(x0,t)
∈/ τ. Это влечет, что (t,t′)
∈ ρ при любом t′ ∈ X. В частности, (t,v)
∈ ρ. Так как (u,t)
∈ σ и (t,v) ∈ ρ,
то (u,v) ∈ σρ.
Мы доказали, что σρ = σρ′, но τρ 6= τρ′.
В силу теоремы 1 это означает, что . ¤
Следствие из
теоремы 4 и двойственной к ней. В полугруппе B(X)
бинарных отношений на множестве X
справедливы равенства L ∗
= L и R∗ = R.
Авторы благодарят рецензента, сделавшего
ряд ценных замечаний, позволивших существенно улучшить текст статьи.
Библиографический список
1.
Клиффорд А.,
Престон Г. Алгебраическая
теория полугрупп. В 2 т. М.: Мир, 1972. Т. 1. 285 c.
2.
Зарецкий К.А.
Полугруппа бинарных
отношений // Мат. сб. 1963. Т. 61 (103), № 3. C. 291–305.
3.
Глускин Л.М. Полугруппы изотонных преобразований
// Успехи мат. наук. 1961. Т. 5 (101), № 16. C. 157–
162.
4.
Айзенштат
А.Я. Регулярные
полугруппы эндоморфизмов упорядоченных множеств // Учен. зап. Ленингр. гос.
пед. ин-та им. А.И. Герцена. 1968. Т. 387. С. 3–11.
5.
Molchanov
V.A. Semigroups of
mappings on graphs // Semigroup Forum. 1983. V. 27. P. 155–199.
6.
Laradji A.,
Umar A. On certain
finite semigroups
|
of order-decreasing transformations // King Fahd
Univ. Petroleum & Minerals. Tech. Rep. Ser. 2003. P. 1–19.
7.
Huisheng P.,
Dingyu Z. Green’s
equivalences on semigroups of transformations preserving order and an
equivalence relation // Semigroup Forum. 2005. V. 71. P. 241–251.
8.
Ляпин Е.С. Полугруппы. М.: Физматгиз, 1960. 592
c. 9. Шутов Э.Г. Потенциальная делимость элементов в полугруппах //
Учен. зап. Ленингр. гос. пед. ин-та им. Герцена. 1958. Т. 166. C. 75–103.
10. Вагнер В.В. Теория отношений и алгебра
частичных отображений // Теория полугрупп и её приложения: Сб. науч. тр.
Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1965.
Вып. 1. C.
3–178.
|
УДК
517.958
СТРУКТУРАРЕШЕНИЯСМЕШАННОЙЗАДАЧИ
ДЛЯВОЛНОВОГОУРАВНЕНИЯ
НАКОМПАКТНОМГЕОМЕТРИЧЕСКОМ
ГРАФЕВСЛУЧАЕНЕНУЛЕВОЙ
НАЧАЛЬНОЙСКОРОСТИ
Structure of Mixed Problem Solution for Wave Equation on
О.В.
Коровина, В.Л. Прядиев
Белгородский
государственный университет, кафедра математического анализа
E-mail:
olesya korovina@mail.ru, Pryadiev@bsu.edu.ru
Для волнового уравнения на компактном геометрическом
графе при обобщённо-гладких условиях трансмиссии доказывается аналог формулы
Даламбера.
Ключевые слова: компактный геометрический граф,
волновое уравнение, обобщённо-гладкие условия трансмиссии, смешанная задача,
аналог формулы Даламбера.
|
Compact
Geometrical Graph in Nonzero Initial Velocity Case
O.V.
Korovina, V.L. Pryadiev
Belgorod
State University,
Chair of
Mathematical Analysis
E-mail:
olesya korovina@mail.ru, Pryadiev@bsu.edu.ru
A D’Alambert formula analogue for wave equation on
the compact geometrical graph with generalized smooth transmission conditions
is being proved.
Key words: compact geometrical graph, wave
equation, generalized smooth transmission conditions, mixed problem,
D’Alambert formula analogue.
|
В настоящей работе рассматривается
волновое уравнение на компактном геометрическом графе при условиях трансмиссии,
которые являются обобщением так называемых «гладких» или «стандартных» [1].
Основная цель работы — дать доказательство представления типа Даламбера для
решения начально-краевой задачи при ненулевой начальной скорости из класса C1. Использована техника, развитая в работе [2]
(где начальная скорость предполагалась нулевой). Представление типа Даламбера
здесь не только даёт информацию о структуре общего решения (дополняя
представление решения в виде ряда Фурье), но и может быть положено в основу при
создании вычислительной схемы решения начально-краевой задачи [3].
°c О.В. Коровина, В.Л. Прядиев, 2009
1. ОПИСАНИЕ
ОСНОВНОГО ОБЪЕКТА ИССЛЕДОВАНИЯ
Пусть Γ — компактный геометрический граф из Rn, который понимается нами
так же, как в [4]. Пусть J —
множество всех внутренних вершин Γ,
∂Γ — множество граничных вершин. В
соответствии с работой [4] J содержится
в Γ и ∂Γ
∩ Γ = ∅. Будем предполагать, что компоненты связности множества Γ \ J (называемые рёбрами графа)
являются прямолинейными интервалами. Все рёбра будем считать ориентированными,
т.е. что каждому интервалу γ = (a,b), являющемуся ребром Γ, поставлен в соответствие один из
двух векторов единичной длины, коллинеарных вектору b−a.
Этот вектор обозначим через hγ.
Для функции u, определённой в точках
множества (Γ\J)×(0;+∞), будем
использовать следующие обозначения: если x
∈ Γ \ J, а γ — ребро Γ, содержащее x, то ux(x,t)
:= lim ε−[1][u(x + εhγ,t)
− ε→0 − u(x,t)], и если t > 0, то ut(x,t) := lim τ−1[u(x,t
+ τ) − u(x,t)]. τ→0
Основной объект исследования в данной работе — это
волновое уравнение
uxx(x,t) = utt(x,t) (x
∈ Γ \ J, t > 0)
при условиях трансмиссии
|
(1)
|
X α(x,h)u+h
(x,t) = 0 (x ∈ J, t > 0),
|
(2)
|
h∈T(x)
здесь T(x)
:= ©h ∈ Rn ¯¯khk = 1 и (x + εh) ∈ Γ для
достаточно малых ε > 0ª, α(x,h)
— некоторые вещественные числа, такие что
X α(x,h) = 1 (x ∈
J), (3)
h∈T(x)
u+h (x,t) — правая производная по вектору h функции u(·,t)
в точке x.
Отметим попутно, что существование правых производных u+h
(x,t) для
всех h ∈ T(x) автоматически
влечёт непрерывность функции u(·,t) в точке x при любом t > 0. Предполагая, что функция u, удовлетворяющая соотношениям (1) и (2),
определена на (Γ∪∂Γ)×[0;+∞),
будем рассматривать для системы (1)–(2) следующую начально-краевую задачу:
u(x,t) = 0 (x ∈ D, t >
0),
|
(4)
|
,
|
(5)
|
u(x,0) = ϕ(x) (x ∈ Γ ∪ ∂Γ),
|
(6)
|
lim ut(x,t) = ψ(x) (x
∈ Γ ∪ ∂Γ),
|
(7)
|
t→0+
здесь D ∪ N =
∂Γ и D ∩ N = ∅, причём x ∈
N ⇒| T(x) |= 1.
Под решением задачи (1)–(2),
(4)–(7) будем понимать функцию u : (Γ∪∂Γ)×[0;+∞) → R, которая
1) непрерывна по первому аргументу в точках ∂Γ × [0;+∞), 2) непрерывна по второму
аргументу в точках (Γ ∪ ∂Γ) ×
{0}, 3) удовлетворяет соотношениям (1)–(2), (4)–(7)1.
Заметим, что можно считать N =
∅, т.е. D = ∂Γ (и далее мы всегда это
будем предполагать). Действительно, достаточно объявить точки из N внутренними вершинами Γ, и тогда (5) примет вид равенства
(2) с единственным числом α(x,h), равным 1.
2. РЕШЕНИЕ НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ
ЗАДАЧИ (1)–(2), (4)–(7) В ФОРМЕ ДАЛАМБЕРА
Для формулировки основного
результата нам потребуется ввести в рассмотрение некоторое множество
ориентированных ломаных, которое мы обозначим буквой P. Ориентированную ломаную p с вершинами, перенумерованными
согласно ориентации p,
отнесём ко множеству P,
если и только если:
1)
,
2)
,
3)
.
При этом мы допускаем, что
некоторые звенья [ai;ai+1],
в том числе соседние, могут совпадать или быть вложенными одно в другое. Точку a0 будем называть началом ломаной p, а точку ak — её концом.
Длиной ломаной p назовём
сумму длин её звеньев [ai;ai+1],
т.е..
Каждой
паре (p,i), в которой p — ломаная из P, а i — номер её вершины, отличной от конца (т.е.
), поставим в соответствие число
−1, если
a¡i ∈ D¢(=¡∂Γ) и i 6=
0, ¢
βi(p) := 2α(ai,hi(p)), если
i = 0 ∨ (ai ∈6 ∂Γ)
∧ ([ai−1;ai] ∩ [ai;ai+1]
= {ai}) ,
, в остальных случаях,
где hi(p) := |ai+1 −ai|−1(ai+1
−ai), и если a0 ∈ Γ\J, то α(a0,h) := 1/2
для любого h ∈ T(a0), а
если a0 ∈ ∂Γ, то α(a0,h) := 1 для
любого h ∈ T(a0).
Положим
.
Введём, наконец, в рассмотрение оператор C(t), действующий в
пространстве определённых на Γ∪∂Γ
функций по правилу:
, если x ∈
Γ и t > 0,
[C(t)ζ](x) := если
x ∈ ∂Γ и t > 0, (8)
если
x ∈ Γ ∪ ∂Γ и t =
0,
где P(x,t)
есть множество всех ломаных из P
с началом в точке x и
длины t, а ep здесь и далее
обозначает конец p.
Теорема 1. Пусть
ϕ и ψ непрерывны на Γ∪∂Γ, причём для любого
ребра γ сужения ϕ′′|γ
и ψ′|γ функций ϕ′′ и ψ′ на это ребро равномерно
непрерывны на нём. Пусть для любой x
∈ J вторая
производная (ϕ+h
)+h (x) по вектору h ∈
T(x) не зависит от h, т.е.
(ϕ+h )+h
(x) = (ϕ+η )+η
(x) (x ∈ J, h,η ∈ T(x)). (9)
Пусть также
X α(x,h)ϕ+h
(x) = 0 (x ∈ J), (10)
h∈T(x)
X α(x,h)ψh+(x)
= 0 (x ∈ J), (11)
h∈T(x)
ϕ(x)
= ψ(x) = (ϕ+h )+h
(x) = 0 (x ∈ ∂Γ, h ∈ T(x)). (12)
Тогда решение задачи (1)–(2), (4)–(7) существует, единственно и
представимо в виде
(13)
Доказательство. Для
доказательства единственности решения задачи (1)–(2), (4)–(7) достаточно
доказать тривиальность решения u0 однородной задачи (1)–(2),
(4)–(7) (при ϕ и ψ тождественно равных нулю) на (Γ ∪ ∂Γ) × [0;δ], где δ — наименьшая из длин рёбер.
Выражая для каждого ребра γ = (a;b) сужение u0|γ×[0;+∞)
через u0(a,t) и u0(b,t), получим, в силу формулы решения задачи о
распространении граничного режима [5, гл. II, §
2, п. 7], что для t ∈ [0;δ] выполнено
(u0)+h
(x,t) = −(u0)t(x,t) (x
∈ J).
Отсюда, ввиду выполнения (2)
для u0, следует, что (u0)t(x,t)
= 0 для всех x ∈ J и t ∈ [0;δ],
т.е. так как u0(x,0) = 0, что u0(x,t) = 0 для тех же x и t. Но тогда u
≡ 0 на γ ×
[0;δ] для любого ребра γ.
Единственность доказана.
Справедливость
представления (13) достаточно доказать отдельно для случаев ψ ≡
0 и ϕ ≡ 0. Допустим пока, что ψ ≡
0 в (13). Найдём сначала ut(x,t) для x ∈
Γ и t > 0. Если ∆t < 0 достаточно мало, то u(x,t
+ ∆t) = X β(π)ϕ(eπ) = X β(p)ϕ(ep
− ∆t · h(p)),
π∈P(x,t+∆t) p∈P(x,t)
где h(p) — вектор из T(ep),
однозначно определяемый требованием о том, что точка ep +
εh(p) принадлежит последнему звену ломаной p для достаточно малых ε > 0. Значит, левая производная u−t (x,t) имеет вид u−t (x,t) = − X β(p)ϕ+h(p)(ep).
(14)
p∈P(x,t)
Если же ∆t > 0 достаточно мало,
то, представляя P(x,t) в виде P(x,t)
:= P1(x,t)∪P2(x,t)∪P3(x,t),
где P1(x,t) := {p ∈ P(x,t) | ep ∈
Γ \ J}, P2(x,t) := {p ∈ P(x,t) | ep ∈
∂Γ}, P3(x,t) := {p ∈ P(x,t) | ep ∈
J}, получим u(x,t + ∆t) = X β(π)ϕ(eπ)
= X1
β(p)ϕ(ep − ∆t
· h(p)) − X2 β(p)ϕ(ep + ∆t
· h(p))+
π∈P(x,t+∆t) p∈P
(x,t) p∈P
(x,t)
+ X3 β(p)·
− ϕ(ep + ∆t · h(p)) + Xp 2α(ep,h)ϕ(ep
+ ∆t · h)¸.
p∈P (x,t) h∈T(e
)
Следовательно, правая производная u+t
(x,t) имеет
вид
u+t
(x,t) = l1
+ l2 + l3, (15)
где
.
Заметим, что если p ∈
P2(x,t), то ep
∈ ∂Γ,
и значит, ϕ(ep) = 0.
Следовательно, ϕ(ep +∆t·h(p))+
+ ϕ(ep) = ϕ(ep + ∆t · h(p))
− ϕ(ep), и поэтому
l2 = − X2 β(p)ϕ+h(p)(ep).
p∈P (x,t)
Далее,
так как если p
∈ P3(x,t),
то ep ∈ J, и значит, в силу (10)
Xp α(ep,h)ϕ+h
(ep) = 0. h∈T(e
)
Таким
образом, (15) приобретает вид, что
вместе с (14) влечёт
. (16)
Аналогично найдём utt(x,t). Так же как из (13)
было получено (14), из (16) получаем
(ut)−t (x,t) = X β(p)(ϕh+(p))+h(p)(ep).
p∈P(x,t)
Далее,
(ut)+t
(x,t) = L1 + L2 + L3, (17)
где
.
Для
преобразования L3 воспользуемся, тем, что для
достаточно малых ∆t > 0 выполнено
равенство — при всех h
∈ T(ep).
Тогда с учётом (10) получим:
Заметим, что в силу (9) для любого h ∈
T(ep). Поэтому с учётом (3) окончательно
получаем
L3 = X3 β(p)(ϕ+h(p))+h(p)(ep).
p∈P (x,t)
Таким образом, (17) примет вид
(ut)+t (x,t) = 1 X 3 β(p)(ϕ+h(p))+h(p)(ep) − X2 β(p)(ϕ+h(p))h+(p)(ep),
p∈P (x,t)∪P
(x,t) p∈P
(x,t)
что совпадает с (ut)−t
(x,t), так как если p
∈ P2(x,t),
то ep ∈ ∂Γ и, стало быть, в силу
(12) имеем . Значит,
utt(x,t) = X β(p)(ϕ+h(p))+h(p)(ep). (18)
p∈P(x,t)
Найдём теперь
выражения для u+h (x,t) и для uxx(x,t), где в первом случае x — фиксированная точка из Γ, h
∈ T(x),
а во втором случае x принадлежит
Γ \ J, и в обоих случаях t > 0. Пусть P′(x,t,hª ) := ©p ∈ P(x,t)¯¯(x +
εh) принадлежит первому звену ломаной p при достаточно малых ε > 0 и
P′′(x,t,h) := P(x,t) \ P′(x,t,h).
Если ε > 0 достаточно мало, то
u(x
+ εh,t) = X′′ β(p)ϕ(ep
+ εh(p))+
p∈P (x,t,h)
, (19)
где Pi′(x,t,h) := P′(x,t,h) ∩ Pi(x,t).
Из (19) вытекает, что
. (20)
Теперь мы
можем показать, что функция (13) (при ψ
≡ 0) удовлетворяет
условию (2). В самом деле, в силу (20)
Изменим в правой части (21) порядок суммирования так, чтобы
внутреннее суммирование осуществлялось по h
∈ T(x) ,
а внешнее — по p ∈ P(x,t). Заметим, что
всякая ломаная p ∈ P(x,t) принадлежит P′(x,t,h)
для единственного h из
T(x); обозначим это h через θ(p).
Тогда замена порядка суммирования в правой части (21) может быть осуществлена
по следующему правилу:
. (22)
На основании (22) из (21) получаем
= 0 (23)
— в силу (3). Значит, если ψ ≡
0, то функция (13) условию (2) удовлетворяет.
При x ∈ Γ \ J равенство (23) принимает вид
,
где γ —
ребро, содержащее x.
Но тогда существует и ux(x,t), и из равенства (20)
следует:
|
|
.
|
(24)
|
p∈P′′(x,t,hγ) p∈P′(x,t,hγ)
Равенство (24) используем для
нахождения uxx(x,t), где x ∈
Γ\J и t > 0. Для достаточно малых ε > 0 имеет место:
ux(x + εhγ,t) = Xγ γ
β(π)ϕh+(π)(eπ)
− ′ Xγ γ
β(π)ϕh+(π)(eπ)
=
π∈P′′(x+εh
,t,h ) π∈P
(x+εh ,t,h )
= X γ β(p)ϕ+h(p)¡ep
+ εh(p)¢ − ′ Xγ 1 β(p)ϕh+(p)¡ep
− ε · h(p)¢+ p∈P′′(x,t,h )
p∈P (x,t,h )∩P (x,t)
+ Xγ 2 β(p)ϕ+−h(p)¡ep
+ ε · h(p)¢−
p∈P′(x,t,h )∩P
(x,t)
− Xγ 3 β(p)· Xp 2α(ep,η)ϕ−+η¡ep
+ ε · η¢ − ϕ−+h(p)¡ep
+ ε · h(p)¢¸.
p∈P′(x,t,h )∩P
(x,t) η∈T(e )
Заметим, что (для любого η ∈
T(ep)) при достаточно малых ε > 0.
Учитывая это, а также (10), (12), (9) и (3), получим
(ux)+hγ(x,t) = X β(p)(ϕ+h(p))h+(p)(ep). (25)
p∈P(x,t)
Вычисление аналогично и приводит к равенству
(ux)+−hγ(x,t) = − X β(p)(ϕ+h(p))+h(p)(ep). (26)
p∈P(x,t)
Из равенств (25) и (26) следует,
что правая часть равенства (25) и есть uxx(x,t). Значит (см. (18)), при
ψ ≡ 0 функция (13) удовлетворяет
уравнению (1).
Выполнение
(4) для функции (13) при ψ ≡ 0 следует из определения C(t) (см. (8)). Но надо еще
доказать, что (∀ x ∈ ∂Γ)
(∀ t > 0) [u(y,t) → 0 при y →
x].
Пусть
x ∈ ∂Γ и t > 0. Без ограничения общности можно считать, что |T(x)| = 1. В этом
случае
,
ввиду непрерывности ϕ на Γ∪∂Γ, обнуления ϕ на ∂Γ и равенства (3). При этом
последний предел — равномерный по любому конечному интервалу изменения
переменной t, что
вместе со сходимостью u(y,0) = ϕ(y) → 0 при
y → x (∈ ∂Γ) влечёт сходимость u(y,t)
к 0 при y → x (∈ ∂Γ) равномерно на каждом отрезке вида [0;t0]. Значит [6,
no 505], функция u непрерывна
на ∂Γ × [0;+∞).
Справедливость
(6) для функции (13) при ψ ≡ 0 следует из определения C(t) (см. (8)). Однако надо
обосновать, что
. (27)
Заметим, что для любой x
∈ Γ при достаточно
малых t > 0 все ломаные p из P(x,t)
однозвенны, следовательно, имеет место равенство β(p)
= α(x,θ(p)). Поэтому
,
причём в силу равномерной непрерывности ϕ последний предел — равномерный
на Γ. Это вместе с очевидной
сходимостью u(x,t) → ϕ(x) при
t → 0+ в точках x ∈
∂Γ влечёт равномерную уже на Γ∪∂Γ
сходимость u(x,t) к ϕ(x)
при t → 0+, откуда следует непрерывность
функции u на (Γ∪∂Γ)×{0} по совокупности
переменных [6, no 505].
Аналогично доказывается справедливость
(7) для (13) при ψ ≡ 0: в силу (16) и (10) для x ∈
Γ получим
,
причём последний предел —
равномерный на Γ ∪ ∂Γ в
силу равномерной непрерывности ϕ′|γ для любого ребра γ.
Итак, в случае ψ ≡
0 функция (13) есть решение задачи (1)–(2), (4)–(7).
Остаётся рассмотреть случай, когда ϕ ≡
0 в (13). В этом случае при x
∈ Γ и t > 0
, (28)
что доказывается так же, как и (16). Далее, если x ∈
Γ и t > 0, то
(29)
Здесь мы учитываем, что в силу
равномерной непрерывности ψ′ на любом ребре и с учётом
(11) подынтегральная функция при любом фиксированном t > 0 непрерывна
по совокупности переменных в некотором прямоугольнике вида [x;x + εh] × [0;t],
где ε > 0 достаточно мало. Из (29) следует,
что
Подынтегральная сумма здесь равна
нулю, что доказывается так же, как и равенство нулю правой части равенства
(21). Таким образом, функция (13) в случае ϕ
≡ 0 удовлетворяет
условию (2) и дифференцируема по x
в точках Γ \ J.
Проинтегрируем правую часть (29) при x ∈
Γ \ J. Покажем, что
. (30)
С одной стороны, производные по t левой и правой частей (30) равны. В то же время
при достаточно малых t > 0 в P′′(x,τ,h) содержится ровно
одна, причём однозвенная, ломаная, которую обозначим через pe.
Учитывая равенство h(pe) = h, получим
,
что совпадает с правой частью (30) при тех же t. Тем самым равенство (30)
доказано. Далее, поскольку P′(x,τ,h) = P′′(x,τ,−h),
то в силу (30)
.
Значит (см. (29)), для x
∈ Γ \ J
u+h
(x,t) = − X′′ β(p)ψ(ep)
+ X′ β(p)ψ(ep).
p∈P (x,t,h) p∈P
(x,t,h)
Отсюда, поскольку для x
∈ Γ \ J (здесь γ — ребро, содержащее x), получаем
uxx(x,t) = − X β(p)ψh+(p)(ep),
p∈P(x,t)
что вместе с (28) влечёт
выполнение (1) для функции (13) при ϕ
≡ 0.
Далее,
функция [C(t)ψ](x)
как функция x и t непрерывна на ∂Γ
× [0;+∞), что доказывается так же, как и непрерывность [C(t)ϕ](x).
Поэтому функция (13) при ϕ ≡ 0 не только удовлетворяет условию
(4), но и непрерывна в точках ∂Γ × [0;+∞).
Остаётся отметить выполнение начальных
условий. Справедливость u(x,0) = 0 очевидна. Равенство
ut(x,0+) = ψ(x) обосновывается
так же, как и (27). Теорема доказана.
3. О КЛАССЕ
РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ (1)–(2), (4)–(7)
Обратимся
теперь к вопросу о том, какому классу принадлежит решение задачи (1)–(2),
(4)–(7) при выполнении условий теоремы 1.
Теорема 2. Пусть
выполнены условия теоремы 1.
Тогда решение u задачи (1)–(2), (4)–(7) и его производные ut и utt непрерывны на (Γ ∪ ∂Γ) × [0;+∞), uxx непрерывно
доопределяема на
(Γ∪∂Γ)×[0;+∞),
а ux равномерно
непрерывна на γ×[0;+∞), где γ — любое ребро Γ. Кроме того,
X α(x,h)(ut)+h
(x,t) = 0 (x ∈ J, t > 0). (31)
h∈T(x)
Замечание. Заявленные в теореме
2 свойства решения u задачи
(1)–(2), (4)–(7) означают, в частности, что u
и ut —
как функции первого аргумента при фиксированном втором аргументе, — наследуют
все свойства ϕ и
соответственно ψ из
условий теоремы. Здесь мы учитываем, что в силу уравнения (1) из непрерывности utt на (Γ ∪ ∂Γ) × [0;+∞) вытекает
равномерная непрерывность uxx
на γ × [0;+∞), где γ — любое ребро Γ, а также, что
(u+h )+h
(x,t) = (u+η )+η
(x,t) (x ∈ J, h,η ∈ T(x), t
≥ 0), (u+h )+h
(x,t) = 0 (x ∈ ∂Γ, h ∈ T(x),
t ≥ 0).
Доказательство теоремы 2. В
доказательстве теоремы 1 мы уже установили непрерывность по t функций u и ut. Поэтому, доказав непрерывность на (Γ ∪ ∂Γ) × [0;+∞) функции utt, мы докажем такую
же непрерывность функций ut и
u. Кроме того, в силу
уравнения (1) uxx,
будучи равной utt на
Γ\J, будет непрерывно
доопределяемой на (Γ∪∂Γ)×[0;+∞)
(если мы докажем, что utt
непрерывна
на этом множестве), что повлечёт
и равномерную непрерывность ux|γ×[0;+∞) для
любого ребра γ.
Для обоснования непрерывности utt на (Γ ∪ ∂Γ) × [0;+∞) достаточно
показать непрерывность правых частей в (18) и в (28). Равномерная на Γ непрерывность по t правой части в (18) следует, с
учётом (9) и (12), из равномерной непрерывности ϕ′′|γ на любом ребре γ, а правой части в (28) — из
равномерной непрерывности ψ′|γ на любом ребре γ (и с учётом (11)). При этом
для любой x ∈ ∂Γ
, (32)
что и влечёт непрерывность utt на (Γ ∪ ∂Γ) × [0;+∞). Обоснуем
(32):
Здесь все суммы стремятся к нулю
(при ε → 0+): первая и четвёртая — так как ϕ′′ и ψ′ непрерывны на Γ \ J, вторая и третья — так как ϕ′′ равномерно непрерывна на каждом ребре и
удовлетворяет условиям (12) и (9), пятая — так как просто равна нулю, шестая —
так как ψ′ равномерно непрерывна на
каждом ребре и удовлетворяет условию (11).
Справедливость
(31) устанавливается дифференцированием по t
равенства (2) и с учётом равенства
(u+h )t(x,t)
= (ut)+h (x,t) (x
∈ J, h ∈ T(x), t > 0),
которое следует непосредственно из (20), (16) и (29), (28).
Теорема доказана.
Работа выполнена при финансовой
поддержке РФФИ (проект 07-01-00299).
Библиографический список
1. Юрко В.А. О восстановлении операторов Штурма – задачи
для волнового уравнения на одномерной про-
Лиувилля на
графах // Мат. заметки. 2006. Т. 79, № 4. странственной сети через функцию Грина соответ-
С. 619–630. ствующей
краевой задачи для обыкновенного диффе-
2. Прядиев В.Л. Описание решения начально-краевой ренциального
уравнения // Современная математика
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.