Для всех учителей из 37 347 образовательных учреждений по всей стране

Скидка до 75% на все 778 курсов

Выбрать курс
Получите деньги за публикацию своих
разработок в библиотеке «Инфоурок»
Добавить авторскую разработку
и получить бесплатное свидетельство о размещении материала на сайте infourok.ru
Инфоурок Математика КонспектыИсследовательская работа "Золотое сечение" 7класс

Исследовательская работа "Золотое сечение" 7класс

библиотека
материалов

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

 «Гимназия № 5 г.Морозовска» 

 

 

      

 

 

 

 

 

Исследовательская  работа

 

 

тема:  «Золотое сечение»

 

 

 

 

 

 

Авторы  работы:

Волков Дмитрий(7В),Самодов Кирилл(7В)

Руководитель:

Соловьева Татьяна Зосимовна

Учитель математики

 

 

 

г. Морозовск

2021г.


 Содержание исследовательской работы

 

Оглавление

Введение. 3

Цели и задачи. 5

Теоретический раздел 6

Предметы быта 6

Архитектура 6

Искусство 7

Музыка 9

Поэзия 10

Религия 11

Человек 11

Исследовательская часть 13

Заключение. 19

Выводы: 19

Список использованной литературы.. 20

Приложение. 21

 

 

 

 

 

 


 

                                      «В геометрии существует два сокровища – теорема                                              Пифагора и деление     отрезка в крайнем и среднем отношении.

             Первое можно сравнить с ценностью золота, второе можно назвать драгоценным камнем».

 

Иоганн Кеплер

 

Введение

«Геометрия владеет двумя сокровищами - теоремой Пифагора и золотым сечением, и если первое из них можно сравнить с мерой золота, то второе - с драгоценным камнем.»

Иоганн Кеплер

«Золотого сечения» впервые был сформулирован в «Началах» Эвклида http://healdsburg-freemason.com/wp-content/uploads/2012/10/euclides.jpeg, самом известном математическом сочинении античной науки, написанном в III веке до н.э.

Если упростить задачу Эвклида, то отрезок линии АВ будет считаться разделенным точкой С (которая ближе к точке А) в «золотой пропорции», если отношение большей части СВ к меньшей АВ равно отношению всего отрезка АВ к большей части СВ, т.е. СВ:АС=АВ:СВ. Результатом решения этой задачи является иррациональное число, приблизительно равняющееся 1,618, которое и называют золотым сечением, золотым числом или золотой пропорцией.

Оно обладает множеством удивительных математических свойств, но стало одним из самых «популярных» чисел среди широкой публики благодаря своим применениям в живописи и, особенно, в архитектуре, а также обнаружению этой пропорции (и тесно связанных с ней чисел Фибоначчи) в живой природе. Золотое сечение использовал в своих работах знаменитый греческий скульптор Фидий, в честь которого это число называют числом Фидия и от имени которого пошло обозначение φ (впрочем, есть и другое обозначение – τ). Название «золотое сечение» ввел Леонардо да Винчи.

Одна из самых важных исторических работ, связанных с золотой пропорцией, – это книга Луки Панчоли под названием «Божественная пропорция». Историки подозревают, что иллюстрации этой книги были выполнены самим Леонардо до Винчи

https://im0-tub-ru.yandex.net/i?id=c5f8d7bb87a5dbe67c837048bb104448-l&n=13

Эпоха Возрождения стала новым дыханием для гармонического деления, особенно благодаря Леонардо да Винчи. Термин"золотое сечение" ввёл Леонардо да Винчи. Если человеческую фигуру "само совершенное творение вселенной" перевяжем поясом и отмерим потом расстояние от пояса до ступней, то эта величина будет относиться к расстоянию от того же поясе до макушки, как весь рост человека относится к длине от пояса до ступней

Золотое сечение использовал в своих работах знаменитый греческий скульптор Фидий, в честь которого это число называют числом Фидия и от имени которого пошло обозначение φ (впрочем, есть и другое обозначение – τ). Название «золотое сечение» ввел Леонардо да Винчи.

Это соотношение все больше начали использовать как в точных науках, таких как геометрия, так и в искусстве. Ученные и художники стали более глубоко изучать золотое сечение и создавать книги, рассматривающие этот вопрос

  

Парфенон, находится в Греции.

Это здание построено в 5 веке до н.э. зодчим Иктином, в честь богини Афины. Это здание – символ Греции, тоже построено по принципу золотого сечения. Оно считается совершеннейшим из архитектурных сооружений. Отношений высоты здания к его длине равно приближенно 0, 618. По вертикали здание также делится по золотому сечению с точностью до тысячных!!!

 

 

Цели и задачи

Цель работы показать, что принцип золотого сечения, который служит общим кодом для всех жизненных форм - это высшее проявление совершенства в жизни человека.

Тогда поставленные перед нами задачи звучат следующим образом:

познакомиться с понятием золотого сечения;

получить представление о практическом применении математических знаний в реальной жизни;

показать связь золотого сечения и здоровья человека;

исследовать применение принципов золотого сечения в жизни людей. 

Существует ли связь между поведением человека и его здоровьем. Ответы на этот вопрос  мы искали   в книгах  и интернете. Для дальнейшего исследования отобрали материалы, включили в нашу работу найденную информацию и выполнили расчеты. Не оставалось сомнений, что мы выбрали актуальную тему нашего проекта, и полученные выводы будут интересны не только учащимся нашей школы.

Исключительную важность для Человека и Человечества имеет приведение в гармоничное состояние полевых структур человека либо групп людей.

Состояние этих структур и есть то, как мы вписаны в окружающий мир, насколько мы гармоничны с ним и в нем. Это и есть то, насколько мы гармоничны с другими структурами и факторами окружающего мира, например, с болезнетворными микробами и вирусами, с озоновым слоем атмосферы и поверхностным слоем литосферы, с социальной и экономической ситуацией в обществе, с уровнем энергообеспеченности материальных объектов, в т. ч. и биологических. Понятие Библейского Рая надо рассматривать не в географическом смысле, а в смысле структуры Среды обитания, структуры Пространства, в котором мы живем.

 

Теоретический раздел

Золотое сечение - это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему a : b = b : c или с : b = b : а. Его также называют «божественным». Оно равно 0, 618.

 (рис.1)

От греческого Парфенона до раковины моллюска золотое сечение является золотым стандартом. Именно оно управляет всей нашей жизнью. Газета, которую вы читаете, монитор вашего компьютера, ваша кредитная карточка, лепестки цветка, листья дерева, здание на улице, – все это определяется одним принципом, одной пропорцией, одной гармоничной величиной. Закономерности "золотой" симметрии проявляются в энергетических переходах элементарных частиц, в строении некоторых химических соединений, в планетарных и космических системах, в генных структурах живых организмов. Вселенная словно зашифровала для нас в каждом уголке природы код, – уникальный и эстетически гармоничный: Божественную пропорцию, золотое сечение. За кажущимся хаосом, господствующим во Вселенной, где каждое событие и величина следуют неопределенному ходу событий, тем не менее, существует скрытый порядок. Четко определенная спираль служит общим знаменателем для тысяч биологических организмов, которые эволюционировали исключительно непредсказуемым образом.

 

Исследовательская часть

Предметы быта

Поскольку золотое число служит общим кодом для всех жизненных форм, – гармоничным тоном, в котором вибрирует Вселенная, – то неслучайно, что эта Божественная пропорция кажется нам гармоничной, так как мы из Вселенной возникли и ей принадлежим.

Это соотношение присутствует в спичечных коробках, визитных карточках, книгах и сотнях других повседневных предметов просто потому, что людям нравится эта пропорция.

Архитектура

Оно заложено в основе тысяч архитектурных сооружений во всем мире. Великая пирамида Гизы

 (рис.2),

 

штаб-квартира ООН в Нью-Йорке

 (рис.3)

и Собор Парижской Богоматери

 

(рис.4),

– у всех них имеется это соотношение. Фактически, греческий Парфенон представляет собой оду этой пропорции.

Даже сейчас, когда он стоит на развалинах, Парфенон в Афинах - это одно из самых знаменитых сооружений в мире. Он был построен в эпоху расцвета древнегреческой математики.

 

Парфенон (фотография)
Золотое сечение в архитектуре. Парфенон (пропорции)
 

 

 

 

 

 

 

 


Фасад Парфенона вписывается в прямоугольник, стороны которого образуют так называемое золотое сечение. Длина прямоугольника больше его ширины примерно в 1,6 раза. А это соотношение в математике принято считать «золотой пропорцией».

Золотое соотношение мы можем увидеть и в пирамиде Хеопса, и в здании собора Парижской Богоматери, и в храме Василия Блаженного на Красной площади.  

 

 

http://www.mjagkov.de/ser/uploads/Mosk1.serendipityThumb.jpg             sobor-parizhskoj-bogomateri-05

Золотая пропорция  применялась многими античными скульпторами.

Искусство

Известна золотая пропорция статуи Аполлона Бельведерского: рост изображённого человека делится пупочной линией в золотом сечении (талия делит совершенное человеческое тело в отношении золотого сечения  примерно  )                       

 

Скульпторы утверждают, что пропорции мужчин ближе к золотому сечению, нежели  пропорции женщин (однако, женщина в обуви на каблуках может оказаться ближе к золотым пропорциям).

Ещё в эпоху Возрождения художники открыли, что любая картина имеет определённые точки, невольно приковывающие внимание, так называемые зрительные центры. Таких точек всего 4, они делят величину изображения по горизонтали и вертикали в золотом сечении. Данное открытие у художников того времени получило название «Золотое сечение» картины.

Переходя к примерам в живописи, нельзя не остановить своего внимания на творчестве Леонардо да Винчи.

Портрет Моны Лизы привлекает нас тем, что композиция рисунка построена на «золотых треугольниках».

 

 

 

Мона Лиза (Джоконда) Леонардо да Винчи и золотые треугольники 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 (рис.5). Шедевр античного искусства.

Отношение между расстоянием от головы до стоп и от пупка до стоп равняется золотому числу фи (1,618), так же как отношение длины головы к расстоянию между глазами и подбородком; или отношение расстояния от носа до подбородка к расстоянию между губами и подбородком.

 

Музыка

Страдивари писал, что с помощью золотого сечения он определял места для f-образных вырезов на корпусах своих знаменитых скрипок. (рис.7)

Наибольшее количество музыкальных произведений, в которых имеется Золоте сечение, у Аренского (95%), Бетховена (97%), Гайдна (97%), Моцарта (91%), Шопена (92%), Шуберта (91%)

Поэзия

Если музыка – гармоническое упорядочение звуков, то поэзия – гармоническое упорядочение речи. Четкий ритм, закономерное чередование ударных и безударных слогов, упорядоченная размерность стихотворений, их эмоциональная насыщенность делают поэзию родной сестрой музыкальных произведений. Произведения Александра Сергеевича Пушкина, и в том числе «Евгений Онегин» - тончайшее соответствие золотой пропорции! Произведения Шота Руставели построены по принципу Золотого сечения.

  

    Его произведение "Витязь в тигровой шкуре" отмечают исключительную гармоничность и мелодичность его стиха.

   Поэма Руставели состоит из 1587 строф, каждая их которых состоит из четырех строк. Каждая строка состоит из 16 слогов и делится на две равные части по 8 слогов в каждом полустишии. Все полустишия делятся на двасегмента двух видов: А - полустишие с равными сегментами и четным количеством слогов (4+4); В - полустишие с несимметричным делением на две неравные части (5+3 или 3+5). Таким образом, в полустишии В получаются соотношения 3:5:8, что является приближением к золотой пропорции.

Религия

Почти весь заговор является нейтральным, чтобы не перегружать психику. Но в точке золотого сечения стоит очень жесткая фраза - «грызть-разгрызать», как удар скальпелем. В любом тексте информация, которая находится в золотом сечении, отправляется прямо в подсознание, это закон.

В своей докторской диссертации Черепанова подробно разбирает с точки зрения золотой пропорции одну из классических славянский психотехник - Иисусову молитву, известную на Руси под названием «умное делание»

 («Господи Иисусе Христе, сыне Божий…помилуй мя грешного»). Золотое сечение находится в ней перед словом «помилуй» и совпадая с кульминацией текста, делит его на две части - развернутое обращение и короткую смиренную просьбу.

Человек

Давно замечено, что жизнь человека протекает неравномерно. В ней четко прослеживается периодичность различных процессов, наличие переломных и кризисных моментов, качественных скачков. При этом периодичность жизненного процесса не может быть сведена к движению по кругу, когда мы все время возвращаемся к исходной точки, а скорее всего напоминает движение по спирали, когда как будто происходит также возвращение, но каждый раз на новом уровне.

Закономерности золотого сечения есть в строении отдельных органов человека и тела в целом, а также проявляются в биоритмах и функционировании головного мозга и зрительного восприятия, им подчиняются его душа, мысли…

Во внутреннем ухе человека имеется орган Cochlea ("Улитка"), который исполняет функцию передачи звуковой вибрации.

Работа сердца в отношении временных циклов и изменения давления крови оптимизированы по одному и тому же принципу - закону золотой пропорции.  Уже многие тысячелетия форма четырехгранной пирамиды является предметом размышлений для пытливого ума. В течение ряда лет в России проводятся исследования Пирамид в пропорциях Золотого Сечения. За эти годы Пирамиды построены в Запорожье и Воронеже, в Белгородской и Тверской областях, в Подмосковном Раменском и Тольятти, в Узбекистане и Башкирии. Самая большая Пирамида высотой 44 метра построена в конце 1999 года недалеко от Москвы на 38 км шоссе Москва-Рига.  Пирамиды изготовлены из непроводящего материала - стеклопластика или стеклобетона -  "без единого гвоздя"и ориентированы в Пространстве по земному меридиану. Грань Пирамиды "смотрит" точно на Полярную Звезду.

После завершения строительства Пирамиды высотой 22 метра на берегу озера Селигер летом 1997 года в Северном Полушарии планеты озоновый слой был приведен в норму, и мы начали забывать об "озоновых дырах".   Уже много лет в озере не было такой чистой воды, и теперь такой она будет всегда. Вдоль русла речек, протекающих возле Пирамиды, вскрылись новые родники, о которых не помнят даже старожилы. Впервые недалеко от Пирамиды аист свил гнездо. Цветы, занесенные в Красную Книгу, усеяли окрестные поляны Лекарственные препараты, помещенные в пирамиду, многократно усиливают свои специфические свойства и у них полностью исчезают побочные эффекты.

С давних пор ученые занимались поисками гармонии и совершенства. Одним из таких вопросов был деление отрезка таким образом, чтобы отношение частей было совершенным. Задолго до нашей эры, в различных точках мира, разные ученые, независимо друг от друга, находили это отношение, и у всех это отношение было одним и тем же. И сейчас мы с вами найдем такое деление отрезка, таким способом, каким его нашел знаменитый ученый Пифагор.

 

Исследовательская часть

В ваших тетрадях начерчен пятиугольник

С помощью этого пятиугольника мы найдем это совершенное отношение.

Постройте две диагонали пятиугольника

 

 

http://festival.1september.ru/articles/416369/img2.gif

 Измерьте отрезки АС и ВС и найдите отношение этих отрезков – меньшего к большему. Это отношение приближенно 0,6.

А теперь, найдите отношение длин отрезков ВС и АВ. Это отношение приближенно 0,6.

Что же получается? Отношение АС к ВС и отношение ВС к АВ приближенно равны 0,6! Составим верную пропорцию из этих отношений

- АС/ВС = ВС/АВ

Такую пропорцию, где меньшее так относится к большему, как большее к целому, назвали золотой пропорцией. А деление отрезка в таком отношении – золотым сечением

Слово сечение означает отсечь, рассечь, разделить.

Деление – сечение. Проведите остальные диагонали пятиугольника. Получили звезду.

внутри звезды- пятиугольник

И в этом пятиугольнике можно провести диагонали и получить звезду, и продолжать процесс можно бесконечно!

 

 

http://festival.1september.ru/articles/416369/img1.gif

Этот пятиугольник называется пентаграммой, знак школы Пифагора. Во времена Пифагора он считался магическим. Отношение частей его диагоналей, названное золотым сечением, и приближенно равное 0,6, а более точно 0,618, считалось идеальным. Недаром пятиконечная звезда всегда привлекала человека своей формой. Вы часто рисовали эту звезду, не задумываясь о ее совершенной форме. А мы с вами обосновали красоту этой фигуры с помощью математики! Сегодня пятиконечная звезда реет на флагах едва ли не половины стран мира.

Чем же объясняется такая популярность звездчатого пятиугольника? Тем, что совершенная форма этой геометрической фигуры радует глаз и разум.

Здание военного ведомства США имеет форму пентаграммы и получило название «Пентагон», что значит правильный пятиугольни

«Золотой прямоугольник» учебников

 

учебник

ширина

а (см)

длина

в (см)

отношение

а/в

Русский язык

17

21

0,81

История

14,7

21,5

0,68

Математика

14,5

21,5

0.67

Английский язык

21

29,5

0,71

География

20

26,5

0,755

Дидактика (матем)

14

21,5

0,651

Дневник

16,8

21,5

0,781

Из исследования можно сделать вывод, что форма учебников близка к золотому прямоугольнику.

Золотая пропорция в природе

Выбрал  растения,  которые я посчитал наиболее  красивыми. Сделал необходимые измерения между тройками листьев и посчитал соответствующие отношения (с точностью до тысячных).

                                                      art_3_5_clip_image093

Данные измерений и вычислений занесены в следующую таблицу:

 

Название

АС

СВ

АВ

АС/СВ

СВ/АВ

1.

алое

2 см

2 см

4 см

1

0,5

2.

денежное дерево - толстянка

2 см

2,5 см

4,5 см

0,8

0,55

3.

папоротник

2,2 см

2,4 см

4,6 см

0,916

0,521

4.

герань

1,5 см

2,5см

4 см

0,6

0,625

 

Из таблицы видно, что не все отношения получаются близкими к числу 0,618. Наиболее совершенным с точки зрения математики, оказался цветок под номером 4 герань . Следовательно, расположение листьев на стебле подчиняется «божественной пропорции».

Пропорция человеческого тела

Фамилия ,имя

От головы до талии (а), см

От талии до пола (в), см

Отношение

а/в

Богдановский Андрей

47

60

0,783

Васильева Лиза

62

112

0,553

Веренич Мария

64

93

0,688

Кравченко Даниил

63

102

0,617

Кузнецов Никита

69

95

0,726

Райков Александр

71

107

0,663

Хабарова Алина

67

108

0,620

Чечёткин Антон

62

105

0,590

Чумакова Анжела

61

87

0,701

 

Из 9-ти человек, участвовавших в исследовании, наименьшее отклонение от золотой пропорции среди учеников имеют: Кравченко Даниил и Хабарова Алина

 

Заключение

 

В заключении сформулирую наиболее популярное и понятное определение «золотого сечения».

Золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему.

Нами был проведен исторический экскурс и разобрана математическая сущность «золотого сечения», рассмотрено строение «золотых фигур».

Знакомство с принципами «золотого сечения», помогает видеть гармонию и целесообразность окружающих нас творений природы и человека. Можно сделать выводы:

·                                 во-первых, золотое сечение – это один из основных основополагающих принципов природы;

·                                 во-вторых, человеческое представление о красивом явно сформировалось под влиянием того, какой порядок и гармонию человек видит в природе.

Несмотря на неприятие «золотого сечения» современными «официальными науками, оно повсеместно используется в технике, во многих странах мира, в том числе в России, довольно крупные учёные продолжают изучать и искать практическое применение одному из «золотых» математических принципов.

 

Выводы:

·        Золотое сечение является отображением окружающегося мира 

·        Человеческое представление о красивом формировалось под влиянием порядка и гармонии

·        Закономерности «Золотого сечения» заложены в подсознании человека, они использовались и используются архитекторами в своих работах.

 

С возрастом увеличивается количество людей, выбирающих Золотую пропорцию.

Золотое сечение имеет большое применение в  нашей жизни. На летательных аппаратах с электромагнитными источниками  энергии  создаются прямоугольные ячейки с пропорцией золотого сечения. 

 


Список использованной литературы

 

Аплаксин А., Казанский собор. Историческое исследование о соборе и его описание. – Спб., 1911, 204 с.

Астапенко М. П., Сухаревская Е. Ю. «Природа и история родного края». Издательство «Баро» пресс, 2007, 320 с.

Ильин М.А. Исследования и очерки. –  М.: «Советский художник», 1976, 288 с.

Моложавенко В. С. «Морозовск». Ростовское книжное издательство, 1981, 68с.

Пидоу Дэн. Геометрия и искусство. - М.: «Мир», 1979, 156 с.

Погорелов А.В. Геометрия 7 – 9. Учебник. – М.: «Просвещение», 2006, 336с.

Саваренская Т.Ф. Архитектурные ансамбли Москвы. – М.:    «Стройиздат», 1997, 472 с.

Современный Энциклопедический словарь. – М.: «Большая Российская Энциклопедия», 1997, 1115 с.

Сонин А.С. Постижение совершенства: симметрия, асимметрия, дисимметрия, антисимметрия. – М.: «Знание», 1981, 208 с.

Ушаков Д.Н. Толковы         й словарь. – М.: Государственный институт «Советская энциклопедия»; ОГИЗ; Государственное издательство иностранных и национальных слов, 1935-1940, 676 с.

Шубников А.В., Копцик В.А. Симметрия в науке и искусстве. – Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004, 560 с.

Фотографии из личного архива.

www.architecture.artyx.ru

www.pages/marsu.ru/architectura/main.htm

www/rusarh.ru


Приложение№1

Картинки по запросу золотое сечение

Рис. 1 Золотое сечение

 

Картинки по запросу золотое сечение

Рис. 2 Раковина моллюска

Картинки по запросу пирамида Гизы

Великая пирамида Гизы (рис.3)

Картинки по запросу штаб квартира оон нью йорк

штаб-квартира ООН в Нью-Йорке(рис.4)

Картинки по запросу Собор Парижской Богоматери

Собор Парижской Богоматери(рис.5)

Картинки по запросу Страдивари f образная

Рис. 7 Скрипка

Приложение №2

Морозовский район

рис.10 Администрация городского поселения

 

 

рис.11 Здание районной поликлиники

 

 

рис.13 Краеведческий музей

 

рис.14 Памятник «Слава Советской Авиации»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Курс повышения квалификации
Курс профессиональной переподготовки
Учитель математики
Найдите материал к любому уроку,
указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
также Вы можете выбрать тип материала:
Проверен экспертом
Общая информация

Вам будут интересны эти курсы:

Курс повышения квалификации «Табличный процессор MS Excel в профессиональной деятельности учителя математики»
Курс повышения квалификации «Внедрение системы компьютерной математики в процесс обучения математике в старших классах в рамках реализации ФГОС»
Курс повышения квалификации «Педагогическое проектирование как средство оптимизации труда учителя математики в условиях ФГОС второго поколения»
Курс профессиональной переподготовки «Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания основ финансовой грамотности в общеобразовательной школе»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания информатики в начальных классах с учетом ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
Курс профессиональной переподготовки «Теория и методика обучения информатике в начальной школе»
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс профессиональной переподготовки «Инженерная графика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Развитие элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста»
Курс повышения квалификации «Методика преподавания курса «Шахматы» в общеобразовательных организациях в рамках ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Репетиторы онлайн

✅ Подготовка к ЕГЭ/ГИА
✅ По школьным предметам

✅ На балансе занятий — 1

Подробнее