Исследование квадратного трехчлена с параметром

Исследование квадратного трехчлена с параметром в задачах ЕГЭ

Составитель Попова  Т.С.

Компьютерная верстка

Тираж 50 экз.

Отпечатано на мини-типографии Майинской гимназии

678070, с. Майя, ул. Архитектора Ларионова, 10

МО «Мегино-Кангаласский улус (район)»

МУ Мегино-Кангаласское управление образования

МОУ- Майинская гимназия

Исследование квадратного трехчлена

с параметром в задачах ЕГЭ

Майя

2010

Оглавление

Предисловие  ……………………………………………………………………………………3                                           

Глава I  Основные теоремы алгебры и их следствия о квадратном трехчлене  …………….4

Глава II  Система задач с квадратным трехчленом с параметрами…………………………..7

§1. Уравнения с параметрами   …………………………..…………………………..…………8

§2 Неравенства с параметрами   …………………………..…………………………..………12

§3 Нестандартные приемы решения некоторых задач  …………………………..………….16

Использованная литература……………………………………………………………………19

Предисловие

 Практика показывает, что задачи с параметрами представляют для выпускников наибольшую сложность как в логическом, так и в техническом плане и поэтому умение их решать во многом предопределяет успешную сдачу экзамена.

На экзаменах часто встречаются задачи,  отличающиеся большим разнообразием идей и необходимостью применения очень разные методы решений. Первое решение задачи редко бывает лучшим, и естественно нужно стремиться к тому, чтобы найти более простое и красивое решение. Умение выбрать подходящий метод вырабатывается в процессе решения одной и той же задачи различными методами. Получив несколько решений данной задачи, нетрудно выделить лучшее и оценить методы решения. 

        Научиться подбирать необходимые приемы решения примеров с параметрами позволит данная работа, ее теоретическая часть в совокупности с разобранными примерами. Также приведены наиболее рациональные и красивые способы решения некоторых задач части С, предлагаемых на ЕГЭ.  

        Предложенный материал поможет усвоить приемы решения задач с параметрами, правильно организовать подготовку к экзаменам, закрепить математические знания, которые пригодятся и при продолжении образования.

ГлаваI

Основные теоремы алгебры и их следствия о квадратном трехчлене 

Для правильного подбора необходимого приема решения уравнений и неравенств с параметром требуется знать следующие факты квадратного трехчлена.

1. Теорема Виета: Между корнями  и  квадратного трехчлена  и коэффициентами существуют соотношения:

2. В зависимости от величины дискриминанта D=b²-4ac существуют различные случаи расположения параболы по отношению к оси абсцисс 0х:

•При D>0 существуют две различные точки пересечения параболы с осью 0х(два различных действительных корня трехчлена).

Рис.1

• При D=0 эти точки совпадают.

• При D<0 точек пересечения с осью 0х нет (действительных корней нет).

• В последнем случае, если a>0, график параболы целиков лежит выше оси 0х(рис.а), и если a<0,- - целиком ниже оси 0х(рис.b).

3.  

Теорема 1. для того чтобы корни квадратного трехчлена были действительными и имели одинаковые знаки, необходимо и достаточно выполнение следующих соотношений:

При этом оба корня будут положительными, если дополнительно наложить условие:

и оба корня будут отрицательны, если

.

Теорема 2. для того чтобы корни квадратного трехчлена были действительных и имели различные знаки, необходимо и достаточно выполнение соотношений:

Теорема 3. Для того чтобы оба корня квадратного трехчлена были меньше, чем число х₀ (т.е. лежали на координатной прямой левее, чем точка х₀), необходимо и достаточно выполнение условий (рис.2).

Рис.2

                                                                                    

Теорема 4. Для того чтобы один из корней квадратного трехчлена был меньше, чем число х₀, а другой больше числа х₀, (т.е. точка х₀ лежала бы между корнями), необходимо и достаточно выполнение условий:

Рис.3

                              a>0                                                                 a<0

 

               

                                                                                

Теорема 5. Для того чтобы оба корня квадратного трехчлена были больше, чем число х₀ (т.е. лежали на координатной прямой правее, чем число х₀), необходимо и достаточно условий (рис.4):

Рис.4

 

                                                                         

Глава II

Системы задач с квадратным трехчленом с параметрами

В задачах рассматривается квадратный трехчлен ax²-4x+3a+1.

§1. Уравнения с параметром.

Задача №1. При каких значениях , уравнение ax²-4x+3a+1=0 имеет единственное решение?

        Решение:

               D=b²-4c= -12²-4+16=0, находим корни:    

Ответ: при =0, =1, =.

Задача №2. При каких значениях  уравнение ax²-4x+3a+1=0 имеет два решения?

Решение:

D>0,                 D=b²-4c=-12²-4+16>0, отсюда a:

             +                       

Ответ: при  (;1).

Задача №3. При каких значениях , уравнение x²-4x+3+1=0 не имеет решений?

Решение: уравнение не имеет решений тогда и только тогда, когда квадратичная функция не пересекает абсциссу. Т.е. дискриминант должен быть отрицателен.

D<0       D=b²-4ac= -12a²-4a+16<0, аналогично находим корни:

                         +                       

Ответ: a(-∞;) ∞.

Задача №4. При каких значениях, оба корня уравнения x²-4x+3+1=0 положительные?

Решение: Для того чтобы корни квадратного трехчлена имели одинаковые знаки, необходимо и достаточно выполнение следующих соотношений:

                                        

                                    

Ответ:     

Задача №5. При каких значениях  оба корня уравнения x²-4x+3+1=0 отрицательны?

Решение: Для этого нам необходимо выполнить следующие соотношения:

                                

  .

Ответ: При .

Задача №6. При каких значениях  оба корня уравнения x²-4x+3+1=0 имеют различные знаки?

Решение:  для этого необходимо и достаточно выполнение соотношений:

                   

Ответ: При

Задача №7. При каких значениях  оба корня квадратного трехчлена x²-4x+3+1=0 меньше 2?

Решение: Корни должны лежать на координатной прямой левее, чем точка =2.  Для этого необходимо и достаточно выполнение условий:     

Первый случай:

                         .

Второй случай:

                 - это система не имеет решений.

Ответ: При .

Задача №8. При каком значении  корни квадратного трехчлена x²-4x+3+1=0 больше, чем 0, но меньше, чем число 1?

Решение: Оба корня должны лежать в интервале между 0 и 1, необходимо и достаточно:

Первый случай:

                                         .

Второй случай:

                                        

Ответ: .

§2.  Неравенства с параметром.

Задача №1. Найдите все значения , для каждого из которых неравенство выполняется для всех x.

Решение: Для выполнения неравенства нам необходимо и достаточно следующих условий:

                                аналогично находим корни:

.

Ответ:.

Задача №2. Найдите все значения , для каждого из которых неравенство выполняется для всех x>0.

Решение: Для выполнения данного условия возможны следующие случаи

Для первого случая а необходимо и достаточно, чтобы:

                                   находим корни:                                        

       

Ответ:

Для второго случая б необходимо и достаточно, чтобы:

              аналогично находим корни:      - система решений не имеет.

Ответ:

Задача № 3. Найдите все значения а, для каждого из которых неравенство  выполняется для всех х<0.

Решение: Для выполнения данного условия возможны следующие случаи:

Для первого случая необходимо и достаточно, чтобы:

                                   находим корни:                                       

       

Второй случай: необходимо и достаточно, чтобы

              аналогично находим корни:      - система решений не имеет.

Ответ:

Задача № 4. Найдите все значения , для каждого из которых неравенство  выполняется для всех -1<х<0.

Решение: Для выполнения данного условия возможны следующие случаи:

Для первого случая необходимо и достаточно, чтобы

                                  находим корни:                               

Для второго случая необходимо и достаточно, чтобы

                                          .

Ответ:  .

  Задача № 5. Найдите все значения , для каждого из которых неравенство  выполняется   для всех х кроме (-1;0).

Решение: Для выполнения данного условия необходимо и достаточно следующих условий:

 

                           

Задача № 6. При каких значениях неравенство  имеет единственное решение?

Решение: Для выполнения данного условия необходимо и достаточно чтобы

 

                     

                                                                       

                     

Ответ:

§3 Нестандартные приемы решения некоторых задач 

1. Найдите все значения а, для которых при каждом х из промежутка [-3; -1) значение выражения х⁴-7х²-3 не равно значению выражения ах².

            Решение:

Рассмотрим функции у= х⁴-7х²-3 и у= ах². Введем замену х²=t. Задача получает следующую формулировку: 

Найдите все значения а, для которых при каждом t из промежутка (1; 9] значение выражения t ²-7 t -3 не равно значению выражения аt.

График функции f(t)= t ²-7 t -3 представляет собой параболу на интервале (1;9],  графиком функции у= аt является прямая, проходящая через начало координат (см. рис1) Значит, нужно найти такие а, что прямая и парабола на интервале (1; 9] не имеют общих точек. Для этого найдем значения функции  f(t) на концах интервала: f(1)=-9 и f(9)=15. Так как а есть тангенс угла наклона прямой у= аt, получаем, что а и а.

2.       Три числа, принадлежащие интервалам (0;2), (2;3), (3;5) являются членами арифметической прогрессии. Какие значения может принимать величина , если число а принадлежит промежутку (0;2), d- разность прогрессии?

Решение: по условию задачи ; ;

На координатной плоскости с горизонтальной осью d и вертикальной осью а построим прямые а=0; а=2; а+d=2; а+d=3; а+2d=3; а+2d=5. Замкнутая область в виде шестиугольника, ограниченная прямыми, есть множество чисел, удовлетворяющих условию (см. рис2). - уравнение окружности с центром в начале координат, радиус которой должен принимать значение из данной области. Наименьшего значения радиус достигает в точке (1;1) и равен , наибольшее значение равно 2,5 в точке (2,5;0). Ответ: (;2,5).

3. Найти все значения а, при которых уравнения  и  имеют одинаковое число корней.

Решение:

1) Построим графики функций  и у=ах на одной координатной плоскости. Видно, что при а=0 уравнение имеет 2 корня. Рассмотрим производную функции  при : . Теперь найдем точку касания х₀ и угловой коэффициент касательной: зная, что угловой коэффициент касательной есть производная в точке касания х₀ и в то же время тангенс угла наклона касательной выпишем уравнение . х₀=0. Находим, что а=4. Значит приуравнение имеет 3 корня. При уравнение имеет 1 корень. Рассматривая функцию  на промежутках ( находим, что а=-4. Значит, при    функция имеет 2 корня, при     1 корень.                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  

2) Рассмотрим  и у=ах. Рассуждая аналогично, находим, что при  и при а=-4 прямая у=ах служит касательной к графику функции . Делаем вывод, что при а=0 нет решений, при  и  имеется 1 корень, при  и а=-4  2 корня, при  и  имеется 3 корня. Теперь сопоставляя эти промежутки, выясняем, что при  (-4;0) и (;4) уравнения имеют одинаковое количество корней. 

 

Использованная литература

1. Власова А.П., Латанова Н.И.. Задача с параметрами. Логарифмические и показательные уравнения, неравенства, системы уравнений. 10-11 кл.: учебное пособие: Дрофа, 2005. – 93с.
2. Горнштейн П.И., Полонский В.Б., Якир М.С.. Задачи с параметрами. Изд. 3-е доп. и пер. – М.: Илекса и Гимназия, 1999. – 326с.
3. Семенова А.Л., Ященко И.В.. Единый государственный экзамен 2010. Математика. Унив. Материалы для подготовки учащихся / ФИПИ – М.: Интеллект-Центр, 2010. – 96с.
4. Шабунин М.И.. Пособие по математике для поступающих в вузы. – М.: Лаборатория Базовых  Знаний, 1999. – 640с.: ил.
5. Касаткин Г.В., Шевченко Л.В.. Готовимся в вуз: задачи и тесты по математике для школьников старших классов и поступающих в вузы: Учеб. пособие – М.: Дрофа, 2004. – 224с.: ил.
6. Жафяров А.Ж..математика. ЕГЭ. Экспресс-консультация – Новосибирск: Сиб. унив. изд-во, 2009-160с.