Исследовательская работа по математике "Число Пи" 6 класс

Оглавление

Введение…………………………………………………………………………………………..с. 3

Основная часть…………………………………………………………………………………..с. 4

Глава 1. Теоретическая часть.

1.1. История числа π………………………………………………………………………с. 4

1.2. Необычные факты о числе π…………………………………………………………с. 5

1.3.Роль числа π в жизни человека……………………………………………………….с. 6

Глава 2. Практическая часть.

2.1. Анкетирование учащихся о числе π………………………………………………....с. 8

2.2. Вычисление приближенного значения отношения длины окружности к длине ее диаметра у разных предметов круглой формы……………………………………….с. 9

Заключение………………………………………………………………………………………..с. 10

Список литературы………………………………………………………………………………с. 11

Приложения……………………………………………………………………………………….с. 12

Введение

На уроках математики при выполнении практической работы, мы определяли отношение длины окружности к её диаметру, проделав операции с несколькими окружностями, получили число, примерно равное 3,14. Так мы познакомились с необычным числом π. У меня возник вопрос: «А только ли на уроках математики можно найти применение числу π?»

Проблема: какую роль играет число π в жизни человека?

Актуальность и новизна

Пожалуй, в мире нет загадочней и интересней чисел, чем число π с его знаменитым никогда не кончающимся числовым рядом. Это число не давало покоя всем ученым, особенно математикам.  Именно в этой области не могут обойтись без законов великолепного числа π. С этим числом связано много других интересных фактов, поэтому оно вызывает интерес к изучению.  Знаете ли вы, что эта обыкновенная, на первый взгляд, буква намного интереснее при ближайшем рассмотрении и изучении, имеет свою историю, и даже имеет свой праздник? 

Тема работы: «Определение роли числа π в жизни человека».

Цель работы: выявление роли числа π в жизни человека.

Задачи:

1)      изучить историю возникновения числа π;

2)      найти необычные факты о числе π;

3)      выявить роль числа π в жизни человека;

4)      определить уровень знаний учащихся о числе π и вычислить приближенное значение отношения длины окружности к длине ее диаметра у разных предметов круглой формы.

Объект исследования: число π.

Предмет исследования: роль числа π в жизни человека.

Гипотеза: число π играет важную роль в жизни человека.

Методы исследования: описание, анкетирование, счет и измерение.

Основная часть

Глава 1. Теоретическая часть

1.1. История числа π

Число π — математическая константа, выражающая отношение длины окружности к длине ее диаметра. Если принять диаметр окружности за единицу, то длина окружности и есть число π.

История числа насчитывает не одно тысячелетие, почти столько, сколько существует наука математика. 3,14 – одно из приближенных значений π. Конечно, значение числа рассчитали не сразу. В разные эпохи и у разных народов число π имело разное значение. Одним из первых заметил и высчитал зависимость между длиной окружности и её диаметром Архимед, он и дал первое приближение такого числа 22/7. В Древнем Египте оно равнялось 3,1604, у индусов оно приобрело значение 3,162, китайцы пользовались числом, равным 3,1459.

Любители математики тратили многие годы на вычисление π с большей степенью точности. Чтобы вычислить приближенно число π, в течение многих столетий поступали так: в окружность с диаметром, равным единице, мысленно вписывали правильный многоугольник с большим числом сторон и вычисляли периметр этого многоугольника. Периметр такого многоугольника и принимался равным числу π. Для оценки погрешности такого приближения приходилось рассматривать также периметры правильных описанных многоугольников.

Так, например, голландский математик Людольф Ван Цейлен после десятилетних вычислений подсчитал этим способом число π с точностью до двадцати знаков после запятой. Книгу, в которой он излагает эти вычисления, он заканчивает словами: «У кого есть охота, пусть пойдет дальше». Однако вскоре после этого такую охоту проявил он сам и, потратив еще двенадцать лет, нашел еще пятнадцать десятичных знаков числа π.

Начиная с конца XVII века, для вычисления π применяются более эффективные методы высшей математики. Леонард Эйлер вычислил π с точностью до 153 десятичных знаков. После опубликования его работы (1736г.) стало общепринятым обозначение π (первая буква в греческом слове «periferia» - окружность), которое встречается впервые в 1706 г. у английского математика У. Джонса.

К концу XIX в., после 20 лет упорного труда, англичанин Вильям Шенкс нашёл 707 знаков числа. Однако в 1945 г. обнаружено с помощью ЭВМ, что Шенкс в своих вычислениях допустил ошибку в 520-м знаке и дальнейшие его вычисления оказались неверными.

С появлением компьютеров значение числа π было вычислено с достаточно большой точностью. В США, например, был получен результат с более 30 млн. знаков. Если распечатать значение числа, полученное в США, то оно займёт 30 томов по 400 страниц в каждом. Вычисление такого числа знаков для π не имеет практического значения, а лишь показывает огромное преимущество и совершенство современных средств и методов вычисления по сравнению со старыми.

Так за полвека вырастала запись точного значения числа π с помощью компьютера:

·         1949 год — 2037 десятичных знаков;

·         1958 год — 10000 десятичных знаков;

·         1961 год — 100000 десятичных знаков;

·         1973 год — 10000000 десятичных знаков;

·         1986 год — 29360000 десятичных знаков;

·         1987 год — 134217000 десятичных знаков;

·         1989 год — 1011196691 десятичный знак;

·         1991 год — 2260000000 десятичных знаков;

·         1994 год — 4044000000 десятичных знаков;

·         1995 год — 4294967286 десятичных знаков;

·         1997 год — 51539600000 десятичных знаков;

·         1999 год — 206 158 430 000 десятичных знаков.

В 2009 году французский программист Фабрис Беллар поставил рекорд вычисления числа π с точностью до 2,7 трлн. знаков после запятой.

2 августа 2010 года американский студент Александр Йи и японский исследователь Сигэру Кондо рассчитали последовательность с точностью в 5 триллионов цифр после запятой.

19 октября 2011 года Александр Йи и Сигэру Кондо рассчитали последовательность с точностью в 10 триллионов цифр после запятой.

1.2. Необычные факты о числе π

14 марта в мире отмечается один из самых необычных праздников – «День числа π». В американском написании 14 марта выглядит как 3.14, отсюда и объяснение, почему именно в этот день отмечается этот праздник. Если быть точнее, то поздравлять окружающих с днем π нужно в марте 14-го в 1:59:26 после полудня, в соответствии с цифрами числа π – 3,1415926…

Ещё одной датой, связанной с числом π, является 22 июля, которое называется «Днём приближённого числа π», так как в европейском формате дат этот день записывается как 22/7, а значение этой дроби является приближённым значением числа π. В это время читают хвалебные речи в честь числа π и его роли в жизни человечества, едят круглые пи-роги и пи-ццу, пьют на-пи-тки, решают математические головоломки и загадки, а также водят хороводы. В центре зала размещают латунную тарелку, на которой выгравировано число с первыми 100 знаками после запятой.

Интересно, что свое имя имеют несколько чисел в бесконечной последовательности π (приложение № 1). Так, шесть девяток числа π носят имя американского физика. Как-то Ричард Фейнман читал лекцию и ошарашил публику замечанием. Он сказал, что хотел бы наизусть выучить цифры числа π до шести девяток только для того, чтобы под конец рассказа произнести шесть раз «девять», намекая на то, что его значение рационально. Тогда как на самом деле оно иррационально.

Математики всего мира не прекращают вести исследования, связанные с числом π. Оно буквально окутано некой тайной. Чтобы обмениваться знаниями и новой информацией о π, организовали π-клуб. Вступить в него непросто, нужно иметь незаурядную память. Так, желающих стать членом клуба экзаменуют: человек должен по памяти рассказать, как можно больше знаков числа π. Придуманы даже различные техники для запоминания числа π после запятой. Например, придумывают целые тексты. В них слова имеют то же количество букв, что и соответствующая цифра после запятой. Чтобы еще упростить запоминание такого длинного числа, сочиняют стихи по тому же принципу (приложение № 2). Члены π-клуба частенько развлекаются таким образом, а заодно тренируют память и сообразительность. Например, такое хобби было у Майка Кейта, который восемнадцать лет назад придумал рассказ, каждое слово в котором равнялось почти четырем тысячам первых знаков числа π.

Есть даже люди, поставившие рекорды по запоминанию знаков π. Так, в Японии Акира Харагучи наизусть выучил больше 83000 знаков. А вот отечественный рекорд не такой выдающийся. Житель Челябинска сумел наизусть произнести только 2500 чисел после запятой числа π.

В Сиэтле на ступенях перед зданием Музея искусств есть памятник числу π.

Когда мы слушаем музыку, мы слышим математику! Американский музыкант Майкл Блейк положил число π на музыку следующим образом: каждое последующее число после запятой сопоставил с нотой в ля-миноре (то есть 0 = ля, 1 = ля-диез, 2= си и т.д.). Затем Блейк взял запись числа π с точностью до 126 знака после запятой и проиграл ее в соответствии с выбранной кодировкой нот. Далее музыкант аранжировал получившуюся мелодию (приложение № 3, запись на CD-диске).

1.3.  Роль числа π в жизни человека

Есть легенда, точнее так считают специалисты, что число π использовали при строительстве Вавилонской башни. Однако не гнев божий стал причиной ее обрушения, а неправильные расчеты при строительстве. Вавилоняне пользовались лишь грубым приближением, определив в качестве значение "3". Подобная версия существует касательно храма царя Соломона.

В архитектуре пирамиды Хеопса также присутствуют число π. В частности, если разделить длину периметра основания этой пирамиды на ее удвоенную высоту, появляются знакомые цифры 3, 14159. Скажете, это случайность? Нет! В древних папирусах существует множество свидетельств того, что число π было не только хорошо известно древним египтянам, но и активно ими использовалось в инженерных расчетах.

Германский король Фридрих Второй был настолько очарован этим числом, что посвятил ему… целый дворец Кастель дель Монте, в пропорциях которого можно вычислить π.

Древнерусские

Архитектура древнерусских храмов свидетельствует о том, что мастера использовали число π в расчетах (Успенский собор в Старой Ладоге).

Таким образом, численное значение числа π широко используется в архитектуре.

"Замешано" ли число π в природных структурах? Попробуем разобраться в явлениях, причины которых далеко не ясны, но которые тоже, возможно, не обошлись без числа π.

Отечественный географ В. В. Пиотровский сравнил средние характеристические размеры природных рельефов в следующем ряду: песчаный рифель на отмелях, дюны, сопки, горные системы Кавказа, Гималаев и др. Оказалось, что в среднем увеличение размера составляет 3,14.

Загадка числа π в конце 1970г.  заинтересовала ленинградского инженера А. Снисаренко. Он попытался выявить связь числа с планетарными расстояниями в Солнечной системе (приложение № 4). Закон числа π, предложенный Снисаренко А., точно отражает расстояния орбит известных нам сегодня планет от Солнца.

π обладает репутацией несколько «противоречивого» числа, поддающегося нескольким интерпретациям. Согласно Майклу Хэйесу, автору книги «Герметический код ДНК: сакральные принципы организации Вселенной», число π ассоциируется с музыкой, гармонией и с самой ДНК.

Учеными было доказано, что в расшифрованном ДНК человека число π отвечает за саму структуру ДНК. Как считает доктор Чарльз Кэнтор, под руководством которого ДНК и было расшифровано: "Такое впечатление, что мы подошли к разгадке некоей фундаментальной задачки, которую нам подкинуло мироздание. Число π - повсюду, оно контролирует все известные нам процессы, оставаясь при этом неизменным! Кто же контролирует само число π? Ответа пока нет."

Число π входит в состав множества формул по физике, химии, биологии, экономике, теории вероятности.

Таким образом, число π играет важную роль в развитии математики и других наук, имеет значение для культуры, архитектуры, наблюдается в природе.

Глава 2. Практическая часть

2.1. Анкетирование учащихся о числе π

Свою работу я начинала с подбора литературы по исследуемой теме. Параллельно исследовала учебники по математике для средней школы, где нашла для себя много новой информации.

Так как тема актуальна и может быть полезна многим учащимся, я провела анкетирование с учащимися 6–11 классов (48 учащихся). Я им предложила вопросы: 

- Знаете ли вы о существовании числа π? 

- Назовите численное значение числа π. 

- Знаете ли вы что-нибудь о числе π, кроме его численного значения (если да, то запишите)?

- Для всех ли предметов, имеющих круглую форму, распространяется значение π?

Результаты анкетирования оказались следующими:

1.      Знаете ли вы о существовании числа π?

2.      Назовите численное значение числа π?

3.      Знаете ли вы что-нибудь о числе π, кроме его численного значения (если да, то запишите)?

               Отвечая на 3 вопрос, учащиеся записывали в основном математические формулы, где есть число π.

4.      Для всех ли предметов, имеющих круглую форму, распространяется значение π?

По результатам анкетирования, я увидела, что эта тема будет полезна всем. Большинство опрошенных знают численное значение числа, помнят математические формулы, связанные с ним, но мало кто помнит, что отношение длины окружности к её диаметру одно и то же для всех окружностей. Поэтому, я решила это проверить и вычислить приближенное значение отношения длины окружности к длине ее диаметра у разных предметов круглой формы.

2.2. Вычисление приближенного значения отношения длины окружности к длине ее диаметра у разных предметов круглой формы

1.      Возьмём 4 любых предмета круглой формы: волейбольный мяч, стакан, диск, теннисный мяч.

2. Измерим диаметр и длину окружности каждого предмета с помощью нити, линейки и штангенциркуля.
3. Вычислим для каждого случая значение числа π, округлив результат до сотых.
4. Составим таблицу по найденным нами данным:

Предмет	Длина окружности (С, см.)	Диаметр (d, см.)	C/d
Волейбольный мяч	63	19,9	≈3,17
Стакан	22,7	7,1	≈3,19
Диск	36,1	11,7	≈3,11
Теннисный мяч	12,7	4	≈3,18

Вывод: отношение длины окружности к диаметру приближается к 3,14. Точность вычисления числа π таким способом невелика: во всех рассмотренных случаях достигнута точность только в разряде десятых. На мой взгляд, не точные значения можно объяснить погрешностью инструментов.

Заключение

В своей работе я подробнее познакомилась с числом π – одной из вечных ценностей, которой человечество пользуется уже много веков. Узнала некоторые аспекты его богатейшей истории, а также интересные факты, связанные с этим числом.

Проведя опрос, я выяснила, какими знаниями об этом числе владеют учащиеся моей школы. Большинство опрошенных знают численное значение числа, но мало кто помнит, что отношение длины окружности к её диаметру одно и то же для всех окружностей.

Я попыталась опытным путем получить число π. Используя данные измерений, вычислила приближенные значения отношений длины окружности к длине ее диаметра у разных предметов круглой формы. Провела обработку и анализ результатов измерений. Все значения получились близкими к 3,14.

Гипотеза моего исследования подтвердилась. Число π для жизни человека играет важную роль. Оно представляет собой не только научную ценность, но и используется для очень точных вычислений (например, в архитектуре), связано с музыкой, природой.

Результаты исследовательской работы могут быть полезны учащимся моей школы, они помогут расширить их знания о числе π. Некоторые данные и темы в математике запоминаются достаточно трудно. Но с помощью открытия интересных фактов о числах, можно лучше запомнить темы. А использование приемов мнемоники позволит надолго запомнить приближенное значение числа π с точностью до 13 знаков после запятой.

Много еще таит загадок число π, пока мне трудно их разгадать, мне надо продолжить изучение математики и тогда я пойму, что значит число π – трансцендентно, смогу разобраться в других способах вычисления числа π.

Список литературы

1.      А. В. Жуков, Вездесущее число π. - М.: Едиториал УРСС, 2004;

2.      Г. И. Глейзер, История математики в школе: 9 – 10 кл. Пособие для учителей. – М.: Просвещение, 1983;

3. М. Балк, Математика после уроков. - М.: Просвещение, 1971;

4.      Н.Я. Виленкин, Математика. Учебник для 6 класса общеобразовательных учреждений; М; Мнемозина, 2007;

5.      О. В. Мантуров, Математика в понятиях, определениях и терминах. Ч. 2. – М.: Просвещение, 1982;

6.      С. Шумихин, А. Шумихина, Число π. История длиною в 4000 лет. – М.: Эксмо, 2011;

7.      Универсальная школьная энциклопедия. Т. 2. М – Я/ Глав.ред. Е. Хлебалина. – М.: Аванта+, 2004.

Интернет-ресурсы:

1.      http://storyof.ru/chisla/chto-oznachaet-chislo-pi/

2.      http://nsportal.ru/ap/library/drugoe/2014/10/15/istoriya-vozniknoveniya-chisla-pi

3.      http://chtooznachaet.ru/chislo_pi.html

4.      http://festival.1september.ru/articles/522274/

5.      http://natafriends.org/260-hoakin-navarro-sekrety-chisla-pi-pochemu-nerazreshima-zadacha-o-kvadrature-kruga.html

6.      http://samara.kp.ru/daily/26206.4/3091610/

7.      http://xn--80auyf7a.xn--p1ai/nauka.html

8.      https://books.google.ru

9.      http://piramidu.ru/piramidy/princip-zolotogo-secheniya-chislo-pi-i-egipetskie-piramidy.html

10.  http://t-z-n.ru/prearch/docs/int_pi.pdf

11.  http://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/2244

12.  http://www.arbuz.uz/t_e_pi.html

13.  http://lenta.ru/

14.  http://www.newscientist.com/blogs/nstv/2011/03/a-musical-interpretation-of-pi.html

15.  http://www.scienceforum.ru/2013/102/1580

Приложение № 1

Бесконечная последовательность π

Шесть девяток числа π носят имя американского физика Ричарда Фейнмана.

Приложение № 2

Приемы мнемоники

Математики вычислили уже около пяти триллионов знаков в числе π, а мы в своем обиходе используем только три. Однако если вам необходимо использовать более точное значение, есть несколько простых способов его запомнить.

1 способ

Если вам достаточно знать всего на пару знаков больше, чем обычно, вам поможет фраза: «Что я знаю о кругах». Подсчитав количество букв в каждом слове, вы получите следующую комбинацию цифр: 3,1415.

2 способ

Если вам нужно знать больше знаков после запятой или же первый способ просто кажется неудобным, вам поможет следующее стихотворение:

Нужно только постараться

И запомнить все как есть.

Три, четырнадцать, пятнадцать,

Девяносто два и шесть!

3 способ

С помощью другого стихотворения можно запомнить 10 знаков после тройки (3,1415926535):

Три, четырнадцать, пятнадцать,

Девять, два, шесть, пять, три, пять.

Чтоб наукой заниматься,

Это каждый должен знать.

4 способ

Классический способ запомнить 11 знаков после запятой – выучить следующее двустишие:

Это я знаю и помню прекрасно – π. Многие знаки мне лишни, напрасны.
Количество букв в каждом слове поможет вам получить число 3,14159265358.

5 способ

Если же вам нужна еще более высокая точность, то вам поможет продолжение одного из

мнемонических стихотворений:

Чтобы нам не ошибаться,

Надо правильно прочесть:

Три, четырнадцать, пятнадцать,

Девяносто два и шесть.

Ну и дальше надо знать,

Если мы вас спросим –

Это будет пять, три, пять,

Восемь, девять, восемь.

В итоге вы с легкостью запомните число 3,1415926535898, содержащее целых 13 знаков после запятой.

6 способ

Данный прием мнемоники, помогает запомнить приближение числа π ≈ 22/7.

Двадцать две совы скучали

На больших сухих суках.

Двадцать две совы мечтали

О семи больших мышах.

Приложение № 4

Связь числа π с планетарными расстояниями в Солнечной системе

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждения

«Новокаламинская средняя школа № 6»

Исследовательская работа

Выполнила: Каратай Анастасия Александровна, учащаяся 6 класса

Руководитель: Зверева Лариса Александровна, учитель математики

п. Новая Калами, 2015 г.