Конспект по математике "Дифференциал функции"

	Дифференциал функции
Определение дифференциала Рассмотрим функцию y=f(x), которая является непрерывной в интервале [a,b]. Предположим, что в некоторой точке x0∈[a,b] независимая переменная получает приращение Δx. Приращение функции Δy, соответствующее такому изменению аргумента Δx, выражается формулойΔy=Δf(x0)=f(x0+Δx)−f(x0).Для любой дифференцируемой функции приращение Δy можно представить в виде суммы двух слагаемых:Δy=AΔx+ο(Δx),где первый член (т.н. главная часть приращения) линейно зависит от приращения Δx, а второй член имеет более высокий порядок малости относительно Δx. Выражение AΔx называется дифференциалом функции и обозначается символом dy или df(x0). Рис.1 Рис.2 Рассмотрим эту идею разбиения приращения функции Δy на две части на простом примере. Пусть задан квадрат со стороной x0=1м (рисунок 1). Его площадь, очевидно, равнаS0=x20=1м2.Если сторону квадрата увеличить на Δx=1см, то точное значение площади увеличенного квадрата будет составлять S=x2=(x0+Δx)2=1,012=1,0201м2, т.е. приращение площади ΔS равно ΔS=S−S0=1,0201−1=0,0201м2=201см2.Представим теперь это приращение ΔS в таком виде: ΔS=S−S0=(x0+Δx)2−x20=x20+2x0Δx+(Δx)2−x20=2x0Δx+(Δx)2=Δx+ο(Δx)=dy+o(Δx).Итак, приращение функции ΔS состоит из главной части (дифференциала функции), которая пропорциональна Δx и равнаdy=AΔx=2x0Δx=2⋅1⋅0,01=0,02м2=200см2,и члена более высокого порядка малости, в свою очередь, равногоο(Δx)=(Δx)2=0,012=0,0001м2=1см2.В сумме оба этих члена составляют полное приращение площади квадрата, равное 200+1=201см2. Заметим, что в данном примере коэффициент A равен значению производной функции S в точке x0:A=2x0.Оказывается, что для любой дифференцируемой функции справедлива следующая теорема: Свойства дифференциала Пусть u и v − функции переменной x. Дифференциал обладает следующими свойствами: 1.     Постоянный коэффициент можно выносить за знак дифференциала: d(Cu)=Cdu, где C − постоянное число. 2.     Дифференциал суммы (разности) функций: d(u±v)=du±dv. 3.     Дифференциал постоянной величины равен нулю: d(C)=0. 4.     Дифференциал независимой переменной x равен ее приращению: dx=Δx. 5.     Дифференциал линейной функции равен ее приращению: d(ax+b)=Δ(ax+b)=aΔx. 6.     Дифференциал произведения двух функций: d(uv)=du⋅v+u⋅dv. 7.     Дифференциал частного двух функций: d(uv)=du⋅v−u⋅dvv2. 8.     Дифференциал функции равен произведению производной на дифференциал аргумента: dy=df(x)=f′(x)dx. Как видно, дифференциал функции dy отличается от производной лишь множителем dx. Например,d(xn)=nxn−1dx,d(lnx)=dxx,d(sinx)=cosxdxи так далее.
Пример 1
Найти дифференциал функции y=sinx−xcosx. Решение. Найдем производную заданной функции: y′=(sinx−xcosx)′=cosx−(x′cosx+x(cosx)′)=cosx−(cosx+x(−sinx))= =cosx−cosx+xsinx=xsinx.Дифференциал имеет следующий вид:dy=y′dx=xsinxdx.
Пример 2
Найти дифференциал функции y=cotπx4 в точке x=1. Решение. Находим производную и вычисляем ее значение в заданной точке: y′=(cotπx4)′=−1sin2(πx4)⋅π4=−π4sin2(πx4),⇒y′(1)=−π4sin2(π4)=−π4(√22)2=−π2.Тогдаdy=y′dx=−π2dx.
Пример 3
Найти дифференциал функции y=2x2+3x+1 в точке x=1 при dx=0,1. Решение. dy=f′(x)dx=(2x2+3x+1)′dx=(4x+3)dx. Подставляя заданные значения, вычисляем дифференциал:dy=(4⋅1+3)⋅0,1=0,7.
Пример 4
Вычислить приращение и дифференциал функции y=x2−x+1 в точке x=2 при dx=1. Решение. Определим приращение функции по формулеΔy=f(x+Δx)−f(x). Поскольку здесь x+Δx=2+1=3, то получаемΔy=f(3)−f(2)=(32−3+1)−(22−2+1)=7−3=4. Дифференциал (или линейная часть приращения) при этом составляет: dy=f′(x)Δx=(x2−x+1)′Δx=(2x−1)Δx=(2⋅2−1)⋅1=3.
Пример 5
Найти дифференциал функции y=xxe2x в точке x=1. Решение. y′=(xxe2x)′=(xx)′e2x+xx(e2x)′. Производная функции xx равна(xx)′=(elnx⋅x)′=(exlnx)′=exlnx(xlnx)′=xx(1⋅lnx+x⋅1x)=xx(lnx+1). Следовательно, производная исходной функции имеет вид: y′=xx(lnx+1)e2x+xx⋅2e2x=xxe2x(lnx+1+2)=xxe2x(lnx+3). При x=1, соответственно, получаем:y′(1)=11⋅e2⋅(ln1+3)=3e2. Тогда дифференциал функции в данной точке записывается какdy=y′dx=3e2dx.
Пример 6
Найти дифференциал функции y=xsinπx2 в точке x=12 при dx=0,01. Решение. dy=f′(y)dx=(xsinπx2)′dx=(1⋅sinπx2+x⋅cosπx2⋅π2)dx=(sinπx2+πx2cosπx2)dx. Подставляем значения x и dx и вычисляем дифференциал  dy:dy=(sinπ⋅122+π⋅122cosπ⋅122)⋅0,01=(sinπ4+π4cosπ4)⋅0,01=(√22+π4√22)⋅0,01=√2200(1+π4)≈0,0126.
Пример 7
Вычислить приращение и дифференциал функции y=x+2x+1 в точке x=0 при Δx=0,1. Решение. Найдем сначала приращение функции: Δy=f(x+Δx)−f(x)=x+Δx+2x+Δx+1−x+2x+1=0,1+20,1+1−21=1,9091−2≈−0,0909. При тех же значениях x и Δx дифференциал функции равен dy=f′(x)Δx=(x+2x+1)′Δx=(x+2)′(x+1)−(x+2)(x+1)′(x+1)2Δx=x+1−x−2(x+1)2Δx=−1(x+1)2Δx=−112⋅0,1=−0,1.
Пример 8
Найти дифференциал функции y=1√u2+v2, где u и v − дифференцируемые функции переменной x. Решение. Используя правила дифференцирования, получаем: dy=d(1√u2+v2)=d[(u2+v2)−12]=−12(u2+v2)−32d(u2+v2)=−12(u2+v2)32[d(u2)+d(v2)]= =−2udu+2vdv2√(u2+v2)3=−udu+vdv√(u2+v2)3.
Пример 9
Найти дифференциал функции y=arcsinuv, где u и v − дифференцируемые функции от x. Решение. dy=d(arcsinuv)=1√1−(uv)2d(uv)=1√1−(uv)2⋅vdu−udvv2=|v|√v2−u2⋅vdu−udv|v|2= =vdu−udv|v|√v2−u2,где v2>u2,v≠0.
Пример 10
Функция y(x) задана неявным уравнением y3−3xy+x3=3. Найти ее дифференциал в точке (2,1). Решение. Определим производную неявной функции. Дифференцируя обе части по x, получаем: (y3−3xy+x3)′=(3)′,⇒3y2y′−(3y+3xy′)+3x2=0,⇒3y2y′−3y−3xy′+3x2=0,⇒(y2−x)y′=y−x2,⇒y′=y−x2y2−x. В точке (2,1) производная y′ имеет значениеy′(2,1)=1−2212−2=3. Соответственно, дифференциал в этой точке записывается какdy=y′dx=3dx.
Пример 11
Функция y(x) задана неявным уравнением x2−√ylny=1.  Найти ее дифференциал в точке (1,1). Решение. Дифференцируем обе части уравнения по x и находим производную  y′:(x2−√ylny)′=1′,⇒2x−(12√y⋅y′⋅lny+√y⋅1y⋅y′)=0,⇒2x−y′(lny2√y+1√y)=0, ⇒4x√y−y′(lny+2)=0,⇒y′=4x√ylny+2. Вычислим значение производной в заданной точке (1,1):y′(1,1)=4⋅1⋅√1ln1+2=2. Дифференциал функции в этой точке равенdy=y′dx=2dx.
Пример 12
Найти дифференциал функции y=arctan√1−x1+x. Решение. Поскольку дифференциал функции выражается формулой dy=y′(x)dx,то для его нахождения достаточно вычислить производную y′(x). Дифференцируя как сложную функцию, получаем: y′(x)=(arctan√1−x1+x)′= =11+(√1−x1+x)2⋅(√1−x1+x)′=11+1−x1+x⋅12√1−x1+x⋅(1−x1+x)′= =11+x+1−x1+x⋅12√1+x1−x⋅(1−x)′(1+x)−(1−x)(1+x)′(1+x)2= =1+x2⋅12√1+x1−x⋅(−1)⋅(1+x)−(1−x)⋅1(1+x)2= =(1+x)√1+x(−1−x−1+x)4√1−x(1+x)2=−√1+x2√1−x(1+x)=−12√(1−x)(1+x)= =−12√1−x2,где −1<x<1.  Соответственно, дифференциал функции записывается в видеdy=−dx2√1−x2.