Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Исследовательская работа на тему "Математика в кубиках"

Исследовательская работа на тему "Математика в кубиках"



  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №3

С углубленным изучением отельных предметов »

Городского округа город Кумертау Республики Башкортостан





Учебно-исследовательская работа

По математике:

«Математика в кубиках»





Выполнил работу:

Клименко Олег Сергеевич,

Ученик 5б класса





Руководитель:

Клименко Олеся Александровна,

Учитель математики.



2016.

Оглавление.

Введение.

3.Детские кубики.

3.1Куб

3.2Развертка кубика рубика

3.3История кубика рубика

4.Виды кубика рубика.

5.Применение

5.1Модель оригами

5.2Арифметика на кубиках

5.3Задачи

Заключение

Список литературы

























1.Введение.

Как гордо звучит «Математика - царица наук». Почему же, к примеру, не создали Царя Наук, к примеру, какой-нибудь, урок Черчения, или еще что-нибудь в этом роде? Но ведь, на самом деле, в цифрах можно считать, писать, разве что душу цифрами не определишь. А в остальных науках обязательно требуется вычисление – неважно чего, важно, что именно математическое исчисление лежит в основе всех наук.

Посмотрите, мы все стараемся посчитать – сколько ступенек нам следует пройти, чтобы забраться наверх, сколько облаков плывет по небу, какое расстояние преодолеть, чтобы не попасть под машину, сколько соли положить в суп, чтобы он был не пересолен…

Без математики невозможно представить себе существование и развитие множества наук: химии и физики, экономики и бухгалтерии, информатики и программирования. Все они, как и множество других наук, основаны на расчетах и вычислениях, поэтому решение задач по математике можно отнести к основам образования.

Без математики невозможно представить себе существование и развитие человечества. Она повсюду, она вокруг нас, она рядом с нами.

Как только родится человек, так сразу его окружает мир математики: игрушечные пирамидки, круглые мячи, дома-параллелепипеды, деревянные кубики в руках малыша.

Я например, с детства любил кубики. Строил разные дома, башни, пирамидки. Придя в школу, я вдруг встретил задачи с кубиком, особенно на олимпиадах. Так появилась идея исследовательской работы на эту тему.

2. Цели и задачи.

Цель моей работы - выяснить, как можно использовать кубики в математике.

Задачи: Узнать историю кубиков.

Узнать какие виды кубиков существуют.

Применить кубики в математике.

3.Предпет исследования:

Кубик;

Кубик-рубика;

Куб.



























Детские кубики с буквами были изобретены в глубокой древности. Еще в I веке до нашей эры о них упомянул римский оратор Цицерон.hello_html_m6bd340b1.jpg

Пытаясь доказать, что всем на земле управляет воля бессмертных богов, он сказал в одной из своих речей: «Почему нам не вообразить, что если бросить на землю известное количество знаков, представляющих двадцать одну букву, то они могли бы упасть, приняв такой порядок, что образовали бы при чтении связный текст?»

Исследователи долго не могли понять, о чем же говорил знаменитый оратор древности. Однако в четвертом веке нашей эры известный церковный писатель и богослов Иероним написал трактат «О воспитании отроковицы». В нем помещен совет, как обучить маленькую девочку грамоте: «Нужно сделать ей буквы из дерева или из слоновой кости. Пусть играет с ними и играючи обучается; перемешивая буквы, она будет знать их не только по звуку, но и по виду».

Вот с каких древних пор существуют широко распространенные детские кубики.

3.1 Куб.

Куб — это фигура, которую мы встречаем не только на уроках геометрии и изобразительного искусства, но и в нашей повседневной жизни. Другое название куба — правильный гексаэдр. Кубом называется правильный многогранник, каждая грань которого является квадратом. Куб можно назвать объемным трехмерным или даже 3D квадратом. Куб имеет 8 вершин, 6 граней, 12 ребер:hello_html_417c166c.gif

Куб — это удивительная геометрическая фигура, в которую можно спрятать или вписать другие фигуры, например такие: октаэдр, тетраэдр, икосаэдр и др.

Неокуб - был придуман экономистом Крисом Редом. Неокубом заинтересовались даже учителя геометрии — им показалось удобным показывать трехмерные фигуры, сделанные из магнитов, своим ученикам. hello_html_1ced28e6.jpg







Куб или гексаэдр также называют кубом Неккера, назван он так в честь швейцарского кристаллографа Луиса Альберта Неккера. hello_html_m24da9793.pnghello_html_m5396fb3a.png

В 1832 году Неккер предложил иллюзию, вглядываясь в куб с гранями можно заметить, что маленькая черная точка появляется то на переднем, то на заднем плане, то в углу или в центре. Она перемещается из одного места в другое, как бы движется. Еще одна особенность куба Неккера в том что, его параллельные боковые ребра кажутся расходящимися. Можно перекрасить одну из граней в другой цвет, и посмотреть, как эта цветная грань фантастическим образом перемещается.



Еще один необычный куб — это куб художника Маурица Эшера. Это куб, который невозможен. hello_html_7e59c48.jpg

Еще одно интересное открытие, имеющее отношение к кубу, было сделано в 1966 году благодаря фотографу Чарльзу Ф. Кокрану. Он сделал фотографию, которую окрестили «сумасшедший ящик». Что же из себя представляет «сумасшедший ящик»? Это вывернутый наизнанку каркас фигуры гексаэдра (куба). «Сумасшедший ящик» основывается на неправильных соединениях, которые допустили при рисовании фигуры.

Куб всегда таил в себе много загадок — удивительно сложная и в тоже время удивительно простая геометрическая фигура, помогающая заглянуть в глубины сознания. Еще в древности Платон называл ее священной фигурой и относил к знаку Земли, потому что это самая устойчивая фигура из всех других. Куб является фигурой сакральной геометрии. Еще в 16 веке немецкий математик и астроном Иоганн Кеплер составил модель солнечной системы, в которую вписал куб

3.2 Развертка куба

Развёртка поверхности — фигура, получающаяся в плоскости при таком совмещении точек данной поверхности с этой плоскостью, при котором длины линий остаются неизменными. По-английски развертка поверхности - involute of s hello_html_4bebe1ed.png





3.3.История кубика рубика.hello_html_m2bcf1aea.png

Кубик-рубика: механическая головоломка, изобретённая в 1974 году (и запатентованная в 1975 году) венгерским скульптором и преподавателем архитектуры Эрнё Рубиком.

Головоломка представляет собой пластмассовый куб (форм-фактор в первоначальном варианте 3×3×3). Его видимые элементы снаружи выглядят как 54 грани малых кубиков, составляющих один большой куб, и способны вращаться вокруг 3 внутренних осей куба. Каждая грань состоит из девяти квадратов и окрашена в один из шести цветов, в одном из распространённых вариантов окраски расположенных парами друг напротив друга: красный — оранжевый, белый — жёлтый, синий — зелёный; но в различных вариантах кубика Рубика грани окрашиваются в разные цвета совершенно различным образом. Повороты граней позволяют переупорядочить цветные квадраты множеством различных способов. Задача игрока заключается в том, чтобы «собрать кубик Рубика»: поворачивая грани куба, вернуть его в первоначальное состояние, когда каждая из граней состоит из квадратов одного цвета.

Считается, что кубик Рубика — лидер среди игрушек по общему количеству продаж: по всему миру было продано порядка 350 млн кубиков Рубика, как оригинальных, так и различных аналогов. Интересный факт: если их поставить в ряд, то они протянутся почти от полюса до полюса Земли.

Название «Кубик Рубика» принято в большинстве языков мира, за исключением венгерского, немецкого, португальского и китайского, где распространённым осталось его первоначальное наименование

В середине 1970-ых Эрнё Рубик работал в отделе Дизайна интерьера в академии Прикладного искусства в Будапеште. Хотя сообщается, что первый кубик Рубика был построен как обучающий инструмент, чтобы помочь его студентам понять трехмерные объекты. Фактическая цель кубика Рубика заключалась в решении проблемы структурного перемещения независимых частей.hello_html_40cb5c80.jpg

Рубик понял, что создал головоломку, когда разобрав куб, попытался собрать его обратно. Позже, в 1975 году Рубик получил венгерский патент HU170062 для своего «Волшебного Куба». В отличие от куба Николса, куб Рубика было не так просто разобрать. Пластмассовые части кубика Рубика крепились не на магнитах. По причине сходства изобретений, в 1986 году апелляционный суд подтвердил, что карманный кубик Рубика 2×2×2 нарушал авторские права Николса.

Первые партии кубиков Рубика были выпущены в конце 1977 года для Будапештского магазина игрушек. В сентябре 1979 год был заключён договор с западной компанией Ideal toys. В феврале 1980 года головоломка Рубика дебютировала на ярмарках игрушек Лондона, Парижа, Нюрнберга и Нью-Йорка.

После международного признания головоломки, началось налаживание производства кубиков Рубика на Западе. Была создана новая облегченная версия кубика Рубика. Для новой головоломки рассматривалось множество вариантов названий: «Гордиев узел», «Золото Инков», но производящая компания, наконец, выбрала «Кубик Рубика». В связи с дефицитом кубов, появилось множество подделок.



Принцип игры в кубик Рубика не так сложен:

  • каждая грань кубика состоит из 9-ти частей, в свою очередь имеющих форму куба, грани окрашены в разные цвета;

  • все грани куба могут вращаться по кругу так, что перед началом игры цвета «перемешиваются»;

  • задача игрока — вращая грани кубика Рубика, вернуть его в исходное состояние так, чтобы на каждой из граней находились сегменты-кубы одного и того же цвета.

Классический вариант кубика Рубика предполагает, что каждая из его сторон состоит из девяти частей (3*3). Для детей такой вариант головоломки является довольно сложным — им лучше предлагать упрощенную «версию» кубика, каждая грань которого состоит только из 4 сегментов (2*2). Когда ребенок научится собирать такую головоломку, ему можно будет предложить и классический кубик Рубика.

Известная механическая головоломка с 4-мя сторонами разного цвета. Это предшественник кубика Рубика (появилась раньше!). Пирамидка представляет собой геометрическое тело тетраэдр. Как и кубик Рубика, она состоит из элементов, которые при повороте могут перемещаться со стороны на сторону, только роль кубиков здесь выполняют маленькие тетраэдры, из которых и сложен этот большой тетраэдр. Пирамидка похожа на кубика Рубика, однако значительно проще - меньше 1млн комбинаций. Каждый поворот - это вращение элементов вокруг одной из 4х осей головоломки на 120 градусов.

  • С момента появления в 1972г, продано более 90 миллионов экземпляров, что ставит Пирамидку на 2-место по популярности сразу за кубиком Рубика.

  • Посчитано, что из любого состояния Пирамидку можно собрать всего 12 поворотами (в теории!!). В реальности же, разобравшись и изучив схемы сборки, вполне реально научиться собирать Пирамидку не более чем за 20 поворотов.

  • Лицензионное качество Meffert's: виниловые наклейки, механизм с микро-фиксацией поворотов.

  • Не обязательно собирать Пирамидку по цветам, можно создавать красивые симметричные узоры из комбинации цветов.

4.Виды кубика рубика.

Мегаминкс

Головоломка в форме додекаэдра, похожая на кубик Рубика. Головоломка состоит из 62 видимых снаружи движущихся элементов, 50 из которых меняют своё местоположение друг относительно друга и 12-ти остальных — центров граней, тогда как в кубике таких перемещаемых частей всего 20 при 6 центрах граней. Существуют два основных исполнения мегаминкса: шестицветный и двенадцатицветный. В шестицветном исполнении противоположные грани мегаминкса окрашены в один и тот же цвет.hello_html_m27476994.jpg

Мировой рекорд скоростной сборки мегаминкса — 42,28 секунды — был установлен Вестлондом Саймоном на открытом чемпионате Дании по спидкубингу 2011 года.



hello_html_m767162e4.jpg



шестеренчатые

Головоломка, ставшая Игрушкой Года в 2010г по рейтингу фирменного магазина Meffert's.
Весь механизм, все шестеренки расположены на виду, что придает кубу крайне загадочный вид. Безусловно, головоломка напоминает кубик Рубика, хотя по
сложности она значительно проще. Конечно, шестеренки вносят свой вклад в особенности сборки, ведь тут потребуется целых 12 поворотов на 90º, чтобы провернуть весь кубик и вернуть в изначальное положение. В целом же, большинство поворотов этой головоломки потребуют вращения на 180°, ведь привычные по кубику Рубика повороты на 90º будут приводить Gear Cube в промежуточное состояние, не позволяющее вращать головоломку в других плоскостях. Так что для продолжения сборки потребуется завершить полный 180° поворот в выбранной плоскости.

Интересный факт: Первая версия головоломки, появившаяся в 2009г была названа Опасный Куб, т.к. в первоначальном механизме шестеренки были достаточно острыми, так что часто во время поворотов можно было прищемить палец. Современная версия абсолютно безопасна благодаря доработанному механизму и круглым зубьям шестеренок.




Зеркальный куб

Одной из последних модификаций кубика Рубика является Зеркальный Кубик Рубика, с размером массива 3х3х3, выполненный с зеркальными гранями, на каждой из которых квадраты разных размеров. Собирать такой куб сложнее ввиду его объемности — разобраный куб выглядит в виде нагромождения параллелепипедов различных размеров. Однако он подчиняется схемам сборки классического куба 3х3х3hello_html_mb302807.jpg





Кубик венеры

Головоломка потрясающего качества, к тому же интересная и как предмет дизайна. Тонкий извилистый узор на сторонах будто вырезан лазером, так плотно прилегают друг к другу элементы этого кубика 3х3. Да-да, в основе механизма именно идея кубика Рубика 3х3. Это взгляд современного изобретателя на классическую головоломку, суть которой была сохранена, но форма, механизм и даже впечатления от сборки здесь полностью уникальны!

Есть одна интересная особенность этой головоломки - её форма. Кубик Венеры, по правде говоря, не совсем куб, так как его стороны слегка выпуклые из-за чего получается более округлая форма, что-то среднее между кубом и шаром. Профессиональные головоломщики называют такую форму "pillow" (подушка). Когда держишь Кубик Венеры в руках, ощущается заметный вес, кажущийся неожиданно большим для достаточно компактной игрушки. Кубик Венеры - достойнейший экземпляр для коллекции головоломок!
hello_html_76f15718.jpg

Скьюб экстрим

Очень красивая и интересная головоломка с 10 цветами, расположенными на 30 сторонах! Название eXtreme игрушка получила не из-за повышенной сложности, а из-за узора в форме "Х" на сторонах собранной головоломки. По сложности Skewb eXtreme относится к среднему уровню.

Механизм головоломки заслуживает отдельного внимания. Для фиксации поворотов тут используются маленькие металлические шарики, которые защелкивают головоломку в нужном положении. Это создает очень приятное ощущение от кручения.

В отличии от кубика Рубика, у которого 6 цветов на 6 сторонах, у этой головоломки 10 цветов расположенных на 30 (!) плоскостях. Более крупные участки - это большие "Х", их всего 6 - по одной на каждой стороне. Еще 4 цвета распределены в боковых вырезах в форме "V", их всего 12 и на каждом вырезе 2 цветных плоскости.
Шестерёнки со сдвигомhello_html_75810bd5.jpg

Оригинальное название Gear Shift.
Без сомнения, эта головоломка произведет впечатление на любого человека, а для коллекционеров станет жемчужиной. Самая необычная и технически-совершенная механическая головоломка из тех, которые были придуманы со времен кубика Рубика.
hello_html_f2312a9.jpg


Восемь шестеренчатых элементов этой головоломки расположены по углам так, что поворот любого из них автоматически вращает все остальные элементы. Это полная неразбериха и царство хаоса, но ровно до тех пор, пока головоломка не покажет вам свой секрет - спрятанный во внутренней части механизм, позволяющей кубу раздвигаться в стороны, разъединяя зубья элементов. Два характерных щелчка и куб разделился на 2 половины, по 4 элемента-шестерни на каждой.  А теперь представьте, что раздвижной механизм работает поочередно во всех 3 плоскостях! Дальше - дело техники: создавая, вращая и меняя группы из 4 связанных шестеренок каждой из половинок, необходимо собрать каждый цвет на своей стороне.

Абсолютно волшебная головоломка!

Шестеренчатый шар

Эта головоломка основана на одной из самых ярких идей последнего времени - использовать свойства шестеренок в механических головоломках, подобных кубику Рубика. Шестеренчатый Шар получился крайне-интересным, очень подвижным и завораживающим. Ключ к решению - 6 центральных квадратов, определяющих цвет стороны. Эти квадраты единственные элементы головоломки, не сцепленные зубьями шестеренок. Все остальные элементы так или иначе задействованы в шестеренчатом механизме, полностью покрывающем всю поверхность головоломки. В результате, любой поворот механизма вызывает движение сразу на нескольких плоскостях шара, создавая хаос, которым тем не менее можно научиться управлять, "прикатывая" зубчатые элементы к квадрату соответствующего цвета. Задача - собрать каждый из 6 цветов на своей стороне, научившись справляться с упрямыми шестеренками! hello_html_39ce8e8a.jpg



Пустой кубик рубика

Интересная вариация на тему классического кубика Рубика 3х3. Только вместо механизма у этой головоломки буквально ничего нет, пустота. Удивительно, как много интересных идей было предложено изобретателями вдохновленными действительно гениальной головоломкой Эрно Рубика. Войд - это тот же кубик Рубика, но без центральных элементов, которые как известно, определяют цвет стороны при сборке. Эта игрушка озадачит и тех кто уже умеет собирать, и тех кто так и не освоил схему сборки кубика Рубика.  VOID появился благодаря сотрудничеству бренда Rubik's с японскими изобретателями, придумавшими уникальный механизм без центра, позволяющий реализовать все необходимые головоломки вращения. Современные технологии проектирования и производства обеспечили игрушке превосходное качество, а главное - признание и любовь поклонников механических головоломок. Кубик Рубика 3х3 VOID - действительно достойный экземпляр для любой коллекции и конечно же замечательный подарок!

Это
Пустой Кубик Рубика! Сквозь сложности - к победе!

hello_html_m53a2cd2f.jpg





Башня рубика

Головоломка-трансформер с формулой 2х2х4 - крутится во всех плоскостях, по принципу кубика Рубика, но с гораздо более сложным и необычным механизмом! Впервые появилась в Японии и сразу же была с восторгом встречена любителями головоломок и необычных вещей во всем мире. Помимо классической задачи собрать игрушку по цветам, существует возможность упростить задачу и просто создавать причудливые формы.
hello_html_m5259d61b.jpg





5.Применение.

5.1.Модель оригами.



Оригами — древнее искусство складывания

из бумаги различных фигурок. С детства нам знакомы бумажные

лодочки и самолетики, из газет мы мастерили шляпы и кепки, за-

щищающие голову от солнечных лучей, – все это можно считать

оригами.

При складывании сложных фигур процесс превращается в на-

стоящую загадку. Примером такой конструкции является бумаж-

ная модель, напоминающая популярную головоломку — кубик

Рубика.

Изготовили ее пятиклассники средней школы № 7 донской ста-

ницы Егорлыкская под руководством учителя черчения Н.В. Чер-

никовой на занятиях кружка «Умелые руки». На выставочном

стенде кружка много красивых фигур оригами. Познакомившись

с этой коллекцией, я предложил им сделать оригами «Кубик Руби-

ка». Вот что у них получилось.

Фигуры классического оригами складываются из квадратного

листа бумаги с помощью изгибов-перегибов, без клея и разрезов

бумаги. Одной из разновидностей оригами является модульное

оригами. Фигуры модульного оригами собираются из заранее под-

готовленных одинаковых частей-модулей, которые вставляются

друг в друга и не распадаются, удерживаясь за счет трения.

Оригами «Кубик Рубика» сделан именно в этой технике. Каж-

дый модуль складывается по правилам классического оригами из

одного квадратного листа бумаги. Как изготовить модуль, показа-

но ниже на четырех фото. Квадратный лист двумя перегибами во-

внутрь делится на три равные части (фото 2), затем обе крайние

части заготовки внешним перегибанием делятся пополам (фото 3).

Полученная фигура двумя перегибами поперек снова делится на

три равные части, концы заготовки заворачиваются вовнутрь.

Получился П-образный модуль, назовем его «скобкой» (фото

4). Скобка содержит два кармана и имеет две ножки. Для нашей

головоломки нужно подготовить 162 таких модуля: 108 из белой

бумаги и 54 из цветной бумаги, по 9 штук каждого из шести цветов

граней кубика Рубика.

hello_html_55523401.png

Далее нужно изготовить 27 кубиков. Каждый кубик складыва-

ется из шести модулей-скобок. Подробно описывать не стану, ска-

жу лишь, что ножки каждого модуля вставляются в карманы двух



5.2. арифметика

на кубиках

Ведущий рубрики — Николай иванович авилов —

на фоне своей коллекции головоломок

Перед вами головоломка «Арифметика на

кубиках». Фабричный вариант головоломки из красных кубиков

выпускался в Советском Союзе в 80-х годах прошлого века. Из бе-

лых кубиков представлен самодельный вариант.

Эту простую в изготовлении и вместе с тем интересную комби-

наторную головоломку я обнаружил в книге «В мире головоло-

мок», которую издал Владимир Павлович Жуков.

Головоломка состоит из пяти кубиков: три кубика с числами

(1, 2, 3 и 4), обозначенными точками; один кубик со знаками дей-

ствий («+», «–», «Ч» и «:») и один кубик с четырьмя знаками «=».

Две противоположные грани каждого кубика не имеют символов:

через центры этих граней просверлены сквозные отверстия. Куби-

ки насажены на общую ось и могут вращаться на ней, кроме того,

кубики с числами можно менять местами. Задача играющего: пу-

тем вращения и перестановок кубиков сложить параллелепипед

1 Ч 1 Ч 5 так, чтобы на каждой его боковой грани получить верное

числовое равенство. Нетрудно посчитать, что головоломка имеет

83ж6 = 3072 состояний и только два из них дают по четыре верных

равенства. Кто придумал эту головоломку, мне неизвестно.

Конечно, сейчас не купить такую головоломку, но ее можно сде-

лать самому. Для этого запаситесь пятью кубиками и просверлите

в каждом из них сквозное отверстие через центры противополож-

ных граней. Далее кубики можно насадить на проволочную или

деревянную ось, а лучше подготовить две короткие оси и насадить

на одну из них кубик со знаками действий, на другую — кубик

со знаками «=» так, чтобы ось выглядывала из каждого кубика.

Тогда проще будет соединять кубики в параллелепипед и манипу-

лировать кубиками, переставляя их с одной позиции на другую,

и вместе с тем легко вращать каждый кубик, подбирая нужную

комбинацию чисел и знаков. Символы нужно нарисовать соглас-

но предложенной схеме.

Скажу несколько слов об авторе сборника головоломок. Влади-

мир Павлович Жуков живет в подмосковном городе Истра. В его

коллекции более тысячи головоломок, которые он не «держит под

замком», а непременно предлагает своим гостям познакомиться с

этими умными игрушками.

В основу его книги положены фотографии и описание голово-

ломок из его коллекции, а также заметки из газет и журналов со-

ветского времени, публиковавших материалы о головоломках.

Книга объемом 358 страниц формата А4 была издана в 1993 году

сразу после распада СССР и представляет собой фактически энци-

клопедию головоломок, выпускавшихся в Советском Союзе.

Книга уникальна во многом, в том числе и тиражом. Автор са-

мостоятельно изготовил 99 экземпляров этой удивительной кни-

ги. Понятно, что она является библиографической редкостью.

Я очень рад, что один экземпляр этой книги подарен мне ав-

тором. hello_html_m76e89d54.png







5.3.задачи с кубом

 hello_html_495dfbd6.gif

Рисунок 34.

Задача № 28. Все грани кубика окрашены в разные цвета, причем каждая грань окрашена одним цветом. Если на этот кубик смотреть с одной стороны, то видны голубая, желтая и белая грани. С другой стороны видны черная, голубая и красная грани. С третьей стороны видны зеленая, черная и белая грани. Какая грань расположена против белой?

Ответ. Против белой грани расположена красная грань.

Задача № 29. Сколько кубиков использовано для построения башни (рис. 35)?

 hello_html_a142c22.gif

Рисунок 35.

Ответ. а) 28; б) 44.

Задача № 30. Сколько кубиков нужно, чтобы сложить такую фигуру (рис. 36)?

Ответ. 106 кубиков.

 hello_html_34cd7fdb.gif

Рисунок 36.

Задача № 31. На рис. 37а изображены четыре куба. Они окрашены по-разному, но при этом у каждого из них противоположные грани имеют одинаковый цвет. Из этих кубиков построили фигуры "пьедестал" и потом параллелепипед. Строили так, чтобы соприкасающиеся грани кубиков были одинакового цвета. Закончите раскраску фигур на рис. 37б,в и укажите номера кубиков.

 hello_html_m6878030d.gif

Рисунок 37.

Ответ. Рис. 38.

hello_html_m5aea0b64.gif

Рисунок 38.

Задача № 32. Путешествие мухи. Муха, отправляясь из точки А, может обойти четыре стороны основания куба за 4 мин. За какое время она доберется из А в противоположную вершину В (рис. 39а).

 hello_html_m4544604.gif

Рисунок 39.

Ответ. Умная муха избрала бы путь, отмеченный на рис. 39б сплошной линией, на его преодоление уйдет 2,236 мин. Путь, отмеченный пунктирной линией, длиннее, и на него уйдет больше времени.

Задача № 33. Большой кубик склеен из маленьких деревянных кубиков. В нем просверлили 6 сквозных отверстий, параллельных ребрам (рис. 40). Сколько маленьких кубиков осталось не поврежденными?

 hello_html_m23eb7735.gif

Рисунок 40.

Ответ. 44 кубика.

Задача № 34. У меня есть кусок сыра в форме куба. Как мне следует провести один прямой разрез ножом, чтобы две новые грани оказались правильными шестиугольниками? Разумеется, если мы разрежем сыр в направлении пунктирной линии на рис. 41а, то получим два квадрата. Попробуйте получить шестиугольники.

Ответ. Отметьте середины ребер BC, CH, HE, EF, FG и GB. Затем, начиная сверху, проведите разрез вдоль плоскости, обозначенной пунктирной линией (рис. 41б). Тогда каждая из двух новых поверхностей окажется правильным шестиугольником, а правый кусок будет выглядеть примерно так, как показано на рис. 41в.

hello_html_m41ee3dac.gif

Рисунок 41.

Задача № 35. Рекламное агентство направило эти рисунки заказчику - производителю упаковки. Ему предложили решить, какой цвет должен быть на той стороне упаковки, которая находится напротив желтой стороны на рис. 42 В. На следующий день заказчик позвонил. Какой вопрос он задал?

 hello_html_md69dbd7.gif

Рисунок 42.

Ответ. Он спросил: "Здесь ошибка или вы намеренно повторили желтый цвет?" Полная схема изображена на рис. 43.

hello_html_m25fa3d10.gif

Рисунок 43.

Задача № 36. На этих архитектурных макетах каждый куб является отдельной квартирой (рис. 44). Контракт на строительство достанется тому архитектору, на макете которого больше квартир. Какой из макетов отвечает этому требованию?

 hello_html_e988c2c.gif

Рисунок 44.

Ответ. Этому требованию отвечает макет здания А; в этом здании 80 квартир, а в здании Б - всего 79.

Задача № 37. Стала классической легенда, связанная с задачей об удвоении поверхности куба. Филопон рассказывает, как афиняне, напуганные эпидемией чумы 432 г. до н. э., обратились за советом к Платону. Но прежде чем прийти к великому философу, они воззвали к Аполлону, который устами Дельфийского оракула повелел им вдвое увеличить размеры золотого алтаря в своем храме. Однако афиняне оказались неспособными это сделать. Платон сказал, что несчастье постигло их из-за злостного пренебрежения возвышенной наукой геометрией, и посетовал, что среди них не нашлось ни одного человека, достаточно мудрого, чтобы решить эту задачу.

Задача Дельфийского оракула, где речь идет просто об удвоении куба, так тесно связана с задачей о кубах Платона, что не слишком искушенные в математике авторы их часто путают. Последнюю задачу называют также задачей о геометрических числах Платона, утверждая обычно, что об истинных ее условиях почти ничего не известно. Некоторые считают, даже, что ее условия утеряны.

Существует древнее описание массивного куба, воздвигнутого в центре выложенной плитами площадки, и не требуется большого воображения, чтобы связать этот монумент с задачей Платона. На рисунке 45 вы видите Платона, созерцающего такой массивный мраморный куб, который сложен из некоторого числа меньших кубов. Монумент возвышается в центре квадратной площадки, выложенной такими же малыми мраморными кубами.

 hello_html_19ce0b19.gif

Рисунок 45.

Число кубов в площадке и в монументе одинаково. Скажите, сколько кубов требуется, чтобы построить монумент и квадратную площадку, и вы решите великую задачу о геометрических числах Платона.

Ответ. В задаче нужно найти число, которое, будучи возведенным в куб, даст точный квадрат. Так происходит, оказывается, с любым числом, которое само является квадратом. Наименьший квадрат (если не считать 1) равен 4, так что монумент мог содержать 64 малых куба (4 * 4 * 4) и стоять в центре квадрата 8 * 8. Конечно, это не согласуется с пропорциями, приведенными на рисунке. Поэтому мы испробуем следующий квадрат, 9, что приводит к монументу из 729 кубов, стоящему на квадрате 27 * 27. Это и есть правильный ответ, ибо только он согласуется с рисунком.

Задача № 38. На Востоке искусство смешивания различных сортов чая не пренебрегает миллионными долями унции! Говорят, секреты некоторых смесей сохранялись в глубокой тайне и веками их не удавалось повторить.

Дабы проиллюстрировать, сколь сложно проникнуть в тайну искусства смешивания чая, мы предлагаем вашему вниманию одну простую задачу, где смешиваются только два сорта.

Составитель смесей получил два ящика чая. Оба они были кубической формы, но имели разные размеры. В большем ящике находился черный чай, а в меньшем - зеленый. Смешав содержимое этих ящиков, человек обнаружил, что полученной смесью удалось заполнить ровно 22 коробки кубической формы и одинакового размера. Допустим, что внутренние размеры коробок выражаются конечной десятичной дробью. Сумеете ли вы определить, в какой пропорции в данную смесь входили черный и зеленый чай? Другими словами, найдите два различных рациональных числа, таких, чтобы при сложении их кубов получился результат, который после деления на 22 и последующего извлечения кубического корня привел бы тоже к рациональному числу.

Ответ. У куба с ребром в 17, 299 дюйма и у куба с ребром в 25,469 дюйма суммарный объем (21697,794418608 кубического дюйма) в точности равен суммарному объему 22 кубов с ребром в 9, 954 дюйма каждый. Следовательно, зеленый и черный чай были смешаны в пропорции (17299)3 к (25469)3.

Куб размером 1 м3 распи-лили на кубические сантиметры и выложили в цепочку. Какой она длины?

hello_html_6c824e3a.gif



Игральные кубики имеют важное значение в жизни маленького ребенка. Но их роль не снижается и в период обучения в школе, в частности, при изучении математики. Надо всегда помнить, что ученик, школьник - это, прежде всего, ребенок. Он, как губка, впитывает всю информацию из окружающего мира. Всегда можно найти ситуации или создать условия, которые смогут послужить толчком к глубоким размышлениям, к творческой и исследовательской деятельности школьника. "Чтобы натолкнуть ребенка на специфические идеи, нужны и специфические средства. Нельзя рассчитывать на то, что одно только наблюдение случайных событий позволит детям открыть вероятностные законы; необходимо вводить элементы соревнования, занятия должны быть увлекательны и возбуждать естественную любознательность ребенка, сталкивать его с действительностью, а также опровергать ложные идеи", - считают Глеман М. и Варга Т. [8, с. 9]. И с ними нельзя не согласиться.

Задачи играют огромную роль в жизни человека. Задачи, которые ставит перед собой человек, и задачи, которые ставят перед ним другие люди и обстоятельства жизни, направляют всю его деятельность всю его жизнь. Известный русский методист В.А. Евтушевский так охарактеризовал функции задач в обучении: "Задачи, предлагаемые в классе, заключают в себе живой материал для упражнения мышления ученика, для вывода математических правил и для упражнения в приложении этих правил в решении частных практических вопросов" [16, с. 3].

Представленные занимательные задачи с кубиками разнообразны, так как можно выделить кубики, на гранях которых изображены цифры, буквы, рисунки, цветовая гамма. Такие задачи применимы для детей широкой возрастной категории на различных этапах урока математики, во внеклассной работе. Все они способствуют:

  • обучению чтению графической информации, изображения геометрических объектов;

  • развитию пространственного воображения;

  • формированию умений мысленно представлять различные положения предмета и изменения его положения в зависимости от разных точек отсчета и умения зафиксировать это представление на изображении;

  • обучению логическим обоснованиям геометрических фактов;

  • развитию конструкторских способностей, моделированию;

  • развитию познавательных процессов: восприятия, внимания, памяти, мышления;

  • развитию исследовательских навыков.

Занимательные задачи с игральными кубиками привлекут внимание детей и сделают интерес к математике достаточно стойким, помогут овладеть математическими умениями не только сильным ученикам, но и тем, для которых данный школьный предмет является наиболее сложным.

Задачи.

Задача № 1. Занумеруйте 8 вершин кубика порядковыми числами (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8) так, чтобы сумма номеров на каждой из шести его граней оказалась одинаковой (рис. 1а).

Ответ. Каждая вершина кубика принадлежит трем граням, поэтому сумму 1 + 2 + : + 8 следует умножить на 3, затем разделить на 6 (на число граней), получится 18 - сумма номеров на каждой грани (рис. 1б).

hello_html_63f0805f.gif

Рисунок 1.

Задача № 2. Можно ли "занумеровать" все ребра целыми числами так, чтобы суммы номеров ребер, сходящихся в каждой вершине, были одинаковыми, если это числа: а) 1; 2; :; 12; б) -6; -5; :; -1; 1; 2; :; 6?

Ответ.

а) Нет. Предположим, что это возможно и сумма номеров ребер, сходящихся в каждой вершине, равна х. Тогда сумма чисел на всех восьми ребрах куба равна 8х. С другой стороны, так как каждый номер вошел в эту сумму дважды, то эта же сумма равна: (1 + 2 + : + 11 + 12) 2 = (1 + 12) 12 = 156. Уравнение 8х = 156 в целых числах решения не имеет, поэтому наше предположение неверно.

б) Да. Сумма номеров ребер, сходящихся в каждой вершине равна 0 (рис. 2).

 hello_html_m331559c8.gif

Рисунок 2.

Задача № 3. На рис. 3 изображена фигура, являющаяся разверткой куба. Тонкие линии - это линии сгиба. Мысленно сверните куб из развертки. Определите, какая грань является верхней, если закрашенная грань - нижняя.

hello_html_m6ef92532.gif 

Рисунок 3.

Ответ. "в".

Задача № 4. На гранях непрозрачного кубика написаны буквы так, как показано на рис. 4а. Кубик подбросили, и он упал так, что одна из букв стала располагаться, как показано на рис. 4б. Нанесите на остальные грани кубика соответствующие буквы (они могут оказаться повернутыми). Проверьте свой ответ с помощью модели куба.

 hello_html_5d7be97c.gif

Рисунок 4.

Ответ. Рис. 4в.

Задача № 5. Мысленно сверните куб из каждой развертки данной на рис. 5 и определите, какая грань является верхней, если нижняя грань заштрихована.

Ответ. а) Г, б) Б, в) Д, г) В.

 hello_html_20ed9b5.gif

Рисунок 5.

Задача № 6. Все кубики на рис. 6а одинаковы. Перечертите развертку одного из кубиков (рис. 6б) и нанесите не нее недостающие буквы.

 hello_html_673b045d.gif

Рисунок 6.

Ответ. Рис. 6в.

Задача № 7. Подбросили кубик (рис. 7а) так, что он упал, как показано на рис. 7б заполните пустые видимые грани куба.

Ответ. Рис. 7в.

 hello_html_639caaa7.gif

Рисунок 7.

Задача № 8. В нужном месте лицевой стороны развертки куба запишите в правильном расположении буквы Г и Р (рис. 8).

 hello_html_249683b2.gif

Рисунок 8.

Ответ. Рис. 9.

 hello_html_mfacf334.gif

Рисунок 9.

Задача № 9. Рассматривая каркас куба сначала спереди (вид А), затем слева (вид В) и, наконец, сверху (вид С), прочитайте слово, образованное жирными линиями (рис. 10).

Ответ. 1) БОР, 2) ЕЛЬ, 3) БЕС.

hello_html_5b4ca7d1.gif

Рисунок 10.

Задача № 10. На рис. 11 изображена фигура, являющаяся разверткой куба (тонкие линии - это линии сгиба). Какие точки совместятся с точкой А при склеивании развертки, изображенной на рисунке?

 hello_html_m6d85d5af.gif

Рисунок 11.

Ответ. М, H.

Задача № 11. Правильно изобразив сдвинутые между собой три прямоугольные проекции кубиков с буквами, прочтите русскую народную мудрость (рис. 12а).

Ответ. Леность - мать пороков (рис. 12б).

 hello_html_36a126d4.gif

Рисунок 12.

Задача № 12. Из картона склеен кубик, на гранях которого нанесены буквы. На рис. 13а дан один вариант развертки этого кубика с изображением букв на его гранях.

 hello_html_149b75c.gif

Рисунок 13.

Нанесите буквы на пустые грани другого варианта развертки этого кубика (рис. 13б-г).

Ответ. Рис. 14.

 hello_html_m1261d04f.gif

Рисунок 14.

Задача № 13. Если вы догадаетесь, как расположить буквы на кубиках (на передних гранях), то буквы на верхних гранях составят новое слово (рис. 15).

Ответ. KITTEN - MONKEY.

 hello_html_2e5bada8.gif

Рисунок 15.

Задача № 14. Из фигур, изображенных на рис. 16, выберите те, которые являются разверстками кубика. Выделите их цветом. Перерисуйте данные изображения, вырежьте их и проверьте свой выбор.

 hello_html_m2fb23156.gif

Рисунок 16.

Ответ. "а", "б", "г", "д", "е", "ж".

Задача № 15. Какой из кубиков, изображенных на рисунках 17б-з, можно склеить из разверстки (рис. 17а)?

 hello_html_991c866.gif

Рисунок 17.

Ответ. "е".

Задача № 16. На рис. 18 вы видите три детских кубика. Все они повернуты к нам одним и тем же рисунком - елочкой. Укажите, какие картинки мы увидим на каждом из кубиков, взглянув на них сверху, учитывая развертку кубика.

 hello_html_m1abc09c6.gif

Рисунок 18.

Ответ. а) мяч, б) лист, в) тучка.

Задача № 17. Укажите раскраску граней куба на развертке, изображенной на рис. 19а-б, если на рис. 19в-д куб представлен в трех различных положениях.

 hello_html_m26c1804e.gif

Рисунок 19.

Ответ. Рис. 20.

 hello_html_m48d5d0bb.gif

Рисунок 20.

Задача № 18. Грани кубика окрашены так, как показано на рис. 21. Кубик подбросили. Он упал так, что передней гранью стала прозрачная грань. Раскрасьте в соответствующие цвета остальные грани кубика (рис. 21). Рассмотрите всевозможные варианты. Сделайте необходимую развертку. Вырежьте ее и проверьте свой ответ.

 hello_html_m3a6e737c.gif

Рисунок 21.

Ответ. Рис. 22.

 hello_html_31953d04.gif

Рисунок 22.

Задача № 19. Из разноцветных кубиков сложили игрушку (рис. 23а). Раскрасьте кубики, если красный находится между синим и желтым, а желтый расположен под зеленым.

 hello_html_116999d8.gif

Рисунок 23.

Ответ. Рис. 23б.

Задача № 20. Покрасьте максимальное количество вершин куба в красный цвет так, чтобы среди красных вершин нельзя было выбрать три, образующие равносторонний треугольник.

Ответ. Максимальное возможное количество красных вершин равно четырем. Докажем это.

Покрасить четыре вершины возможно. Например, можно покрасить четыре вершины одной грани. В этом случае красные вершины образуют квадрат и среди них нет трех, образующих равносторонний треугольник.

Докажем, что покрасить пять вершин куба, удовлетворяющих условию, невозможно. Покрасим четыре вершины куба в синий цвет, а оставшиеся - в зеленый (рис. 24). Заметим, что между любыми двумя вершинами одного цвета одинаковое расстояние. Пусть мы смогли перекрасить пять вершин в красный цвет. Тогда какие-то три из них были покрашены в один цвет. Следовательно, они и образуют равносторонний треугольник.

 hello_html_73c6d59c.gif

Рисунок 24.

Задача № 21. На гранях кубика изображены такие фигуры, как на рис. 25а. Кубик последовательно перекатывают с грани на грань, как показано на рис. 25б. Какие фигуры должны располагаться на верхней и правой боковой гранях последнего изображения кубика?

 hello_html_648ac94b.gif

Рисунок 25.

Ответ. На верхней грани - круг, на правой боковой грани - квадрат.

Задача № 22. Белый куб, ребро которого равно 3 см, окрасили синей краской, а затем распилили на кубики с ребром, длиной 1 см. Сколько среди них имеют одну окрашенную грань, две окрашенные грани, три окрашенные грани? Есть ли куб с неокрашенными гранями?

Ответ. Имеют одну окрашенную грань - 6 кубиков, две окрашенные грани - 12 кубиков, три окрашенные грани - 8 кубиков, куб с неокрашенными гранями - 1 кубик.

Задача № 23. Два куба, противоположные грани которых окрашены в один цвет, соединили вместе разными способами. Некоторые грани кубов забыли раскрасить. Раскрасьте их в соответствующие цвета (рис. 26).

 hello_html_m3d16363f.gif

Рисунок 26.

Ответ. Рис. 27.

hello_html_64f954c7.gif 

Рисунок 27.

Задача № 24. После того, как развертка будет сложена в кубик, какой из приведенных ниже кубик получится (рис. 28)? (Не обращайте внимания на расположение рисунков).

Ответ. "г".

 hello_html_m269bb037.gif

Рисунок 28.

Задача № 25. Какой из кубиков склеен из данной развертки (рис. 29)?

Ответ. "А".

 hello_html_74be6347.gif

Рисунок 29.

Задача № 26. Найдите объединение трех частей куба, стоящих слева от знаков равенства (рис. 30а,б), и нарисуйте его справа от знаков равенства так, как показано на примере (рис. 31).

 hello_html_m287562ff.gif

Рисунок 30.

hello_html_m1b726c89.gif

Рисунок 31.

Ответ. Рис. 32.

 hello_html_m749891a9.gif

Рисунок 32.

Задача № 27. Каждая из фигур, изображенных слева от знаков равенства (рис. 33), является объединением двух частей куба, получаемых при его разрезании плоскостью, проходящей через центр. Восстановите эти части, изобразив ответ в виде, аналогичном предыдущему заданию.

 hello_html_6dc8e59c.gif

Рисунок 33.

Ответ. Рис. 34.





5.4.Задачи с кубиком рубика.

У целого кубика рубика 8 вершин.
Представьте, что у вас кубик китайский, и одна вершина отвалилась.

Сколько вершин осталось у кубика рубика?

Вместо одной вершины станет 7.
Поэтому у кубика рубика останется 8-1+7=14 вершин.

Сколько различных положений может занять кубик Рубика после N шагов? Шагом считаем поворот одной грани на 90 градусов по часовой или против часовой стрелки.

Задача 2. Можно ли нарисовать на поверхности кубика Рубика замкнутый путь, который проходит через каждый квадратик ровно один раз? (через вершины квадратиков путь не проходит).

Представьте себе деревянный куб со сторонами 30 см, вся поверхность которого окрашена в один красный цвет. Вопросы:
1) Сколько потребуется разрезов, чтобы разделить куб на кубики со стороной 10 см?
2) Сколько получится таких кубиков?
3) Сколько кубиков будут иметь по 4 окрашенные грани?
4) Сколько кубиков будут иметь по 3 окрашенные грани?
5) Сколько кубиков будут иметь по 2 окрашенные грани?
6) Сколько кубиков будут иметь по 1 окрашенной грани?
7) Сколько кубиков будет неокрашенными?

Ответ: 1) шесть разрезов;
2) 27 кубиков;
3) ни одного;
4) восемь - столько, сколько вершин у куба;
5) двенадцать - столько, сколько ребер у куба;
6) шесть - столько, сколько граней у куба;
7) один

Куб, поверхность которого окрашена, распилили на 27 одинаковых по размеру кубиков.

Сколько получилось при этом кубиков, окрашенных с трех сторон? С двух сторон? С одной стороны? Сколько кубиков вообще неокрашенных?

Ответ: 9, 12, 6 и 1.

Решение

С трех сторон окрашены кубики, примыкающие к вершинам куба, и только они. Значит, их количество равно 8.

С двух сторон окрашены кубики, примыкающие к серединам ребер и только они. Значит их число равно числу ребер, то есть 12. С одной стороны окрашены лишь центральные кубики каждой из 6 граней, их число равно 6. Наконец, ровно один кубик не окрашен – это внутренний центральный кубик исходного куба.

Кубик рубика с ребром 20 см. разобрали на кубики с ребром 2 см. и выложили в сплошной ряд. Чему равна длина этого ряда?



Пример 6. Бросаем игральную кость. Какова вероятность, что выпадет четное число?

Всего исходов: 6, по числу граней.
Благоприятных: 3 исхода. (2, 4, 6)
Вероятность: 3/6=0,5

Пример 7. Бросаем две игральные кости. Какова вероятность, что в сумме выпадет 10? (округлить до сотых)

Для одного кубика 6 возможных исходов. Значит, для двух, по вышеупомянутому правилу, 6·6=36.
Какие исходы будут благоприятными для того, чтоб в сумме выпало 10?
10 надо разложить на сумму двух чисел от 1 до 6. Это можно сделать двумя способами: 10=6+4 и 10=5+5. Значит, для кубиков возможны варианты:
(6 на первом и 4 на втором)
(4 на первом и 6 на втором)
(5 на первом и 5 на втором)
Итого, 3 варианта. Искомая вероятность: 3/36=1/12=0,08
Ответ: 0,08

*На гранях кубика расставлены числа от 1 до 6. Кубик бросили два раза. В первый раз сумма чисел на четырех боковых гранях оказалась равна 12, во второй - 15. Какое число написано на грани, противоположной той, где написана цифра 3?

*Тамара кладет свои строительные кубики на весы. (Кубики разного цвета имеют разный вес).

Сначала она кладет красный и голубой кубик с одной стороны, а зеленый и желтый - с другой стороны,

и они находятся в равновесии.

Затем она меняет местами голубой и зеленый, и тогда желтый и голубой вместе становятся тяжелее красного и зеленого.

Окончательно, она установила, что зеленый и голубой вместе тяжелее, чем красный и желтый.

Какой цвет имеет самый тяжелый кубик ?

* Какое число зашифровано?

hello_html_256c1726.png





hello_html_m2479f34d.png

hello_html_m723183c0.png

hello_html_m5f90ade0.png



hello_html_2a0c5821.png

hello_html_m72eb90d3.png



hello_html_5af523f4.png



* Все восемь кубиков совершенно одинаковы. Сообразите, как расположить буквы на чертеже развертки кубика, и какие буквы в основании трех нижних кубиков.

hello_html_m5156421d.jpg

hello_html_102455fb.jpg

Ответ

В основании трех нижних кубиков расположена буква E

hello_html_5d030323.jpg




Задача 3. Сколько кубиков без окраски ?

Ребро куба равно 4 дм. Мы покрасили каждую грань куба в желтый цвет.hello_html_m16000fb.gif

А затем разрезали куб на 64 маленьких кубика с ребром в 1 дм.

Сколько у нас кубиков :

- без единой окрашенной грани ?
- с одной желтой гранью?
- с тремя желтыми гранями ?

(a) 16; 22; 4.  (b) 4; 28; 12.  (c) 12; 6; 8.  (d) 8; 24; 8. 
В каждом ответе указано количество кубиков : первое число - неокрашенных, второе число - с 1-ой желтой гранью, третье число - с 3-мя желтыми гранями.



Пример 1

Развертка какого кубика приведена слева?
Сложность hello_html_586ab617.gifhello_html_586ab617.gifhello_html_m6b940ca8.gifhello_html_m6b940ca8.gifhello_html_m6b940ca8.gif

hello_html_m72dcad.gif



ответ hello_html_m1c91ab6c.gif



Пример 2

Кубики выведены по парам. Какая из пар правильная?
Сложность hello_html_586ab617.gifhello_html_586ab617.gifhello_html_m6b940ca8.gifhello_html_m6b940ca8.gifhello_html_m6b940ca8.gif

hello_html_1cb161f.gif





ответ hello_html_m3e7cda0d.gif





hello_html_ma4aafe9.gif



ответ hello_html_m416688ea.gif





Пример 4

Противоположная задача. Есть четыре кубика, все правильные и повернутые на разный угол (причем так, чтобы весь кубик был виден со всех граней). Нужно правильно нарисовать его развертку.
Сложность hello_html_586ab617.gifhello_html_586ab617.gifhello_html_m6b940ca8.gifhello_html_m6b940ca8.gifhello_html_m6b940ca8.gif

hello_html_4edc1220.gif



ответ hello_html_m40b92f56.gif




Автор
Дата добавления 22.11.2016
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров270
Номер материала ДБ-379903
Получить свидетельство о публикации

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх