Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Исследование квадратного трехчлена с параметром

Исследование квадратного трехчлена с параметром

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:











































Исследование квадратного трехчлена с параметром в задачах ЕГЭ

Составитель Попова Т.С.

Компьютерная верстка

Тираж 50 экз.

Отпечатано на мини-типографии Майинской гимназии

678070, с. Майя, ул. Архитектора Ларионова, 10







МО «Мегино-Кангаласский улус (район)»

МУ Мегино-Кангаласское управление образования

МОУ- Майинская гимназия



hello_html_458184ce.png











Исследование квадратного трехчлена

с параметром в задачах ЕГЭ

























Майя

2010





Оглавление


Предисловие ……………………………………………………………………………………3

Глава I Основные теоремы алгебры и их следствия о квадратном трехчлене …………….4

Глава II Система задач с квадратным трехчленом с параметрами…………………………..7

§1. Уравнения с параметрами …………………………..…………………………..…………8

§2 Неравенства с параметрами …………………………..…………………………..………12

§3 Нестандартные приемы решения некоторых задач …………………………..………….16

Использованная литература……………………………………………………………………19












































Предисловие


Практика показывает, что задачи с параметрами представляют для выпускников наибольшую сложность как в логическом, так и в техническом плане и поэтому умение их решать во многом предопределяет успешную сдачу экзамена.

На экзаменах часто встречаются задачи, отличающиеся большим разнообразием идей и необходимостью применения очень разные методы решений. Первое решение задачи редко бывает лучшим, и естественно нужно стремиться к тому, чтобы найти более простое и красивое решение. Умение выбрать подходящий метод вырабатывается в процессе решения одной и той же задачи различными методами. Получив несколько решений данной задачи, нетрудно выделить лучшее и оценить методы решения.

Научиться подбирать необходимые приемы решения примеров с параметрами позволит данная работа, ее теоретическая часть в совокупности с разобранными примерами. Также приведены наиболее рациональные и красивые способы решения некоторых задач части С, предлагаемых на ЕГЭ.

Предложенный материал поможет усвоить приемы решения задач с параметрами, правильно организовать подготовку к экзаменам, закрепить математические знания, которые пригодятся и при продолжении образования.


































ГлаваI


Основные теоремы алгебры и их следствия о квадратном трехчлене


Для правильного подбора необходимого приема решения уравнений и неравенств с параметром требуется знать следующие факты квадратного трехчлена.

  1. Теорема Виета: Между корнями hello_html_m4b9d125.gif и hello_html_327edf1.gif квадратного трехчлена hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_16edc8a5.gif и коэффициентами существуют соотношения:

hello_html_ma2d57d7.gif

  1. В зависимости от величины дискриминанта D=b²-4ac существуют различные случаи расположения параболы по отношению к оси абсцисс 0х:

•При D>0 существуют две различные точки пересечения параболы с осью 0х(два различных действительных корня трехчлена).

Рис.1


hello_html_444eda36.gif

• При D=0 эти точки совпадают.

• При D<0 точек пересечения с осью 0х нет (действительных корней нет).

• В последнем случае, если a>0, график параболы целиков лежит выше оси 0х(рис.а), и если a<0,- - целиком ниже оси 0х(рис.b).









Теорема 1. для того чтобы корни квадратного трехчлена были действительными и имели одинаковые знаки, необходимо и достаточно выполнение следующих соотношений:


hello_html_1d4ac47e.gif



При этом оба корня будут положительными, если дополнительно наложить условие:

hello_html_3798359.gif

и оба корня будут отрицательны, если

hello_html_m5189fa02.gif.

Теорема 2. для того чтобы корни квадратного трехчлена были действительных и имели различные знаки, необходимо и достаточно выполнение соотношений:

hello_html_7374d2d1.gif


Теорема 3. Для того чтобы оба корня квадратного трехчлена были меньше, чем число х0 (т.е. лежали на координатной прямой левее, чем точка х0), необходимо и достаточно выполнение условий (рис.2).

Рис.2



hello_html_m2253255c.gif

hello_html_16835846.gifhello_html_75e227a8.gif







Теорема 4. Для того чтобы один из корней квадратного трехчлена был меньше, чем число х0, а другой больше числа х0, (т.е. точка х0 лежала бы между корнями), необходимо и достаточно выполнение условий:

Рис.3

hello_html_m1d10f3f7.gifa>0 a<0

hello_html_7e5214f2.gif

hello_html_m497212ee.gif

hello_html_77de3b61.gif

hello_html_21ac8e8b.gif

hello_html_21ac8e8b.gif

hello_html_4bc7e970.gif

hello_html_21ac8e8b.gif

hello_html_21ac8e8b.gif

hello_html_4bc7e970.gif


hello_html_m3100baeb.gifhello_html_m2c284571.gifhello_html_m2c284571.gif

hello_html_m497212ee.gif




hello_html_m42a020f0.gifhello_html_4122a475.gifhello_html_7b3818f.gif


Теорема 5. Для того чтобы оба корня квадратного трехчлена были больше, чем число х0 (т.е. лежали на координатной прямой правее, чем число х0), необходимо и достаточно условий (рис.4):

Рис.4

hello_html_1a567bb6.gifhello_html_72590e9f.gifhello_html_60d07155.gifhello_html_711d87e4.gif

hello_html_m497212ee.gif


hello_html_4bc7e970.gif

hello_html_21ac8e8b.gif


hello_html_711d87e4.gifhello_html_42c45ef8.gif

-hello_html_m62459323.gif

hello_html_711d87e4.gif



hello_html_m7e26333f.gifhello_html_m20aa33d3.gifhello_html_m53d4ecad.gif



















Глава II


Системы задач с квадратным трехчленом с параметрами


В задачах рассматривается квадратный трехчлен ax²-4x+3a+1.

§1. Уравнения с параметром.


Задача №1. При каких значениях hello_html_d872e6f.gif, уравнение ax²-4x+3a+1=0 имеет единственное решение?

Решение:

hello_html_m3b154456.gifhello_html_1b730b13.gifD=b²-4hello_html_d872e6f.gifc= -12hello_html_d872e6f.gif²-4hello_html_d872e6f.gif+16=0, находим корниhello_html_d872e6f.gif: hello_html_670407a8.gif

Ответ: при hello_html_d872e6f.gif=0, hello_html_d872e6f.gif=1, hello_html_d872e6f.gif=hello_html_m123a4d30.gif.

Задача №2. При каких значениях hello_html_d872e6f.gif уравнение ax²-4x+3a+1=0 имеет два решения?

Решение:

D>0, hello_html_1b730b13.gif D=b²-4hello_html_d872e6f.gifc=-12hello_html_d872e6f.gif²-4hello_html_d872e6f.gif+16>0, отсюда a:hello_html_670407a8.gif

hello_html_m2f4cac47.gifhello_html_m4cc6804c.gifhello_html_m123a4d30.gif + hello_html_m5a4ccc1c.gif


Ответ: при hello_html_d872e6f.gifhello_html_m289d78ff.gif(hello_html_m123a4d30.gif;1).


Задача №3. При каких значениях hello_html_d872e6f.gif, уравнение hello_html_d872e6f.gifx²-4x+3hello_html_d872e6f.gif+1=0 не имеет решений?

Решение: уравнение не имеет решений тогда и только тогда, когда квадратичная функция не пересекает абсциссу. Т.е. дискриминант должен быть отрицателен.

D<0 hello_html_1b730b13.gifD=b²-4ac= -12a²-4a+16<0, аналогично находим корниhello_html_d872e6f.gif:hello_html_m4c09fcc3.gif

hello_html_m2f4cac47.gifhello_html_m4cc6804c.gif hello_html_m123a4d30.gif + hello_html_m5a4ccc1c.gif


Ответ: hello_html_m53d4ecad.gifahello_html_m289d78ff.gif(-∞;hello_html_16474946.gif) ∞hello_html_669d9193.gif.












Задача №4. При каких значенияхhello_html_d872e6f.gif, оба корня уравнения hello_html_d872e6f.gifx²-4x+3hello_html_d872e6f.gif+1=0 положительные?

Решение: Для того чтобы корни квадратного трехчлена имели одинаковые знаки, необходимо и достаточно выполнение следующих соотношений:

hello_html_m3856988f.gifhello_html_1b730b13.gif

hello_html_1b730b13.gifhello_html_m7c1de2c2.gifhello_html_m53d4ecad.gifhello_html_1b730b13.gifhello_html_1ce0b2b4.gifhello_html_1b730b13.gifhello_html_m3144776f.gif

Ответ:hello_html_m3144776f.gif


Задача №5. При каких значениях hello_html_d872e6f.gif оба корня уравнения hello_html_d872e6f.gifx²-4x+3hello_html_d872e6f.gif+1=0 отрицательны?

Решение: Для этого нам необходимо выполнить следующие соотношения:

hello_html_m1762e517.gifhello_html_1b730b13.gifhello_html_419a4381.gifhello_html_1b730b13.gifhello_html_m776bf231.gifhello_html_1b730b13.gif


hello_html_1b730b13.gifhello_html_m73cfe65c.gif.

Ответ: При hello_html_m73cfe65c.gif.

















Задача №6. При каких значениях hello_html_d872e6f.gif оба корня уравнения hello_html_d872e6f.gifx²-4x+3hello_html_d872e6f.gif+1=0 имеют различные знаки?

Решение: для этого необходимо и достаточно выполнение соотношений:

hello_html_7fcfe866.gifhello_html_1b730b13.gifhello_html_m334b5e1e.gifhello_html_1b730b13.gifhello_html_m157fc1dd.gif


Ответ: При hello_html_d872e6f.gifhello_html_m289d78ff.gifhello_html_6e5daa9.gif


Задача №7. При каких значениях hello_html_d872e6f.gif оба корня квадратного трехчлена hello_html_d872e6f.gifx²-4x+3hello_html_d872e6f.gif+1=0 меньше 2?

Решение: Корни должны лежать на координатной прямой левее, чем точка hello_html_m37e52833.gif=2. Для этого необходимо и достаточно выполнение условий:

Первый случай:

hello_html_m3b88d3c5.gifhello_html_1b730b13.gifhello_html_7b431c28.gifhello_html_1b730b13.gifhello_html_d872e6f.gifhello_html_m352261fe.gif.


Второй случай:

hello_html_5d4c3dce.gifhello_html_1b730b13.gifhello_html_3362f07d.gif - это система не имеет решений.

Ответ: При hello_html_d872e6f.gifhello_html_m352261fe.gif.


Задача №8. При каком значении hello_html_d872e6f.gif корни квадратного трехчлена hello_html_d872e6f.gifx²-4x+3hello_html_d872e6f.gif+1=0 больше, чем 0, но меньше, чем число 1?

Решение: Оба корня должны лежать в интервале между 0 и 1, необходимо и достаточно:

Первый случай:

hello_html_4cec5f6a.gifhello_html_1b730b13.gifhello_html_m3843cac0.gifhello_html_1b730b13.gifhello_html_d872e6f.gifhello_html_m289d78ff.gifhello_html_m21a7cbe7.gif.





Второй случай:

hello_html_ma863a1a.gifhello_html_1b730b13.gifhello_html_m288ec60f.gifhello_html_1b730b13.gifhello_html_3eeae9a7.gif

Ответ: hello_html_42cfd817.gifhello_html_m7ce1b080.gif.









































§2. Неравенства с параметром.


Задача №1. Найдите все значения hello_html_d872e6f.gif, для каждого из которых неравенство hello_html_4739f8ff.gifвыполняется для всех x.

Решение: Для выполнения неравенства нам необходимо и достаточно следующих условий:

hello_html_m1078e289.gifhello_html_1b730b13.gifhello_html_m42a020f0.gifhello_html_m249e66bb.gifhello_html_1b730b13.gif аналогично находим корни:hello_html_c179a81.gif

hello_html_1b730b13.gifhello_html_m77fb12d8.gif.

Ответ:hello_html_m77fb12d8.gif.


Задача №2. Найдите все значения hello_html_d872e6f.gif, для каждого из которых неравенство hello_html_275f8a4a.gifвыполняется для всех x>0.

Решение: Для выполнения данного условия возможны следующие случаиhello_html_m7bc357c4.gif

Для первого случая а необходимо и достаточно, чтобы:

hello_html_m38ee4dbe.gifhello_html_1b730b13.gifhello_html_m3fead997.gifhello_html_1b730b13.gif находим корни: hello_html_1ff4f003.gif


hello_html_1b730b13.gifhello_html_6ad94d45.gif

Ответ: hello_html_6ad94d45.gif











Для второго случая б необходимо и достаточно, чтобы:

hello_html_2060e134.gifhello_html_1b730b13.gif аналогично находим корни: hello_html_19e2b39e.gif - система решений не имеет.

Ответ: hello_html_6ad94d45.gif


Задача № 3. Найдите все значения а, для каждого из которых неравенство hello_html_m6e211b5d.gif выполняется для всех х<0.

Решение: Для выполнения данного условия возможны следующие случаи:


hello_html_m14945f5.gifДля первого случая необходимо и достаточно, чтобы:

hello_html_m38ee4dbe.gifhello_html_1b730b13.gifhello_html_m3fead997.gifhello_html_1b730b13.gif находим корни: hello_html_1ff4f003.gif

hello_html_1b730b13.gifhello_html_6ad94d45.gif

Второй случай: необходимо и достаточно, чтобы

hello_html_m7d53285e.gifhello_html_1b730b13.gif аналогично находим корни: hello_html_meadbaff.gif - система решений не имеет.

Ответ: hello_html_m513ee286.gif





Задача № 4. Найдите все значения hello_html_d872e6f.gif, для каждого из которых неравенство hello_html_4739f8ff.gif выполняется для всех -1<х<0.

Решение: Для выполнения данного условия возможны следующие случаи:



hello_html_md6efcb7.gif


Для первого случая необходимо и достаточно, чтобы

hello_html_m4a500e41.gifhello_html_1b730b13.gifhello_html_m3fead997.gifhello_html_1b730b13.gif находим корни: hello_html_1ff4f003.gifhello_html_1b730b13.gif hello_html_6ad94d45.gif

Для второго случая необходимо и достаточно, чтобы

hello_html_m3a13eaca.gifhello_html_1b730b13.gifhello_html_3ab3bc63.gifhello_html_1b730b13.gifhello_html_53997ca5.gif.

Ответ: hello_html_m226e8c8d.gif.

Задача № 5. Найдите все значения hello_html_d872e6f.gif, для каждого из которых неравенство hello_html_275f8a4a.gif выполняется для всех х кроме (-1;0).

Решение: Для выполнения данного условия необходимо и достаточно следующих условий:

hello_html_4656cf30.gifhello_html_4656cf30.gifhello_html_m21d48828.gif

hello_html_m20eb4c7b.gif

hello_html_71d4f408.gif




0

-1





hello_html_cdc0394.gifhello_html_1b730b13.gifhello_html_m1631c9e3.gif


Задача № 6. При каких значениях hello_html_d872e6f.gifнеравенство hello_html_65ba5176.gif имеет единственное решение?

Решение: Для выполнения данного условия необходимо и достаточно чтобы


hello_html_m20eb4c7b.gif





hello_html_m784a9815.gifhello_html_1b730b13.gif

hello_html_m2dffad7f.gif

0

hello_html_m2752c48b.gif


hello_html_1b730b13.gifhello_html_m146626db.gif

Ответ: hello_html_m33905f8e.gif























§3 Нестандартные приемы решения некоторых задач


1. Найдите все значения а, для которых при каждом х из промежутка [-3; -1) значение выражения х4-7х2-3 не равно значению выражения ах2.

Решение:

Рассмотрим функции у= х4-7х2-3 и у= ах2. Введем замену х2=t. Задача получает следующую формулировку:

Найдите все значения а, для которых при каждом t из промежутка (1; 9] значение выражения t 2-7 t -3 не равно значению выражения аt.

Гhello_html_m54549d58.pngрафик функции f(t)= t 2-7 t -3 представляет собой параболу на интервале (1;9], графиком функции у= аt является прямая, проходящая через начало координат (см. рис1) Значит, нужно найти такие а, что прямая и парабола на интервале (1; 9] не имеют общих точек. Для этого найдем значения функции f(t) на концах интервала: f(1)=-9 и f(9)=15. Так как а есть тангенс угла наклона прямой у= аt, получаем, что аhello_html_3092cc7c.gif и аhello_html_75ef3711.gif.





  1. Три числа, принадлежащие интервалам (0;2), (2;3), (3;5) являются членами арифметической прогрессии. Какие значения может принимать величина hello_html_3851dfc5.gif, если число а принадлежит промежутку (0;2), d- разность прогрессии?

Решение: по условию задачи hello_html_m3d3cf2f7.gif; hello_html_m103192e.gif; hello_html_m472e53ff.gif

Нhello_html_m23dc7033.pngа координатной плоскости с горизонтальной осью d и вертикальной осью а построим прямые а=0; а=2; а+d=2; а+d=3; а+2d=3; а+2d=5. Замкнутая область в виде шестиугольника, ограниченная прямыми, есть множество чисел, удовлетворяющих условию (см. рис2). hello_html_m5378b271.gif- уравнение окружности с центром в начале координат, радиус которой должен принимать значение из данной области. Наименьшего значения радиус достигает в точке (1;1) и равен hello_html_1caef8ee.gif, наибольшее значение равно 2,5 в точке (2,5;0). Ответ: (hello_html_1caef8ee.gif;2,5).















  1. Найти все значения а, при которых уравнения hello_html_m293a9642.gif и hello_html_518d29d9.gif имеют одинаковое число корней.

Решение:

1) Построим графики функций hello_html_m12933a03.gif и у=ах на одной координатной плоскости. Видно, что при а=0 уравнение имеет 2 корня. Рассмотрим производную функции hello_html_m12933a03.gif при hello_html_m55f82e46.gif: hello_html_m7d9fe6a6.gif. Теперь найдем точку касания х0 и угловой коэффициент касательной: зная, что угловой коэффициент касательной есть производная в точке касания х0 и в то же время тангенс угла наклона касательной выпишем уравнение hello_html_6da1fbad.gif. х0=0. Находим, что а=4. Значит приhello_html_m3f5773bc.gifуравнение имеет 3 корня. При hello_html_2c10e09.gifуравнение имеет 1 корень. Рассматривая функцию hello_html_m12933a03.gif на промежутках (hello_html_m744e039c.gif находим, что а=-4. Значит, при hello_html_m578576c3.gif функция имеет 2 корня, при hello_html_4d58753d.gif 1 корень.

2) Рассмотрим hello_html_m6d085d2d.gif и у=ах. Рассуждая аналогично, находим, что при hello_html_m23cd8cda.gif и при а=-4 прямая у=ах служит касательной к графику функции hello_html_m6d085d2d.gif. Делаем вывод, что при а=0 нет решений, при hello_html_40b1afb2.gif и hello_html_m2635020.gif имеется 1 корень, при hello_html_m23cd8cda.gif и а=-4 2 корня, при hello_html_4fc66dd7.gif и hello_html_m578576c3.gif имеется 3 корня. Теперь сопоставляя эти промежутки, выясняем, что при (-4;0) и (hello_html_me96e67.gif;4) уравнения имеют одинаковое количество корней.

hello_html_m6d489de1.gif






hello_html_m1f2d7a80.gifhello_html_5e64c23c.gifhello_html_4cf9f5b.gifhello_html_4cf9f5b.gifhello_html_642f9736.gifhello_html_3855bef4.gifhello_html_32cb4b49.gifhello_html_m49bd2cad.gif



hello_html_m7a494add.gif





hello_html_a4ce83.gif

hello_html_6a063729.gif
















Использованная литература

  1. Власова А.П., Латанова Н.И.. Задача с параметрами. Логарифмические и показательные уравнения, неравенства, системы уравнений. 10-11 кл.: учебное пособие: Дрофа, 2005. – 93с.

  2. Горнштейн П.И., Полонский В.Б., Якир М.С.. Задачи с параметрами. Изд. 3-е доп. и пер. – М.: Илекса и Гимназия, 1999. – 326с.

  3. Семенова А.Л., Ященко И.В.. Единый государственный экзамен 2010. Математика. Унив. Материалы для подготовки учащихся / ФИПИ – М.: Интеллект-Центр, 2010. – 96с.

  4. Шабунин М.И.. Пособие по математике для поступающих в вузы. – М.: Лаборатория Базовых Знаний, 1999. – 640с.: ил.

  5. Касаткин Г.В., Шевченко Л.В.. Готовимся в вуз: задачи и тесты по математике для школьников старших классов и поступающих в вузы: Учеб. пособие – М.: Дрофа, 2004. – 224с.: ил.

  6. Жафяров А.Ж..математика. ЕГЭ. Экспресс-консультация – Новосибирск: Сиб. унив. изд-во, 2009-160с.


hello_html_73e8604c.gif


Выберите курс повышения квалификации со скидкой 50%:

Автор
Дата добавления 20.10.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров527
Номер материала ДВ-079899
Получить свидетельство о публикации

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх