Сочетания и размещения.
Теория.
Комбинаторное правило умножения: пусть
имеется n
элементов, и надо выбрать из них один за другим k элементов. Если
первый элемент можно выбрать n1 способами, после
чего второй элемент можно выбрать n2 способами
из оставшихся, затем третий элемент можно выбрать n3 способами
из оставшихся и т.д., то число способов, которыми могут быть выбраны все k
элементов, равно произведению .
Введем некоторые необходимые понятия.
Соединением из n элементов
по k назовем
выборку k элементов
из n различных
элементов ().
Соединения, каждое из которых содержит n различных
элементов, взятых в определенном порядке, называются перестановками из
n элементов.
Соединения, отличающиеся друг от друга составом
элементов или их порядком, каждое из которых содержит k элементов,
называют размещениями из n элементов по k ().
Соединения, отличающиеся друг от друга по крайней мере
одним элементом, каждое из которых содержит k элементов, выбранных из n различных
элементов, называют сочетаниями из n по k. Порядок
следования элементов неважен.
Правило сложения: если
первое действие можно выполнить n1
способами, второе действие – n2 способами, … , k-е
действие – nk
способами, то действие, состоящее в том, что выполняется одно любое из
действий, можно выполнить способами.
Перестановки из n элементов, в каждую из
которых входят n1
одинаковых элементов одного типа, n2
одинаковых элементов другого типа, … , nk одинаковых
элементов k-го типа
(при этом ), называют перестановками из n элементов
с повторениями.
Практика.
1.
Сколько
существует двузначных чисел?
2.
Сколько
существует пятизначных чисел, которые одинаково читаются слева направо и справа
налево?
3.
В
спортивных соревнованиях участвуют 10 команд. Сколькими способами может быть
распределены золотая, серебряная и бронзовая медали, если любая команда может
получить только одну медаль?
4.
В
9 классе изучается 10 предметов. Во вторник должно быть 6 различных уроков.
Сколькими способами можно составить расписание занятий на вторник?
5.
Вычислите:
a)
;
b)
;
c)
6.
Решите
уравнение ():
7.
Сколькими
способами можно расставить на полке 7 различных книг?
8.
Имеются
10 различных книг, 3 из которых справочники. Сколькими способами можно расставить
эти книги на полке так, чтобы все справочники стояли рядом?
9.
Сколько
различных пятизначных чисел, в которых цифры не повторяются, можно составить из
цифр 0, 1, 3, 6, 9?
10.
Сколько
существует трехзначных чисел, в которых цифры различные и нечетные?
11.
Сколько
трехзначных чисел с различными цифрами можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4,
5?
12.
Сколько
чисел с разными цифрами можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4?
13.
Вычислите
:
14.
Сколькими
способами можно составить расписание на вторник, если изучаются 10 предметов и
должно быть 6 уроков? (порядок уроков неважен).
15.
Найдите
число диагоналей n-угольника.
16.
У
Кати есть 7 разных книг по математике, у Коли 9 книг по физике. Сколькими
способами они могут обменяться пятью книгами?
17.
Из
двух математиков и десяти физиков надо составить комитет из восьми человек. В
комитет должен входить хотя бы один математик. Сколькими способами это можно
сделать?
18.
Сколько
существует делителей числа 210?
19.
Найдите
натуральные значения n,
удовлетворяющие условию
20.
Сколькими
способами можно расположить в ряд 2 зеленые, 4 красные и 6 желтых лампочек?
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.