Исследовательская работа на тему " Магический квадрат-магия или наука?"

Министерство образования и науки Российской Федерации

МАОУ СШ №30 г. Липецка

Магический квадрат-магия или наука?

(исследовательская работа)

Выполнил: Иванов Иван,

                                                                               ученик МАОУ СШ №30

                                                     6 «В» класса

                                                             Руководитель:

                                                                       Константинова А.С.,

 учитель физики-математики

Липецк

2018

Содержание

1.     Введение

2.     Глава 1. Историческая справка.

3.     Глава 2. Исследовательская часть:

·        Виды магических квадратов.

·        Эксперимент и наиболее удобные способы построения квадрата.

·        Магический квадрат Пифагора.

4.     Заключение

5.     Список источников

6.     Приложения

Введение

В свободное от уроков время, я люблю решать логические задачки. Самым излюбленным заданием является решение математических кроссвордов «Судоку». Судоку — это головоломка-пазл с числами, ставшая в последнее время очень популярной. В переводе с японского "су" — "цифра", "доку" — "стоящая отдельно". Иногда судоку называют «магическим квадратом». И тут я задумался: «Почему «магическим квадратом»? В чем заключается его магия? Как его составляют?».

Само понятие «магические квадраты» содержит тайну, загадку, а после знакомства с историей и некоторыми свойствами этих квадратов, возникает желание продолжать исследование. Я решил самостоятельно составить такой квадрат, но эта работа оказалась не такой простой, как мне показалось на первый взгляд. Эта задача меня очень заинтересовала. Я использовал метод перебора. Мне он  не понравился, так как отнимает много времени, хотя и позволяет тренировать свои вычислительные навыки. Я искал пути решения сложившейся задачи, и это побуждало моё желание заняться исследовательской работой, чтобы раскрыть секреты и найти способы составления магических квадратов.

В своей работе я постарался отразить самые яркие, важные, интересные факты из теории и практики составления магических квадратов. При этом предо мной раскрывались любопытные математические свойства предмета исследования.

Вот главные задачи моей работы: рассказать о появлении самого понятия «магических квадратов» и о росте их популярности, как в науке, так и в жизни, узнать всевозможные виды, рассмотреть способы составления, показать основные особенности.

Кроме этого, я провел исследование среди учеников параллельного класса. Я хотел посмотреть: интересны ли им логические задачи, слышали ли они о «магическом квадрате» и решали когда-нибудь «Судоку». Результаты этого исследования будут также приведены в моей работе.

Тема исследования: составление магических квадратов.

Объект исследования: магический квадрат.

 Гипотеза: для заполнения магического квадрата должны существовать специальные приемы, позволяющие это сделать быстро.

Цель исследования: раскрыть «секреты» магического квадрата.

Задачи исследования:

- познакомиться с историей появления магических квадратов

- изучить простейшие способы заполнения магических квадратов

Методы научного исследования: поисковый с использованием научной литературы, анализ литературы и Интернет-ресурсов, опрос сверстников, эксперимент.

Этапы исследования:

1.     Знакомство с литературой и Интернет-ресурсами.

2.     проведение эксперимента и опроса сверстников.

3.     Оформление работы и выступление на конференции.

Глава 1. Историческая справка

Высшее назначение математики – находить

 порядок в хаосе, который нас окружает.

Норберт Винер

Маги́ческий, или волше́бный квадра́т — это квадратная таблица n*n, заполненная n² числами так, что сумма чисел в каждой строке (магическая сумма), каждом столбике и на обеих диагоналях одинакова.

Страна, в которой был впервые придуман магический квадрат, точно неизвестна, неизвестен век, даже тысячелетие нельзя установить точно. Первые упоминания о магических квадратах были у древних китайцев. Согласно легенде, во времена правления императора Ю (ок. 2200 до н.э.) из вод Хуанхэ (Желтой реки) всплыла священная черепаха, на панцире которой были начертаны таинственные иероглифы и эти знаки известны под названием ло-шу и равносильны магическому квадрату. Подсчитав количество кружков каждой из фигур, получим магический квадрат 3*3. Изображение магического  квадрата в виде  связанных кружков встречаются в более позднем трактате мыслителя Чжу Си. Вот как это эффектно выглядело там (приложение 1).

Черные кружки – это четные (женственные) числа, белые – нечетные (мужественные) числа.

Название «магические» квадраты получили от арабов, которые усмотрели в их свойствах нечто мистическое и потому принимали квадраты за своеобразные талисманы, защищавшие тех, кто их носит, от многих несчастий. К удивительным квадратам проявляли интерес и средневековые арабские математики, приводившие их примеры в своих сочинениях.                                                                     

Древние греки были знакомы с простейшим (3-го порядка) магическим квадратом. В одном из арабских манускриптов конца VIII в. упоминается его автор (который па самом деле лишь открыл заново то, что было известно за много ве­ков до него) – философ-новопифагорец Апполон из Тиана, живший в начале нашей эры.

Европейцев с удивительными числовыми ква­дратами познакомил византийский писатель и языковед Мосхопулос. Его работа была первым специальным сочинением на эту тему и содержа­ла примеры магических квадратов разного поряд­ка, составленных самим автором.

В средневековой Европе, как и на Востоке, магическим квадратам часто приписывали различ­ные мистические свойства. Поэтому не удиви­тельно, что они пользовались особой популярно­стью у прорицателей, астрологов и врачевателей. Бытовало даже поверье, что выгравированный на серебряной пластине магический квадрат защи­щает от чумы.

В начале XVI в знаменитый немецкий художник Альбрехт Дюрер увековечил магический квадрат в искусстве, изобразив его на гравюре «Ме­ланхолия» (приложение 2).

Квадрат Дюрера имеет размер 4 х 4 и состав­лен из шестнадцати первых натуральных чисел, сумма которых в каждой строке, столбце и на диагонали равна 34. Оказывается, 34 равны и суммы других четверок чисел: расположенных в центре, в угловых клетках, по бокам центрально­го квадрата (приложение 3, а), а также образующих четы­ре равных квадрата, на которые можно разделить исходный квадрат (приложение 3,б). А вот числа 15 и 14 в нижней строке квадрата указывают дату создания гравюры - 1514 г. Этот факт говорит об умении в то время составлять магические квадраты с определённым заданным расположением некоторых чисел. Говорят, что гравюра А.Дюрера послужила толчком для знаменитых пророчеств его современника Мишеля Нострадамуса (1503-1566).

В середине XVI в. в Европе появились первые сочинения, в которых магические квадраты пред­стали в качестве объектов математического ис­следования. Так было положено начало их новой жизни. Затем последовало множество других работ, в частности таких известных математиков, как Штифель, Баше, Паскаль, Ферма, Бесси, Эйлер, Гаусс.

Например, Баше де Мезириак (приложение 4) описал простой графический способ построении квадратов нечет­ного порядка. Последний не раз переоткрывался и, вероятно, был изобретен еще в древности. Отметим, что в XVI-XV1I вв. составлением магиче­ских квадратов занимались с таким же увлечени­ем, с каким сегодня придумывают и разгадывают кроссворды. Любопытно, что именно в одной из книг Баше магические квадраты впервые пред­стали как математическая забава.

Примерно в то же время Пьер де Ферма разработал общий метод построения квадратов четно­го порядка, а Френикль де Беси (приложение 4) вычислил и построил все различные квадраты 4-го порядка (всего их насчитывается 880). «Я не знаю ничего более прекрасного в арифметике, чем эти числа, называемые некото­рыми планетными, а другими - магическими» - писал о них известный французский математик, один из создателей теории чисел Пьер де Ферма.

Дальнейшее разви­тие теории магических квадратов оказалось свя­зано с развитием теории чисел и комбинаторики. Полного описания всех возможных магических квадратов не получено и до сего времени. Магических квадратов 2х2 не существует.

Глава 2. Исследовательская часть.

«Кто с детских лет занимается математикой, тот развивает внимание, тренирует свой мозг, свою волю, воспитывает на­стойчивость и упорство в достижении цели».

А. Маркушевич

Магическим квадратам приписывали различные мистические свойства, будто они могли даже вылечить человека от страшных болезней. Получение магических квадратов было популярным развлечением среди математиков, создавались огромные квадраты. Мне стало любопытно, что на эту тему знают мои сверстники и провел мини опрос (приложение 5), результаты которого можно найти в приложении. Проанализировав все исторические факты использования «магического квадрата», я пришел к выводу, что они должны как то отличаться друг от друга. Оказывается, существует целая классификация. Итак:

1.               Нормальный магический квадрат - магический квадрат, заполненный целыми числами от 1 до n².

2.               Полумагический квадрат - квадрат в котором сумма чисел только в строках и столбцах является равной, а по диагонали это условие не выполняется.

3.               Ассоциативный или симметричный квадрат – квадрат, у которого любые два числа, расположенных симметрично относительно центра квадрата, дают одинаковую сумму.

4.               Пендиагональный (дьявольский) магический квадрат- квадрат, в котором сумма чисел по разломанным диагоналям также равна константе квадрата.

5.               Идеальный квадрат- магический квадрат который одновременно и ассоциативный и пендиагональный.

6.               Совершенный магический квадрат- магический пендиагональный квадрат порядка 4k, обладающий дополнительными свойствами.

7.               Бимагический квадрат- такой магический квадрат, который остается магическим при замене всех его элементов на их квадраты.

Изучив множество способов составления магического квадрата, я решил составить алгоритм работы по наиболее доступным  способам.

I.  Алгоритм составления магического квадрата для последовательных чисел.

1) Записать цифры в том порядке, как показано на рисунке:

                 1    2    3

                 4    5    6

                 7    8    9

2) Поменять местами цифры, стоящие на противоположных концах диагоналей: 1 и 9, 3 и 7:

                 9    2    7

                 4    5    6

                 3    8    1

3) Сдвинуть на шаг по часовой стрелке каждое из чисел

                  4   9    2

                  3   5    7

                  8   1    6

Таким образом, получим магический квадрат, магическая сумма которого (т.е. сумма чисел в любой строке, в любом столбце и на каждой из диагоналей) равна 15.

Проделав эксперимент по изменению направления движения чисел в обратную сторону, расположили числа так, как показано на рисунке:

              2    7   6

              9    5   1

              4    3   8

Значит, направление значения не имеет, главное сохранить порядок следования чисел.

    Я сделали ещё одно наблюдение в ходе экспериментов.  Если все стоящие в углу числа – чётные, то все стоящие на сторонах числа - нечетные. И как результат этого – магическая сумма в квадратах из последовательных чисел всегда нечетное число.

II. Алгоритм составления магического квадрата из произвольных чисел

1.     Выбрать произвольных три числа.

2. Найти сумму этих трех чисел (МС– магическая сумма).

 3.  Найти (МС : 3), это число записывается в центре на пересечении диагоналей магического квадрата.

Изучив алгоритмы заполнения магических квадратов, мне захотелось экспериментировать: что произойдет, если поменяю местами числа, получится ли магическая сумма? Получится ли такой же квадрат или другой?

После долгих экспериментов я пришел к открытию двух главных условий:

- сумма трех произвольно взятых чисел должна делиться на 3 без остатка;

- если разность наибольшего и наименьшего из трех выбранных чисел больше магической суммы, то следует расположить их на соседних клетках квадрата.

А вот и математически обоснованные способы построения квадратов. Как же построить волшебный квадрат 3-его порядка с наименьшей магической константой? Найдём наименьшую магическую константу волшебного квадрата 3х3 и числа, расположенного  посередине этого квадрата.

1 способ :1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = (1+9) + (2+8) + (3+7) + (4+6) + 5 = 45     

45 : 3 = 15                1       2      3      4      5      6      7      8      9   

М = 15.

Число, записанное посередине 15 : 3 = 5          

Определил, что посередине, записано число 5.

2 способ: Можно рассчитать магическую константу по формуле,

где n – число строк

n = 3           =      = 15

Используя эти способы, я составил несколько заданий, которые хотел бы предложить выполнить на уроках математики для развития логического мышления (приложение 6). Как только приступаешь к построению квадратов, тебя это затягивает и ты понимаешь, что если можешь построить один магический квадрат, то нетрудно построить их любое количество.

Великий ученый Пифагор, основавший религиозно-философское учение, провозгласившее количественные отношения основой сущности вещей, считал, что сущность человека заключается тоже в числе – дате рождения. Поэтому с помощью магического квадрата Пифагора можно познать характер человека, степень отпущенного здоровья и его потенциальные возможности, раскрыть достоинства и недостатки и тем самым выявить, что следует предпринять для его совершенствования.

Для того чтобы понять, что такое магический квадрат Пифагора и как подсчитываются его показатели, сделаем расчет. Возьмем дату рождения 20.08.1986. Сложим цифры дня, месяца и года рождения (без нулей): 2+8+1+9+8+6=34. Далее складываем цифры результата: 3+4=7. Затем из первой суммы вычитаем удвоенную первую цифру дня рождения: 34-4=30. И вновь складываем цифры последнего числа: 3+0=3. Осталось сделать последние сложения -  1-й и 3-й и 2-й и 4-й сумм: 34+30=64, 7+3=10. Получили числа 20.08.1986, 34, 7, 30, 64, 10.

И составляем магический квадрат так, чтобы все единицы этих чисел вошли в ячейку 1, все двойки – в ячейку 2 и т.д. Нули при этом во внимание не принимаются. В результате квадрат будет выглядеть следующим образом (приложение 7).

Ячейки квадрата означают следующее:

Ячейка 1 – целеустремленность, воля, упорство, эгоизм.

1 – законченные эгоисты, стремятся из любого положения извлечь максимальную выгоду.

11 – характер, близкий к эгоистическому.

111 – «золотая середина», Характер спокойный, покладистый, коммуникабельный.

1111 – люди сильного характера, волевые. Мужчины с таким характером подходят на роль военных – профессионалов, а женщины держат семью в кулаке.

11111 – диктатор, самодур.

111111 – человек жестокий, способный совершить невозможное; нередко попадает под влияние какой-то идеи.

   Ячейка 2 – биоэнергетика, эмоциональность, душевность, чувственность. Количество ячеек определяет уровень биоэнергетики.

Двоек нет – открыт канал для интенсивного набора биоэнергетики. Эти люди воспитаны и благородны от природы.

2 – обычные в биоэнергетическом отношении люди. Такие люди очень чувствительны к изменениям в атмосфере.

22 – относительно большой запас биоэнергетики. Из таких людей получаются хорошие врачи, медсестры, санитары. В семье таких людей редко у кого бывают нервные стрессы.

222 – знак экстрасенса.

  Ячейка 3 – точность, конкретность, организованность, аккуратность, пунктуальность, чистоплотность, скупость, наклонность к  постоянному «восстановлению справедливости».

      Нарастание троек усиливает эти качества. С ними человеку есть смысл искать себя в науках, особенно точных. Перевес троек порождает педантов, людей в футляре.

  Ячейка 4 – здоровье. Это связано с энергетическим пространством, наработанным предками и защищающим человека. Отсутствие четверок свидетельствует о болезненности человека.

4 – здоровье среднее, необходимо закалять организм. Из видов спорта рекомендуется плавание и бег.

44 – здоровье крепкое.

444 и более – люди с очень крепким здоровьем.

Ячейка 5 – интуиция, ясновидение, начинающее проявляться у таких людей уже на уровне трех пятерок.

Пятерок нет – канал связи с космосом закрыт. Эти люди часто ошибаются.

5 – канал связи открыт. Эти люди могут правильно рассчитать ситуацию, извлечь из нее максимальную пользу.

55 – сильно развита интуиция. Когда видят «вещие сны», могут предугадывать ход событий. Подходящие для них профессии – юрист, следователь.

555 – почти ясновидящие.

5555 – ясновидящие.

Ячейка 6 – заземленность, материальность, расчет, склонность к количественному освоению мира и недоверие к качественным скачкам и тем более к чудесам духовного порядка.

Шестерок нет – этим людям необходим физический  труд, хотя они его, как правило, не любят. Они наделены неординарным воображением, фантазией, художественным вкусом. Тонкие натуры, они тем не менее способны на поступок.

6 – могут заниматься творчеством или точными науками, но физический труд является обязательным условием существования.

66 – люди очень заземлены, тянуться к физическому труду, хотя как раз для них он не обязателен; желательна умственная деятельность, либо занятия искусством.

666 – знак Сатаны, особый и зловещий знак. Эти люди обладают повышенным темпераментом, обаятельны, неизменно становятся в обществе центром внимания.

6666 – эти люди в своих предыдущих воплощениях набрали слишком много заземленности, они очень много трудились и не представляют свою жизнь без труда. Если в их квадрате есть девятки, им обязательно нужно заниматься умственной деятельностью, развивать интеллект, хотя бы получить высшее образование.

 Ячейка 7 – количество семерок определяет меру таланта.

7 – чем больше они работают, тем больше получают впоследствии.

77 – очень одаренные, музыкальные люди, обладают тонким художественным вкусом, могут иметь склонность к изобразительному искусству.

777 – эти люди, как правило, приходят на землю ненадолго. Они добры, безмятежны, болезненно воспринимают любую несправедливость. Они чувствительны, любят мечтать, не всегда чувствуют реальность.

7777 – знак Ангела. Люди с таким знаком умирают в младенчестве, а если и живут, то их жизни постоянно угрожает опасность.

  Ячейка 8 – карма, долг, обязанность, ответственность. Количество восьмерок определяет степень чувства долга.

Восьмерок нет – у этих людей почти полностью отсутствует чувство долга.

8 – натуры ответственные, добросовестные, точные.

88 – у этих людей развито чувство долга, их всегда отличает желание помочь другим, особенно слабым, больным, одиноким.

888 – знак великого долга, знак служения народу. Правитель с тремя восьмерками добивается выдающихся результатов.

8888 – эти люди обладают парапсихологическими способностями и исключительной восприимчивостью к точным наукам.

 Ячейка 9 – ум, мудрость. Отсутствие девяток – свидетельство того, что умственные способности крайне ограничены.

9 – эти люди должны всю жизнь упорно трудиться, чтобы восполнить недостаток ума.

99 – эти люди умны от рождения. Учатся всегда неохотно, потому что знания даются им легко. Они наделены чувством юмора с ироничным оттенком, независимые.

999 – очень умны. К учению вообще не прикладывают никаких усилий. Прекрасные собеседники.

9999 – этим людям  открывается истина. Если у них к тому же развита интуиция, то они гарантированы от провала в любом из своих начинаний.

Итак, составив магический квадрат Пифагора и зная значение всех комбинаций цифр, входящих в его ячейки, вы сможете в достаточной мере оценить те качества вашей натуры, которыми вас наделила матушка – природа.

Заключение

Название «магические» квадраты получили от арабов, Из Китая магические квадраты распространи­лись сначала в Индию, затем в Японию и другие страны. На востоке их считали волшебными, полными тайного смысла символами, и использовали при заклинаниях. Составить магический квадрат можно и для чисел от 1 до 9 существует 400000 разных расстановок. Универсального способа заполнения магических квадратов нет. С помощью подготовленных мной алгоритмов можно составить множество заданий на заполнение магических квадратов (приложение 6), а можно составить для себя магический талисман, учитывая важные для себя даты.

Мы изучили лишь небольшую часть способов составления магических квадратов, поэтому на этом мы не собираемся останавливаться. Есть еще много разных видов магических квадратов, которые мы хотели бы в дальнейшем изучать. Составление магических квадратов представляет собой отличную гимнастику для ума. Мы обязательно должны научить и других тому, что умеем сами. К тому же, теперь магические квадраты – это элементы нанотехнологии: фирма «Toshiba», разрабатывая качественные телевизионные экраны, пришла к выводу, что цветовые ячейки выгодно располагать по принципу магических квадратов. В этом случае резко повышаются качество и четкость изображений, цветовые переходы.

В наше время магические квадраты продолжа­ют привлекать к себе внимание не только специалистов, но и любителей математических игр и развлечений, но не среди моих сверстников. Надо развивать интерес к математике ставя перед учащимися достижимы цели для совершенствования мыслительной деятельности. За последнее столетие значительно возросло число книг по занимательной матема­тике, в которых содержатся головоломки и задачи, связанные с необычными квадратами. Для их успешного решения требуются не столько специ­альные знания, сколько смекалка и умение под­мечать числовые закономерности. Решение таких задач не только доставит удовольствие тем, кто интересуется математикой, но и послужит пре­красной «гимнастикой для ума». Разобраться во всем этом мне помогла математика.

Список используемой литературы

1.               В.В.Трошин  «Магия чисел и фигур»  ООО «Глобус» 2007

2.               А.П. Доморяд  Математические игры и развлечения Москва 1961

3.               www.krugosvet.ru . Энциклопедия Кругосвет

4.               ru.wikipedia.org›.  Википедия

5.               Энциклопедический словарь юного математика. — М.: Педагогика, 1989

6.               Гуревич Е. Я. «Тайна древнего талисмана» - М.: Наука, 1969 г.

7.               Постников M. М. «Магические квадраты» - М.: Наука, 1964 г.

Приложение 1

Приложение 2

Приложение 3

6	3			2			13
5	10			11			8
9	6			7			12
4	15			14			1

а)                                                                                          б)

Приложение 4

Приложение 5

Любите ли вы решать логические математические задачки?

Знаете ли вы что такое магический квадрат?

Отгадывали ли вы хоть раз кроссворд «Судоку»?

Приложение 6

Построить волшебные  квадраты 3х3, зная их магические константы   

    

           М = 42                                    М = 36                                   М = 33

Заполнить клетки волшебных квадратов, зная магическую константу

                            

1)                                           2)                                           3)

                  М = 24                                    М = 30                                   М = 27

Приложение 7