Интегрированный урок алгебра и физика по теме "Связь гармонических колебаний с тригонометрическими функциями"(10класс)

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «СОШ №2» г.Каспийск

Учитель математики Гамидова З.З.

Учитель физики     Кощеева Л.П.

28.10.2008 год

Цель урока: продолжить формирование умений преобразовывать графики тригонометрических функций и увидеть связь математического и физического смысла гармонических колебаний.

     Начать урок мне хотелось бы со слов великого учёного

Н.И.Лобачевского

Нет ни одной области математики, которая когда - нибудь не окажется применимой к явлениям действительного
мира.

   И на самом деле различные колебания окружают нас на каждом шагу. В связи с этим несколько учеников нашего класса подготовили сообщения о физических процессах и явлениях, в которых встречаются колебания. Одним из важных таких явлений является звук, звуковые волны.

I. Механическими колебаниями называются движения, которые точно или почти точно повторяются через равные промежутки  времени. Если эти колебания распространяются в пространстве,   то они называются волной. Волны, которые распространяются в  упругой среде, называются упругими волнами. Упругие волны, вызывающие у человека слуховые ощущения, называются звуковыми волнами или просто звуком. Когда вы говорите, воздух из лёгких заставляет вибрировать голосовые связки в горле и возникает звуковая волна. Сжатие и разряжение среды, возникающее вследствие колебаний источника звука (струны, ножек камертона, вибрирующего двигателя, голосовых связок) через некоторое время достигает человеческого уха и, заставляя барабанную перепонку уха совершать вынужденные колебания, вызывают у человека определённые слуховые ощущения.

II. Для распространения звука нужна среда. В вакууме звуковые волны распространяться не могут, т.к. там нечему колебаться.  Звук распространяется  тем быстрее, чем больше её плотность. Известно, что во время грозы мы вначале видим вспышку молнии и, лишь затем, слышим раскаты грома. Это запаздывание возникает из-за того, что скорость звука в воздухе значительно меньше скорости света. Скорость звука в воздухе в первые измерил француз-кий учёный Марен Мерсенн в 1946 г. В воздухе при t=+20С она равна 343м/с. Скорость звука зависит от температуры среды.

Скорость звука в жидкостях, как правило, больше скорости звука в газах. Скорость звука в воде около 1500м/с. Нужно сказать, что человеческое ухо плохо «работает» под водой, Большая часть звука при этом отражается от барабанной перепонки и поэтому слуховых ощущений не вызывает. Именно это в своё время дало основание нашим предкам считать подводный мир «миром молчания». Отсюда же выражение «нем как рыба».Однако ещё Леонардо да Винчи предлагал слушать подводные звуки, приложив ухо к веслу, опущенному в воду. Воспользовавшись таким способом можно убедиться в том, что рыбы на самом деле довольно болтливы. Скорость звука в твёрдых телах ещё больше, чем в жидкостях.

Например скорость звука в стали около 5000м/с. Хорошо проводит звук и Земля. Поэтому в старые времена при осаде в крепостных стенах помещали «слухачей», которые по звуку, передаваемому землёй, могли определить, ведёт ли враг подкоп к стенам или нет. Прикладывание уха к земле также позволяло обнаружить приближение вражеской конницы.

III. Слуховые ощущения, которые вызывают у нас различные звуки, зависят от амплитуды звуковой волны и её частоты. Громкость звука определяется его амплитудой: чем больше амплитуда, тем громче звук. Громкость измеряется в белах или  децибелах. Обрати. м,а равна   в воздухе в первые измерил француз-кий учёный Марен Мерсен в 1946 г.  ощущуния, явлениях, в которых встречаются кте внимание на таблицу «шкала громкости». Здесь указаны примеры громкости различных звуков. Красная линия – порог громкости. Звук свыше 130 дБ вызывает болезненные ощущения. Уже звук в 150 дБ может вызвать разрыв барабанных перепонок. Если звуки громкостью от80 до 100дБ действуют продолжительно (6-8 часов) это вызывает серьёзную угрозу для слуха. Можно потерять слух при длительном воздействии не очень громкого звука наушников магнитофона, мотоцикла и т.д.

IV. Высота звука определяется его частотой. Чем больше частота колебаний в звуковой волне, тем выше звук, колебаниям небольшой частоты соответствуют низкие звуки. Так, например, муха машет в полёте крылышками с меньшей частотой, чем комар. Поэтому мы слышим, как муха жужжит, а комар при полёте пищит.

При обычной речи человека в мужском голосе встречаются колебания с частотой 100-7000 Гц, а в женском 200-9000 Гц. Наиболее высокочастотные колебания входят в состав звука согласной «с», Чтобы обеспечить понятность речи, достаточно воспроизвести область частот от 300 до 2000Гц. Такую область частот воспроизводит телефон. Животные в качестве звука могут издавать звуки иных частот.

 Многие животные слышат звуки более широкого диапазона частот, чем они способны издавать, и при этом могут издавать звуки, которые не слышат сами. Например, кошки от 60 до 65000Гц, собаки от 15 до 50000Гц, летучая мышь от 100 до 120000Гц.

Диапазон частот, воспринимаемый человеком, изменяется с возрастом. Ребёнку доступны частоты от20до20000Гц, но 60-летниий человек обычно слышит звуки  с частотами до 12000Гц.

V. Инфразвук – это упругие волны с частотой менее 20Гц. Причиной их возникновения могут быть колебания почвы во время взрывов, землетрясений, работающие двигатели или ветер, обтекающий гребни морских волн. Инфразвуки человеческое ухо не воспринимает. Несмотря на это, они оказывают на человека определённые воздействия: при слабом воздействии возникает морская болезнь, при среднем – мозговые нарушения, при сильном – вибрация внутренних органов, которая приводит к остановке сердца. Специальные опыты показали, что облучение людей инфразвуком может вызвать потерю равновесия, тошноту, непроизвольное вращение глазных яблок. Влиянием на человека низкочастотных звуков объясняется возбуждающее действие современной рок-музыки, насыщенной многократно усиленными низкими частотами барабанов, бас-гитар. Они влияют на психику человека. Инфразвук не воспринимается человеческим ухом, однако его способны слышать некоторые животные. Например, медузы воспринимают инфразвуковые волны, возникающие при шторме или цунами. Достигая медуз эти волны за 15 ч. предупреждают их о стихии. В Японии разводят специальных рыбок, которые также могут воспринимать инфразвуковые волны и за несколько часов предупреждать о надвигающейся волне «цунами» или землетрясении.

VI. Ультразвук – это волны с частотой свыше 20000Гц. Он также не воспринимается человеческим ухом. Однако его способны излучать и воспринимать некоторые животные. Например, дельфины благодаря этому уверенно ориентируются в мутной воде. Посылая и воспринимая ультразвуковые импульсы, они способны на расстоянии 20-30м обнаружить даже маленькую дробинку, осторожно опущенную в воду. Ультразвук помогает и мышам, которые вообще ничего не видят. Издавая с помощью своего слухового аппарата волны (до 250 раз в секунду), они способны ориентироваться в полёте и успешно ловить добычу в полной темноте. Люди научились использовать  ультразвук в науке и технике, медицине, военном деле. Ультразвуковые волны вызывают болезненные ощущения у птиц. Это используется для отпугивания птиц в аэропорту и от водоёмов с питьевой водой. Источники ультразвука устанавливают на кораблях и подводных лодках. Они позволяют измерить глубину моря, поиски подводных лодок противника, бесперископные торпедные атаки, и различные навигационные задачи. Ультразвук применяется в промышленности для определения трещин в отливках из металла. В медицине при помощи ультразвука осуществляют сварку сломанных костей, обнаруживают опухали, осуществляют диагностические исследования в акушерстве. Действие ультразвука приводит к гибели микробов, поэтому используют его для стерилизации молока, медицинских инструментов и лекарственных препаратов.

  Таким образам нужно отметить, что колебания  контролируемые человеком, весьма полезны. Но, однако, они могут превратиться и в опасного врага. Поэтому нам надо уметь изучать колебания и знать их свойства. А здесь без математических расчётов не обойтись. Один из наиболее важных процессов такого рода описывается формулой

                          У= А sin(ωt  +  φ)   -  которая

         называется уравнением гармонических колебаний (закон      гармонических колебаний)

       В данном уравнении все величины имеют определённый физический смысл:  А – амплитуда

                                    ω - циклическая частота

                                    φ  - начальная фаза

      Как мы видим из уравнения  - гармонические колебания можно описать изменениями тригонометрических функций  sin  и   cos .

  -  С помощью, каких известных нам способов мы можем      

      построить  график тригонометрической функции?

1.     С помощью таблицы значений;

2.     Используя умение строить синусоиду и знание правил

сжатия (растяжения) и параллельного переноса вдоль

осей координат;

3.     Используя свойства функции.

    Сегодня мы построим график тригонометрической функции, используя умение строить синусоиду и правила преобразований графиков. Для этого повторим правила преобразования графиков по осям координат.

У =  sin  х + m  – паралллельный перенос вдоль оси ОУ на m-единиц вверх, если m>0, и вниз, если  m<0.                                                                                                                                                          У = sin ( x - n )  – параллельный перенос вдоль оси ОХ на n-единиц вправо, если n>0 и влево, если n<0.

 У = sin k x  - сжатие вдоль оси ОХ в k раз , если  k > 1, и растяжение в k раз, если   0 <  k < 1

 У = m sin x – растяжение вдоль оси ОУ в m раз, если  m > 1, и сжатие  в m раз, если  0 < m < 1

Задание (письменно в тетрадях и на доске)

              Построить график функции  у = f(х), указать ОДЗ и

               период.

                          f(х) = 3 sin ( 2х + ∏ / 4 )

     Д(f) = R      Е(f) = [-3; 3]                 Т = 2∏ / 2 = ∏

                                     План построения:

1.     построить синусоиду  у = sin х

2.      у₁ = sin 2х – нужно выполнить сжатие графика  функции у  вдоль оси ОХ, в 2 раза

   3.  у₂ = sin ( 2х + ∏ /4 ) – нужно выполнить параллельный пере-

         нос графика   у₁   вдоль оси ОХ на 45⁰  влево

   4.  у₃ =  3 sin ( 2х + ∏ / 4 ) – нужно выполнить растяжение                                                               графика у₂  вдоль оси ОУ в 3 раза.

 

 Посмотрите какой «красивый» график получился.

Таким образом, мы повторили построение графиков. А теперь давайте посмотрим, в чём заключается связь графиков тригонометрических функций с гармоническими колебаниями.

Об этой связи нам расскажет учитель физики Кощеева Лидия Павловна.

          Вы познакомились с математическим выражением колебаний. Ребята рассказали вам о звуковых колебаниях.                  Уравнения, которые вы изучили, описывают все колебания, кото-рые существуют в природе.

       Представить физическую модель можно с помощью маятника: пружинного или шарика на нити.

         х = x_m cos ω₀ t , где  ω₀ – характеристика колебательной

                                                    системы

         ω₀ = √ k / m    ,          T = 2 ∏ / ω₀ = 2 ∏ √ m / k

                                 или

         ω₀ = √ g / e     ,           T = 2 ∏ √ е / g

       Далее учитель показала опыт с пружинным маятником.                                                

Из которого было видно, что колебания, совершаемые маятником, зависят  от жёсткости пружины и массы шарика.

     Колебания окружают нас со всех сторон. Колебания струн музыкальных инструментов, колебания поршня в цилиндре двигателя внутреннего сгорания, качания маятника в часах и даже биения нашего сердца. Колебания мостов и высотных зданий (вер-хушка Останкинской башни отклоняется при ветре от вертикали  на 3,5 м).

      Вы выберете разные профессии: строителей, врачей или будете заниматься предсказанием погоды, вам надо будет изучать колебания.

       «Трудно избавиться от чувства, - писал Генрих Герц, - что эти математические формулы живут независимой жизнью и обладают своим собственным интеллектом, что они мудрее, чем мы сами, мудрее даже, чем их автор, и что они дают нам больше, чем в своё время было в них заложено»

    Сегодняшний урок мне хотелось бы закончить четверостишием

                      «Дружить наукам можно вечно,

                        Вселенная ведь бесконечна!

                        Спасибо всем Вам за урок,

                        А главное чтоб был он впрок!»