распечатка ежемесячных выплат магазина 1 (приложение, таблица 1) оказалась для нас вполне понятной. Мы легко можем проконтролировать суммы ежемесячных выплат, используя формулу  процентов.

Например, покажем расчёты, используя «распечатку расчетов» магазина.

Мы «купили» компьютер 16 декабря. Вычислим проценты за период времени до 16 января, когда наступит время первого платежа.

Сумма кредита 36 400. В месяце 31 день, в году 365 дней, 24% годовых, получаем

 рублей.

Далее, погашается часть долга и величина насчитанных процентов, в следующем месяце процент начисляется на остаток.

            В остальных магазинах проконтролировать начисление процентов оказалось значительно сложнее.       

IV.   Вывод.

Итак, получается, взять кредит во всех случаях невыгодно, особенно нам, ведь мы хотели купить компьютер. Статистика говорит, что компьютеры дешевеют каждые полгода на 20% - 25%, имеются в виду технические характеристики. Пока мы оплатим кредит, мы потеряем ещё и на этом. Что же делать, если покупку хочется сделать уже сейчас, а денег на неё не хватает? Лучше, конечно, потерпеть и накопить нужную сумму, но если уж невтерпёж, то надо выяснить, где же всё-таки дешевле.

Если ежемесячно на погашение кредита мы можем тратить не более 2 000 рублей, то кредит выгоднее взять на 24 месяца в магазине 1. Переплата составит  9 831 рублей за два года.

Если же, мы можем себе позволить тратить около 4 000 рублей ежемесячно на погашение кредита, то выгоднее взять такой кредит в банке.

 Богатство - это результат не больших заработков, а умело вложенных капиталов.