Исторические сведения по теории групп. Использование теории групп в математике и смежных науках. Группы. Примеры конечных групп

Глава 3. Методическая разработка доклада на научное общество учащихся «Исторические сведения по теории групп. Использование теории групп в математике и смежных науках. Группы. Примеры конечных групп»

§ 1. Историческая справка

Создание алгебраической теории первоначально было связано с исследованиями алгебраических уравнений и систем линейных уравнений. В ходе своего исторического развития алгебраическая теория расширила и углубила предмет исследования, включив в него такие объекты как труппы, кольца, поля, алгебры, модули и т.д., так что в настоящее время ее можно охарактеризовать как теорию алгебраических структур, среди которых ее классические объекты играют важную роль.

Николя Бурбаки отмечают, что современная математика – это теория структур: алгебраических, топологических и структур порядка. к алгебраическим структурам, в частности, относится теория групп.

В качестве самостоятельного раздела математики теория групп начала оформляться в конце восемнадцатого века. Поначалу она развивалась медленно и практически не привлекала к себе внимания. Но затем, благодаря работам Галуа и Абеля о разрешимости алгебраических уравнений, теория групп совершила огромный скачок, который впоследствии оказал значительное влияние на развитие всей математики.

Галуа исследовал  проблему, решение которой с шестнадцатого века не давалось лучшим математикам: опираясь на работы Нильса Абеля, он дает полный ответ на вопрос о разрешимости алгебраических уравнений любых степеней в радикалах. Также он переносит центр тяжести исходной задачи на методы ее решения.

Долгое время идеи Галуа терпят неудачи. В Парижской академии наук дважды теряют его рукописи. В очередном варианте работы не могут разобраться рецензенты-академики. А сразу после смерти чудом уцелевший окончательный вариант работы не принимает к публикации ни один научный журнал.

И лишь спустя 35 лет после смерти Галуа, его идеи получили признание. В 1846 году Ж. Лиувилль опубликовал в своем журнале работу Галуа. Однако, она была оценена по достоинству не сразу. Первым, видимо, понял ее значение французский алгебраист Камиль Жордан. Но широкому проникновению идей теории групп в математическую науку мы в первую очередь обязаны ученикам Жордана, двум начинающим математикам: Феликсу Клейну и Софусу Ли.

Осознание в конце XIX в. принципиального единства теоретико-групповых идей, существовавших к тому времени независимо в разных областях математики, привело к выработке современного абстрактного понятия группы. Это был один из самых ранних примеров абстрактной алгебраической системы. Он послужил во многих отношениях образцом при перестройке других областей алгебры и всей математики на рубеже XX в. Изучение групп без предположения конечности и без каких бы то ни было"*предположений о природе элементов впервые оформилось в самостоятельную область математики с выходом книги О. Ю. Шмидта «Абстрактная теория групп».

В то же время алгебраическая теория является живой, развивающейся наукой, тесно связанной с другими разделами математики и имеющей в них многочисленные и важные приложения. Так. уже на начальной стадии обучения можно проследить глубокую взаимосвязь алгебраической теории с геометрией. Использование алгебраических и аналитических методов позволяет сделать более компактным и формализованным представление геометрических свойств; использование геометрических понятий делает более наглядными абстрактные алгебраические построения.

§ 2. Связь теории групп с различными науками. Применение теории групп

В настоящее время теория групп является одной из самых развитых областей алгебры, имеющей многочисленные применения как в самой математике, так и за ее пределами — в топологии, теории функций, кристаллографии, квантовой механике и других областях математики и естествознания. Конечной целью собственно теории групп является описание всех групповых композиций.

Алгебраические понятия и методы составляют неотъемлемую часть математических основ теоретической физики, электротехники, радиофизики, теории колебаний, теории кодирования.

Известно, например, что группы преобразований пространственно-временных координат, изученные Лоренцем и Пуанкаре, дали математическую основу для построенной Эйнштейном специальной теории относительности.

С понятием группы тесно связано широко распространенное в природе понятие симметрии. симметричны не только снежинки, пчелиные соты, кристаллы поваренной соли и кварца. Элементарные частицы тоже подчиняются «закону симметрии» - зарядовому сопряжению, согласно которому каждой частице соответствует античастица. Проявлением симметрии окружающего нас мира является принцип относительно Галилея, законы сохранения энергии, количества движения, электрического заряда.

Изучение закономерностей симметрии, общих для самых различных ее проявлений, и привело к созданию специального математического аппарата, называемого теорией групп.

Понятие группы позволяет в точных терминах охарактеризовать симметричность той или иной геометрической фигуры. Именно с таких позиций Е. С. Федоров) решил задачу классификации правильных пространственных систем точек, являющуюся одной из основных задач кристаллографии. Плоских федоровских групп существует всего 17, они были найдены непосредственно. Пространственных же федоровских групп существует 230, и только теория групп позволила провести их исчерпывающую классификацию. Это был исторически первый случай применения теории групп непосредственно в естествознании.

Аналогичную роль играет теория групп в физике. Так, в квантовой механике состояние физической системы изображается точкой бесконечномерного векторного пространства. Если физическая система переходит из одного состояния в другое, то изображающая ее точка подвергается линейному преобразованию. Соображения симметрии и теория представлений групп линейными преобразованиями имеют здесь первостепенное значение.

Указанные примеры иллюстрируют классифицирующую роль теории групп всюду, где речь идет о симметрии.

В геометрии примером групп являются группы самосовмещений правильных многогранников. В трехмерном евклидовом пространстве их всего 5: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр. Одной из задач геометрии является нахождение необходимых и достаточных условий равенства фигур. Например, признаки равенства треугольников. Группы преобразований приводят к решению данной задачи.

Таким образом, лежащее в фундаменте современной математики понятие группы является весьма разносторонним орудием самой математики — оно используется как важнейшая составная часть ряда сложных алгебраических систем, как чуткий отражатель свойств различных объектов топологии, как испытательный полигон теории алгоритмов и многими иными путями. Вместе с тем группы — это мощный инструмент познания одной из наиболее глубоких закономерностей реального мира — симметрии.

§ 3. Понятие группы

Рассмотрим множество целых чисел.  Под множеством понимают любую совокупность объектов, называемых элементами множества. множества с конечным числом различных элементов могут быть описаны путем явного перечисления всех элементов; обычно эти элементы заключают в фигурные скобки.

Например, {1,2,4,8}.

Рассмотрим множество целых чисел.  Обычно его обозначают – Z. Это множество бесконечное, так как состоит из бесконечного числа элементов. Целые числа можно складывать между собой. Получили, что дано множество – целых чисел и операция – сложения. Рассмотрим некоторые свойства, которыми обладает данное множество с заданной операцией.

1.                     Два элемента множества, т. е. два целых числа можно всегда сложить и результат сложения – сумма определяется однозначно.

2.                     Из начальной школы известен сочетательный закон сложения, который позволяет расставлять скобки различными способами при выполнении сложения, при этом сумма остается неизменной.

Множество целых чисел также обладает сочетательным законом сложения, т. е.

Для любых целых чисел а, в и с выполняется равенство (а+в)+с=а+(в+с).

3.                     0 – целое число. Если любое целое число сложить с нулем, то сумма будет равна числу, т. е.

Для любого целого числа а выполняется а+0=0+а=а.

4.                     Когда можно получить при сложении двух целых чисел в сумме 0? Например, 2+(-2)=0, 5+(-5)=0, 376+(-376)=0.

Таким образом,

Для любого целого числа а выполняется равенство а+(-а)=0

Современная алгебра как раздел математики занимается вопросами, связанными с множествами, на которых заданы некоторые операции. Причем с точки зрения алгебры совершенно безразлично, из каких элементов состоит множество, важно лишь, какими свойствами обладают имеющиеся на этом множестве операции. Чаще всего под операцией подразумевается правило (закон), по которому двум элементам из множества, взятым в определенном порядке, сопоставляется третий элемент из этого множества. Такие операции называются бинарными.

Бинарная операция на множестве — это соответствие, при котором каждой упорядоченной паре элементов данного множества отвечает однозначно определенный элемент этого же множества. Результат применения этой операции к заданной паре элементов записывают в символическом виде

Группа определяется как множество, на котором введена одна алгебраическая операция, подчиненная набору аксиом.

Понятие группы – одно из важнейших понятий математики. И так, что же такое группы? Группа — непустое множество с определённой на нём бинарной операцией, удовлетворяющей определенным аксиомам.

Определение. Множество  с заданной на нем операцией   называется группой, если выполнены следующие условия:

1)                      - бинарная операция;

2)                      - ассоциативная бинарная операция, то есть для любой тройки элементов и  из  выполняется равенство

3)                     Существование единичного элемента. Существует единичный элемент  множества , такой что  для любого элемента  из ;

4)                     Симметризуемость. Для каждого элемента  из  существует единственный элемент  множества , такой что

Когда дано определение группы, оказывается что с многими примерами групп знакомы школьники. Например, множество рациональных чисел с операцией сложения, множество действительных чисел с операцией сложения, множество рациональных чисел без нуля с операцией умножения, множество действительных чисел без нуля с операцией умножения.

Множество целых чисел с операцией вычитания группой не является, так как отсутствие ассоциативности подтверждается примером .

Если рассмотреть множество с нулем по умножению то не будет выполнять свойство симметризуемости элементов, так как нейтральным элементом является 1, а какое бы число мы на нуль не умножали никогда 1 не получим.

Также для групп чаще всего применяют так называемые аддитивную и мультипликативную формы записи.

В аддитивной форме операцию обозначают «+» и называют сложением, нейтральный элемент обозначают «0» и называют нулем, а элемент, симметричный для а, обозначают «-а» и называют противоположным элементу а.

В мультипликативной форме операцию обозначают «∙» и называют умножением, нейтральный элемент обозначают «1» и называют единицей, элемент симметричный для а, обозначают а−1 и называют обратным для элемента а.

Общая форма записи	Аддитивная форма записи	Мультипликативная форма записи
Операция
Нейтральный элемент
Симметричный элемент

§ 4.  Примеры конечных групп

Определение. Группа   называется конечной, если она состоит из конечного числа элементов.

Определение. Группа  называется бесконечной, если она состоит из бесконечного числа элементов.

Рассмотрим примеры конечных групп. Для удобства результаты операций записывают в конечных группах в таблицы, называемые таблицами Кэли.

Группа классов вычетов по модулю m.

Пусть m – натуральное число, Z – множество целых чисел. На множестве целых чисел можно задать отношение сравнимости.

Определение: Два целых числа a и b сравнимы по модулю m, если остатки от деления чисел a и b на m совпадают, то есть

a=mq+r, b=ms+r.

Обозначение: .

Определение: Натуральное число m  называется модулем сравнения.

Пример: 1. , так  как 75=5·15+0, 45=5·9+0. Остатки от деления на 5 совпадают и равны 0.

               2. , так  как 36=5·7+1, 106=5·20+1. Остатки от деления на 5 совпадают и равны 1.

                3. , так как

                4.  , так как

Рассмотрим сравнение . Также , . Все эти сравнения имеют общий модуль m=5 и остатки от деления на 5 совпадают и равны 0. Целых чисел, которые при делении на 5 дают остаток 0 бесконечно много (целых чисел бесконечно много).

Определение: Множество всех чисел сравнимых с a по модулю m называется классом вычетов числа a по модулю m

 Обозначение: .

Число классов вычетов числа a по модулю m совпадает с числом остатков от деления на число m. Перечислим классы вычетов числа a по модулю m: . Таким образом, число классов вычетов числа a по модулю m конечно и равно m. Множество, состоящее из вычетов числа a по модулю m, обозначается  Z_m .

Z_m ={}.

Введем на множестве Z_m  операцию сложения. Пусть  и  - два любых класса. Тогда

Покажем, что операция сложения введена корректно. Выберем в каждом из классов  и  любое число. Например, а и в. Тогда , . Составим сумму двух целых чисел а и в - а + в.  Разделим ее на m.

 Пусть  a=mq+k, b=ms+l . Тогда

а + в = mq+k+ ms+l=m(q+s)+k+l.

В остатке получим либо k+l, если  k+l <m либо k+l-m, если k+l m.

Операция сложения – бинарная операция, так как для любых двух классов результат сложения всегда единственный, существует и принадлежит множеству Z_m .

Пример: Рассмотрим множество Z₃ . Z₃ ={}. Так как множество конечное, то удобно использовать таблицу Кэли для нахождения результатов операции сложения на множестве Z₃ .

+
	+=0+0=0=
	+=0+2=2=	+=1+2=3=3+0=	+=2+2=4=3+1=

Докажем, что множество Z_m  относительно операции сложения образует группу.

Пример: 1. (Z₃ ,+) –группа.

               2. (Z₄ ,+) –группа. Составить для 3 примеров таблицы Кэли.

               3. (Z₅ ,+) –группа.

Введем на множестве Z_m  операцию умножения. Пусть  и  - два любых класса. Тогда

t – неполное частное при делении с остатком числа kl на m. kl=mt+r, r=kl-mt.

Покажем, что операция умножения введена корректно. Выберем в каждом из классов  и  любое число. Например, а и в. Тогда , . Составим произведение двух целых чисел а и в - а в.  Разделим ее на m.

 Пусть  a=mq+k, b=ms+l . Тогда

а в =( mq+k)(ms+l)=mqms+mql+kms+kl=m(qms+ql+ks)+kl.

Пусть qms+ql+ks=t. Тогда

а в =mt+kl.

В остатке получим либо kl, если  kl <m либо kl-mt, если k+l m.

Операция умножения – бинарная операция, так как для любых двух классов результат умножения всегда единственный, существует и принадлежит множеству Z_m .

Пример: 1. (Z₃ ,+) –группа.

               2. (Z₄ ,+) –группа. Составить для 3 примеров таблицы Кэли.

               3. (Z₆ ,+) –группа.

§ 5.  Изоморфизм групп

Группы с совпадающими (при подходящем переименовании действий)таблицами умножения (сложения) называются изоморфными.

Изоморфизм двух групп означает, что законы, которым подчиняются операции в двух группах не различаются, т. е. идентичны. и что всякое свойство присущее операции в одной группе присуще и операции в изоморфной ей группе. поэтому абстрактный группы отождествляют между собой. Это приводит к возникновению абстрактной группы, природа элементов которой может быть разной.

Рассмотрим, с одной стороны, группу поворотов  правильного треугольника, а с другой стороны, содержащуюся в группе всех под­становок из трех цифр подгруппу , состоящую из трех элементов Р₀, Р₃, Р₄. Мы обозначили элементы группы  через а₀, а₁, а₂. Установим теперь между элементами группы  элементами группы   следующее взаимно однозначное соответствие:

а₀      Р₀

а₁      Р₃,

а₂      Р₄.

Это соответствие сохраняет умножение в следующем смысле. Если какой-либо элемент в левом столбце может быть записан в виде произведения двух элемен­тов (конечно, того же левого столбца), например, а₀а₁ =  а₁ или а₁ а₁=а₂ или а₁а₂ = а₀, и если мы каждый элемент полученного равенства заменим соответствую­щим элементом правого столбца, то равенство останется справедливым.

Мы видим, что группы  и  хотя и состоят из элементов различной природы (одна группа состоит из поворотов треугольника, а другая из подстановок цифр), но устроены они одинаково: таблицы умножения этих групп отличаются лишь обозначениями и, следо­вательно, заменой обозначений, т. е. переименованием элементов, они могут быть приведены к одинаковому виду.

Такие группы, которые при надлежащем выборе обозначений элементов таблицы умножения оказываются тождественными (одинаковыми), называются изоморф­ными группами.

Обыкновенно понятие изоморфизма высказывают в немного отличной форме. Дело в том, что «переиме­нование» элементов в таблице умножения, о котором шла речь в нашем определении изоморфизма, по суще­ству, сводится к установлению взаимно однозначного соответствия между элементами двух групп. Мы теперь дадим определение изоморфизма, непосредственно исхо­дящее из понятия взаимно однозначного отображения.

Определение. Пусть дано взаимно однознач­ное соответствие

g      g’

между множеством всех элементов группы G и множе­ством всех элементов группы G’. Мы скажем, что это соответствие есть изоморфное соответствие (или изоморфизм) между двумя группами, если выполнено условие сохранения умножения, гласящее: каково бы ни было соотношение вида

g₁g₂ = g₃,

между элементами одной группы, например, G, соотно­шение, получаемое при замене элементов g_1,  g₂ , g₃, группы G соответствующими им в группе G' элементами g’_1,  g’₂ , g’₃, группы G’ также оказывается справедливым: g’₁ g’₂ = g’₃.

Определение. Две группы называются изо­морфными, если между ними возможно установить изоморфное соответствие.

Примечание. Если требовать, чтобы всегда из равенства

g₁g₂ = g₃,

 (в группе G)

следовало равенство  g’₁ g’₂ = g’₃.

для элементов группы G', соответствующих элементам g_1,  g₂ , g₃, то имеет место и обратное, а именно:

если для каких-либо трех элементов g’_1,  g’₂ , g’₃  группы G’ имеет место соотношение

g’₁ g’₂ = g’₃.

то для элементов g_1,  g₂ , g₃, группы G, соответствующих элементам g’_1,  g’₂ , g’₃  также выполнено соотношение

g₁g₂ = g₃.

§ 6.  Приложение

¡

           Николя Бурбаки

¡ Николя́ Бурбаки́ (фр. Nicolas Bourbaki) — коллективный псевдоним группы французских математиков (позднее в неё вошли несколько иностранцев), созданной в 1935 году. Шарль Дени Бурбаки, французский генерал, фамилия которого была взята в качестве псевдонима

¡

            Галуа Эварист

¡ (26.10.1811, Бур-ла-Рен, близ Парижа, —30.5.1832, Париж), французский математик, исследования которого оказали исключительно сильное влияние на развитие алгебры. Построенная в результате этого Галуа теория, устанавливая описание расширений полей в терминах групп, напоминающее описание симметрии многогранника, сводит вопросы, касающиеся полей, к вопросам теории групп (возникшей именно отсюда).

¡

      Абель, Нильс Хенрик

¡ (норв. Niels Henrik Abel; 5 августа 1802, Фингё — 6 апреля 1829, Фроланд близ Арендаля) — норвежский математик. «Абель оставил математикам столь богатое наследие, что им будет чем заниматься в ближайшие 150 лет» (Шарль Эрмит). В алгебре Абель нашёл необходимое условие для того, чтобы корень уравнения выражался «в радикалах» через коэффициенты этого уравнения. Достаточное условие вскоре открыл Галуа, чьи достижения опирались на труды Абеля. Абель привёл конкретные примеры уравнения 5-й степени, чьи корни нельзя выразить в радикалах, и тем самым в значительной степени закрыл древнюю проблему.

¡

         Лиувилль, Жозеф

¡ (фр. Joseph Liouville; 24 марта 1809 — 8 сентября 1882) — французский математик. Кроме академических достижений он был очень талантливым организатором. Лиувилль основал «Журнал чистой и прикладной математики» (Journal de mathématiques pures et appliquées), который поддерживает свою репутацию до настоящего времени, для продвижения математических работ. Лиувилль первым прочитал неопубликованные работы Галуа и осознал их важность, они были опубликованы им в журнале в 1846 году.

¡

Жордан, Мари Энмон Камиль

¡ (фр. Marie Ennemond Camille Jordan, 5 января 1838 — 22 января 1922) — французский математик, известный благодаря своим фундаментальным работам в теории групп. Член Парижской Академии Наук (1881г.) Написал первый систематический куре теории групп и теории Галуа (1870г.). "Трактат о подстановках", разъяснивший и дополнивший краткие и сжатые исследования Э. Галуа, сделал их достоянием широких математических кругов. Изучал линейные группы и их подгруппы, ввел понятие факторгруппы. Первый исследовал бесконечные группы.

¡

      Коши, Огюстен Луи

¡ (фр. Augustin Louis Cauchy; 21 августа 1789, Париж — 23 мая 1857, Со, Франция) — великий французский математик и механик, член Парижской академии наук, Лондонского королевского общества, Петербургской академии наук и других академий. После окончания инженерной школы Коши получил ответсвенное поручение по постройке военного порта в Шербуре. Здесь в 1811г. он написал свой первый мемуар о многогранниках, Затем последовали еще мемуары по теории многогранников, о симметрических функциях, алгебраических уравнениях, по теории чисел.

Группы в кристаллографии

Кристаллическая структура поваренной соли

Кристаллическая структура алмаза

Кристаллическая структура графита