Индивидуальный проект по математике на тему «Применение дифференциального исчисления для решения практических задач»

Министерство образования и молодежной политики Ставропольского края

Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение

« Георгиевский региональный колледж «Интеграл»

ИНДИВИДУАЛЬНЫЙ ПРОЕКТ

По дисциплине « Математика: алгебра, начала математического анализа, геометрия»

на тему: «Применение дифференциального  исчисления для решения практических задач»

Руководитель: преподаватель Серкова Н.А.

Дата сдачи: «____» ______________ 2016г.

Дата защиты: «____» ______________ 2016г.

Георгиевск 2016

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

ЦЕЛЬ ПРОЕКТА:

Цель: Изучение применения дифференциального исчисления  для решения задач по физике, экономике, биологии, химии и географии

Задачи:

Найти информацию об истории возникновениядифференциального исчисления  , изучить ее и систематизировать.

Подбор задач из разных разделов биологии, которые решаются с помощью производной

Узнать, какие процессы регулирует производная в географии. Рассмотреть задачи по географии, которые решаются с помощью производной

Подобрать задачи из разных разделов физики, которые решаются с помощью производной.

Подобрать экономические задачи, которые решаются с помощью производной.

Рассмотреть применение правил  вычисления производной  к решению практических задач с экономическим содержанием.

ВВЕДЕНИЕ

Исторически понятие производной возникло из практики. Скорость неравномерного движения, плотность неоднородной материальной линии, а та же тангенс угла наклона касательной к кривой и другие величины явились прообразом понятия производной. Возникнув из практики, понятие производной получило обобщаемый, абстрактный смысл, что ещё более усилило его прикладное значение. Создание дифференциального исчисления чрезвычайно расширило возможности применения математических методов в естествознании и технике. В дифференциальном исчислении устанавливаются связи между свойствами функции и её производных (или дифференциалов), выражаемые основными теоремами дифференциального исчисления. К их числу относятся теорема Ролля, формула Лагранжа, признаки постоянства и монотонности функции.

Применение дифференциального исчисления к исследованию функций опирается на весьма простую связь, существующую между поведением функции и свойствами ее производных, прежде всего ее первой производной. 

Метод применения дифференциального исчисления к изучению различных процессов состоит в том, что данный процесс мы разбиваем на ряд коротких процессов, каждый из которых предполагаем протекающим равномерно. При этом приращение функции, определяющей ход явления, мы заменяем ее дифференциалом.Рубеж XVI-XVII вв. в истории науки действительно был переломным моментом, когда европейская наука совершила качественный скачок. В это время был совершен переход от античной науки к науке нового времени. Ни для кого не секрет, что «локомотивами» прогресса в рассматриваемый период были такие великие учёные как Рене Декарт, Галилео Галилей, Иоганн Кеплер, Бонавентура Кавальери, Исаак Ньютон. Каждый из них сказал свое новое слово в механике, математике, астрономии и прочих дисциплинах. Но не столько важны их заслуги в отдельных науках, сколько важен вклад в формирование методологии науки нового времени. Плоды трудов этих известных ученых в области методологии науки имели широкое распространение, и многие из них по сей день остаются основополагающими принципами современной науки. Но что связывает изыскания названных ранее великих умов между собой? Легче всего связь методологических достижений самых крупных деятелей науки XVI-XVII вв. можно проследить именно через историю возникновения дифференциального исчисления и «принцип непрерывности», так или иначе встречающийся в трудах Кеплера, Кавальери, Декарта, а позднее Ньютона и Лейбница.

1. Понятие производной

1-1. Исторические сведения

Дифференциальное исчисление — раздел математического анализа, в котором изучаются понятия производной и дифференциала и способы их применения к исследованию функций.

В современном научном сообществе принято однозначно разделять науку на античный период и период нового времени. Но в чём же состоит отличие этих периодов? Чем принципиально отличался научный подход Платона, Аристотеля и прочих известных учёных античности от подхода крупных деятелей науки нового времени? В реальности, у разделения на два периода существует множество оснований. В рамках данной статьи мы рассмотрим одно, наиболее фундаментальное и показательное основание – возникновение дифференциального исчисления. Через предпосылки к появлению этого известнейшего метода в современной науке в трудах философов и математиков мы сможем проследить чёткую границу между античным и современным взглядом на науку, однозначно ответив на поставленные в начале статьи вопросы.

Рубеж XVI-XVII вв. в истории науки действительно был переломным моментом, когда европейская наука совершила качественный скачок. В это время был совершен переход от античной науки к науке нового времени. Ни для кого не секрет, что «локомотивами» прогресса в рассматриваемый период были такие великие учёные как Рене Декарт, Галилео Галилей, Иоганн Кеплер, Бонавентура Кавальери, Исаак Ньютон. Каждый из них сказал свое новое слово в механике, математике, астрономии и прочих дисциплинах. Но не столько важны их заслуги в отдельных науках, сколько важен вклад в формирование методологии науки нового времени. Плоды трудов этих известных ученых в области методологии науки имели широкое распространение, и многие из них по сей день остаются основополагающими принципами современной науки. Но что связывает изыскания названных ранее великих умов между собой? Легче всего связь методологических достижений самых крупных деятелей науки XVI-XVII вв. можно проследить именно через историю возникновения дифференциального исчисления и «принцип непрерывности», так или иначе встречающийся в трудах Кеплера, Кавальери, Декарта, а позднее Ньютона и Лейбница. Формировавшееся изначально как прикладной метод, не имеющий отношения к науке, дифференциальное исчисление присутствовало во многих фундаментальных научных трудах в виде частных положений, базовых принципов и позднее сформировалось в полноценный научный метод. П.П. Гайденко в монографии «История новоевропейской философии в её связи с наукой» берет за точку отсчета обособленного формирования дифференциального исчисления труд Иоганна Кеплера «Новая стереометрия винных бочек» относимый к 1615 году. Как отмечалось, Кеплер не рассматривал дифференциальное исчисление как новый метод в математике; скорее как метод так называемой логистики, отвечавшей за решение прикладных задач. Кеплер не считал дифференциальное исчисление относящимся к строгой науке по причине своей неточности и малой теоретической обоснованности, что противоречило его пониманию о строгой науке. Позднее, отмечает П.П. Гайденко, Бонавентурой Кавальери была сделана попытка преобразовать технический метод, предложенный Кеплером, в полноценный научный метод в своем труде «Геометрия, изложенная новым способом при помощи неделимых непрерывного» 1635-го года. Однако, как отмечается в рассматриваемой монографии, нельзя считать труд Кеплера как однозначное начало дифференциального исчисления.

Дифференциальное исчисление было создано Ньютоном и Лейбницем в конце 17 столетия на основе двух задач:

1) о разыскании касательной к произвольной линии

2) о разыскании скорости при произвольном законе движения

Еще раньше понятие производной встречалось в работах итальянского математика

Тартальи (около 1500 - 1557 гг.) - здесь появилась касательная в ходе

изучения вопроса об угле наклона орудия, при котором обеспечивается

наибольшая дальность полета снаряда.

В 17 веке на основе учения Г.Галилея о движении активно развивалась

кинематическая концепция производной. Различные изложения стали встречаться в

работах у Декарта, французского математика Роберваля, английского ученого Л.

Грегори. Большой вклад в изучение дифференциального исчисления внесли

Лопиталь, Бернулли, Лагранж, Эйлер, Гаусс.

1-2. Понятие производной

Пусть y = f(x) есть непрерывная функция аргумента x, определенная в промежутке

(a; b), и пусть х₀ - произвольная точка этого промежутка

Дадим аргументу x приращение ∆x, тогда функция y = f(x) получит

приращение ∆y = f(x + ∆x) - f(x). Предел, к которому стремится

отношение ∆y / ∆x при ∆x → 0, называется производной

от функции f(x).

1-3. Правила дифференцирования и таблица производных

C' = 0	(xn) = nxn-1	(sin x)' = cos x
x' = 1	(1 / x)' = -1 / x2	(cos x)' = -sin x
(Cu)'=Cu'	(√x)' = 1 / 2√x	(tg x)' = 1 / cos2 x
(uv)' = u'v + uv'	(ax)' = ax ln x	(ctg x)' = 1 / sin2 x
(u / v)'=(u'v - uv') / v2	(ex)' = ex	(arcsin x)' = 1 / √ (1- x2)
	(logax)' = (logae) / x	(arccos x)' = -1 / √ (1- x2)
	(ln x)' = 1 / x	(arctg x)' = 1 / √ (1+ x2)
		(arcctg x)' = -1 / √ (1+ x2)

2. Геометрический смысл производной

2-1. Касательная к кривой

Пусть имеем кривую и на ней фиксированную точку M и точку N. Касательной к

точке M называется прямая, положение которой стремится занять хорда MN, если

точку N неограниченно приближать по кривой к M.

     Рассмотрим функцию f(x) и соответствующую этой функции кривую

 y = f(x). При некотором значении x функция

имеет значение y = f(x). Этим значениям на кривой соответствует точка M(x₀

, y₀). Введем новый аргумент x₀ + ∆x, его значению

соответствует значение функции  y₀ + ∆y = f(x₀ +

∆x). Соответствующая точка - N(x₀ + ∆x, y₀ +

∆y). Проведем секущую MN и обозначим φ угол, образованный секущей с

положительным направлением оси Ox. Из рисунка видно, что ∆y / ∆x =

tg φ. Если теперь ∆x будет приближаться к 0, то точка N будет

перемещаться вдоль кривой , секущая MN - поворачиваться вокруг точки M, а угол

φ - меняться. Если при ∆x → 0 угол φ стремится к

некоторому α, то прямая, проходящая через M и составляющая с положительным

направлением оси абсцисс угол α, будет искомой касательной. При этом, ее

угловой коэффициент:

То есть, значение производной f '(x) при данном значении аргумента x равно

тангенсу угла, образованного с положительным направлением оси Ox касательной

к графику функции f(x) в точке M(x, f(x)).

Касательная к пространственной линии имеет определение, аналогичное

определению касательной к плоской кривой. В этом случае, если функция задана

уравнением z = f(x, y), угловые коэффициенты при осях OX и OY будут равны

частным производным f по x и y.

2-2. Касательная плоскость к поверхности

Касательной плоскостью к поверхности в точке M называется плоскость,

содержащая касательные ко всем пространственным кривым поверхности,

проходящим через M - точку касания.

Возьмем поверхность, заданную уравнением F(x, y, z) = 0 и какую-либо

обыкновенную точку M(x₀, y₀, z₀) на ней.

Рассмотрим на поверхности некоторую кривую L, проходящую через M. Пусть кривая

задана уравнениями

                  x = φ(t); y = ψ(t); z = χ(t).                 

Подставим в уравнение поверхности эти выражения. Уравнение превратится в

тождество, т. к. кривая целиком лежит на поверхности. Используя свойство

инвариантности формы дифференциала, продифференцируем полученное уравнение по

t:

Уравнения касательной  к кривой L в точке M имеют вид:

Т. к. разности x - x₀, y - y₀, z - z₀

пропорциональны соответствующим дифференциалам, то окончательное уравнение

плоскости выглядит так:

F'_x(x - x₀) + F'_y(y - y₀) + F'_z(z - z₀)=0

и для частного случая z = f(x, y):

Z - z₀ = F'_x(x - x₀) + F'_y(y - y₀)

Пример: Найти уравнение касательной плоскости в точке (2a; a; 1,5a)

гиперболического параболоида

Решение:

            Z'_x = x / a = 2; Z'_y = -y / a = -1           

Уравнение искомой плоскости:

              Z - 1.5a = 2(x - 2a) - (Y - a) или Z = 2x - y - 1.5a             

3. Использование производной в физике

3-1. Скорость материальной точки

Пусть зависимость пути s от времени t в данном прямолинейном движении

материальной точки выражается уравнением s = f(t) и t₀ -некоторый

момент времени. Рассмотрим другой момент времени t, обозначим ∆t = t - t

₀ и вычислим приращение пути: ∆s = f(t₀ + ∆t) - f(t

₀). Отношение ∆s / ∆t называют средней скоростью движения за

время ∆t, протекшее от исходного момента t₀. Скоростью

называют предел этого отношения при ∆t → 0.

Среднее ускорение неравномерного движения в интервале (t; t + ∆t) - это

величина <a>=∆v / ∆t. Мгновенным ускорением материальной

точки в момент времени t будет предел среднего ускорения:

То есть первая производная по времени (v'(t)).

Пример: Зависимость пройденного телом пути от времени задается уравнением

s = A + Bt + Ct² +Dt³ (C = 0,1 м/с, D = 0,03 м/с²

). Определить время после начала движения, через которое ускорение тела будет

равно 2 м/с².

Решение:

v(t) = s'(t) = B + 2Ct + 3Dt²;    a(t) = v'(t) = 2C + 6Dt = 0,2 + 0,18t = 2;

                            1,8 =  0,18t;    t = 10 c                           

3-2. Теплоемкость вещества при данной температуре

Для повышения различных температур T на одно и то же значение, равное T₁

- T, на 1 кг. данного вещества необходимо разное количество теплоты Q₁

- Q, причем отношение

для данного вещества не является постоянным. Таким образом, для данного

вещества количество теплоты Q есть нелинейная функция температуры T: Q =

f(T). Тогда ΔQ = f(t + ΔT) - f(T). Отношение

называется средней теплоемкостью на отрезке [T; T + ΔT], а предел этого

выражения при ∆T → 0 называется теплоемкостью данного вещества

при температуре T.

3-3. Мощность

Изменение механического движения тела вызывается силами, действующими на него со

стороны других тел. Чтобы количественно характеризовать процесс обмена энергией

между взаимодействующими телами, в механике вводится понятие работы силы. Чтобы

охарактеризовать скорость совершения работы, вводят понятие мощности:

                                        .                      

4. Дифференциальное исчисление в экономике

4-1. Исследование функций

Дифференциальное исчисление - широко применяемый для экономического анализа

математический аппарат. Базовой задачей экономического анализа является

изучение связей экономических величин, записанных в виде функций. В каком

направлении изменится доход государства при увеличении налогов или при

введении импортных пошлин? Увеличится или уменьшится выручка фирмы при

повышении цены на ее продукцию? В какой пропорции дополнительное оборудование

может заменить выбывающих работников? Для решения подобных задач должны быть

построены функции связи входящих в них переменных, которые затем изучаются с

помощью методов дифференциального исчисления. В экономике очень часто

требуется найти наилучшее или оптимальное значение показателя: наивысшую

производительность труда, максимальную прибыль, максимальный выпуск,

минимальные издержки и т. д. Каждый показатель представляет собой функцию от

одного или нескольких аргументов. Таким образом, нахождение оптимального

значения показателя сводится к нахождению экстремума функции.

По теореме Ферма, если точка является экстремумом функции, то производная в

ней либо не существует, либо равна 0. Тип экстремума можно определить по

одному из достаточных условий экстремума:

1) Пусть функция f(x) дифференцируема в некоторой окрестности точки x₀

. Если производная f '(x) при переходе через точку x₀ меняет знак с +

на -, то x₀ - точка максимума, если с - на +, то x₀ -

точка минимума, если не меняет знак, то в этой точке нет экстремума.

2) Пусть функция f(x) дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки x

₀, причем f '(x₀) = 0, f ''(x₀) ≠ 0, то в

точке x₀ функция f(x₀) имеет максимум, если f ''(x₀

) < 0 и минимум, если f ''(x₀) > 0.

Кроме того, вторая производная характеризует выпуклость функции (график

функции называется выпуклым вверх [вниз] на интервале (a, b), если он на этом

интервале расположен не выше [не ниже] любой своей касательной).

Пример: выбрать оптимальный объем производства фирмой, функция прибыли

которой может быть смоделирована зависимостью:

                π(q) = R(q) - C(q) = q² - 8q + 10               

Решение:

      π'(q) = R'(q) - C'(q) = 2q - 8 = 0 → q_extr = 4     

   При q < q_extr = 4 → π'(q) < 0 и прибыль убывает  

 При q > q_extr = 4 → π'(q) > 0 и прибыль возрастает

При q = 4 прибыль принимает минимальное значение.

Каким же будет оптимальный объем выпуска для фирмы? Если фирма не может

производить за рассматриваемый период больше 8 единиц продукции (p(q = 8) =

p(q = 0) = 10), то оптимальным решением будет вообще ничего не производить, а

получать доход от сдачи в аренду помещений и / или оборудования. Если же

фирма способна производить больше 8 единиц, то оптимальным для фирмы будет

выпуск на пределе своих производственных мощностей.

4-2. Эластичность спроса

        Эластичностью функции f(x) в точке x₀ называют предел       

Спрос - это количество товара, востребованное покупателем. Ценовая эластичность

спроса E_D - это величина, характеризующая то, как спрос реагирует на

изменение цены. Если │E_D│>1, то спрос называется

эластичным, если │E_D│<1, то неэластичным. В случае E

_D=0 спрос называется совершенно неэластичным, т. е. изменение цены не

приводит ни к какому изменению спроса. Напротив, если самое малое снижение цены

побуждает покупателя увеличить покупки от 0 до предела своих возможностей,

говорят, что спрос является совершенно эластичным. В зависимости от текущей

эластичности спроса, предприниматель принимает решения о снижении или повышении

цен на продукцию.

5. «Применение физического смысла производной при решении физических задач».

Применение производной в физике  очень обширно. Рассмотрим  несколько примеров   применения производной в физических задачах.

Механическое движение- этоизменение положения тела в пространстве относительно других тел с течением времени.

Основной характеристикой механического движения  служит скорость.

Алгоритм нахождения скорости тела с помощью производной.

Если закон движения тела задан уравнением    s = s (t),

то для нахождения мгновенной скорости тела в какой-нибудь определенный момент времени надо:

1.Найти  производную  s' = f '(t).

 2. Подставить в полученную формулу заданное значение  времени.

Задание. Автомобиль приближается к мосту со скоростью 72 км/ч. У моста висит дорожный знак "36км/ч". За 7 сек до въезда на мост, водитель нажал на тормозную педаль. С разрешаемой ли скоростью автомобиль въехал на мост, если тормозной путь определяется формулой  s=20t-t²

Да, т.к. скорость через 7 сек. будет равна 6м/с     (21,6 км/ч).

5.1.Производная в электротехнике

В наших домах, на транспорте, на заводах : всюду работает электрический ток.

Под электрическим током понимают направленное движение свободных электрически заряженных частиц.

Количественной характеристикой электрического тока является сила тока.

В цепи электрического тока   электрический заряд меняется      с течением времени по закону q=q (t).   Сила тока I есть производная заряда q по времени.

 

В электротехнике в основном используется      работа переменного тока.

Электрический ток, изменяющийся со временем, называют переменным. Цепь переменного тока может содержать различные элементы: нагревательные приборы, катушки, конденсаторы.

Получение переменного электрического тока основано на  законе электромагнитной индукции, формулировка которого содержит производную магнитного потока.

(Запишем)

Задание
Заряд, протекающий через проводник , меняется по закону 

Найти силу тока в момент времени t=5 cек.

Сила тока равна 2 А

   А так же:  

    Сила есть производная работы по перемещению,

     т.е. F=A ^/(x)

    Теплоемкость – есть производная теплоты по температуре, т.е. C(t) = Q^/(t)

d(l)=m^/(l)   - линейная плотность

K (t) = l^/(t)  - коэффициент линейного расширения

ω (t)= φ^/(t)  - угловая скорость

    а (t)= ω^/(t)  - угловое ускорение

N(t) = A^/(t)  - мощность

Задание: теплота.

1. Пусть Q (t) количество теплоты, которое необходимо для нагревания тела массой 1 кг от 0⁰С до температуры t⁰ (по Цельсию), известно, что в диапазоне 0⁰ до 95⁰, формула      Q (t) = 0,396t+2,081×10^-3t²-5,024×10^-7t³ дает хорошее приближение к истинному значению. Найдите, как зависит теплоёмкость воды от t.

Решение. C (t) = Q ^/ (t) = 0,396 + 4,162*10 ^-3 t – 15,072*10 ^-7 t²

5.2.«Решение химических и биологических задач с помощью производной»;

И в химии нашло широкое применение дифференциальное исчисление для построения математических моделей химических реакций и последующего описания их свойств.

Химия – это наука о веществах, о химических превращениях веществ.

Химия изучает закономерности протекания различных реакций.

Скоростью химической реакции называется изменение концентрации реагирующих веществ в единицу времени.

Так как скорость реакции v непрерывно изменяется в ходе процесса, ее обычно выражают  производной концентрации реагирующих веществ по времени.  

Если  C(t) – закон изменения  количества вещества, вступившего в химическую реакцию, то скорость  v(t) химической реакции в момент времени t равна производной:                                       (Запишем)

Понятие на языке химии	Обозначение	Понятие на языке математики
Количество в-ва в момент времени t0	c = c(t)	Функция
Интервал времени	∆t = t2 – t1	Приращение аргумента
Изменение количества в-ва	∆c = c(t+  t) – c(t)	Приращение функции
Средняя скорость химической реакции	∆c/∆t	Отношение приращён. функции к приращён. аргументу

Предел этого отношения при стремлении Δt  к нулю  -  есть скорость химической реакции в данный момент времени V (t) = c ‘(t)

Найти  скорость реакции в момент времени t = 10сек, если концентрация исходного продукта меняется по закону

Производная в биологии.

Популяция– это совокупность особей данного вида, занимающих определённый участок территории внутри ареала вида, свободно скрещивающихся между собой и частично или полностью изолированных от других популяций, а также является элементарной единицей эволюции.

Задача по биологии.

По известной зависимости численности популяции x (t) определить относительный прирост  в момент времени t.

Понятие на языке биологии	Обозначение	Понятие на языке математики
Численность в момент времени t1	x = x(t)	Функция
Интервал времени	∆t = t2 – t1	Приращение аргумента
Изменение численности популяции	∆x = x(t2) – x(t1)	Приращение функции
Скорость изменения численности популяции	∆x/∆t	Отношение приращения функции к приращению аргумента
Относительный прирост в данный момент	Lim     ∆x/∆t t      0	Производная

5.3.«Решение задач с географическим, экономическим  содержанием».

Производная в географии.

Идея социологической модели Томаса Мальтуса состоит в том, что прирост населения пропорционально числу населения в данный момент времени t через N(t),     .  Модель Мальтуса неплохо действовала  для описания численности населения  США с 1790 по 1860 годы.  Ныне эта модель  в большинстве стран не действует.

Выведем формулу для вычисления численности населения на ограниченной территории в момент времени t.

Пусть у = у(t)- численность населения.

Рассмотрим прирост населения за  Dt = t-t₀

Dy = kyDt, где  к = к_р – к_с –коэффициент прироста (к_р –коэффициент рождаемости,

к_с – коэффициент смертности)

Dy:Dt=ky

При Dt®0 получим limDy/ Dt=у’

                                у’= к у    

Производная в экономике.

П (t) = υ^/ (t)   - производительность труда,

гдеυ (t) - объем продукции

J(x) = y^/ (x) - предельные издержки производства,

гдеy– издержки производства в зависимости от объема выпускаемой продукцииx.

Задание.

Оборот предприятия за истекший год описывается через функцию  U(t)=0,15t³ – 2t² + 200, где t – месяцы,  U-миллионы.

 Исследуйте оборот предприятия за 9 и 10 месяцы.

Решение. Исследуем оборот предприятия с помощью производной: U'(t)=0,45t² - 4t 

 Меньший оборот был на девятом месяце- 0,45.  На 10 месяце -5.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

      Дифференциальное исчисление  используется всюду, где есть неравномерное протекание процесса: это и неравномерное механическое движение, и переменный ток, и химические реакции и радиоактивный распад вещества и т.д.

Мы убедились в важности изучения темы "Производная", ее роли в исследовании процессов науки и техники, в возможности конструирования по реальным событиям математические модели, и решать важные задачи.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Богомолов Н.В. Практические занятия по математике:  Учеб. Пособие для средних спец. Учеб. Заведений/ Н. В. Богомолов._ 6-е  изд.,_ М.: Высш. Шк.,-2006.-495 с.

Курош А.Г. Курс высшей алгебры: М., Физматгиз, 2003,-432с

Уваренков И. М. и Маллер М. З. Курс математического анализа. Учеб. пособие для физ. – мат.пед. ин-тов. Т. II, « Просвещение», 2004.-479с.

Ссылка на источники:

https://ru.wikipedia.org/wiki

http://www.scienceforum.ru

http://sernam.ru/book_e_math

http://cyber.econ.spbu.ru