Исследовательский проект "Методы решения уравнений 4-ой степени"

• 1 слайд

  Методы решения уравнения четвертой степени
  
  
  
  
  
  Выполнила Лысенко Василиса,
  учащаяся 9 «Г» класса МБОУ
  Руководитель: Кузьменко Надежда Алексеевна, учитель математики МБОУ гимназии №8
  

• 2 слайд

  Введение
  
  Практически все, что окружает современного человека – это все так или иначе связано с математикой. Решение многих практических задач сводится к решению различных видов уравнений, которые необходимо научиться решать.
  Актуальность работы в том, что задания, содержащие уравнения высших степеней, в последние годы стали появляться в ЕГЭ, олимпиадных заданиях по математике, при вступительных экзаменах в ВУЗы. Большинство учащихся с трудом справляются с решением уравнений со степенью выше 3, поскольку в школьном курсе алгебры 7-9 классов отводится очень мало времени, но умение решать такие уравнения необходимо при написании экзамена в форме ЕГЭ, при решении части С, причем математика является обязательным для сдачи предметом.
  
  

• 3 слайд

  Цель: исследование различных способов решения уравнения четвертой степени
  
  Задачи:
  1) изучить способы решения;
  2) сравнить способы решения; найти преимущества и недостатки каждого способа;
  3) выработать рекомендации для каждого из способов
  

• 4 слайд

  Теоретическая часть
  
  Уравнение – это равенство, которое выполняется лишь при некоторых значениях входящих в него букв. Буквы, входящие в уравнение, по условию задачи могут быть неравноправны: одни могут принимать все свои допустимые значения (их называют параметрами или коэффициентами уравнения); другие, значения которых требуется отыскать, называют неизвестными.
  Существуют формулы вычисления корней и для уравнений третьей и четвертой степеней. Однако эти формулы столь сложны, что ими практически не пользуются. Для уравнений пятой степени и выше не существует общих формул вычисления корней. Поэтому в современной математике разработаны различные методы, позволяющие находить с любой степенью точности приближенные значения корней уравнений.
  

• 5 слайд

  Основные методы решения целых рациональных уравнений
  При решении целых уравнений используют 2 метода решения целых уравнений:
  I.метод разложения на множители;
  I.1. Вынесения общего множителя за скобки. Если все члены многочлена имеют общий множитель, то, вынося его за скобки, получим разложение многочлена на множители.
  I.2. использование формул сокращенного умножения.
  I.3.Схема Горнера
  II.методвведения новой переменной.
  Перечислим наиболее часто встречающиеся типы замен.
  Замена y  =  x n ( степенная замена )
  Замена 𝑦= 𝑃 𝑛 (𝑥) или 𝑦=√ 𝑃 𝑛 (𝑥) ( замена многочлена )
  Замена𝑦= 𝑃 𝑛 (𝑥) 𝑄 𝑚 (𝑥) (дробно-рациональная замена).
  

• 6 слайд

  Метод разложение на множители.
  Решить уравнение:
  𝑥 4 + 𝑥 3 −4 𝑥 2 +𝑥+1=0
  
  Распишем: 4𝑥 2 =2 𝑥 2 +2 𝑥 2
  𝑥 4 −2 𝑥 2 +1+ 𝑥 3 +2 𝑥 2 +𝑥=0
  (𝑥 2 −1) 2 + 𝑥(𝑥 2 −2𝑥+1)=0
  𝑥−1 2 (𝑥+1) 2 +𝑥 (𝑥−1) 2 =0
  𝑥−1 2 ( 𝑥+1 2 +𝑥)=0
  𝑥−1 2 𝑥+1 2 +𝑥 =0 ⇒ 𝑥−1 2 =0 𝑥 2 + 3𝑥+1=0
  Ответ:
  𝑥=1; 𝑥= −3± 5 2
  
  

• 7 слайд

  Заключение
  Данные уравнения, мы решили 5 методами. Из них мне больше нравится метод разложения на множители, так как он короче и менее трудоемкий.
  Способ решения как возвратное уравнение , этот метод применяется не всегда, так как он не универсален и не во всех случаях подходит.
  Метод неопределенных коэффициентов также удобен в этом случае, но не все уравнения имеют целые корни, поэтому оптимален в определенных случаях.
  Графический способ решения уравнений энергоемкий и не дает точных ответов. Этот способ удобен для решения задач, где необходимо узнать сколько корней имеет уравнение, а не какие.
  Теорема Виета для уравнений высших степеней является универсальным методом. Но его редко используют, так как он трудоемкий.
  Для уравнений универсален метод Феррари. Но для этого случая он слишком энергоемкий.
  Моя работа значима для учащихся старших классов, которым предстоит встретиться с подобными задачами на Едином государственном экзамене или на вступительных экзаменах в ВУЗы.