Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Исследовательская работа по математике "Магические квадраты"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 26 апреля.

Подать заявку на курс
  • Математика

Исследовательская работа по математике "Магические квадраты"

библиотека
материалов

hello_html_6a9b72c1.gifhello_html_6a9b72c1.gifhello_html_m4d05b23.gifhello_html_m5964131a.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_150d7a26.gifhello_html_744271c7.gifhello_html_21632f11.gifhello_html_m16150243.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_2e9fa375.gifhello_html_7473decb.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_2e9fa375.gifhello_html_2e9fa375.gifhello_html_2e9fa375.gifhello_html_2e9fa375.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_7473decb.gifhello_html_m4a68b167.gifhello_html_2e9fa375.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_7473decb.gifhello_html_m131a2f0b.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_2e9fa375.gifhello_html_2e9fa375.gifhello_html_2e9fa375.gifhello_html_2e9fa375.gifhello_html_7473decb.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_2e9fa375.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_2e9fa375.gifhello_html_2e9fa375.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_2e9fa375.gifСлайд 1 Тема моей работы: «Магические квадраты»



Слайд 2

Цель работы: Познакомится с историей появления магических квадратов

Задачи:

  1. Исследовать способы заполнения магических квадратов 3, 4, 5 … порядков

  2. Вывести алгоритм

  3. Придумать применение магических квадратов

Актуальность:

Однажды, когда я ходил на олимпиаду, то одним из заданий был магический квадрат и мне захотелось узнать как можно больше о нём.

Гипотеза:

Для заполнения магического квадрата существуют специальные способы, позволяющие быстро это сделать.



Слайд 3

Трудно назвать такую область человеческой деятельности, где не приходилось бы пересчитывать предметы, группировать их, находить их размеры, форму, взаимное положение. Но счёт и измерение – это ещё не математика. Смысл и сила математики в том, что она учит нас отвечать на вопросы без лишних пересчитываний.


Из всех старинных задач меня больше всего заинтересовали магические квадраты.


Наиболее ранние сведенья о магических квадратах содержатся в древних китайских книгах IVV веков до нашей эры. Название «магические» (или волшебные, таинственные) квадраты получили от арабов. Люди верили, что магические квадраты обладают чудесными свойствами, и использовали их как талисманы.

В древнекитайской рукописи «Же-ким» (книга перестановок) описывается предание, согласно которому император Ию увидел однажды на берегу реки священную черепаху с узором на панцире из белых и черных кружков. Этот рисунок на панцире черепахи считали магическим символом и употребляли при заклинаниях.

В Европе магические квадраты появились в XV веке. Средневековые звездочеты верили в магическую силу этих квадратов, которые, по их убеждению, могли служить талисманами против чумы.


Слайд 4 Исследование способов заполнения магических квадратов


Однажды я встретил интересную задачу:


«Заполнить натуральными числами от 1 до 9 квадратную таблицу размером 3х3 так, чтобы суммы чисел по всем строкам, столбцам и диагоналям были равны 15»

Я нашел 8 вариантов:


Исследуя магические квадраты, я увидел следующую закономерность:

- если двигаться по часовой или против часовой стрелки, то можно получить 3 новых квадрата;

- если исходный квадрат взять в зеркальном отражении и двигаться по кругу, то получим еще 4 квадрата.


Но таких квадратов должно было быть не 8, а множество, так как каждый хотел иметь собственный магический квадрат – талисман, свою собственную защиту от бед и напасти,

В это же время люди увлекаются нумерологией, то есть влиянием числа на судьбу человека. Следовательно, возникала потребность в квадратах не только с числом 15.


Слайд 5


Я стал пробовать составлять другие квадраты. Сначала приписывал один 0, два 0 к числам.



Слайд 6


Затем при чтении литературы по данной проблеме мне встретилась ещё одна задача:

«Числа от 2 до 10 разместить в квадрате 3х3 так, чтобы сумма чисел по любой горизонтали, вертикали, и диагонали равнялось 18»


3

8

7

10

6

2

5

4

9


Решив эту задачу, я стал искать принцип составления других.

Если сумма – 15, то числа в квадрате от 1 до 9

Если сумма – 18, то числа в квадрате от 2 до 10

Так как 15 меньше 18 на 3, то я предположил, что следующая сумма будет равна 21, а числа в квадрате будут от 3 до 11.

Квадрат получился


4

9

8

11

7

3

6

5

10




Слайд 7


Проверял дальше до суммы равной 51.


После изучения квадратов, составленных мной, и таблицы, я выяснил, что прослеживаются закономерности:

- сумма чисел в строках, столбцах и диагоналях должна делиться на 3,

- частное от деления суммы чисел в квадрате и 3-х будет стоять в центре квадрата и являться пятым числом в ряду натуральных чисел, которые необходимо найти,

- при делении суммы всех чисел в квадрате на 3 получается сумма чисел по строкам, столбцам и диагоналям.


Итак, магических квадратов размером 3х3 множество,


Слайд 8


Возникает вопрос: можно ли составить магические квадраты 4х4, 5х5, 6х6, 7х7, и т.д.?


Используя эти закономерности, определим сумму чисел в строках, столбцах и диагоналях в квадрате 4х4.

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16=136

136 : 4 = 34 – искомая сумма.

Запишем эти числа в квадрате по порядку


1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16


Выясняется, что сумма чисел по диагоналям равна 34. Следовательно, надо поменять местами только числа 3, 4, 5, 6, 8, 9, 12, 14, 15.



Слайд 9


В первой строке числа 1, 4 остаются на местах.

1+4=5 => 34 – 5 = 29 => Значит сумма двух искомых чисел равна 29. Из ряда чисел 2, 3, 5, 8, 9, 12, 14, 15 видно, что это числа 14 и 15. В это же время замечаем, что в четвёртой строке не хватает 2, 3.


14

15


1



4


6

7



10

11


13



16


2

3



После подсчётов сумм по столбцам выясняю, что меняются числа так: 14 с 3, 15 с 2.


Аналогично меняю числа 5 и 12, 9 и 8


1

2

3

4


1

15

14

4


1

15

14

4

5

6

7

8


5

6

7

8


12

6

7

9

9

10

11

12


9

10

11

12


8

10

11

5

13

14

15

16


13

3

2

16


13

3

2

16



Слайд 10


По полученному правилу составляю квадраты 4х4 с числами от 2 до 17 с суммой чисел по строкам, столбцам, диагоналям 38 и с числами от 3 до 18 с суммой - 42.

2

3

4

5

=>

2

16

15

5


3

4

5

6

=>

3

17

16

6

6

7

8

9

13

7

8

10


7

8

9

10

14

8

9

11

10

11

12

13

9

11

12

6


11

12

13

14

10

12

13

7

14

15

16

17

14

4

3

17


15

16

17

18

15

5

4

18


Принцип подтверждается.

Исследуя суммы 34, 38, 42 и квадраты, выясняю следующее:

34:4=8 (ост. 2)


8-2=6 –первое центральное число,

38:4=9 (ост. 2)


9-2=7 - первое центральное число,

42:4=10 (ост. 2)


10-2=8 - первое центральное число.



Итак, чтобы составить магический квадрат 4х4 необходимо число (является суммой чисел по столбцам строкам и диагоналям), которое делится на 4 с остатком 2. От значения частного данного числа и 4 отнимаем остаток 2 и получаем 1-е центральное число. Расставляем числа (последующие и предыдущие) по порядку, затем меняем числа наискосок.


Слайд 11


Пробую составить квадрат 5х5.

Определяю сумму чисел в магическом квадрате:

(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+…+25) : 5 = 65

65 : 5 = 13 – центральное число.

Записываю числа по порядку по диагоналям.






5








4


10






3


9


15




2


8


14


20


1


7


13


19


25


6


12


18


24




11


17


23






16


22








21






Сумма по диагоналям равна 65. Определяю, где должны стоять остальные числа и получаю магический квадрат


3

16

9

22

15

20

8

21

14

2

7

25

13

1

19

24

12

5

18

6

11

4

17

10

23


Проверив свое предположение о том, что сумма чисел должна делиться на 5, и правило составления квадрата 5х5 путем составления других квадратов 5х5, пришел к следующему выводу:

Чтобы составить магический квадрат 5х5, необходимо, чтобы число, которое является суммой чисел по диагоналям, столбцам и строкам, делилось на 5.

Разделив его на 5, получаем центральное число.

Расставляем последующие и предыдущие центральному числа по диагонали и заполняем пустые клетки.



Слайд 12


Выводы:


  1. При составлении магических квадратов я заметил, что квадраты с четным числом клеток составляются по одной закономерности, а с несчетным – по другой.

Итак, для составления квадрата с нечетным числом (2n+1) клеток необходимо, чтобы сумма чисел по столбцам, строкам и диагоналям делилась на количество клеток одной стороны.

Частное от этого деления является центральным числом квадрата.

Далее расставляются по порядку предыдущие и последующие числа по диагоналям.

Пустые клетки заполняются числами, оказавшимися за квадратом.


























а+2








а+1








а








а-1








а-2





























Для составления квадрата с четным (2n) числом клеток необходимо взять число, которое делится на количество клеток одной стороны с определенным остатком (деля количество клеток одной стороны на 2, получаем необходимый остаток).

Если от частного суммы и стороны квадрата отнять остаток, то получится 1-е центральное число.

Далее расставляются числа в возрастающем и убывающем порядке по строкам.

По диагоналям числа остаются на месте, остальные меняются между собой.


































b-2

b-1

b

b+1

b+2

b+3




































  1. Не каждое число является суммой чисел в магическом квадрате. Каждый квадрат имеет свою минимальную сумму, прибавляя к которой число клеток стороны квадрата, получаются следующие суммы.


Итак, для квадрата

3х3

min сумма

15


4х4

-

34


5х5

-

65


6х6

-

111


7х7

-

175


8х8

-

260


Например, число 16 не является суммой ни одного магического квадрата, а число 165 – сразу 2-х магических квадратов 3х3 и 5х5.







Слайд 13


Где можно применить эти знания о способах составления магических квадратов?


Я стал составлять разнообразные математические задачи.

Получилось несколько типов:


  1. Найди значения выражений, впиши их в клетки квадрата с подходящими буквами и заполни пустые клетки, чтобы квадрат стал магическим:


а)

1

:

5

(1)


е)

65

*

6

:

13

*

3

(9)





2

10


5

2


























б)

5

*

6

(6)


ж)

32

1

:

2

1

(13)







1

5


2

2




























в)

146

-

91

(11)


з)

1

+

1

+

6

-

2

+

4

+

5

(2)

5

5


10

5

10

10

5

10

г)





















54

+

13

()


и)

631

2

:

63

12

(10)







18


10

100




























д)

56

:

24

(7)
















3

















а





б

д

е


и

в


ж


з

г



  1. 10 чисел, помеченные красным цветом стоят не на своих местах. Поставь их на свои места так, чтобы сумма по всем строкам, столбцам и диагоналям была одной и той же.


1

35

34

33

2

6

25

8

18

30

11

9

20

7

15

16

23

19

24

17

21

22

14

13

12

26

10

27

29

5

31

32

4

3

28

36



  1. На старой доске нарисован квадрат. В клетках этого квадрата должны стоять числа от 1 до 25 так, чтобы сумма чисел по всем срокам, столбцам и диагоналям была ровна 65, но несколько чисел стерлись. Впиши недостающие числа.


3

16


22

15



21

14



25

13


19

24




6

11


17

10









В данной работе рассмотрены вопросы, связанные с историей развития одного из интересных вопросов математики - магических квадратов.

Несмотря на то, что собственно магические квадраты не нашли широкого применения в науке и технике, они подвигли на занятия математикой множество незаурядных людей и способствовали развитию других разделов математики: теории групп, определителей, матриц и др.

Я считаю, что материалы моего исследования можно использовать при подготовке к олимпиадам по математике, на математических кружках и факультативах, при проведении внеклассных мероприятий с целью развития и расширения своего познавательного кругозора, развития логического мышления.






Автор
Дата добавления 05.02.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров314
Номер материала ДВ-418261
Получить свидетельство о публикации

Идёт приём заявок на международный конкурс по математике "Весенний марафон" для учеников 1-11 классов и дошкольников

Уникальность конкурса в преимуществах для учителей и учеников:

1. Задания подходят для учеников с любым уровнем знаний;
2. Бесплатные наградные документы для учителей;
3. Невероятно низкий орг.взнос - всего 38 рублей;
4. Публикация рейтинга классов по итогам конкурса;
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://urokimatematiki.ru


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ


"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх