Конспект факультативного занятия по теме «Решение уравнений с модулем». 10 класс

Конспект факультативного занятия по теме «Решение уравнений с модулем». 10 класс

Цель занятия: Систематизировать знания учащихся по теме «Модуль», рассмотреть применение данных понятий при решении линейных, квадратных, дробно-рациональных уравнений, содержащих модуль. Работа над развитием логического мышления учащихся, культурой их математической речи, воспитывая у учащихся ответственное отношение к труду.

Ход занятия:

I.                   Актуализация опорных знаний

   Вспомнить:

1.     Определение модуля:

2.     Некоторые свойства модуля:

* любое

* при

*

     3. Геометрический смысл модуля:

 

  

  

    4. Решение уравнения

Пример: Решите уравнение

Решение: 1) пусть 3x + 2 ≥ 0, тогда 3x + 2 = 1, 3x = - 1, x = -

             2) пусть 3x + 2 < 0, тогда 3x + 2 = - 1, 3x = - 3, x = - 1

Ответ:   x = - , x = - 1.

II.                 Изучение нового материала

Можно предложить учащимся несколько иной план решения уравнений.

1.      Находим точки, т.е. значения переменной, при котором выражения, стоящие под знаком модуля, обращаются в нуль.

2.      Разбиваем область допустимых значений переменной на промежутки, на каждом из которых выражения, стоящие под знаком модуля, сохраняют знак.

3.      На каждом из найденных промежутков решаем уравнение без знака модуля.

4.      Совокупность решений указанных промежутков и составляет все решения заданного уравнения

Пример 1: Решить уравнение  (объясняю сам)

Решение:

1.     X ≤ 0;

          - x + x + 2 = 2, 0·x = 4 – решений нет;

2.     0 < x < 2;   

            x + x – 2 = 2, 2x = 4, x = 2 – не входит в рассматриваемый

            промежуток;

3.     X ≥ 2;        x – x + 2 = 2, 2 = 2,

Ответ:

Пример 2: Решить уравнение  (один ученик решает на доске с моей помощью)

Решение:

1.      X < - 1,5;

- X + 1 + x – 2x – 3 = 2x + 4, - 4x = 6, x = - 1,5 –(не входит)

2.      – 1,5 ≤ x < 0;

              -X + 1 + x + 2x + 3 = 2x + 4,  0·x = 0,

      3. 0 ≤ x 1;

          -x + 1 – x + 2x + 3 = 2x + 4, -2x = 0, x = 0, ( входит)

      4. x ≥ 1;

          X – 1 – x + 2x + 3 = 2x + 4, 0·x = 2, - решений нет

      Ответ:

При решении первых двух уравнений мы повторяем и решаем системы уравнений и неравенств.

Пример 3: Решить уравнение (3 –

Решение: Множитель  обращается в нуль при . При этом значении x (оно положительно) дробь положительна; следовательно, левая часть уравнения определена, а число  является его корнем.

Рассмотрим два случая.

1)      Тогда выражение под знаком модуля в правой части уравнения положительно. После деления обеих частей уравнения на отличное от нуля выражение получим откуда или или что не удовлетворяет неравенству  Таким образом, первый случай не дает решений исходного уравнения.

2)       Тогда выражение под знаком модуля в правой части уравнения отрицательно. Разделим обе части уравнения на , получим откуда или  или Так как то также не является корнем исходного уравнения.

Ответ:

Пример 4: Решите систему:

Решение: решениями квадратного неравенства  являются все x из промежутка  .

Рассмотрим уравнение данной системы. Для его решения рассмотрим два случая.

1)      . Тогда и уравнение примет вид Очевидно, что последнее уравнение не имеет решений.

2)      . Тогда имеем  откуда

где n – целое. Учитывая, что , получим ограничения на n:

откуда  n = 2 или n = 3. Если n = 2, то что удовлетворяет условию . Если же n = 3, то и условие не выполняется. Итак, единственным значением x, удовлетворяющим системе, является  

Ответ:

III Итог урока:

Пример 5:  Решить уравнение

(Это завершающее, логически очень хорошее уравнение, подводящее итог всего занятия, которое я решаю с привлечением учащихся)

Во-первых, Тогда

Так как то

               Ответ: 2.

Подводим итог занятия. Выделяем то новое, чему научились ребята, поощряем словесно их работу на занятии.

Упражнения для самостоятельной работы учащихся.

Решить уравнения:

1.     

2.     

3.     

4.