Конспект по алгебре "Степень с рациональным показателем"

Тема урока: Степень с рациональным показателем.

Цель урока: 1. Расширить понятие степени, дать понятие степени с рациональным показателем; научить переводить степень с рациональным показателем в корень и наоборот; вычислять степени с рациональным показателем.

     2. Развитие памяти, мышления.

     3. Формирование активности.

                                   Ход урока.

I.  Сообщение темы и цели урока.

II. Повторение и закрепление пройденного материала.

1. Разбор нерешенных домашних примеров.

2. Контролирующая самостоятельная работа:

Вариант 1.                      

1. Решить уравнение:  √(2х – 1) = 3х – 12

2. Решить неравенство: √(3х – 2) ≥ 4 – х

Вариант 2.

1. Решить уравнение:  3 – 2х = √(7х + 32)

2. Решить неравенство:  √(3х + 1) ≥ х – 1

III. Изучение нового материала.

1. Вспомним расширение понятия чисел: N є Z є Q є R.

Это лучше представить в виде приведенной ниже схемы:

Натуральные (N)

Ноль

Неотрицательные числа

Отрицательные числа

Дробные числа

Целые числа (Z)

Иррациональные

Рациональные (Q)

Действительные числа

2. В младших классах было определено понятие степени числа с целым показателем. а) Вспомните  определение степени а) с натуральным, б) с целым отрицательным, в) с нулевым показателем.  Подчеркнуть, что выражение aⁿ имеет смысл при всех целых n и любых значениях а, кроме а=0 и n≤0.

б) Перечислите свойства степеней с целым показателем.

3. Устная работа.

1). Вычислить:      1^-5; 4^-3 ; (-10)⁰ ; (-5)^-2 ; (1/2)^-4 ; (3/7)^-1  .

2). Запишите в виде степени с отрицательным показателем:                

  1/4⁵ ;1/21³ ; 1/х⁷ ; 1/а⁹ .

3).Сравните с единицей: 12^-3 ; 21⁰  ; (0,6)^-5 ; (5/19)^-4 .

4.  Теперь необходимо понять смысл выражений 3^0,4 ;   4^5/7 ; 5^-1/2  и т.д. Для этого надо таким образом обобщить понятие степени, чтобы выполнялись все перечисленные свойства степеней. Рассмотрим равенство (a^m/n)ⁿ = а^m. Тогда по определению корня п-й степени разумно считать, что a^m/n  будет корнем п-й степени из числа a^m . Дается определение степени с рациональным показателем.

5. Рассмотреть примеры 1 и 2 из учебника.

6. Сделаем ряд замечаний, связанных с понятием степени с рациональным показателем.

Замечание 1: Для любого а>0 и рационального числа r число a^r >0  

Замечание 2: По основному свойству дробей рациональное число m/n можно записать в виде  mk/nk для любого натурального числа k. Тогда значение степени не зависит от формы записи рационального числа, так как a^mk/nk = =^nk√a^mk =ⁿ√a^m = a ^m/n

 Замечание 3: При а<0 рациональная степень числа а не определена. Поясним это на примере. Рассмотрим  (-64)^1/3 = ³√-64 = -4. С другой стороны: 1/3 = 2/6 и тогда (-64)^{1/ 3} = (-64) ^2/6 =  ⁶√(-64)² = 6√64² = ⁶√4⁶ = 4. Получаем противоречие.

III. Закрепление нового материала.

1. Решить устно:  №428, 429.

2. Решить в тетрадях. Вычислить. №430.

3. Разобрать №442, 443,444.

4. Задание из ЕГЭ.

Вычислить: а)  3^-4 · 27^2/3 ·9 – 27^-4/3 + (8⁰)³    ·2 + (0,125)^-1/3 

                     б)  9^2/5 + 10 ·(4⁰)⁵ – (0,25)^-3/2 – 9^-3/2 ·27 ·3^-5 

IV. Итоги урока.

V. Домашнее задание.

1. Прочитать и разобрать П 34.

2. Решить задачи №3(2), стр.273.