Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Исследовательская работа учащейся 10 класса МОУ "Икейская СОШ" Рябовой Екатерины "В мире многогранников"

Исследовательская работа учащейся 10 класса МОУ "Икейская СОШ" Рябовой Екатерины "В мире многогранников"

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:


Министерство образования и науки РФ

ОНО Администрации Тулунского муниципального района





Исследовательская работа (проект)






Тема:

«В мире многогранников»




Выполнила:

Рябова Екатерина,

обучающаяся 10 класса

МОУ «Икейская средняя

общеобразовательная школа»


Руководитель:

Буякова Елена Владимировна,

учитель математики первой

квалификационной категории





2011


Оглавление


  1. Введение_______________________________________стр. 2

  2. История многогранников_________________________ стр. 2 – 3

  3. Виды многогранников____________________________стр. 3 –5

  4. Додекаэдро-икосаэдрическая структура Вселенной ___стр. 5 – 8

  5. Многогранники в природе_________________________стр. 8 – 10

  6. Многогранники в изобразительном искусстве ________стр. 11 – 15

7. Многогранники в архитектуре_____________________стр. 16 – 18

8. Заключение ____________________________________стр. 18

9. Приложения ____________________________________стр. 19 – 25

10. Список используемой литературы__________________стр. 26





























  1. Введение

В детстве одной из самых любимых моих игр были кубики. Со временем игра перестала меня интересовать, но вот увлечение многогранниками осталось. Оказывается, многогранники выходят за пределы «книжной» геометрии. Они окружают нас повсюду. Даже в таких далеких от геометрии науках, как биология и химия, присутствуют многогранники, причем нередко они имеют правильную форму. Существуют множество версий строения Вселенной, связанных с правильными и полуправильными многогранниками. Красота и загадочность многогранников привлекают многих людей, в том числе известных художников, таких как Леонардо да Винчи и Эшера. Многогранники не только придают прочность и устойчивость архитектурным сооружениям, но и красоту, изящество. Данная тема ещё интересна и потому, что в курсе 11 класса геометрия посвящена многогранникам, их сечениям, объемам, а связи многогранников с окружающей нас действительностью особо не прослеживаются. Практическое применение моей работы состоит в том, чтобы использовать добытые знания и умения при получении дальнейшего образования.

Основной метод, который я использовала в своей работе, - это метод систематизации и обработки информации.



Цель проекта:

Показать значимость многогранников в нашей жизни, их неоспоримое многообразие, красоту и изящество.




  1. История многогранников

Первые упоминания о многогранниках известны еще за три тысячи лет до нашей эры в Египте и Вавилоне. Достаточно вспомнить знаменитые египетские пирамиды и самую известную из них – пирамиду Хеопса. Это правильная пирамида, в основании которой квадрат со стороной 233м и высота которой достигает 146,5м. Не случайно говорят, что пирамида Хеопса – немой трактат по геометрии.

История правильных многогранников уходит в глубокую древность. Начиная с 7 века до нашей эры в Древней Греции создаются философские школы. Большое значение в этих школах приобретают рассуждения, с помощью которых удалось получать новые геометрические свойства.

Оhello_html_116f607f.jpgдной из первых и самых известных школ была Пифагорейская, названная в честь своего основателя Пифагора. Отличительным знаком пифагорейцев была пентаграмма, на языке математики – это правильный невыпуклый или звездчатый пятиугольник. Пентаграмме присваивалось способность защищать человека от злых духов.

Открытие тринадцати полуправильных выпуклых многогранников приписывается Архимеду, впервые перечислившего их в недошедшей до нас работе. Ссылки на эту работу имеются в трудах математика Паппа.

(Ашкинузе В.Г. Многоугольники и многогранники. Энциклопедия элементарной математики, книга IV(Геометрия), М.:Физматгиз, 1963)


  1. Виды многогранников

Правильные многогранники

Имеется несколько эквивалентных определений правильных многогранников. Одно из них звучит так: многогранник называется правильным, если существуют три концентрические сферы, одна из которых касается всех граней многогранника, другая касается всех его ребер и третья содержит все его вершины. Это определение напоминает одно из возможных определений правильного многоугольника: многоугольник называется правильным, если он вписан в некоторую окружность и описан около другой окружности, причем эти окружности концентричны. Другое определение: правильным многогранником называется такой выпуклый многогранник, все грани которого являются одинаковыми правильными многоугольниками и все двугранные углы попарно равны.

Одно из древнейших упоминаний о правильных многогранниках находится в трактате Платона (427-347 до н. э.) "Тимаус". Поэтому правильные многогранники также называются платоновыми телами (хотя известны они были задолго до Платона).

Существует всего 5 видов правильных многогранников:

Полуправильные многогранники

Полуправильные многогранники или Архимедовы тела – выпуклые многогранники, обладающие двумя свойствами:
1) Все грани являются правильными многоугольниками двух или более типов (если все грани – правильные многоугольники одного типа, это – правильный многогранник).
2) Для любой пары вершин существует симметрия многогранника (то есть движение, переводящее многогранник в себя) переводящая одну вершину в другую. В частности, все многогранные углы при вершинах конгруэнтны.

Существует 13 полуправильных многогранников:

  • Кубооктаэдр

  • Икосододекаэдр

  • Усеченный тетраэдр

  • Усечённый куб

  • Усечённый октаэдр

  • Усечённый додекаэдр

  • Усечённый икосаэдр

  • Ромбокубооктаэдр

  • Ромбоусечённый кубоктаэдр

  • Ромбоикосододекаэдр

  • Ромбоусечённый икосододекаэдр

  • Курносый куб

  • Курносый додекаэдр

(Ашкинузе В.Г. О числе полуправильных многогранников, сб. «Математическое просвещение» (новая серия), выпуск 1, М.:Гостехиздат, 1957; Смирнова И.М. В мире многогранников, М.:Просвещение, 1995, Глейзер Г.И. История математики в школе, 9-10 класс, М.: Просвещение, 1995)


Правильные звездчатые многогранники

Кроме полуправильных многогранников из правильных многогранников - Платоновых тел, можно получить так называемые правильные звездчатые многогранники. Их всего четыре, они называются также телами Кеплера-Пуансо. Кеплер открыл малый додекаэдр, названный им колючим или ежом, и большой додекаэдр. Пуансо открыл два других правильных звездчатых многогранника, двойственных соответственно первым двум: большой звездчатый додекаэдр и большой икосаэдр.

Звездчатые многогранники очень декоративны, что позволяет широко применять их в ювелирной промышленности при изготовлении всевозможных украшений. Применяются они и в архитектуре. Многие формы звездчатых многогранников подсказывает сама природа. Снежинки - это звездчатые многогранники. С древности люди пытались описать все возможные типы снежинок, составляли специальные атласы. Сейчас известно несколько тысяч различных типов снежинок:

      • Звёздчатый октаэдр

      • Большой звёздчатый додекаэдр

      • Звездчатый кубооктаэдр

      • Звёздчатый икосододекаэдр

      • Звёздчатый икосаэдэр



Среди звездчатых форм икосаэдра встречаются некоторые соединения платоновых тел. Среди них: соединения пяти октаэдров, энантиоморфные формы соединения пяти тетраэдров и соединения десяти тетраэдров. Если бы Платон смог видеть эти формы, они привели бы его в восхищение. После того как были открыты эти и ряд других многогранников, ученые, естественно, задумались над вопросом: сколько существует звездчатых форм икосаэдра? Было доказано, что существует всего 59 звездчатых форм икосаэдра, из которых 32 обладают полной, а 27 неполной икосаэдральной симметрией. Мы представим некоторые виды икосаэдров:


hello_html_m51f65314.pnghello_html_m2699ed66.jpghello_html_61c84555.jpg


hello_html_66ffdc79.jpghello_html_m7600d844.jpghello_html_738d8f98.jpg


(http://ru.wikipedia.org; http://www.den-za-dnem.ru; Энциклопедия Кирилла и Мефодия. Электронное издание.)


  1. Додекаэдро-икосаэдрическая структура Вселенной

Именно древние греки впервые развили представление о мире как внутренне противоречивом, гармоничном целом. Основное достижение античной мысли - обнаружение всеобщей и повсеместной связи природы, отношения, соединяющего все ее элементы в одно великое целое.

hello_html_m1103bb0b.jpgВесьма оригинальна космологическая гипотеза Кеплера, в которой он попытался связать некоторые свойства Солнечной системы со свойствами правильных многогранников. Кеплер предположил, что расстояния между шестью известными тогда планетами выражаются через размеры пяти правильных выпуклых многогранников (Платоновых тел). Мhello_html_m69fbe1a9.jpgежду каждой парой небесных сфер, по которым, согласно этой гипотезе, вращаются планеты, Кеплер вписал одно из Платоновых тел. Вокруг сферы Меркурия, ближайшей к Солнцу планеты, описан октаэдр. Этот октаэдр вписан в сферу Венеры, вокруг которой описан икосаэдр. Вокруг икосаэдра описана сфера Земли, а вокруг этой сферы - додекаэдр.

Додекаэдр вписан в сферу Марса, вокруг которой описан тетраэдр. Вокруг тетраэдра описана сфера Юпитера, вписанная в куб. Наконец, вокруг куба описана сфера Сатурна.

Эта модель выглядела для своего времени довольно правдоподобно. Во-первых, расстояния, вычисленные при помощи этой модели, были достаточно близки к истинным (учитывая доступную тогда точность измерения). Во-вторых, модель Кеплера давала объяснение, почему существует только шесть (именно столько было тогда известно) планет - именно шесть планет гармонировали с пятью Платоновыми телами. Космология Платона (427-348 до н.э.) основывается на правильных многогранниках, называемых "телами Платона". Однако открыты они были раньше Платона, и детали открытия правильных многогранников остаются загадкой. Каждое из этих тел символизировало какое-то из пяти "начал" или "стихий": тетраэдр - тело огня, октаэдр - тело воздуха, гексаэдр (куб) - тело Земли, икосаэдр - тело воды, додекаэдр - тело мира или вселенской души.


Огонь Тетраэдр.

hello_html_7beb26ed.jpg hello_html_m3fc0491.png

Воздух Октаэдр

hello_html_42c48e37.jpghello_html_15bbfda4.png

Вода Икосаэдр

hello_html_7bc34c7d.jpg hello_html_m4a35a518.png

Земля Гексаэдр (куб)

hello_html_m1133423e.jpghello_html_7f6213aa.png

Вселенная Додекаэдр

hello_html_m35a6b9cd.jpg hello_html_69c550ef.png


Космология Платона стала основой так называемой икосаэдро-додекаэдрической доктрины, которая с тех пор красной нитью проходит через всю человеческую науку. Суть этой доктрины состоит в том, что додекаэдр и икосаэдр есть типичные формы природы во всех ее проявлениях, начиная с космоса и заканчивая микромиром.

Вопрос о форме Земли постоянно занимал умы ученых античных времен. И когда гипотеза о шарообразной форме Земли получила подтверждение, возникла идея о том, что по своей форме Земля представляет собой додекаэдр. Так, уже Платон писал: "Земля, если взглянуть на нее сверху, похожа на мяч, сшитый из 12 кусков кожи". Эта гипотеза Платона нашла дальнейшее научное развитие в трудах физиков, математиков и геологов. Так, французский геолог де Бимон и известный математик Пуанкаре считали, что форма Земли представляет собой деформированный додекаэдр.

Российский геолог С. Кислицин также разделял мнение о додекаэдрической форме Земли. Он высказал гипотезу о том, что 400-500 млн. лет назад геосфера додекаэдрической формы превратилась в гео-икосаэдр. Однако такой переход оказался неполным и незавершенным, в результате чего гео-додекаэдр оказался вписанным в структуру икосаэдра. В последние годы гипотеза о икосаэдро-додекаэдрической форме Земли была подвергнута проверке. Для этого ученые совместили ось додекаэдра с осью глобуса и, вращая вокруг нее этот многогранник, обратили внимание на то, что его ребра совпадают с гигантскими нарушениями земной коры (например, с Срединно-Атлантическим подводным хребтом). Взяв затем икосаэдр в качестве многогранника, они установили, что его ребра совпадают с более мелкими членениями земной коры (хребты, разломы и т.д.). Эти наблюдения подтверждают гипотезу о близости тектонического строения земной коры с формами додекаэдра и икосаэдра. Узлы гипотетического гео-кристалла являются как бы центрами определенных аномалий на планете: в них расположены все мировые центры экстремального атмосферного давления, районы зарождения ураганов; в одном из узлов икосаэдра (в Габоне) обнаружен "природный атомный реактор", еще работавший 1,7 млрд. лет назад. Ко многим узлам многогранников приурочены гигантские месторождения полезных ископаемых (например, Тюменское месторождение нефти), аномалии животного мира (оз. Байкал), центры развития культур человечества (Древний Египет, протоиндийская цивилизация Мохенджо-Даро, Северная Монгольская и т.п.).

Все эти примеры подтверждают удивительную прозорливость интуиции Платона.

(http://IM-possible.info/Russian/Art/index.HTML;http://im-possible.info/russian/art/index.html; http://wiki.irkutsk.ru/)


  1. Многогранники в природе.

Правильные многогранники – самые выгодные фигуры. И природа этим широко пользуется. Подтверждением тому служат форма пчелиных сот, скелет одноклеточного организма «феодарии», форма некоторых кристаллов. Взять хотя бы поваренную соль, без которой мы не можем обойтись. Известно, что она растворима в воде, служит проводником электрического тока. А кристаллы поваренной соли имеют форму куба.

В книге немецкого биолога Э. Геккеля можно прочитать такие строки: "Природа вскармливает на своем лоне неисчерпаемое количество удивительных созданий, которые по красоте и разнообразию далеко превосходят все созданные искусством человека формы".


Симметрия многогранников в биологии

Пчёлы - удивительные создания.

Пчелиные соты представляют собой пространственный паркет и заполняют пространство так, что не остается просветов.

Как не согласиться с мнением пчелы из сказки «Тысяча и одна ночь»: hello_html_m11048ffd.jpg

«Мой дом построен по законам самой строгой архитектуры познавая геометрию сот». ( Евклид)

Феодария

Сhello_html_m8a2e6f4.jpgкелет одноклеточного организма феодарии (Circogonia icosahedra) по форме напоминает икосаэдр. Большинство феодарий живут на морской глубине и служат добычей коралловых рыбок. Но простейшее животное пытается себя защитить: из 12 вершин скелета выходят 12 полых игл. На концах игл находятся зубцы, делающие иглу еще более эффективной при защите. Чем же вызвана такая природная геометризация феодарии?! Тем, по-видимому, что из всех многогранников с тем же числом граней именно икосаэдр имеет наименьший объем при наибольшей площади поверхности. Это свойство помогает морскому организму преодолевать давление водной толщи.

Интересно, что икосаэдр оказался в центре внимания биологов в их спорах относительно формы некоторых вирусов. Вирус не может быть совершенно круглым, как считалось раньше. Для того чтобы определить его форму, брали разные многогранники, направляли на них свет под теми же углами, что и поток атомов на вирус. Оказалось, что только один многогранник дает точно такую же тень - икосаэдр. (http://www.apiteka.ru/pics/DSCN0424.jpg)


Симметрия многогранников в химии

hello_html_m2518ec0a.jpgПравильные многогранники – самые выгодные фигуры. И природа этим широко пользуется. Подтверждением тому служит форма некоторых кристаллов. Взять хотя бы поваренную соль, без которой мы не можем обойтись. Известно, что она растворима в воде, служит проводником электрического тока. А кристаллы поваренной соли (NaCl) имеют форму куба.

При производстве алюминия пользуются алюминиево-калиевыми кварцами, монокристалл которых имеет форму правильного октаэдра.

Получение серной кислоты, железа, особых сортов цемента не обходится без сернистого колчедана (FeS). Кристаллы этого химического вещества имеют форму додекаэдра. В разных химических реакциях применяется сурьмянистый сернокислый натрий (Na5(SbO4 (SO4)) – вещество, синтезированное учёными. Кристалл сурьмянистого сернокислого натрия имеет форму тетраэдра.

Последний правильный многогранник – икосаэдр передаёт форму кристаллов бора (В). В своё время бор использовался для создания полупроводников первого поколения.

Проблема 'филосовского камня' и состоит в том, чтобы найти комплекс размерности, не меньшей 4-х, из которого можно было получить все природные кристаллы! Очевидно, что 'просто проекциями' или 'просто сечениями' ограничиться не удастся. Оказывается, не золото искали алхимики, а уравнение состояния для любых природных кристаллов, которое дороже любого золота!



Кристаллы

Мир кристаллов - мир не менее красивый, разнообразный, развивающийся, зачастую не менее загадочный, чем мир живой природы. Важность кристаллов для геологических наук состоит в том, что подавляющая часть земной коры находится в кристаллическом состоянии. В классификации таких фундаментальных объектов геологии, как минерал и горная порода, понятие кристалла является первичным, элементарным, аналогично атому в периодической системе элементов или молекуле в химической классификации веществ. По афористичному высказыванию известного минералога, профессора Санкт-Петербургского горного института Д.П. Григорьева, "минерал - это кристалл". Ясно, что свойства минералов и горных пород теснейшим образом связаны с общими свойствами кристаллического состояния.
Слово "кристалл" - греческое (κρισταλλος), исходное его значение - "лёд". Однако уже в античное время этот термин был перенесён на прозрачные природные многогранники других веществ (кварца, кальцита и т. п.), так как считалось, что это тоже лёд, получивший в силу каких-то причин устойчивость при высокой температуре. В русском языке это слово имеет две формы: собственно "кристалл", означающее возникшее естественным путем многогранное тело, и "хрусталь" - особый сорт стекла с высоким показателем преломления, а также прозрачный бесцветный кварц ("горный хрусталь"). В большинстве европейских языков для обоих этих понятий используется одно слово (сравните английские "Crystal Palace" - "Хрустальный дворец" в Лондоне и "Crystal Growth" - международный журнал по росту кристаллов).
С кристаллами человечество познакомилось в глубокой древности. Связано это, в первую очередь, с их часто реализующейся в природе способностью самоограняться, т. е. самопроизвольно принимать форму изумительных по совершенству полиэдров. Даже современный человек, впервые столкнувшись с природными кристаллами, чаще всего не верит, что эти многогранники не являются делом рук искусного мастера.

Форме кристаллов издавна придавалось магическое значение. Упоминания о "кристалле" (по-видимому, всё-таки речь идёт о "хрустале") неоднократно встречаются в Библии (см., напр.: Откровение Иоанна, 21, 11; 32, 1, и др.). В среде математиков существует аргументированное мнение, что прототипами пяти правильных многогранников (тел Платона) послужили природные кристаллы. Многим архимедовым (полуправильным) многогранникам также имеются точные или очень близкие аналоги в мире кристаллов. А в прикладном искусстве древности иногда в качестве образцов для подражания использовались кристаллические многогранники, причём и такие, которые заведомо не рассматривались тогдашней наукой. Например, в Государственном Эрмитаже хранится нитка бус, форма которых с высокой точностью воспроизводит характерную форму кристаллов красивого полудрагоценного минерала граната. Бусины эти изготовлены из золота (предположительно, ближневосточная работа I-V вв. н. э.). Таким образом, кристаллы с давних пор оказывали заметное воздействие на основные сферы интересов человека: эмоциональную (религия, искусство), идеологическую (религия), интеллектуальную (наука, искусство).

И, разумеется, не могло остаться без внимания одно из основных свойств кристаллов - их симметричность, визуально выражающаяся в закономерном, "правильном" расположении одинаковых граней кристалла. Как говорил творец современной теории строения кристаллов E.С.Фёдоров, "кристаллы блещут симметрией". (Банн Ч. Кристаллы: их роль в природе и науке, Москва, Издательство «Мир», 1970)


  1. Многогранники в изобразительном искусстве

Существование пяти правильных многогранников Пифагорейцы, а затем Платон относили к строению материи и Вселенной. Согласно этому мнению, атомы основных элементов должны иметь форму различных Платоновых тел:

   hello_html_m602ba353.jpghello_html_m7b2ddb8.jpg   hello_html_m144fa890.jpg   hello_html_m78504159.jpg   hello_html_4f8f7533.jpg

Математические изобразительное искусство процветает сегодня, и многие художники создают картины в стиле Эшера (Ма́уриц Корне́лис Э́шер (17 июня 1898 – 27 марта 1972) — нидерландский художник-график. Известен, прежде всего, своими концептуальными литографиями, гравюрами на дереве и металле, в которых он мастерски исследовал пластические аспекты понятий бесконечности и симметрии, а также особенности психологического восприятия сложных трёхмерных объектов) и в своем собственном стиле. Эти художники работают в различных направлениях, включая скульптуру, рисование на плоских и трехмерных поверхностях, литографию и компьютерную графику. А наиболее популярными темами математического искусства остаются многогранники и другие.

Правильные геометрические тела - многогранники - имели особое очарование для Эшера. в некотором роде он является отцом математического искусства. Математические идеи играют центральную роль в большинстве его картин за исключением лишь ранних работ. Большинство идей, часто используемых современными математическими художниками, были использованы Эшером, и его работы часто являются источником вдохновения для современных авторов. В его многих работах многогранники являются главной фигурой и в еще большем количестве работ они встречаются в качестве вспомогательных элементов. Существует лишь пять правильных многогранников, то есть таких тел, все грани которых состоят из одинаковых правильных многоугольников. Они еще называются телами Платона. Это - тетраэдр, гранями которого являются четыре правильных треугольника, куб с шестью квадратными гранями, октаэдр, имеющий восемь треугольных граней, додекаэдр, гранями которого являются двенадцать правильных пятиугольников, и икосаэдр с двадцатью треугольными гранями. На гравюре "Четыре тела" Эшер изобразил пересечение основных правильных многогранников, расположенных на одной оси симметрии, кроме этого многогранники выглядят полупрозрачными, и сквозь любой из них можно увидеть остальные.

Большое количество различных многогранников может быть получено объединением правильных многогранников, а также превращением многогранника в звезду. Для преобразования многогранника в звезду необходимо заменить каждую его грань пирамидой, основанием которой является грань многогранника. Изящный пример звездчатого додекаэдра можно найти в работе "Порядок и хаос". В данном случае звездчатый многогранник помещен внутрь стеклянной сферы. Аскетичная красота этой конструкции контрастирует с беспорядочно разбросанным по столу мусором. Заметим также, что анализируя картину можно догадаться о природе источника света для всей композиции - это окно, которое отражается левой верхней части сферы. Фигуры, полученные объединением правильных многогранников, можно встретить во многих работах Эшера. Наиболее интересной среди них является гравюра "Звезды", на которой можно увидеть тела, полученные объединением тетраэдров, кубов и октаэдров.

Если бы Эшер изобразил в данной работе, лишь различные варианты многогранников, мы никогда бы не узнали о ней. Но он по какой-то причине поместил внутрь центральной фигуры хамелеонов, чтобы затруднить нам восприятие всей фигуры. Таким образом, нам необходимо отвлечься от привычного восприятия картины и попытаться взглянуть на нее свежим взором, чтобы представить ее целиком. Этот аспект данной картины является еще одним предметом восхищения математиков творчеством Эшера.

hello_html_meb52856.pngПорядок и хаос hello_html_70efb03b.png Звезды

Исторически математика играла важную роль в изобразительном искусстве, в частности, при изображении перспективы, подразумевающей реалистичное изображение трехмерной сцены на плоском холсте или листе бумаги. Согласно современным взглядам, математика и изобразительное искусство очень удаленные друг от друга дисциплины, первая - аналитическая, вторая - эмоциональная. Математика не играет очевидной роли в большинстве работ современного искусства. Однако есть много художников, у которых математика находится в центре внимания.

Вообще-то не существует каких-либо правил или ограничений на использование различных тем в математическом искусстве. Однако есть некоторые, которые достаточно часто используются художниками. Среди них есть использование многогранников, тесселяций (от англ. "tessellation" – замощение – разбиение плоскости или пространства на фигуры без общих внутренних точек), невозможных фигур, лент Мёбиуса, искаженных или необычных систем перспективы, а также фракталов (Фрактал - объект, имеющий разветвленную структуру. Части фрактала подобны всему объекту. Фракталы используются в компьютерной графике для создания линий побережья, деревьев, облаков и других графических объектов. лат.Fractus - состоящий из фрагментов).


hello_html_m6ef5b9fa.pnghello_html_1cbe6e5c.pnghello_html_m636f1abe.pnghello_html_3b72379c.png

Фрактал Тесселяции Лента Мёбиуса

Леонардо да Винчи (Leonardo da Vinci) (1452-1519) известен своими достижениями в качестве изобретателя и художника. В его записных книгах содержатся первые из известных примеров анаморфного искусства, использующего искаженные сетки перспективы. Его наклонные анаморфные изображения представляют объекты, которые должны рассматриваться под углом, чтобы они выглядели неискаженными.

Иоганн Кеплер (1580-1630) более известен своими работами в астрономии, но также имел большой интерес к многогранникам. В своей книге "Harmonices Mundi" (1619) он опубликовал примеры заполнения плоскости плитками в виде правильных и звездчатых многоугольников в дополнение к многогранникам.


Невозможные фигуры

Невозможные фигуры - эти фигура, изображенная в перспективе таким способом, чтобы выглядеть на первый взгляд обычной фигурой. Однако при более внимательном рассмотрении зритель понимает, что такая фигура не может существовать в трехмерном пространстве. Эшер изобразил невозможные фигуры на своих известных картинах "Бельведер" (1958), "Восхождение и спуск" (1960) и "Водопад" (1961). Одним из примеров невозможной фигуры служит картина современного венгерского художника Иштвана Ороса (Istvan Orosz).

hello_html_382254f4.jpg

Istvan Orosz "Перекрестки" (1999). Репродукция гравюры по металлу.

На картине изображены мосты, которые не могут существовать в трехмерном пространстве. Например, есть отражения в воде, которые не могут быть исходными мостами.

hello_html_20886240.pnghello_html_m2d7ccf52.png

Бливет Арка в стиле «бливет»

В передней части находятся три круглых колонны и человек (типа, "строитель"). За колоннами расположено полупроницаемое зеркало с двумя прямоугольными колоннами позади. Фокус заключается в правильном подборе освещения: круглые колонны освещаются снизу, прямоугольные - сверху. Накладываясь в зеркале друг на друга, они создают предмет, известный под названием "бливет". И хотя это не очень честное решение, поскольку фактически бливет создается на двухмерной поверхности зеркала, все-таки он представляет собой объект реального мира.

hello_html_m4fe358ed.jpg  hello_html_1859abb2.jpg

Как устроен "Бливет".



hello_html_m2a204489.jpg

Укрупненный фрагмент картины с невозможным кубиком.

(Бенуа Фракталы и искусство ради науки, Кембридж, 1993; Бруно Эрнст Волшебное зеркало Эшера, Нью-Йорк, 1976; Гарри Абрамс Эшер – его жизнь и полностью графические работы, Нью –Йорк, 1982)

  1. Многогранники в архитектуре

В XIII-XVII вв. многогранники были основой архитектурных строений, больше всего применялись кубы, но по мере развития нашли применения и другие виды многогранников, такие как тетраэдр.
В наши дни многогранники – это главное открытие человечества. Где мы живем, на чем мы ездим, где учимся, где работаем, где покупаем и приобретаем товары и услуги – мы в постоянном окружении многогранников, все архитектурные строения возведены в виде многогранников.

Таким образом, многогранник – это величайшее открытие, которое использует человек. Многогранник – креп, устойчив, красив. Со временем все совершенствуется, каждая идея сегодня новая, а завтра уже старая; каждая идея стареет, но не забывается. Мир многогранников велик, он составляет 1/3 всего составляющего на земле.

Человек проявляет интерес к многогранникам на протяжении всей своей сознательной деятельности – от двухлетнего ребенка, играющего деревянными кубиками, до зрелого математика. Мы уже знаем, что некоторые из правильных и полуправильных тел встречаются в природе в виде кристаллов, другие – в виде вирусов, но мы рассмотрим, какова же цель применение многогранников в архитектуре.

Египет. История развития многогранников архитектуре уходит глубоко в историю. Многогранники начали использовать в архитектуре давно, более 7 тыс. лет. Великая пирамида в Гизе - Эта грандиозная Египетская пирамида является древнейшим из семи чудес древности. Древние архитекторы возводили пирамиды с высокой точностью, чему и удивляются современные архитекторы. Кроме того, это единственное из чудес, сохранившееся до наших дней. Во времена своего создания Великая пирамида была самым высоким сооружением в мире. И удерживала она этот рекорд, по всей видимости, почти 4000 лет.

hello_html_m4eea5fd1.jpg

Греция. Расцвет греческой архитектуры начался в V веке до н.э. Эта классическая эпоха неразрывно связана с именем знаменитого государственного деятеля Перикла. Во время его правления были начаты грандиозные строительные работы в Афинах - крупнейшем культурном и художественном центре Греции. Главное строительство велось на древнем укреплённом холме Акрополе. Парфенон - Центральный храм Акрополя. Строительство его началось в 447 г. до н.э.. Под его конструкцией специальный фундамент в виде многогранника, который помогает амортизировать землетрясения, что было главной идеей архитекторов того времени.

hello_html_m3b586c67.jpghello_html_466836a3.jpg

Китай. У Китая свои особенности использования многогранников в архитектуре. В основе лежит обязательно многогранник, который и служит основой для здания. Возводились столбы и выстраивали их по принципу многогранника, что придавало зданию прочность и устойчивость при землетрясении.

hello_html_m2d2bd9c8.jpg

Из этого следует, что многогранник – хорошая опора и отличный фундамент, на который возводят сооружения. Форма многогранника предает устойчивость здания при землетрясении и других внешних воздействий. Многогранники не только придают прочность и устойчивость архитектурным сооружениям, но и красоту, изящество. Многие здания настолько красивы и сложны по своей форме, что требуют большого количества времени, сил. Современные архитекторы приобрели навык применения изящества, состоящие из множества сложных элементов, требующих большой работы. Многогранник играет важную роль в жизни архитектуры. Строители очень ценят его за форму, которая придает зданию прочность, устойчивость, великолепие, красоту и изящество.

hello_html_28d30f02.jpghello_html_3377e1fd.jpg

hello_html_6a84cd34.jpg

(Я познаю мир: Детская энциклопедия. Архитектура. 1990; Левитин К.Е. Геометрическая рапсодия, М.: Знание,1976)

  1. Заключение

В результате своих исследований я узнала много интересного и полезного. Оказывается, жизнь человека с древнейших времен была связана с понятием правильного  многогранника. Удивительным является еще тот факт, что научные гипотезы, опирающиеся на свойства правильных  многогранников, встречаются  в  географии и астрономии, в химии и физике и других науках. Совершенство, красота, гармония – это то, что привлекло к ним внимание многих известных творческих людей. Сама природа не может существовать без них. Огромное удовольствие я получила от практической работы – изготовления многогранников по разверткам как готовым, так и выполненным лично. В дальнейшем я хочу ещё больше расширить свои знания по данному вопросу. В перспективе планирую изучить теоремы о правильных многогранниках, рассмотреть сечения многогранников плоскостью, есть желание изготовить звездчатые многогранники.

  1. Приложение

(ЛюстерникЛ.А. Выпуклые фигуры и многогранники, М.:Гостехиздат, 1956



hello_html_m154868c9.pngкуб







hello_html_m772ded22.pngтетраэдр



hello_html_m58fae1b6.pngоктаэдр




hello_html_3e587178.pngикосаэдр





hello_html_658e3370.pngдодекаэдр




hello_html_m4a4eac37.pngпространственная фигура, составленная из 7 кубов



hello_html_549cde4a.pngусеченный куб




hello_html_m71cf5e54.pngусеченный октаэдр





hello_html_m503df738.pngусеченный тетраэдр






Усеченный икосаэдр

Состоит из 32 граней, из которых 12 - правильные пятиугольники и 20 - правильные шестиугольники.


hello_html_36f735c7.png


Футбольный мяч представляет собой модель  многогранника  с 32 гранями, 20 из которых – правильные шестиугольники (белые), а 12 – правильные пятиугольники (чёрные). Такие  многогранники  называются полуправильными.

hello_html_16a873f0.jpg


Кубооктаэдр


hello_html_m771f30a4.png


hello_html_1402a267.pngромбокубооктаэдр



Ромбоусеченный кубооктаэдр


hello_html_m5d6dfb2.png







Икосододекаэдр

Имеет 12 граней - правильные пятиугольники и 20 граней - правильные треугольники.


hello_html_m7d938a19.png


Звездчатый октаэдр

Является объединением двух пересекающихся правильных тетраэдров, и для его изготовления требуются лишь одинаковые равносторонние треугольники.




hello_html_430a7dc4.png





Большой додекаэдр

Для этой модели нужен трафарет - равнобедренный треугольник с углами по 36 и 108 градусов (см. рисунок). Склеить 20 треугольных пирамид вершинами вниз, а затем склеить пирамиды вместе.


hello_html_2aee6511.png





Малый звездчатый додекаэдр

Модель можно изготовить, подклеивая пятиугольные пирамидки к граням додекаэдра.


hello_html_e45cced.png




hello_html_m129f0a65.pngБольшой звездчатый додекаэдр

Модель можно изготовить, подклеивая треугольные пирамидки к граням икосаэдра.

  1. Список используемой литературы


1. Александров  А. Д. Выпуклые многогранники, М:Гостехиздат, 1950.

2. Атанасян Л.С. Геометрия 7-9, 11 изд. доп. М: Просвещение, 2001 год.

3. Ашкинузе  В. Г. Многоугольники и многогранники. Энциклопедия элементарной математики, кн. IV (Геометрия), М:Физматгиз, 1963.
4. Ашкинузе  В. Г. О числе полуправильных многогранников, сб. «Математическое просвещение» (новая серия), вып. 1, М:Гостехиздат, 1957.
5. Банн  Ч. Кристаллы: их роль в природе и науке, Москва, Издательство «Мир», 1970.
6. Бенуа "Фракталы и искусство ради науки", Кембридж, 1993.

7. Бруно Эрнст. Волшебное зеркало Эшера, Нью-Йорк, 1976.

8. Гарри Абрамс. Эшер - его жизнь и полностью графические работы. Нью-Йорк, 1982.

9. Глейзер Г.И. «История математики в школе, 9-10 кл», М:Просвещение,1995 год.

10. Левитин К.Е. «Геометрическая рапсодия», М:Знание,1976 год.

11. Люстерник  Л. А. Выпуклые фигуры и многогранники, М:Гостехиздат, 1956.
12. Смирнова И.М. «В мире многогранников», М:Просвещение, 1995 год.

13. Энциклопедия Кирилла и Мефодия. Электронное издание.

14. Я познаю мир: Детская энциклопедия. Архитектура.1990

15. Интернет-ресурсы:

http://IM-possible.info/Russian/Art/index.HTML

http://im-possible.info/russian/art/index.html

http://wiki.irkutsk.ru/

iteach.rspu.edu.ru

http://www.distedu.ru

http://wapedia.mobi/

http://ru.wikipedia.org

http://www.den-za-dnem.ru

http://www.apiteka.ru/pics/DSCN0424.jpg
















hello_html_m4d466bb7.png


Автор
Дата добавления 02.11.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров529
Номер материала ДВ-116991
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх