Конспект урока 11 класс "Общие свойства объемов тел. Объем куба и прямоугольного параллелепипеда. Объём призмы"

План-конспект урока геометрии в 11 «А» классе

Тема урока: Общие свойства объемов тел. Объем куба и прямоугольного параллелепипеда. Объём призмы.

Цели и задачи урока:

1. Вспомнить  понятие объема тел его свойств, единиц измерения объема, повторить объемы параллелепипеда, куба. Познакомиться с объемом призмы.
2. учить сравнивать, сопоставлять, анализировать, делать выводы, развивать правильную математическую речь, целесообразную вариативности математических упражнений, закрепить знания в результате решения задач на применение новых формул объема;
3. воспитывать трудолюбие, внимательность; развитие интереса учащихся к предмету математика, активизация мыслительной деятельности, развитие математической речи, расширение математического кругозора у учащихся, научить учащихся мыслить логически, быстро думать и принимать правильные решения.

Тип урока: Объяснение нового материала.

Вид урока:  смешанный.

Методы работы: объяснительно – иллюстративный.

Виды работы: коллективная, фронтальная.

Прогнозируемый результат: знать свойства  объемов тел, уметь применять формулы объемов тел при решении задач.

Оборудование урока:  опорный конспект «Общие свойства объемов тел. Объем куба и прямоугольного параллелепипеда. Объём призмы»,  наглядные иллюстрации с формулами.

Ход урока.

I.Организационный момент.

Приветствие учителя.

Сообщение темы, цели и задачи урока.

Сегодня мы вспомним что такое объем, какими свойствами он обладает, повторим формулы объемов куба и прям.пар-да.Познакомимся с объемом призмы,порешаем задачи по теме с пробников ЕНТ.

II.Актуализация знаний.

Вспомним определение объема.

•         Объемом называется положительная величина, характеризующая часть пространства, занимаемую телом.

Свойства объемов:

•         За единицу измерения объемов принимают объем куба с ребром, равным единице

•         Равные тела имеют равные объемы

•         Если тело можно разбить на несколько простых тел, то его объем равен сумме объемов составляющих тел

•         Отношение объемов подобных тел равно кубу коэффициента подобия,т.е.

Повторим формулы объема куба и прямоугольного параллелепипеда.

Введение формул объемов тел через диалог учителей и учащихся.

В курсе математики 5-го класса мы с вами уже познакомились с прямоугольным параллелепипедом. Давайте воспользуемся чертежом и вспомним основные элементы прямоугольного параллелепипеда и формулы уже известные нам.

Измерения – а – длина; b – ширина; с – высота.

Известные формулы:

V = a^.b^.c 
S_осн = a^.b
V = S_осн^.H

Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений.

Следствие : Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту

 А как называется прямоугольный параллелепипед у которого все измерения равны? Куб.

Длина куба а = а; ширина в = а; высота с = а

Подставим имеющиеся данные в формулу V=a^.b^.c в результате чего мы получаем:

Ученики сами выводят формулу нахождения объема куба.)

V = a^.а^.а = а³

V = а³

^{III.Объяснение новой темы.}

Призма — это многогранник, две грани которого являются равными многоугольниками, находящимися в параллельных плоскостях, а остальные грани — параллелограммами.

•         Объём прямой призмы, основанием которой является прямоугольный

треугольник, равен произведению площади основания на высоту

Если боковые ребра призмы перпендикулярны основаниям то призма называется прямой, в противном случае – наклонной.

Призма называется правильной, если она прямая и ее основания - правильные многоугольники.

площадь полной пов.призмы.

Теорема

     Площадь боковой поверхности прямой призмы равна половине произведения периметра основания на высоту призмы.

•         Доказательство

Сначала докажем теорему для прямоугольной призмы, а затем –для произвольной прямой призмы.

1)      Рассмотрим прямую треугольную призму ABCA₁B₁C1 с объёмом V и высотой h.

2)      Проведем такую высоту треугольника ABC (на рис. BD),которая разделяет этот треугольник на два треугольника.

3)      Плоскость BB₁D разделяет данную призму на 2 призмы, основаниями которых являются прямоугольные треугольники ABD и BDC.

4)      Поэтому объемы V₁ и V₂ этих призм соответственно равны S _ABD ·h и S _BDC ·h. По свойству 2° объемов               V=V₁ +V₂, т.е                    V=S_ABD ·h=(S_ABD+S_BDC) · h.

5)      Таким образом,                   V= S_ABC ·h.

Теорема для произвольной прямой призмы с высотой h и площадью основания S.

•         Такую призму можно разбить на прямые треугольные призмы с высотой h. На рис. изображена пятиугольная призма, которая разбита на три прямоугольные призмы.

•         Выразим объем каждой прямоугольной призмы по формуле V= S_ABC ·h и сложим эти объемы. Мы вынесем за скобки общий множитель h, потом получим в скобках сумму площадей оснований треугольных призм, т.е. площадь S основания исходной призмы.

                   Таким образом, объем         исходной призмы равен произведению S · h.

Принцип Кавальери —Если любая плоскость, параллельная данной, пересекает два тела по фигурам равной площади, то объемы этих тел равны.

4)Решение задач.

1)Объем прямоугольного параллелепипеда равен 2520 см(в кубе),а площадь основания 168 см(в квадрате),и длина на 2 см больше ширины. Найдите сумму длин всех ребер параллелепипеда.

Итак что такое объем параллелепипеда? Vпар=Sосн*H, где H одно из наших ребер и их всего 4. Покажу на рисунке позже.

 H=2520/168=15 см.

 Итак мы нашли одно ребро. осталось остальные два, которые получаются их основания.

 Sосн=a*b; где a,b - стороны основания параллелепипеда.

 Известно что a=b+2

 Значит верным будет:

 b*(b+2)=168

 b2+2b-168=0

Решение квадратных уравнений, быстро и просто.

 Ответ: b1 = 12; b2 = -14 (не может быть так как отрицательное)

 Отсюда b=12; a=12+2=14

 Теперь рисунок.

 Для наглядности, я специально обозначил ребра равные a красным цветом. Ребра b зеленым, а высота H осталась черным.

 Получается что всего в параллелепипеде по 4 каждого ребра. То есть логично записать что сумма будет равна:

 P=4*(a+b+H)=4*(12+14+15)=41*4=164

2)  Пусть ABCDA₁B₁C₁D₁ – данная прямая призма, основанием которой является ромбABCD c диагоналями AC=30 см и  BD=16 см. Объем этой призмы 4800 см².

Требуется найти площадь боковой поверхности призмы. Определяемся с формулами – надо знать, чего нам не хватает для нахождения искомой площади. Площадь боковой поверхности призмы находят по формуле: S_бок.=P_осн.∙H. Периметр основания мы найдем, если будем знать сторону основания, т.е сторону ромба ABCD. Можем ее найти? Да, у нас есть диагонали ромба, которые взамно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. Из прямоугольного Δ АОD по теореме ПифагораАD²=AO²+OD²;   АD²=15²+8²=225+64=289. Следовательно, сторона основания АD=17 см, и периметр основания P_осн=4∙ АD=4∙17=68 см. Теперь надо найти высоту призмы Н.Объем призмы нам дан. Формула объема призмы V=S_осн.∙H. Площадь основания – это площадь ромба, которую можно найти по формуле: S_p.= (1/2)∙d₁∙d₂. Здесь d₁ и d₂ – диагонали ромба. Тогда S_осн.=(1/2)∙30∙16=240 см². Подставим в формулу объема значения объема и площади основания призмы. 4800=240∙Н, тогда Н=20 см. Искомая площадь боковой поверхности призмы S_бок.=P_осн.∙H=68∙20=1360 см².

3) В основании призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 5 см и 12 см. Вычислите полную поверхность призмы, если ее объем равен 1200 см³.

4) По стороне основания, равной 5 см, и боковому ребру, равному 8 см, найдите объем правильной треугольной призмы.

•         5) Дано: ABCA₁B₁C₁- прямая призма.

AB=BC=m; ABC= φ,

BD- высота в ∆ ABC;

BB1=BD.

Найти: V_ABCA1B1C1-?   

1)      S _ABC ·h, h=BB₁.

2)      Рассмотрим ∆ ABC; ∆ ABC- р/б. BD- высота   ∆ ABC, следовательно медиана и биссектриса.  

ABD=   DBC= φ/2

3) Рассмотрим ∆ ABD; ∆ ABD- прямоугольный. Из соотношения в ∆: cosφ/2 = BD/AB     BD= cosφ/2 AB, BD=m cosφ/2 (AB=m)

4) Т.к. BD=BB₁         BB₁=m · cos φ /2

5) S _ABC= ½ AB·BC· sinφ; S _ABC= ½ m² · sinφ

6) V= ½ m² · sinφ· mcosφ/2=½ m³ · sinφ · cosφ/2

Ответ: ½ m³ · sinφ · cosφ/2