Исследовательская работа по математике "Магические квадраты"

Слайд 1   Тема моей работы: «Магические квадраты»

Слайд 2

Цель работы: Познакомится с историей появления магических квадратов

Задачи:

1)     Исследовать способы заполнения магических квадратов 3, 4, 5 … порядков

2)     Вывести алгоритм

3)     Придумать применение магических квадратов

Актуальность:

Однажды, когда я ходил на олимпиаду, то одним из заданий был магический квадрат и мне захотелось узнать как можно больше о нём.

Гипотеза:

Для заполнения магического квадрата существуют специальные способы, позволяющие быстро это сделать.

Слайд 3

Трудно назвать такую область человеческой деятельности, где не приходилось бы пересчитывать предметы, группировать их, находить их размеры, форму, взаимное положение. Но счёт и измерение – это ещё не математика. Смысл и сила математики в том, что она учит нас отвечать на вопросы без лишних пересчитываний.

Из всех старинных задач меня больше всего заинтересовали магические квадраты.

Наиболее ранние сведенья о магических квадратах содержатся в древних китайских книгах IV – V веков до нашей эры. Название «магические» (или волшебные, таинственные) квадраты получили от арабов. Люди верили, что магические квадраты обладают чудесными свойствами, и использовали их как талисманы.

В древнекитайской рукописи «Же-ким» (книга перестановок) описывается предание, согласно которому император Ию увидел однажды на берегу реки священную черепаху с узором на панцире из белых и черных кружков. Этот рисунок на панцире черепахи считали магическим символом и употребляли при заклинаниях.

В Европе магические квадраты появились в XV веке. Средневековые звездочеты верили в магическую силу этих квадратов, которые, по их убеждению, могли служить талисманами против чумы.

Слайд 4  Исследование способов заполнения магических квадратов

Однажды я встретил интересную задачу:

«Заполнить натуральными числами от 1 до 9 квадратную таблицу размером 3х3 так, чтобы суммы чисел по всем строкам, столбцам и диагоналям были равны 15»

Я нашел 8 вариантов:

Исследуя магические квадраты, я увидел следующую закономерность:

- если двигаться по часовой или против часовой стрелки, то можно получить 3 новых квадрата;

- если исходный квадрат взять в зеркальном отражении и двигаться по кругу, то получим еще 4 квадрата.

Но таких квадратов должно было быть не 8, а множество, так как каждый хотел иметь собственный магический квадрат – талисман, свою собственную защиту от бед и напасти,

В это же время люди увлекаются нумерологией, то есть влиянием числа на судьбу человека. Следовательно, возникала потребность в квадратах не только с числом 15. 

Слайд 5

Я стал пробовать составлять другие квадраты. Сначала приписывал один 0, два 0 к числам.

Слайд 6

Затем при чтении литературы по данной проблеме мне встретилась ещё одна задача:

«Числа от 2 до 10 разместить в квадрате 3х3 так, чтобы сумма чисел по любой горизонтали, вертикали, и диагонали равнялось 18»

3	8	7
10	6	2
5	4	9

Решив эту задачу, я стал искать принцип составления других.

Если сумма – 15, то числа в квадрате от 1 до 9

Если сумма – 18, то числа в квадрате от 2 до 10

Так как 15 меньше 18 на 3, то я предположил, что следующая сумма будет равна 21, а числа в квадрате будут от 3 до 11.

Квадрат получился

4	9	8
11	7	3
6	5	10

Слайд 7

Проверял дальше до суммы равной 51.

После изучения квадратов, составленных мной, и таблицы, я выяснил, что прослеживаются закономерности:

- сумма чисел в строках, столбцах и диагоналях должна делиться на 3,

- частное от деления суммы чисел в квадрате и 3-х будет стоять в центре квадрата и являться пятым числом в ряду натуральных чисел, которые необходимо найти,

- при делении суммы всех чисел в квадрате на 3 получается сумма чисел по строкам, столбцам и диагоналям.

Итак, магических квадратов размером 3х3 множество,

Слайд 8

Возникает вопрос: можно ли составить магические квадраты 4х4, 5х5, 6х6, 7х7, и т.д.?

Используя эти закономерности, определим сумму чисел в строках, столбцах и диагоналях в квадрате 4х4.

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16=136

136 : 4 = 34 – искомая сумма.

Запишем эти числа в квадрате по порядку

1	2	3	4
5	6	7	8
9	10	11	12
13	14	15	16

Выясняется, что сумма чисел по диагоналям равна 34. Следовательно, надо поменять местами только числа 3, 4, 5, 6, 8, 9, 12, 14, 15.

Слайд 9

В первой строке числа 1, 4 остаются на местах.

1+4=5 => 34 – 5 = 29 => Значит сумма двух искомых чисел равна 29. Из ряда чисел 2, 3, 5, 8, 9, 12, 14, 15 видно, что это числа 14 и 15. В это же время замечаем, что в четвёртой строке не хватает 2, 3.

	14	15
1			4
	6	7
	10	11
13			16
	2	3

После подсчётов сумм по столбцам выясняю, что меняются числа так: 14 с 3, 15 с 2.

Аналогично меняю числа 5 и 12, 9 и 8

1	2	3	4		1	15	14	4		1	15	14	4
5	6	7	8		5	6	7	8		12	6	7	9
9	10	11	12		9	10	11	12		8	10	11	5
13	14	15	16		13	3	2	16		13	3	2	16

Слайд 10

По полученному правилу составляю квадраты 4х4 с числами от 2 до 17 с суммой чисел по строкам, столбцам, диагоналям 38 и с числами от 3 до 18 с суммой - 42.

2	3	4	5	=>	2	16	15	5		3	4	5	6	=>	3	17	16	6
6	7	8	9		13	7	8	10		7	8	9	10		14	8	9	11
10	11	12	13		9	11	12	6		11	12	13	14		10	12	13	7
14	15	16	17		14	4	3	17		15	16	17	18		15	5	4	18

Принцип подтверждается.

Исследуя суммы 34, 38, 42 и квадраты, выясняю следующее:

34:4=8 (ост. 2)

8-2=6 –первое центральное число,

38:4=9 (ост. 2)

 

9-2=7 - первое центральное число,

42:4=10 (ост. 2)

10-2=8 - первое центральное число.

Итак, чтобы составить магический квадрат 4х4 необходимо число (является суммой чисел по столбцам строкам и диагоналям), которое делится на 4 с остатком 2. От значения частного данного числа и 4 отнимаем остаток 2 и получаем 1-е центральное число. Расставляем числа (последующие и предыдущие) по порядку, затем меняем числа наискосок.

Слайд 11

Пробую составить квадрат 5х5.

Определяю сумму чисел в магическом квадрате:

(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+…+25) : 5 = 65

65 : 5 = 13 – центральное число.

Записываю числа по порядку по диагоналям.

				5
			4		10
		3		9		15
	2		8		14		20
1		7		13		19		25
	6		12		18		24
		11		17		23
			16		22
				21

Сумма по диагоналям равна 65. Определяю, где должны стоять остальные числа и получаю магический квадрат

3	16	9	22	15
20	8	21	14	2
7	25	13	1	19
24	12	5	18	6
11	4	17	10	23

Проверив свое предположение о том, что сумма чисел должна делиться на 5, и правило составления квадрата 5х5 путем составления других квадратов 5х5, пришел к следующему выводу:

Чтобы составить магический квадрат 5х5, необходимо, чтобы число, которое является суммой чисел по диагоналям, столбцам и строкам, делилось на 5.

Разделив его на 5, получаем центральное число.

Расставляем последующие и предыдущие центральному числа по диагонали и заполняем пустые клетки.

Слайд 12

Выводы:

1. При составлении магических квадратов я заметил, что квадраты с четным числом клеток составляются по одной закономерности, а с несчетным – по другой.

Итак, для составления квадрата с нечетным числом (2n+1) клеток необходимо, чтобы сумма чисел по столбцам, строкам и диагоналям делилась на количество клеток одной стороны.

Частное от этого деления является центральным числом квадрата.

Далее расставляются по порядку предыдущие и последующие числа по диагоналям.

Пустые клетки заполняются числами, оказавшимися за квадратом.

						а+2
					а+1
				а
			а-1
		а-2

Для составления квадрата с четным (2n) числом клеток необходимо взять число, которое делится на количество клеток одной стороны с определенным остатком (деля количество клеток одной стороны на 2, получаем необходимый остаток).

Если от частного суммы и стороны квадрата отнять остаток, то получится 1-е центральное число.

Далее расставляются числа в возрастающем и убывающем порядке по строкам.

По диагоналям числа остаются на месте, остальные меняются между собой.

	b-2	b-1	b	b+1	b+2	b+3

2. Не каждое число является суммой чисел в магическом квадрате.  Каждый квадрат имеет свою минимальную сумму, прибавляя к которой число клеток стороны квадрата, получаются следующие суммы.

Итак, для квадрата	3х3	min сумма	15
	4х4	-	34
	5х5	-	65
	6х6	-	111
	7х7	-	175
	8х8	-	260

Например, число 16 не является суммой ни одного магического квадрата, а число 165 – сразу 2-х магических квадратов 3х3 и 5х5.

Слайд 13

Где можно применить эти знания о способах составления магических квадратов?

Я стал составлять разнообразные математические задачи.

Получилось несколько типов:

1.    Найди значения выражений, впиши их в клетки квадрата с подходящими буквами и заполни пустые клетки, чтобы квадрат стал магическим:

а)	1	:	5	(1)			е)	65	*	6	:	13	*	3	(9)
	2		10					5		2
б)	5	*	6	(6)			ж)	32	1	:	2	1	(13)
	1		5						2			2
в)	146	-	91	(11)			з)	1	+	1	+	6	-	2	+	4	+	5	(2)
	5		5					10		5		10		10		5		10
г)
	54	+	13	()			и)	631	2	:	63	12	(10)
	18								10			100
д)	56	:	24	(7)
			3

а
	б	д	е
	и	в
ж		з	г

2.    10 чисел, помеченные красным цветом стоят не на своих местах. Поставь их на свои места так, чтобы сумма по всем строкам, столбцам и диагоналям была одной и той же.

1	35	34	33	2	6
25	8	18	30	11	9
20	7	15	16	23	19
24	17	21	22	14	13
12	26	10	27	29	5
31	32	4	3	28	36

3.    На старой доске нарисован квадрат. В клетках этого квадрата должны стоять числа от 1 до 25 так, чтобы сумма чисел по всем срокам, столбцам и диагоналям была ровна 65, но несколько чисел стерлись. Впиши недостающие числа.

3	16		22	15
		21	14
	25	13		19
24				6
11		17	10

В данной работе рассмотрены вопросы, связанные с историей развития одного из интересных вопросов математики - магических квадратов.

Несмотря на то, что собственно магические квадраты не нашли широкого применения в науке и технике, они подвигли на занятия математикой множество незаурядных людей и способствовали развитию других разделов математики: теории групп, определителей, матриц и др.

Я считаю, что материалы моего исследования можно использовать при подготовке к олимпиадам по математике, на математических кружках и факультативах, при проведении внеклассных мероприятий с целью развития и расширения своего познавательного кругозора, развития логического мышления.