Исследовательская работа "Загадочная квадратичная функция"

Что такое квадратное уравнение?

Уравнение вида  ax²+bx+c=0 , где a ≠ 0, b и c – произвольные числа, называется квадратным уравнением. Если а =1, то уравнение называется приведённым квадратным  уравнением.

Корни квадратного уравнения находятся по формулам:

Выражение D = b² – 4ac называют дискриминантом.

1. Если D> 0 — уравнение имеет два различных корня.

2. Если D < 0 — уравнение не имеет корней.

3. Если D = 0 — уравнение имеет два равных корня.

Что такое параметр?

Параметр - математическая  величина, входящая в математическую формулу и сохраняющая своё постоянное значение лишь в условиях данной задачи.  При решении таких задач необходимо привести ответ для каждого значения параметра. Принято обозначать неизвестные последними буквами латинского алфавита (х, у, z…), параметры – первыми буквами ( а, в, с…). Задачи с параметрами решаются теми же приемами, что и аналогичные задачи без параметра. При решении используются аналитические и графические способы.  Задачи с параметрами входят в экзаменационную работу за 9 класс, поэтому мы решили поближе познакомиться с данными задачами.

Определение. Квадратным уравнением с параметром а называется уравнение вида A(a)x² + B(a)x + +C(a)=0 (1) где A(a), B(a), C(a) – данные функции от параметра а, рассматриваемые на пересечении их областей определения.

В частности, некоторые из коэффициентов или свободный член могут быть числами.

Примеры:                                                            

(a + 1)x² + 3x − 7 = 0 , (1) 

ax² + x + a² − 1 = 0

(a² − 4)x² + 2ax + 4a = 0

(a−1)x² + √a ◦ x − a = 0

x² – 2ax + 3 = 0

Вот несколько простых примеров решения квадратных уравнений с параметром:

Пример. Найдите значения а, при которых данное уравнение имеет решение х² – 2(а – 1)х + 2а + 1 = 0.

Решение.

D = 4(а – 1)² – 4(2а + 10 = 4а² – 8а + 4 – 8а – 4 = 4а² – 16а

4а² – 16  0

4а(а – 4)  0

а(а – 4))  0

а(а – 4) = 0

а = 0 или а – 4 = 0

Ответ: а = 4.