Исследовательская работа по теме: "Розы Гранди"

Межрегиональная научно-практическая

конференция студентов и старшеклассников

«Образование как фактор конкурентоспособности выпускника в условиях рыночной экономики »

Наименование секции

общепрофессиональные и естественно-научные дисциплины

Наименование работы

Математический цветник

Фамилия и имя автора работы

Сарычева Вера

Учебное заведение

МБОУ Избердеевская сош

Петровского района

Тамбовской области

Научный руководитель:

Сарычева Татьяна Юрьевна,

 учитель математики

г. Мичуринск

                                                                           2016

Содержание

Введение._________________________________________________3

Глава 1. Кривые Гранди

1.1 Исторические сведения о Гранди Луиджи Гвидо._____________________________________________5

1.2 Понятие полярной системе координат.________________7

1.3 Изучение различных  форм кривых Гранди,

заданных  в полярной     системе координат.___________8

Заключение._______________________________________________11

Список литературы.________________________________________13

Приложение.______________________________________________14

Введение.

В природе мы встречаем большое разнообразие видов цветов и их форм. Однажды итальянский геометр Гвидо Гранди (1671-1742), работая с полярной системой координат, решил воссоздать с помощью кривых прекрасные розы. Теория этих кривых была изложена им в сочинении «Flores geometrici ex rhodanearum et claelarum descriptione resultantes». «Розы» Гвидо Гранди радуют глаз правильными и плавными линиями, их очертания предопределены специально подобранными математическими зависимостями.  Позже немецкий геометр XIX века Хабеннихт, очарованный результатами Гранди, также решил заняться математическим «растениеводством». Меня заинтересовала следующая проблема: от чего зависит изменение формы цветков «роз» и количество лепестков в цветках.

Гипотеза, которая легла в основу данной работы состоит в том, что в живой природе совершенство очертаний и форм цветов можно задать математическими зависимостями, то есть существует основа красоты.

     Объект – кривые «розы Гранди».

Предмет – исследование зависимости очертаний и форм лепестков от изменения коэффициентов в формуле, задающей кривую Гранди.

Цель: выяснить, как изменяется форма «роз» при изменении коэффициентов в формуле, задать графически данную зависимость, показать практическое использование данных кривых в искусстве и дизайне.

Задачи, которые были поставлены в этой работе:

- исследовать доступную научную и научно - популярную    

литературу по данной теме;                     

- проанализировать собранный материал;

- построить в полярной системе координат несколько кривых Гранди, выяснить зависимость формы кривой от коэффициентов в формуле;

- сделать обоснованный вывод по теме работы;

- применить полученные сведения на практике.

Задачи и цель работы определили следующие методы работы: хронологический, который помог восстановить историю появления кривых, названных  «розами Гранди»; сопоставительный, с помощью которого был проанализирован собранный материал, и метод анализа и синтеза.

Данная работа позволяет по-новому, с точки зрения математики,  посмотреть на красоту окружающего мира, понять, что математика – прикладная наука, позволяющая описывать эту красоту.

Глава 1.

Кривые Гранди.

1.1.          Исторические сведения о Гранди Луиджи Гвидо.

Гранди Луиджи Гвидо (1671 - 1742)  был  итальянским монахом, священником, философом, математиком и инженером.
Он родился 1 октября 1671 в Кремоне, Италия и окрещен Луиджи. Гранди получил образование в иезуитском колледже. В 1687 году он поступил  послушником в приют монахов в Ферраре и принял имя Гвидо. В 1693 году он был отправлен в монастырь Святого Григория Великого, чтобы завершить свои исследования в философии и теологии в рамках подготовки к священству. Был назначен преподавателем философии и теологии в монастыре  во Флоренции в 1694 году. Похоже, что именно в этот период его жизни он проявил интерес к математике. Он делал свои исследования в частном порядке и был назначен профессором философии в монастыре Св. Григория в 1700 году.
К 1707 году Гранди заработал такую ​​репутацию в области математики, что был назначен математиком великого герцога Тосканского, Козимо III Медичи. Его трактат о квадратуре (1703) открыл Италии исчисления Лейбница. Он был также автором нескольких  популярных учебников.
Он также делал успехи в теоретической и практической механике. Его исследования в области гидравлики вызвали значительный интерес со стороны правительств стран Центральной Италии. 
В 1701 Гранди опубликовал результаты исследования конических локсодромий. Он выступил в качестве соавтора в издании первого флорентийского издания трудов Галилея.  В 1703 году в его «Записке о трактате Галилея о естественном движении" он дал первое определение кривой  versiera , (от лат.vertere -включить). Эта кривая была позже изучена одной из немногих женщин-ученых Марией Аньези.  
В 1709 году он посетил Англию, где был избран членом Королевского общества. Пизанский университет присвоил ему звание профессора математики в 1714 году. Именно там он умер 4 июля 1742 года.
В математике Гранди  известен его работой Flores geometrici (1728), изучавшей розы - кривые, которые имеют форму лепестков цветка. Он назвал розы кривой rhodonea и назвал кривую Clelia в честь графини Клелии Борромео.

1.2 Понятие полярной системе координат.

Изучая кривые, Гранди работал в полярной системе координат.

Полярная система координат — двухмерная система координат, в которой каждая точка на плоскости определяется двумя числами — полярным углом и полярным радиусом. Полярная система координат особенно полезна в случаях, когда отношения между точками проще изобразить в виде радиусов и углов. Полярная система координат задаётся лучом, который называют нулевым или полярной осью. Точка, из которой выходит этот луч, называется началом координат или полюсом. Любая точка на плоскости определяется двумя полярными координатами: радиальной и угловой. Радиальная координата (обычно обозначается r) соответствует расстоянию от точки до начала координат. Угловая координата, также называется полярным углом или азимутом и обозначается , равна углу, на который нужно повернуть против часовой стрелки полярную ось для того, чтобы попасть в эту точку.
Определённая таким образом радиальная координата может принимать значения от нуля до бесконечности, а угловая координата изменяется в пределах от 0° до 360°. Однако, для удобства область значений полярной координаты можно расширить за пределы полного угла, а также разрешить ей принимать отрицательные значения, что отвечает повороту полярной оси по часовой стрелке.

1.3 Изучение различных  форм кривых Гранди, заданных  в полярной системе координат.

Уравнение «розы» Гвидо Гранди в полярных координатах имеет вид:

                                                         ρ= m*.

Задавая параметр k= отношением натуральных чисел, можно получить замкнутые кривые, при определенных условиях превращающиеся в лепестковые розы или ажурные розетки, которые могут служить элементами декора или орнамента.

Рассмотрим уравнение  «розы»     при m=1,k=1:      

                                                                          ρ= .

Построим в полярной системе координат кривую, заданную этим уравнением. Примем 0ᵒ≤ φ≤ 360ᵒ с шагом 10ᵒ.Вычисляя синусы заданных углов, отметим точки в плоскости ( см. приложение1).

Процесс построения кривой по заданным полярным координатам трудоемкий. Удобнее воспользоваться программой для построения кривых в полярной системе координат  Advanced Grapher 2.2.  Совместим полярную систему координат с прямоугольной декартовой системой координат так, чтобы полюс совпал с началом координат, а полярная ось – с осью абсцисс.

 При построении кривой, заданной уравнением

ρ=2*  (m=2, k=1),

оказалось, что форма кривой не изменяется, а  изменяется лишь размер

«лепестка» : он увеличился в 2 раза ( см. приложение 2).

 Очевидно, что при построении кривой, заданной уравнением

ρ=3*  (m=3, k=1),

«лепесток» увеличится в 3 раза по сравнению с первым. Значит, с  изменением коэффициента  m изменяется  размер кривой.

Построим теперь кривую, заданную уравнением

                              ρ= .

Получилась четырехлепестковая «роза», симметричная относительно оси абсцисс, оси ординат и начала координат (см. приложение 3).

При построении кривой, заданной уравнением

ρ=2 ,

 оказалось, что размер «розы» увеличился в 2 раза, как и предполагалось ( см. приложение 4).

Рассмотрим кривую, заданную уравнением

ρ= .

Получилась трехлепестковая «роза» ( см. приложение 5).

При построении кривой, заданной уравнением

ρ=2* ,

также получилась трехлепестковая «роза», размер которой оказался в 2 раза больше по сравнению с предыдущей ( см. приложение 6).

Рассмотрим кривую, заданную уравнением

ρ= .

Данная кривая представляет собой цветок, состоящий из 8 лепестков. Эту кривую еще называют полярной розой.

При построении кривой, заданной уравнением

ρ= ,

также получилась полярная роза, размер которой в 2 раза больше предыдущей.

Итак, коэффициент  задает количество лепестков: при нечетном получаем  – лепестковую розу, при нечетном  получаем - лепестковую розу.

Теперь рассмотрим уравнение кривой

ρ= m*, если  – дробное число.

Примем, например, =, то есть

ρ=  при (0).

При построении кривой «цветок» получается неполным ( см. приложение 9). Однако, если задать 0, то получаем полный «цветок» ( см. приложение 10).

Кривая,  заданная уравнением 

ρ=2*

 при 0выглядет неполной ( см. приложение 11).  Зададим угол 0. В этом случае получим полный вид кривой (приложение 12).

Аналогично, выполняя построение кривой, заданной уравнением

ρ=2* ,

 будем получать неполный вид кривой при , ,  .  При  получается полный вид кривой ( см. приложение 16).

Итак, изменяя в коэффициенте   числа n и d, можно получить разнообразные кривые ( см. приложение 17).

Заключение.

Исследовав, как изменяются кривые Гвидо Гранди, заданные в полярной системе координат r=m*  в зависимости различных значений параметров  k, m, мы установили связь между количеством лепестков, их формул и симметричности получившегося рисунка. Когда мы получали «розы» из четного количества лепестков, рисунок был симметричен относительно начала координат и осей координат. Если мы получали цветы из нечётного количества лепестков, то рисунок был симметричен только относительно оси ординат.

В ходе исследовательской работы мы получили большое разнообразие форм «роз» Гвидо Гранди, которые дают фантазию для их применения. С помощью выращенных цветов, различных кривых в полярных координатах и графических редакторов мы можем сделать, например, различные рисунки, рамки-орнаменты или украсить ими фон открыток. Мне захотелось расписать тарелку, применив в виде орнамента кривую Гранди. Сначала я изобразила эскиз узора на бумаге( см. приложение 18).  Для узора в центре я использовала кривую,  заданную уравнением

ρ=2* .

Для орнамента, расположенного  по краям тарелки я применила кривую, заданную уравнением

ρ=2 .

Затем я нанесла выбранный узор на стеклянную тарелку и раскрасила витражными красками. У меня получился красивый орнамент.  (см. приложение 19).

Возле нашей школы каждую весну учащиеся вместе с учителями разбивают клумбы. Я предложила учителю биологии разбить клумбу в виде розы Гранди. Конечно, предстоит работа по построению эскиза клумбы, выбору цветов для клумбы. Надеюсь, что моя идея воплотится в жизнь будущей весной.

Гипотеза, которая была поставлена в работе, подтвердилась. Математика- действительно очень красивая наука. Она находит свое применение не только в технических науках, но и в дизайне и искусстве.

Интернет-ресурсы.

1.     http://matematikaiskusstvo.ru/rosesgrandy.html – математика и искусство.

2.     http://mathworld.wolfram.com/Rose.html- формы кривых Гранди.

3.     http://sibac.info/11124 - математическое моделирование в дизайне и архитектуре малых форм.

4.     http://gvidograndi.jimdo.com/ - розы Гвидо Гранди.

Приложения

Приложение 1.

Построение кривой, заданной уравнением ρ= .

ᵒ	0	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100	110	120	130
ρ	0	0,17	0,34	0,5	0,64	0,77	0,87	0,94	0,98	1	0,98	0,94	0,87	0,77
ᵒ	140	150	160	170	180	190	200	210	220	230	240	250	260	270
ρ	0,64	0,5	0,34	0,17	0	-0,17	-0,34	-0,5	-0,64	-0,77	-0,87	-0,94	-0,98	1
ᵒ	280	290	300	310	320	330	340	350	360
ρ	-0,98	-0,94	-0,87	-0,77	-0,64	-0,5	-0,34	-0,17	0

Приложение 2.

Построение кривой, заданной уравнением ρ=2* .

ᵒ	0	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100	110	120	130
ρ	0	0,34	0,68	1	1,28	1,52	1,72	1,86	1,96	2	1,96	1,86	1,72	1,52
ᵒ	140	150	160	170	180	190	200	210	220	230	240	250	260	270
ρ	1,28	1	0,68	0,34	0	-0,34	-0,68	-1	-1,28	-1,52	-1,72	-1,86	-1,96	-2
ᵒ	280	290	300	310	320	330	340	350	360
ρ	-1,96	-1,86	-1,72	-1,52	-1,28	-1	-0,68	-0,34	0

Приложение  3.

Построение кривой, заданной уравнением ρ=

Приложение 4.

Построение кривой, заданной уравнением ρ=2 .

Приложение 5.

Построение кривой, заданной уравнением ρ= .

Приложение 6.

Построение кривой, заданной уравнением ρ= .

Приложение 7.

Построение кривой, заданной уравнением ρ= .

Приложение 8.

Построение кривой, заданной уравнением ρ= .

                                                      Приложение 9.

Построение кривой, заданной уравнением   ρ=  (0).

ᵒ	0	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100	110	120	130
ρ	0	0,09	0,17	0,26	0,34	0,42	0,5	0,57	0,64	0,7	0,77	0,81	0,87	0,9
ᵒ	140	150	160	170	180	190	200	210	220	230	240	250	260	270
ρ	0,94	0,97	0,98	0,99	1	0,99	0,98	0,96	0,94	0,91	0,87	0,82	0,77	0,71
ᵒ	280	290	300	310	320	330	340	350	360
ρ	0,64	0,57	0,5	0,42	0,34	0,26	0,17	0,09	0

Приложение 10.

Построение кривой, заданной уравнением   ρ=  (0).

                                                      Приложение 11.

Построение кривой, заданной уравнением   ρ=2*  (0).

Приложение 12.

Построение кривой, заданной уравнением   ρ=  (0).

Приложение 13.

Построение кривой, заданной уравнением   ρ=  (0).

Приложение 14.

Построение кривой, заданной уравнением   ρ=  (0).

Приложение 15.

Построение кривой, заданной уравнением   ρ=  (0).

Приложение 16.

Построение кривой, заданной уравнением   ρ=  (0).

Приложение 17.

Вид кривой, заданной уравнением ρ= m*, если .

Приложение 18.

Этапы построения эскиза орнамента для росписи тарелки.

Приложение 19.

Использование кривой Гранди в качестве орнамента на стеклянной тарелке.