Геометрия в нашей жизни

     Сборник задач с практическим содержанием

Геометрия в нашей жизни

      (объемы и поверхности многогранников и

                                тел вращения)

В данном сборнике представлены задачи из разных сфер жизни и деятельности человека, приводящие к необходимости применения формул и понятий геометрии.

 Пособие может быть использовано как на уроке так и во внеурочной деятельности, а также для самостоятельной работы школьников.

Составитель: Шумилова М.В., учитель математики

                   Содержание

Задачи…………………………………………………4

Ответы и решения……………………………………9

Использованные источники………………………..16            

  Задачи

№1.

Запроектирована водонапорная башня с металлическим баком цилиндрической формы на 100 м³ и диаметром 5,5 м. Какой высоты должен быть бак?

№2.                                                                                                          

Найдём количество дней, на которые хватит полного колодца для семьи из 4 человек, при условии того, что  суточная норма потребления воды каждого члена-10 литров, если известны радиусы дна и верхней кромки и высота колодца.

№3.

Максимальная глубина бассейна равна 4 м, длина промежутка на котором глубина достигает 4 м, равна 7м, а остальной промежуток достигает 2-х метров. Найдите объем полного бассейна, если длина бассейна равна 15 м, а ширина 8 м.

№4.

Требуется найти длину водопроводной траншеи, если известно, что основания траншеи

соответственно равны a и b, высота h, а объём находящейся в ней воды равен V.

№5.  

 При взрыве заряда взрывчатого вещества воронка действия имеет вид конуса, где  - линия наименьшего сопротивления, а r-радиус воронки. Определить объем взорванной породы в пределах конуса разрыхления, если ==1,5м.

№6.

Сколько железнодорожных платформ грузоподъемностью 25 т каждая нужно для перевозки кучи угля, имеющего форму конуса с высотой Н=7,5 м, если плотность угля =1300 кг/см³, а уголь естественного откоса =50⁰?

№7.

Требуется установить резервуар для воды емкостью 10 м³ на площади размером 2,5х1,75 м, служащей для него. Найдите высоту резервуара.

№8.

 Чугунная труба имеет квадратное сечение, ее внешняя (сторона) ширина 25 см, толщина стенок 3 см. Какова масса одного погонного метра трубы (плотность чугуна )?

№9.

Стог сена имеет форму цилиндра с коническим верхом. Радиус его основания 2,5 м, высота 4 м, причем цилиндрическая часть стога имеет высоту 2,2 м. Плотность сена 0,03 г/см3. Определить массу стога сена.

№10.         

Классное помещение должно быть таким, чтобы на одного учащегося приходилось не менее  6м воздуха. Можно ли в кабинете с параметрами а=8,5м, b = 6м, с = 3,6м  заниматься 30 учащимся, не нарушая санитарной нормы?

№11.

Будет ли защищен во время грозы дом высотой 6м, шириной 8м и длиной 10м,если высота громоотвода 7м, а угол между громоотводом и образующей конуса безопасности равен 60◦?

№12.

Стаканчик для мороженого конической формы имеет глубину 12 см и диаметр верхней части 5 см. На него сверху положили две ложки мороженого в виде полушарий диаметром 5 см. Переполнит ли мороженое стаканчик, если оно растает?

№13.                                           Мальчику купили аквариум в форме куба, вмещающий 64 л воды. Он наполнил аквариум водой, не долив 5 см до верхнего края. Какое наибольшее количество рыбок он может запустить, если на 4 рыбки нужно 10 л?

№14.

Дмитрию  дали новый плот. Часть инструкции, в которой указана грузоподъемность плота, была оторвана. Удалось прочесть, только, что плотность дерева, из которого сделан плот . Дмитрий выяснил, что плот состоит из 16 бревен прямоугольного сечения, каждое имеет 3,6 м длины, 20 см ширины и 25 см толщины. Какой наибольший груз он может поднять, не затонув?

№15.

Для искусственного водоема был вырыт котлован. Дно имеет размеры 28х28 м, а водная гладь–40х40 м. Дно составляет с боковой стенкой водоема угол 1350. Найти объем вынутого грунта.

№16.

На содержание одной лошади требуется 15 кг в день. Сколько брикетов сена размерами 60х50х40см нужно заготовить на зиму для содержания двух лошадей? (плотность сена 0,05г/см).

№17.

Пожарное ведро имеет габаритные размеры: высота - 350 мм, диаметр 300 мм.

Определить вместимость этого ведра (в литрах).

№18.

Краскопульт имеет емкость для краски диаметром 20 см и высотой 50 см. Сколько литров побелки помещается в краскопульт?

Ответы и решения

№1.

В данном баке нам дан диаметр 2r,а также его объём v = πr²h. Наша задача нахождение высоты бака. Найдём её по формуле: h=v/πr². Подставив в формулу известные величины, найдем: h=100/ ((5, 5/2)²·3.14)= =100/23,74625~4,2 м.

Ответ: высота бака 4,2 м

№2.

Путем некоторых преобразований найдем объём колодца: разделим колодец на 2 фигуры: усечённый конус и цилиндр, объемы, которых соответственно равны:  = () ·  · , и  = π ·  ·; V  = =d²-()², где d-длина скоса;  Суточное потребление воды семьёй равняется 40 литров (10·4). Тогда количество дней будет вычисляться по формуле: , то есть (() · · ( + + ·  ) + π ·  · )/40= n, где n - количество дней.

 Ответ: (() · · ( + + ·  ) + π ·  · )/40=n

№3.

Разобьем нашу фигуру на два прямоугольных параллелепипеда, первый со сторонами 8м и (15-7)м и высотой равной 2м, второй - со сторонами 8м и 7м  и высотой 4м. Тогда: V=V+V=8·8·2+7·8·4=352(м)

Ответ: 352 м

№4.

Поперечное сечение траншеи есть равнобедренная трапеция. Дно и боковые стороны- прямоугольники. В данном случае траншея свежая, поэтому дно и стенки ещё не размыты. Будем считать, что траншея есть призма, высота которой L, а основание – поперечное сечение траншеи. Объём траншеи определяется по формуле V=F·L, где F-площадь поперечного сечения; L- длина траншеи. Тогда формула примет вид V= ((a+b) ·h/2) · L. отсюда L= V/ ((a+b) ·)=2V/ (a+b) ·h.

Ответ: L = 2V/ (a+b) ·h

№5.

Объем конуса разрыхления найдем по формуле V=, то V=. Зная, что =1,5м, имеем V= (м³).

Ответ: объем взорванной породы 3, 54 м³.

№6.

Объем кучи угля. Так как  , то , а масса кучи угля составляет:. Число железнодорожных платформ определяем по формуле ;(пл.).

Ответ: для перевозки угля нужно 16 платформ.

№7.

Резервуар имеет форму прямоугольного параллелепипеда. Его объем равен: . Отсюда (м)

Ответ: высота резервуара равна 2, 29 м.

№8.

1. Найдем внутреннюю ширину трубы 

2. , где - объем металла, из которого сделана труба. Следовательно, .

Найдем . Он равен разности объемов ₁ и ₂ погонного метра трубы:

 или ₁=25=.

Найдем .

Ответ: масса одного погонного метра чугунной трубы равна 193 кг.

№9.

 ρ=0,03г/см3=30кг/м3. OA=R, OO1=h1 OS=h2.

Тогда

Так что

Далее

Ответ: ≈1648,5 кг

№10.

V = аbс  или  V = Sосн.• h

V = 8,5 • 6 • 3,6 = 183,6(м3)

183,6 : 30 = 6,12(м3) воздуха приходится на одного учащегося.

Ответ: да, в кабинете можно заниматься 30 учащимся.

№11.

Используя определение тангенса острого угла прямоугольного треугольника найдем радиус конуса R=7√3≈12м

VK=π49×3×7=1029π≈3231m3

Обьем дома 480м3

Ответ: дом будет защищен от угрозы.

№12.

OA = 12 см

BC = d = 5 см

Переполнит ли мороженое стаканчик?

V _ш = 4/3R³ (5/2)³ = 125/6 20 

V_к = 1/3 R²H = 1/3 (5/2)²·12 =  = 25

Ответ: нет.

№13.

64 л = 64 дмᶾ

4 дм = 40 см.

 Высота воды=40 – 5 = 35 см

 V = 40 ∙ 40 ∙ 35 = 56000 смᶾ = 56 дмᶾ = 56 л

 56 : 10 ∙ 4 = 22 рыбки

Ответ: 22 рыбки

№14.

V.п = 16 ∙ 360 ∙ 20 ∙ 25 = 2880000 смᶾ  
m.п = = 2880000 ∙ 0,84 = 2419200г = 2419,2 кг = 2,4192т = 2,419 т
FA = FT  – условие плавание тел
FA =   FT =

  = =2,88 т 
m.г = 2,88 – 2,419 = 461 кг

Ответ: 461 кг

№15.

Объем усеченного конуса:

Чтобы найти H рассмотрим ∆KAD: KA = KO – AO = 20 – 14 = 6 м

Т. к. угол ADK равен 45 градусам, то ∆KAD - равнобедренный и KA = AD = 6 м.

S1 = 1600 (кв.м)

 

      Ответ: V = 7128 м

№16.

Объем одного брикета V = 60 · 50 · 40 = 120000 (см3)

m = Vρ = 120000 · 0,05 = 6000 (г) = 6 кг

В день: 15 : 6 = 2,5 (брикета)

На зиму на одну лошадь: 2,5 · 90 = 225 (брикетов)

На двух лошадей: 225 · 2 = 450 (брик.)

Ответ: 450 брикетов.

№17.

 

R = 300 : 2 = 150 мм = 1,5 дм

Н = 350 мм = 3,5 дм

Ответ: 8 л

№18.

 

Т.к. 1 л = 1 дм, тогда в краскопульт поместится 15,7 л краски

Ответ: 15,7 л.

Использованные источники

1. А.В. Погорелов. Геометрия 10-11, М: Просвещение, 2013г.

2. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев СБ.,Лозняк Э.Г., Киселева Л.С. Геометрия. 10-11 классы: Учебник для общеобразовательных учреждений. М.: Просвещение,2013г.

3. http://tek.ulgov.ru/images/ifcimages/bash.jpg

4. http://images.yandex.ru/

5.http://img-fotki.yandex.ru/get/5704/mitiaus.10/0_52107_1798f38_XL

6. http://de.academic.ru/pictures/dewiki/82/Romanian_hay.jpg

7. http://mywishlist.ru/pic/i/wish/orig/000/382/363.jpeg

8.http://aqua-blog.com.ua/akvarium/chto-takoe-nano-akvarium.html

9.http://ksaspb.ru/wp-content/uploads/2014/02/134458743650.png

10. http://lara868.livejournal.com/pics/catalog/405/879766

Краткое описание документа:

В данном сборнике представлены задачи из разных сфер жизни и деятельности человека, приводящие к необходимости применения формул и понятий геометрии по теме "Объемы и поверхности многогранников и тел вращения". Ко всем задачам даны решения.

Пособие может быть использовано как на уроке так и во внеурочной деятельности, а также для самостоятельной работы школьников.